Área da superfície de Sólidos

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Exercícios de Geometria 
Espacial. 
Área de superfície de Sólidos 
 
QUESTÃO 1 
A figura a seguir representa uma moeda semelhante 
à de vinte e cinco centavos de real, com 20 mm de 
diâmetro e 3 mm de espessura. 
 
 
 
Em cada face circular da moeda está inscrito um 
prisma heptagonal regular, em baixo relevo, com 1 
mm de profundidade. Apenas uma das faces está 
visível na figura, mas a outra face é idêntica a ela. 
Após a fabricação, a moeda é banhada com uma 
substância antioxidante. 
Desconsiderando a existência de inscrições e outras 
figuras na superfície da moeda, calcule a área da 
superfície a ser banhada com antioxidante. 
 
Dados: π = 3,14 e sen( ) = 0,4 
QUESTÃO 2 
O cubo duplo, ilustrado a seguir, é construído a 
partir de um cubo, de aresta 2 cm, adicionando, em 
cada uma de suas faces, um tetraedro, que é 
congruente ao obtido do cubo cortando-o por um 
plano que passa pelos pontos médios de duas 
arestas incidentes em um vértice, e pelo outro 
extremo da terceira aresta que incide no vértice. 
 
 
Calcule a área da superfície do cubo duplo, em cm
2
. 
QUESTÃO 3 
Um cilindro está inscrito em um cubo, conforme 
sugere a figura a seguir. Sabe-se que o volume do 
cubo é 256 cm³. 
 
 
a) Calcule o volume do cilindro. 
b) Calcule a área total do cilindro. 
QUESTÃO 4 
Considere três cubos, com arestas medindo 1 cm, 2 cm e 
3 cm. Os cubos serão colados ao longo de suas faces de 
modo a se obter um sólido. Pretende-se saber quais os 
sólidos com menor área total da superfície. 
Por exemplo, se a colagem é feita como na ilustração a 
seguir, temos um sólido com área da superfície 6(1 + 4 + 
9) – (8 + 2) = 74 cm2. 
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Dentre os sólidos obtidos, colando os três cubos ao longo 
de suas faces, existem alguns com menor área total da 
superfície. Indique o valor desta área em cm2. 
QUESTÃO 5 
Observe o quadrado, cujas diagonais medem 2 dm. 
A rotação desse quadrado em torno de uma reta 
que contém uma de suas diagonais gera um sólido. 
 
 
 
A superfície desse sólido, em dm
2
, é de 
 
(A) . 
(B) . 
(C) . 
(D) . 
(E) . 
QUESTÃO 6 
A prefeitura de certo município realizou um processo 
de licitação para a construção de 100 cisternas de 
placas de cimento para famílias da zona rural do 
município. Esse sistema de armazenamento de 
água é muito simples, de baixo custo e não 
poluente. A empreiteira vencedora estipulou o preço 
de 40 reais por m
2
 construído, tomando por base a 
área externa da cisterna. O modelo de cisterna 
pedido no processo tem a forma de um cilindro com 
uma cobertura em forma de cone, conforme a figura 
a seguir. 
 
 
 
Considerando que a construção da base das 
cisternas deve estar incluída nos custos, é correto 
afirmar que o valor, em reais, a ser gasto pela 
prefeitura na construção das 100 cisternas será, no 
máximo, de: 
 
Use: π = 3,14 
 
a) 100.960 
b) 125.600 
c) 140.880 
d) 202.888 
e) 213.520 
QUESTÃO 7 
As figuras a seguir mostram dois pacotes de café 
em pó que têm a forma de paralelepípedos 
retângulos semelhantes. 
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Se o volume do pacote maior é o dobro do volume 
do menor, a razão entre a medida da área total do 
maior pacote e a do menor é igual a: 
 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
QUESTÃO 8 
Dois prismas A e B possuem as mesmas dimensões 
(a base é um triângulo equilátero de lado igual a 4 
cm e altura 10 cm) e são constituídos do mesmo 
material impermeável. O prisma A é oco e 
totalmente vedado, enquanto o prisma B é maciço. 
O prisma A é mergulhado completamente em um 
tanque cheio de água e, após, retirado do mesmo. O 
tanque é novamente preenchido com a mesma 
quantidade de água e o prisma B é, então, 
completamente imerso no tanque. 
 
 
 
 
Responda: 
 
A) Quantos cm
3
 de água transbordarão quando 
cada prisma for mergulhado completamente no 
tanque? Apresente os cálculos. 
 
B) O prisma A sofrerá um empuxo maior, menor ou 
igual ao do prisma B na situação descrita? Justifique 
sua resposta com base no conceito de empuxo. 
QUESTÃO 9 
O custo de uma embalagem é diretamente 
proporcional à superfície do sólido que se deseja 
embalar. Se o custo para embalar um cubo de 40 
cm de aresta é R$ 10,00, a embalagem de um cubo 
de 80 cm de aresta custa, em reais, 
 
(A) 15. 
(B) 20. 
(C) 25. 
(D) 40. 
(E) 80. 
QUESTÃO 10 
Seja x a área total da superfície de um cubo, e y, o 
volume do mesmo cubo. 
Analise as afirmações a seguir, considerando essas 
informações. 
 
0-0) Se x = 54 então y = 27. 
 
1-1) 6y = x
3 
 
2-2) O gráfico de y em termos de x é 
 
 
3-3) As diagonais do cubo medem . 
 
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4-4) As diagonais da face do cubo medem y
1/3 
. 
QUESTÃO 11 
Uma calha tem a forma de um prisma reto de base 
triangular. A altura do prisma é 1 m, e sua base é 
um triângulo isósceles com lados congruentes, 
medindo 0,4 m e formando entre si um ângulo α. 
 
 
 
Fazendo a escolha apropriada, qual o maior volume, 
em litros, que a calha pode ter? 
QUESTÃO 12 
Uma transportadora de volumes só aceita caixas na 
forma de paralelepípedos retângulos quando a 
soma do perímetro da base e da altura é no máximo 
2 m. 
 
Suponha que se pretenda transportar uma caixa, 
com maior volume possível, no formato de um 
paralelepípedo com base quadrada, de lado x 
metros, e altura h metros, como ilustrado na figura. 
 
 
 
Para obtermos volume máximo, os valores de x e h 
devem satisfazer 4x + h = 2. 
 
Analise as afirmações, considerando esses dados. 
 
0-0) O volume da caixa, em m
3
, é dado por 2x
2
(1 – 
2x). 
 
1-1) Quando o lado da base mede 1/3 de metro, o 
volume da caixa é (1/9) m
3
. 
 
2-2) A área total da caixa é –8x + 14x
2
, em m
2
. 
 
3-3) A área total da caixa será máxima quando a 
altura for 6/7 de metro. 
 
4-4) Quando a área total da caixa é máxima, seu 
volume é (24/343) m
3
. 
QUESTÃO 13 
Considere que o planeta Terra é aproximadamente 
esférico, tendo a linha do Equador um comprimento 
de, praticamente, 40.000 km e que 30% da área do 
planeta é de terras emersas. Aproximando a atual 
população da Terra para um número inteiro de 
bilhões de pessoas, responda: 
Dados: 
Área da esfera = 4 r
 2 
Comprimento do círculo = 2 r 
3,14 
 
a) Qual é a densidade demográfica nas terras 
emersas do planeta? 
 
b) Quantos metros quadrados caberiam a cada 
pessoa, se as terras emersas fossem divididas 
igualmente entre os habitantes da Terra? (Aproxime 
para um número inteiro de milhares de metros 
quadrados.) 
QUESTÃO 14 
Um supermercado vende dois tipos de cebola, 
conforme se descreve na tabela a seguir: 
Tipo de 
cebola 
Peso unitário 
aproximado (g) 
Raio médio 
(cm) 
Pequena 25 2 
Grande 200 4 
a) Uma consumidora selecionou cebolas pequenas 
e grandes, somando 40 unidades, que pesaram 
1.700 g. Formule um sistema linear que permita 
encontrar a quantidade de cebolas de cada tipo 
escolhidas pela consumidora e resolva-o para 
determinar esses valores. 
 
b) Geralmente, as cebolas são consumidas sem 
casca. Determine a área de casca correspondente a 
600 g de cebolas pequenas, supondo que elas 
sejam esféricas. Sabendo que 600 g de cebolas 
grandes possuem 192πcm
2
de área de casca, 
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indique que tipo de cebola fornece o menor 
desperdício com cascas. 
QUESTÃO 15 
A área da superfície externa de um cubo aberto 
(sem uma das faces) mede 80 cm
2
. Qual o volume 
do cubo? 
 
a) 61 cm
3 
b) 62 cm
3 
c) 63 cm
3 
d) 64 cm
3 
e) 65 cm
3 
 
 
QUESTÃO 16 
Considere o seguinte desenho referente às 
dimensões de uma piscina pública: 
 
 
 
A A piscina será revestida internamente (tanto as 
laterais como o fundo) com um produto que custa 
R$ 18,00 por metro quadrado. Qual é o valor total 
que será gasto para revestir a piscina com esse 
produto? 
 
B Ao agente pagador desta obra, você 
recomendaria que o pagamento fosse feito à vista 
hoje, com 20% de desconto, ou em uma parcela 
única e sem desconto daqui a um mês? Considere 
que haja dinheiro disponível e que a quantia que 
não foi gasta possa vir a render 20% de juros 
durante o próximo mês. Justifique a resposta 
matematicamente. 
 
C Decidiu-se construir uma canaleta para desviar 
água de um reservatório e assim encher a piscina. 
Se a vazão da água nessa canaleta é igual a 2 
metros cúbicos por minuto, quanto tempo levará até 
que a piscina fique cheia? 
QUESTÃO 17 
Em junho, foi anunciado o lançamento do menor 
computador de alta performance, que pode ser 
carregado com uma só mão. Ele tem a inusitada 
forma de um cilindro, com 16 cm de diâmetro e 25 
cm de altura, como mostra a figura a seguir: 
 
 
 
Ele é revestido externamente com uma pintura em 
tom conhecido como sleek black ou preto lustroso. 
Qual a medida da área pintada desse computador? 
Considere = 3). 
 
a) 384 cm
2 
b) 1.200 cm
2 
c) 1.392 cm
2 
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d) 1.584 cm
2 
e) 1.968 cm
2 
QUESTÃO 18 
Seja ABCDEFGH um paralelepípedo de bases 
retangulares ABCD e EFGH, em que A, B, C e D 
são, respectivamente, as projeções ortogonais de E, 
F, G e H. As medidas das arestas distintas AB, AD e 
AE constituem uma progressão aritmética cuja soma 
é 12 cm. Sabe-se que o volume da pirâmide ABCF é 
igual a 10 cm
3
. Calcule: 
 
a) As medidas das arestas do paralelepípedo. 
 
b) O volume e a área total da superfície do 
paralelepípedo. 
QUESTÃO 19 
Um cilindro reto de altura h = 1 cm tem sua base no 
plano xy definida por 
. 
Um plano, contendo a reta y − x = 0 e paralelo ao 
eixo do cilindro, o secciona em dois sólidos. Calcule 
a área total da superfície do menor sólido. 
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QUESTÃO 1 
GABARITO: 
 
A área da moeda a ser banhada com antioxidante 
corresponde à área total de um cilindro, com raio da 
base R = 10 mm e altura H = 3 mm, e as áreas 
laterais dos dois prismas heptagonais com 1 mm de 
altura. Sejam SC a área total do cilindro, SP a área 
lateral de cada prisma e SM a área total da moeda, 
de forma que 
 
SM = SC + 2 SP. 
 
A área total do cilindro é 
 
SC = 2πRH + 2πR
2 
= 260π = 816,4 mm
2
. 
 
O lado do heptágono é 
 
L = 2Rsen = 2 × 10 × 0,4 = 8 mm. 
 
E a área lateral do prisma heptagonal corresponde à 
área de 7 retângulos L × 1: 
 
SP = 7 (L × 1) = 7 (8 × 1) = 56 mm
2
. 
 
Portanto, SM = 816,4 + 2 × 56 = 928,4 mm
2
. 
 
QUESTÃO 2 
GABARITO: 
 
Resposta: 30 
Solução: 
Em cada face do cubo de aresta 2, temos que a 
área correspondente ao cubo duplo é 4 · 1 · 2/2 + 
2 · 1 · 1/2 = 5 e a área total é 6 · 5 = 30cm
2
. 
 
QUESTÃO 3 
GABARITO: 
Denotando o comprimento da aresta do cubo por A, 
teremos , 
logo o raio da base do cilindro é R = A/2 e a altura 
do cilindro é H = A, 
assim 
 
b) 
 
 
QUESTÃO 4 
GABARITO: 
 
As somas das áreas das superfícies dos três 
cubos é 6(1 + 4 + 9) = 84 cm
2
. A maior área de 
contato dos dois cubos maiores é 4 cm
2
, o que 
diminui a área do sólido em 2 · 4 = 8 cm
2
. A maior 
área de contato do cubo menor com o sólido já 
construído é obtida quando o menor tem uma face 
de contato com cada um dos dois cubos maiores, o 
que diminui a área do sólido agora construído em 2 · 
2 = 4 cm
2
. A menor área de superfície possível é 84 
– 8 – 4 = 72 cm
2
 e um dos sólidos possíveis está 
ilustrado a seguir. 
 
 
 
QUESTÃO 5 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
 
A rotação do quadrado em torno de uma diagonal 
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gera um sólido que pode ser decomposto em dois 
cones congruentes. 
 
 
 
A base de cada um desses cones é o disco gerado 
pela rotação da diagonal, que é perpendicular ao 
eixo de rotação. Portanto, a base de cada um dos 
cones é um disco de raio 1 (metade da diagonal). A 
geratriz de cada cone é o lado do quadrado, que é 
igual a . A altura de cada um dos cones 
também é metade da diagonal, isto é, é igual a 1. 
Portanto, a área do sólido de revolução em questão 
é igual a duas vezes a área da superfície lateral de 
um cone circular reto de altura 1 e com raio da base 
também igual a 1. Cortando essa superfície lateral 
por uma geratriz e planificando-a, obtemos um setor 
circular de um disco de raio e subtendido por 
um arco que tem como comprimento o perímetro da 
base do cone. A área do setor circular de um disco 
de raio subtendido por um arco de 
comprimento 2 pode ser calculada por 
proporcionalidade (regra de três): 
 
 
 
Logo, a área do setor vale 
 
Como a área do sólido de revolução é igual a duas 
vezes a área do setor, concluímos que ela é igual 
a . 
 
QUESTÃO 6 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
A área costruída de uma cisterna será a lateral de 
um cone (Aco), a base circular (Ab) e a lateral de um 
cilindro (Aci). Então: 
 
 
 
Usando π = 3,14 e calculando 100 cisternas, temos 
um total 
de construídos. Como 
cada m
2
 custa 40 reais, a prefeitura gastará um 
máximo de 40 · 5.338 = 213.520 reais. 
 
QUESTÃO 7 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
 
Como os sólidos são semelhantes, a razão entre 
seus volumes é igual ao cubo da razão entre suas 
alturas, e a razão entre sua áreas é igual ao 
quadrado da razão entre suas alturas. Se o pacote 
maior tem volume V, área total AT e altura H, e o 
menor tem volume v, área total at e altura h, então: 
 
 
Portanto: 
 
 
Como V = 2v, logo: 
 
 
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QUESTÃO 8 
GABARITO: 
 
A) 
1. Cálculo da altura do triângulo equilátero que 
constitui a base do prisma. 
 
 
 
 
ou 
 
 
 
 
2. Cálculo da área do triângulo equilátero (base). 
 
 
3. Cálculo do volume do prisma. 
 
 
4. O volume é o mesmo em ambos os casos. 
O volume de água deslocado é o mesmo volume 
dos sólidos. 
 
B) 
1. Os dois prismas estarão sujeitos ao mesmo 
empuxo. 
 
2. Como o empuxo é igual ao peso do líquido 
deslocado, ele independe do material de que o 
corpo é constituído, bem como do fato de o corpo 
ser oco ou maciço. 
 
QUESTÃO 9 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
 
A superfície de um cubo de 40 cm de aresta é 6 
x 40
2
 = 9.600 cm
2
; já a de um cubo de 80 cm de 
aresta é 6 x 80
2
 = 38.400 cm
2
. Portanto, a 
superfície do segundo cubo é quatro vezes maior do 
que a do primeiro. Como o custo para embalar um 
cubo é diretamente proporcional à sua superfície, 
haverá um gasto 4 vezes maior o cubo de 80 cm de 
aresta. Sendo assim, 4 x 10 reais = 40 reais.QUESTÃO 10 
VFFVV 
 
RESOLUÇÃO: 
0-0) Verdadeiro. 
x = 54 
Área total = 54 
6a
2
 = 54 
a
2
 = 9 
a = 3 → Pois não existe área negativa. 
 
Volume = a
3 
V = 3
3 
V = 27 
y = 27 
 
1-1) Falso. 
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Essas expressões não são iguais para qualquer 
valor de a. 
 
2-2) Falso. 
Se 
 
 
 
No gráfico, para x = 24, temos 2 < y < 3. 
 
3-3) Verdadeiro. 
 
 
 
4-4) Verdadeiro. 
 
 
 
 
QUESTÃO 11 
GABARITO: 
 
A área é máxima quando , pois sen90º = 1. 
Como o volume é máximo quando a área é máxima, 
temos: 
 
 
QUESTÃO 12 
VFFFV 
 
RESOLUÇÃO: 
0-0) Verdadeiro. 
4x + h = 2 
h = 2 – 4x 
 
Volume = Ab · h ⇒ x
2
 · (2 – 4x) ⇒ 2x2 – 
4x
3
 
 V = 2x
2
 · (1 – 2x) 
 
1-1) Falso. 
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2-2) Falso. 
 
 
3-3) Falso. 
A = é máxima para x 
= 
4-4) Verdadeiro. 
 
 
QUESTÃO 13 
GABARITO: 
a) O comprimento da linha do Equador é 2 r = 4 × 
10
4
 que, elevado ao quadrado, dá 
. 
 
Assim, a área de terras emersas do planeta, em 
quilômetros quadrados, é 
 . 
 
A população mundial é de, aproximadamente, 7 
bilhões. A densidade demográfica é a razão entre a 
população e a área, o que resulta em 
 
45,8 
habitantes/km
2
. 
 
b) Para saber o número de quilômetros quadrados 
por habitante, basta dividir a área das terras 
emersas pelo número de habitantes, o que equivale 
a calcular o inverso da densidade demográfica. 
Neste caso, 
0,022 km² ou 22.000 m² por 
habitante. 
 
QUESTÃO 14 
GABARITO: 
 
a) O sistema linear deve ter duas equações, uma 
associada ao número e a outra ao peso das cebolas 
selecionadas pela consumidora. Assim, temos 
 
x + y = 40 
25x + 200y = 1.700 
 
Isolando x na primeira equação, obtemos x = 40 – y. 
Substituindo esse valor na segunda 
equação, concluímos que 25(40 – y) + 200y = 
1.700, ou 175y = 700, ou ainda y = = 4. Logo, x 
= 40 – y = 36. 
Resposta: Resolvendo o sistema acima, concluímos 
que a consumidora selecionou 36 cebolas pequenas 
e 4 cebolas grandes. 
 
b) A casca de uma cebola pequena tem área igual a 
4r 
2
 = 4 2
2 
= 16 cm
2
. Como 600 g de cebolas 
pequenas correspondem a = 24 cebolas, a área 
total de casca equivale a 24 · 16 = 384 cm
2
. 
Como a área de casca de 600 g de cebolas grandes 
é igual a 192 cm
2
 , as cebolas grandes fornecem 
o menor desperdício com cascas. 
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Resposta: O desperdício com cascas é menor para 
as cebolas grandes. 
 
QUESTÃO 15 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Sendo x a medida, em cm, da aresta do cubo, 
temos: 
 5x
2
 = 80 ⇔ x = 4 
 
Assim, o volume do cubo é dado por: x
3
 = 4
3
 = 64 
cm
3
. 
 
QUESTÃO 16 
GABARITO: 
Analisando a figura, concluimos que a piscina é um 
prisma reto de base quadrilátera, no caso, 
um trapézio, e com altura (profundidade) de 2m. 
Podemos representar o fundo da piscina através da 
seguinte imagem: 
 
 
 
Como CB é aresta da base deste prisma, usamos o 
Teorema de Pitágoras, e descobrimos x
2 
= 20
2
 + 
15
2
 ⇒ x = 25. 
 
A Árearevestida = áreabase(fundo) + árealateral 
= 
 
 
Logo,o valor gasto será de R$ 
11.340,00 . 
 
B Tendo 20% de desconto, o valor seria R$ 
9.072,00 (80% de 11.340). Se aplicado, esse 
dinheiro, em um mês, renderia R$ 1.814,40, 
resultando um montante de R$ 10.886,40, inferior 
ao valor que deve ser pago. Portanto, o pagamento 
deve ser feito à vista. 
 
C Primeiramente, calcularemos o volume de água 
na piscina: 
 
Vpiscina= áreabase × altura = 450 × 2 = 900 m
3. 
 
Logo, como a vazão é 2 m
3
/min, temos que = 
450 minutos, ou seja, 7 horas e 30 minutos. 
 
QUESTÃO 17 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Sendo r o raio da base e h a altura do cilindro, a 
área A externa de um cilindro é dada por: 
A = 2 · π · r² + 2 · π · r · h 
 
Substituindo os termos pelos dados do exercício, 
temos: 
A = 2 · 3 · 8
2
 + 2 · 3 · 8 · 25 = 1.584 cm2 
 
QUESTÃO 18 
GABARITO: 
 
 
Chamando as arestas (termos da PA) de (x – r), x e 
(x + r), temos: x – r + x + x + r = 12 ⇒ 3x = 12 ⇒ x = 
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4. 
 
Pela informação do volume da pirâmide ABCF, 
temos: 
. 
 
Portanto, as arestas valem 3, 4 e 5 cm. 
 
Volume do paralelepípedo: 
V = 3 · 4 · 5 = 60 cm
3. 
 
Área total da superfície do paralelepípedo: 
A = 2(4 · 3 + 4 · 5 + 3 · 5) = 2(12 + 20 + 15) = 94 
cm
2
. 
 
QUESTÃO 19 
GABARITO: 
A base do cilindro é uma circunferência de centro (1, 
2) e raio 1 cm: 
 
 
No plano xy, com a reta y − x = 0, temos a seguinte 
figura: 
 
 
 
A área total da superfície do menor sólido obtido é a 
soma da área lateral da quarta parte do cilindro com 
a área de um retângulo de lados 1 e (obtido 
pelo plano que contém a reta dada) e com as áreas 
de dois segmentos circulares conforme destacado 
na figura. 
 
 
 
 
 
	Exercícios de Geometria Espacial.
	Área de superfície de Sólidos
	Questão 1
	Questão 2
	Questão 3
	Questão 4
	Questão 5
	Questão 6
	Questão 7
	Questão 8
	Questão 9
	Questão 10
	Questão 11
	Questão 12
	Questão 13
	Questão 14
	Questão 15
	Questão 16
	Questão 17
	Questão 18
	Questão 19
	Questão 1
	Gabarito:
	Questão 2
	Gabarito:
	Questão 3
	Gabarito:
	Questão 4
	Gabarito:
	Questão 5
	B
	Resolução:
	Questão 6
	E
	Resolução:
	Questão 7
	B
	Resolução:
	Questão 8
	Gabarito:
	Questão 9
	D
	Resolução:
	Questão 10
	VFFVV
	Resolução:
	Questão 11
	Gabarito:
	Questão 12
	VFFFV
	Resolução:
	Questão 13
	Gabarito:
	Questão 14
	Gabarito:
	Questão 15
	D
	Resolução:
	Questão 16
	Gabarito:
	Questão 17
	D
	Resolução:
	Questão 18
	Gabarito:
	Questão 19
	Gabarito: