cap5 Calculo de Volumes

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Capı´tulo 5
Uma Introduc¸a˜o ao
Ca´lculo de Volumes
Para introduzir o conceito de volume, o professor deve, antes de
qualquer tentativa de uma definic¸a˜o formal, apresentar uma ide´ia
intuitiva e fornecer diversos exemplos para que os alunos possam
compreender do que vai se falar. E qual e´ a primeira coisa que
devemos dizer? Na˜o nos ocorre nenhuma outra frase melhor que
a seguinte:
Volume de um so´lido e´ a quantidade de espac¸o por ele
ocupada.
Com esta ide´ia, inu´meras comparac¸o˜es provocativas podem ser
feitas. Dadas duas caixas, qual delas tem maior volume? Quem
tem maior volume: Maria ou Pedro? Observando uma panela pe-
quena e uma garrafa, que objeto parece ter maior volume? Uma
bola de futebol ou uma caixa de sapatos?
Muitas comparac¸o˜es sa˜o o´bvias, outras na˜o. No caso da panela
e da garrafa, pode-se encher a garrafa com a´gua e despejar dentro
da panela. Para comparar volumes de objetos impermea´veis pode-
mos mergulha´-los, um de cada vez, em um reservato´rio contendo
a´gua ate´ o bordo e comparar a quantidade de a´gua que transbor-
dou. Se tivermos um reservato´rio cilı´ndrico de vidro, podemos
colar em sua parede uma escala de nossa escolha e, com ela medir
volumes de pequenos objetos impermea´veis, como uma pedra de
formato irregular, por exemplo.
Este tipo de experieˆncia e´ um elemento motivador para o estu-
do dos volumes e pode ate´ ser eventualmente de alguma utilidade
pra´tica, mas na maioria dos problemas que teremos que enfren-
tar, e´ totalmente inu´til. Por exemplo, o mestre de obras precisa
73
74 Temas e Problemas
saber o volume de concreto que sera´ utilizado na construc¸a˜o das
colunas, vigas e lajes de um edifı´cio. A forma e as dimenso˜es de
cada um destes objetos esta˜o na planta e o ca´lculo do volume deve
ser feito antes que o edifı´cio exista. Alguns objetos sa˜o pequenos
demais, ou grandes demais, ou sa˜o inacessı´veis ou, simplesmen-
te, na˜o existem concretamente. Sentimos enta˜o a necessidade de
obter me´todos para o ca´lculo de volumes, pelo menos de objetos
simples, conhecendo sua forma e suas dimenso˜es.
Para medir esta grandeza chamada volume, devemos compara´-
la com uma unidade e, tradicionalmente, a unidade de volume e´ o
cubo cuja aresta mede uma unidade de comprimento, denominado
de cubo unita´rio. Por exemplo, se um cubo tem 1 cm de aresta, seu
volume e´ a unidade chamada de centı´metro cu´bico (cm3).
1
1
1
1 unidade de volume
Figura 36
Assim, o volume de um so´lido deve ser um nu´mero que ex-
prima quantas vezes ele conte´m o cubo unita´rio. Esta e´ a ide´ia
que devemos ter para desenvolver o estudo dos volumes mas, con-
venhamos que ainda tem um significado muito vago. Por exem-
plo, quantos cubos unita´rios de 1 cm de aresta cabem dentro de
uma panela? Na˜o saberı´amos dizer. Entretanto, esta ide´ia inicial
vai nos permitir calcular precisamente o volume de um parale-
lepı´pedo retaˆngulo, ou simplesmente, um bloco retangular.
Uma Introduc¸a˜o ao Ca´lculo de Volumes 75
1 O volume do bloco retangular
Imaginemos inicialmente umm bloco retangular com dimenso˜es
4 cm, 3 cm e 2 cm. Qual e´ o seu volume?
4
3
2
Figura 37
Observando o desenho, na˜o ha´ du´vida que este bloco pode ser
dividido em 4×3×2 = 24 cubos unita´rios e, portanto, seu volume e´
de 24 cm3. A maioria dos livros dida´ticos brasileiros usa um exem-
plo como este para “concluir” que o volume de um paralelepı´pedo
retaˆngulo qualquer e´ o produto de suas dimenso˜es. Este chute e´
difı´cil de aceitar. O que ocorre se as dimensa˜o do bloco na˜o forem
inteiras? Continua valendo o produto? Por que?
Esta´ certo que em muitas ocasio˜es o professor na˜o pode fazer
em sala de aula uma demonstrac¸a˜o completa de cada um dos con-
teu´dos exigidos no programa do ensino me´dio. Mas, se na˜o o fizer,
deve oferecer algo mais que a fo´rmula pronta ou o decreto publi-
cado no livro dida´tico. Vejamos um exemplo.
Exemplo. Calcule o volume do bloco retangular de 5,6 cm de com-
primento, 4,7 cm de largura e 2,0 cm de altura (Figura 38).
Para resolver este problema, dividamos cada aresta do cubo
unita´rio (com 1 cm de aresta) em 10 partes iguais (Figura 39).
Trac¸ando pelos pontos de divisa˜o planos paralelos a`s faces, dividi-
mos esse cubo unita´rio em 1000 cubinhos de aresta 1/10.
76 Temas e Problemas
5,6
4,7
2
Figura 38
1
1
10
_
Figura 39
Naturalmente que o volume de cada cubinho e´ v = 1/1000, e
e´ fa´cil contar quantos destes cubinhos enchem o bloco retangular
dado: sa˜o 54 × 47 × 20 cubinhos. Logo, o volume do bloco retan-
gular e´ igual ao nu´mero de cubinhos multiplicado pelo volume de
1 cubinho, ou seja, 56× 47× 20× 1
1000
= 5,6× 4,7× 2,0.
Este singelo exemplo confirma o produto das dimenso˜es para
o ca´lculo do volume do bloco retangular e conte´m a esseˆncia do
que e´ necessa´rio para a demonstrac¸a˜o no caso em que as medidas
das arestas sa˜o nu´meros racionais (veja o Problema 1 proposto no
Uma Introduc¸a˜o ao Ca´lculo de Volumes 77
final deste capı´tulo).
Para o caso geral, onde as medidas das arestas do bloco retan-
gular sa˜o nu´meros reais positivos quaisquer, o volume e´ ainda o
produto dessas medidas e, para demonstrar, usaremos o teorema
fundamental da proporcionalidade. O roteiro para a demonstrac¸a˜o
esta´ no Problema 2.
Consideremos portanto estabelecido que o volume de um bloco
retangular cujas arestas medem x, y e z, e´ dado por V = xyz.
2 A definic¸a˜o do volume
Chamaremos de poliedro retangular a todo so´lido formado pela
reunia˜o de um nu´mero finito de blocos retangulares justapostos.
Figura 40
O volume de um poliedro retangular e´ a soma dos volumes dos
blocos retangulares que o constituem. Vamos enta˜o definir o volu-
me de um so´lido S qualquer utilizando os poliedros retangulares
contidos em S.
78 Temas e Problemas
Seja V o volume de S e seja v(P) o volume de um poliedro re-
tangular P contido em S. O nu´mero V na˜o e´ ainda conhecido mas
deve satisfazer a` condic¸a˜o v(P) ≤ V para todo poliedro retangu-
lar P contido em S. Para cada poliedro retangular P contido em S,
mas na˜o igual a S, e´ possı´vel sempre obter um poliedro retangu-
lar P ′, maior que P e ainda contido em S. Basta acrescentar a P
novos blocos retangulares que ainda estejam dentro de S. Portan-
to, v(P) < v(P ′) ≤ V, o que quer dizer que v(P) e´ uma aproximac¸a˜o
por falta para o volume de S e v(P ′) e´ uma aproximac¸a˜o melhor
para este resultado. Continuando este procedimento, obteremos
aproximac¸o˜es cada vez melhores para o volume de S e essa ide´ia
conduz a` definic¸a˜o: V = v(S) e´ um nu´mero real cujas aproximac¸o˜es
por falta sa˜o os volumes dos poliedros retangulares contidos em S
(veja o Problema 3 para comenta´rios sobre esta definic¸a˜o).
3 So´lidos semelhantes
Seja B(x, y, z) um bloco retangular de dimenso˜es x, y e z. Os blocos
B(x, y, z) e B ′(x ′, y ′, z ′) sa˜o semelhantes se, e somente se, x ′ = kx,
y ′ = ky e z ′ = kz para algum nu´mero real positivo k, chamado
raza˜o de semelhanc¸a (ou fator de ampliac¸a˜o). Os volumes de B
e B ′ sa˜o tais que v(B ′) = kx · ky · kz = k3 xyz = k3 v(B), ou seja,
multiplicando as arestas de B por k, seu volume ficou multipli-
cado por k3 (Figura 41). Este resultado vale naturalmente para
poliedros retangulares semelhantes P e P ′, e levando em conta a
definic¸a˜o de volume, vale tambe´m para dois so´lidos semelhantes
quaisquer:
A raza˜o entre os volumes de so´lidos semelhantes e´
o cubo da raza˜o de semelhanc¸a.
Os argumentos acima na˜o esta˜o demonstrando este importan-
tı´ssimo resultado. Eles esta˜o apenas mostrando as ide´ias neces-
sa´rias para a demonstrac¸a˜o. Para realiza´-la, o conceito de seme-
lhanc¸a e´ fundamental e para conhecer ou rever este assunto, reco-
mendamos a leitura do livro “Medida e Forma em Geometria” do
prof. Elon Lages Lima (p. 33 e 55).
UmaIntroduc¸a˜o ao Ca´lculo de Volumes 79
S
S’
x y
z
kx
ky
kz
Figura 41
4 O Princı´pio de Cavalieri
O ca´lculo dos volumes dos diversos so´lidos so´ vai avanc¸ar com
esta nova ferramenta. Imagine inicialmente um so´lido qualquer S
apoiado em um plano horizontal H. Imagine tambe´m que S tenha
sido cortado por planos paralelos a H em fatias muito finas, todas
de mesma altura. Observe enta˜o que o so´lido S pode mudar de
forma quando deslizamos ligeiramente cada fatia em relac¸a˜o com
a que esta´ abaixo dela. Podemos assim obter um outro so´lido S ′,
diferente de S, mas com o mesmo volume de S, uma vez que eles
sa˜o constituı´dos das mesmas fatias (Figura 42).
S S’
H
Figura 42
80 Temas e Problemas
Esta ide´ia inicial ja´ nos conduz a dois importantes resultados.
a) Dois prismas de mesma base e mesma altura teˆm mesmo
volume (Figura 43).
Figura 43
b) Duas piraˆmides de mesma base e mesma altura possuem
mesmo volume (Figura 44).
Figura 44
As situac¸o˜es que acabamos de apresentar constituem um caso
bastante particular do princı´pio que vamos enunciar. Aqui, fatias
que esta˜o na mesma altura nos dois so´lidos sa˜o congruentes. Mas,
em uma situac¸a˜o mais geral, considerando dois so´lidos quaisquer
A e B (Figura 45), se as duas fatias que estiverem na mesma altu-
ra tiverem mesma a´rea enta˜o, como possuem mesma espessura,
tera˜o muito aproximadamente volumes iguais. Tanto mais apro-
ximadamente quanto mais finas forem. Sendo o volume de cada
so´lido a soma dos volumes das respectivas fatias, e a aproximac¸a˜o
entre os volumes das fatias podendo tornar-se ta˜o precisa quanto
se deseje, concluı´mos que os volumes de A e B sa˜o iguais.
Uma Introduc¸a˜o ao Ca´lculo de Volumes 81
h
A B
SA B
S
Figura 45
O Princı´pio de Cavalieri e´ enunciado da seguinte forma:
Sejam A e B dois so´lidos. Se qualquer plano horizontal
secciona A e B segundo figuras planas de mesma a´rea,
enta˜o estes so´lidos teˆm volumes iguais.
E´ preciso deixar claro ao leitor que o Princı´pio de Cavalieri
na˜o pode ser demonstrado com apenas os recursos da Matema´tica
elementar. Ele deve ser incorporado a` teoria como um axioma,
mas os argumentos anteriores sa˜o bastante intuitivos e convin-
centes. Os exercı´cios que se seguem, complementam o texto, su-
gerem demonstrac¸o˜es e algumas aplicac¸o˜es.
5 Comenta´rio final
Nos livros dida´ticos brasileiros, este assunto e´ apresentado, em
geral, de forma bastante insatisfato´ria. Muitos sequer dizem o
que significa calcular um volume e va´rios chutam, sem do´ nem
piedade, todas as fo´rmulas. Alguns citam o Princı´pio de Cavalie-
ri, mas na˜o o utilizam corretamente, e outros nem isto fazem. O
importantı´ssimo conceito de semelhanc¸a na˜o e´ abordado por ne-
nhum deles e, por consequ¨eˆncia, a teoria presente nesses livros e´
quase ininteligı´vel.
Para refereˆncias adequadas ao professor do ensino me´dio reco-
mendamos:
82 Temas e Problemas
• “Medida e Forma em Geometria” – Elon Lages Lima – SBM
• “A Matema´tica do Ensino Me´dio”, vol. 2 – 4 autores – SBM
Uma Introduc¸a˜o ao Ca´lculo de Volumes 83
Problemas Propostos∗
1. Demonstre que o volume de um bloco retangular cujas medidas
das arestas sa˜o nu´meros racionais e´ o produto das treˆs dimenso˜es.
Sugesta˜o: Treˆs nu´meros racionais sempre podem ser expressos
como frac¸o˜es de mesmo denominador. Considere enta˜o como di-
menso˜es do bloco retangular os nu´meros a/d, b/d e c/d, e mos-
tre que o volume e´ o produto dessas treˆs dimenso˜es.
2. Mostre que o volume de qualquer bloco retangular e´ o produto
de suas dimenso˜es.
Sugesta˜o: Verifique que se duas dimenso˜es do bloco ficam constan-
tes, o volume e´ proporcional a` terceira dimensa˜o. Use o teorema
fundamental da proporcionalidade (Capı´tulo 1 desde livro) para
concluir o resultado.
3. Explique melhor a definic¸a˜o que demos para o volume V de um
so´lido qualquer S: V = v(S) e´ o nu´mero real cujas aproximac¸o˜es
por falta sa˜o os volumes dos poliedros retangulares contidos em S.
4. Uma questa˜o do vestibular da UFRJ era assim: desmanchando
um brigadeiro (uma bola de massa de chocolate) de raio R, quantos
brigadeiros de raio R/2 podemos formar?
5. Uma loja para turistas vende miniaturas da esta´tua do Cristo
Redentor feitas em gesso, umas com 10 cm de altura e outras com
15 cm de altura. Se as menores pesam 120 g, cada uma, quanto
pesam as maiores?
6. Demonstre que o volume de um prisma qualquer e´ o produto
da a´rea da base pela altura.
7. Divida um prisma triangular em treˆs piraˆmides triangulares
de mesmo volume (Figura 46).
∗Soluc¸o˜es na pa´gina 165.
84 Temas e Problemas
Figura 46
8. Demonstre que o volume de qualquer piraˆmide e´ a terc¸a parte
do produto da a´rea da base pela altura.
9. Por que o volume de um cilindro de base circular com raio R e
altura h e´ πR2 h?
10. Calcule o volume de um cone com base circular de raio R e
altura h.
11. Mostre que o volume de um tronco de cone de altura h cujas
bases sa˜o cı´rculos de raios R e r e´ dado por V =
πh
3
(R2 + r2 + Rr).
12. Todos no´s utilizamos frequ¨entemente dois tipos de copos pla´s-
ticos descarta´veis. Os maiores para a´gua ou refrigerante e os me-
nores para o cafe´.
a) Observe os dois copos e deˆ um chute baseado apenas na
intuic¸a˜o: quantas vezes o volume do copo grande e´ maior
que o do copo pequeno?
b) Com uma re´gua, mec¸a as dimenso˜es dos copos, calcule os
volumes e veja se a sua intuic¸a˜o estava pro´xima do resultado
correto.
13. Fac¸a uma pesquisa nos livros que voceˆ dispo˜e e mostre como
se pode calcular o volume de uma esfera de raio R.