GAAL - Lista 3 Matrizes

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GAAL- lista 3
13 de Abril de 2015
1. Considere as matrizes
A =
(
2 0
6 7
)
B =
(
0 −1
2 −8
)
C =
( −6 −1 2
7 −2 −2
)
D =
 −6 4 01 1 4
−6 0 6
 E =
 −6 9−1 0
−6 0

se for poss´ıvel calcule:
a) AB −BA
b) 2C −D
c) (2DtE)t
d) CA
2. Sejam A =
 4 6 8 20 12 18 10
−2 −6 −8 0
 uma matriz de tamanho 3 × 4 e B =

3 1
−1 5
7 −3
9 −7
 uma
matriz de tamanho 4× 2. Calcule o produto AB.
3. Sejam A =
 1 1 −21 1 2
−2 2 4
 e B =
 2 0 −1x 2 1
−1 1 0
. Calcule os produtos AB e BA.
4. Sejam A =
a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
 uma matriz de tamanho 3× 4
(a) Se B =
1 0 00 10 0
0 0 1
, calcular o produto BA.
(b) Por qual matriz tenho que multiplicar A a esquerda, para obter como produto a matriz a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24
6a31 6a32 6a33 6a34
.
(c) Se C =

1 0 0 0
0 15 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
, calcular o produto AC.
(d) Por qual matriz tenho que multiplicar A a direita, para obter como produto a matriza11 a12 a13 7a14a21 a22 a23 7a24
a31 a32 a33 7a34
.
5. Sejam A =
a11 a12 a13 a14 a15a21 a22 a23 a24 a25
a31 a32 a33 a34 a35
 uma matriz de tamanho 3× 5
(a) Se B =
 1 0 00 1 0
−11 0 1
, calcular o produto BA.
(b) Por que matriz tenho que multiplicar A a esquerda, para obter como produto a matriz a11 a12 a13 a14 a15a21 − 6a31 a22 − 6a32 a23 − 6a33 a24 − 6a34 a25 − 6a35
6a31 6a32 6a33 6a34 6a35
.
6. Sejam A =
a11 a12 a13 a14 a15a21 a22 a23 a24 a25
a31 a32 a33 a34 a35
 uma matriz de tamanho 3× 5
(a) Se B =
0 1 01 0 0
0 0 1
, calcular o produto BA.
(b) Por que matrizes tenho que multiplicar A a esquerda e a direita, para obter como
produto a matriz
a11 a12 a13 a15 a14a31 a32 a33 a35 a34
a21 a22 a23 a25 a24
.
7. Seja A =

0 1 2 −3
0 0 4 1
0 0 0 5
0 0 0 0
. Calcule A2, A3, A4. Usando os anteriores matrizes calcule
(I + A)7 onde I e´ a matriz identidade, isto e´, com uns na diagonal principal e zeros nos
outros lugares.
8. Se poss´ıvel encontre os valores de x, y e z tais que 1 2 32 5 3
1 0 8
 ·
 −40 16 x13 −5 y
5 −2 z
 =
 1 0 00 1 0
0 0 1

9. Considere o sistema: 
x + 2y + 3z = 4
3x − y + 5z = 2
4x + y + (a2 − 14)z = a+ 2
Determine para que valores reais de a o sistema:
a) na˜o tem soluc¸a˜o;
b) tem uma u´nica soluc¸a˜o;
c) tem infinitas soluc¸o˜es (neste caso, qual e´ a soluc¸a˜o geral?).
10. Para que valores de λ o sistema de equac¸o˜es{
(λ− 3)x + y = 0
x + (λ− 3)y = 0
tem soluc¸o˜es na˜o triviais?
11. Considere o sistema 
x − 2y + z = a
2x + y + z = b
5y − z = c
a) Para que valores de a, b e c o sistema possui soluc¸a˜o?
b) Ache todas as soluc¸o˜es do sistema
12. Sem utilizar papel e la´pis, determine quais dos seguintes sistemas homogeˆneos teˆm soluc¸o˜es
na˜o triviais.
a)

2x − 3y + 4z − w = 0
7x + y − 8z + 9w = 0
2x + 8y + z − w = 0
b)
{
a11x1 + a12x2 + a13x3 = 0
a21x1 + a22x2 + a13x3 = 0
c)

x1 + 3x2 − x3 = 0
x2 − 8x3 = 0
4x3 = 0
13. Considere o sistema de equac¸o˜es

ax + by = k
cx + dy = l
ex + fy = m
. O que voceˆ pode dizer sobre a
posic¸a˜o relativas das retas ax+ by = k, cx+ dy = l e ex+ fy = m, quando
(a) o sistema na˜o tem soluc¸a˜o;
(b) o sistema tem exatamente uma soluc¸a˜o;
(c) o sistema tem infinitas soluc¸o˜es.
14. Considere a matriz
A =

1 1 1 1
1 3 −2 a
2 2a− 2 −a− 2 3a− 1
3 a+ 2 −3 2a+ 1
 .
Determine o conjunto soluc¸a˜o do sistema AX = B em que B =
[
4 3 1 6
]t
.
15. Diga se cada afirmac¸a˜o abaixo e´ verdadeira ou falsa, justificando sua
resposta.
(a) Seja A uma matriz m×n, e B 6= 0 uma matriz m×1. Se X1 e Y1 sa˜o soluc¸o˜es do sistema
linear homogeˆneo associado AX = 0 enta˜o X1 + Y1 e´ soluc¸a˜o do sistema AX = B.
(b) Seja A uma matriz quadrada tal que o sistema linear homogeˆneo AX = 0
possui infinitas soluc¸o˜es. Enta˜o o sistema linear AX = B tambe´m possui infinitas
soluc¸o˜es.
(c) Se A e B sa˜o matrizes tais que A = At e B = Bt, enta˜o a matriz C = AB e´ uma
matriz sime´trica.
d) Se treˆs retas do plano xy sa˜o lados de um triaˆngulo, enta˜o o sistema de equac¸o˜es
formado pelas suas equac¸o˜es teˆm treˆs soluc¸o˜es, uma correspondendo a cada ve´rtice.
e) Se a forma escalonada reduzida por linhas de uma matriz aumentada de um sistema
linear tiver uma linha de zeros, enta˜o o sistema deve possuir uma infinidade de soluc¸o˜es.