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GAAL- lista 4 1 de Maio de 2015 1. Determine os inversos e os determinantes das matrizes elementares A1 = 1 0 0 0 0 1 5 0 0 0 1 0 0 0 0 1 , A2 = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 7 0 0 0 0 1 e A3 = 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 . 2. Escreva a matriz A = 3 2 −11 6 3 2 −1 0 como produto de matrizes elementares. 3. Considere as seguintes matrizes: A = 1 2 32 5 3 1 0 8 e B−1 = −4 0 84 16 4 0 −8 0 . Calcule: (a) A−1; (b) (ABt)−1. 4. DadoA = λ− 4 0 00 λ 2 0 3 λ− 1 , encontre os valores de λ para os quais det(A) = 0. 5. Encontrar, caso exista, a inversa da matriz B = 1 0 −1 1 0 1 1 2 1 1 0 1 2 −1 1 0 . Caso exista, determine a soluc¸a˜o do sistema BX = C onde C = (2,−1, 3, 1)t, isto e´, calcule X = B−1C. 6. Considere a matriz C = 0 0 0 0 1 0 0 0 2 3 0 0 4 5 1 0 (a) Determine como sa˜o as poteˆncias de C. (b) Determine a matriz adj(C), isto e´, a matriz dos cofatores. (c) B = 3I + C, expresse B5 em termos de I, C e C2. (d) Expresse B−1 Em termos de I, C e C2. 7. Seja A = 2 −1 1−3 4 −3 −5 5 −4 . Calcule An para todo valor de n. Calcule det(A) e det(A− I). 8. Considere a matriz A = −3 0 a2 − 1 0 0 2 0 0 5 3 −1 2 a+ 2 −1 0 0 .Determine todos os valores de a reais tais que detA = 0. 9. Determine para que valores de x a matriz A = x x 22 1 1 0 −1 −5 e´ invert´ıvel e calcule a inversa em termos de x. 10. Determine o determinante das seguintes matrizes (a) A = 1 0 −23 1 −1 2 −1 −10 (b) B = 1 5 0 −2 2 3 1 −1 4 3 −1 −1 4 −2 −2 1 (c) C = 1 1 0 −2 2 3 1 1 2 3 1 −1 2 −2 −2 1 11. Determine os inversos das matrizes do item anterior caso ele exista 12. Use o problema anterior para determinar a soluc¸a˜o do sistema x+ y − 2w = 4 2x+ 3y + z + w = −3 2x+ 3y + z − w = −7 2y − 2x− 2z + w = 10 13. Determine a relac¸a˜o que existem entre a,b, c para que o sistema 1 5 0 −2 2 3 1 −1 4 3 −1 −1 4 −2 −2 1 x y z w = 30 a b c possua infinitas soluc¸o˜es.
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