CÁLCULO NUMÉRICO - LISTA 3

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CÁLCULO NUMÉRICO 2015/1 3 
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
Marién Martínez Gonçalves 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 3 
1. Localize graficamente um intervalo que contenha a raiz pedida na equação f(x) = 0 e determine o 
intervalo usando f(a) . f(b) < 0. 
 a) f(x) = ex – 3x b) f(x) = x3 – 3x – 1 (raiz positiva) c) f(x) = √2x + 6 − x + 1 (x ≥ 0) 
 d) f(x) = x log x – 1 e) f(x) = x2 + ln x 
 R. a) ( 0, 1 ); b) ( 1, 2 ); c) ( 4, 6 ); d) ( 2, 3 ); e) ( 0.5, 1.0 ) 
 
2. Usando o método da bisseção, calcule uma aproximação da raiz que pertence ao intervalo 
determinado no exercício anterior. 
 a) f(x) = x3 – 3x – 1 (∈ ≤ 0.02) ( 𝑥 = 1.8906) 
 b) f(x) = x2 + ln x ( ∈ ≤ 0.02) ( 𝑥 = 0.640625) 
 
3. Encontre, usando o método da bisseção, a raiz cúbica de 10 (use ∈ ≤ 0.1) ( 𝑥 = 2.1875 ) 
 
4. Considere a função f(x) = x3 – x – 1. Resolva-a pelo método das Aproximações Sucessivas, usando a 
função de iteração φ(x) = 1/x + 1/x2 e x0 = 1. 
Faça 5 iterações e justifique o resultado, sabendo que uma raiz está no intervalo ( 1 , 2 ). 
Obs: trabalhe com quatro dígitos significativos e arredondamento por simetria. (não converge) 
 
5. Use o método de Newton-Raphson para obter uma raiz das equações abaixo. Trabalhe com 4 
dígitos significativos e arredondamento por simetria. 
 a) x5 – 6 = 0 , x0 = 1 e ε = 10 -2 ( 𝑥 = 1.431 ) 
 b) x3 – 2x2 – 3x + 10 = 0 , x0 = – 1.9 e ε = 10 -3 ( 𝑥 = – 2.000 ) 
 
6. Seja f(x) = ex – 4x2 e 𝜉 sua raiz no intervalo ( 0 , 1 ). Tomando x0 = 0.5, encontre 𝜉 com 𝜀 = 10 -4, 
usando: 
 a) o método das Aproximações Sucessivas com 𝜑(x) = 
1
2
 e x/2 ( 𝑥 = 0.7147 com 8 iterações) 
 b) o método de Newton. ( 𝑥 = 0.7148 com 3 iterações) 
 Compare a rapidez de convergência. 
 
7. O polinômio p(x) = x5 – 
10
9
 x3 + 
5
21
 x tem seus cinco zeros reais, todos no intervalo (–1 , 1 ). 
 a) Verifique que x1 ∈ ( –1 , –0.75 ) , x2 ∈ ( –0.75 , –0.25 ) , x3 ∈ ( –0.25 , 0.3 ) , x4 ∈ ( 0.3 , 0.8 ) 
e x5 ∈ ( 0.8 , 1 ). 
 b) Encontre x1 e x2, pelo respectivo método, usando 𝜀 = 10-4 ou 5 iterações. 
 b.1) x1: pelo método de Newton (x0 = – 0.8 ) ( 𝑥 = – 0.9062 ) 
 b.2) x2: pelo método da Bisseção ( [ a , b ] = [–0.75 , –0.25 ] ) ( 𝑥 = – 0.5156 )