Apostilas Topografia

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José Carlos de Paula Figueira de Freitas, Ariclo Pulinho Pires de Almeida 
e Maria Márcia Magela Machado 
TOPOGRAFIA 
Fundamentos, Teoria e Prática 
Instituto de Geociências da Universidade Federal de Minas Gerais, Dept°. de Cartografia 
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CAPÍTULO XI 
 
ALTIMETRIA 
A altimetria se ocupa dos processos de medição, realizados no campo, visando a posterior 
representação do relevo do terreno. 
É necessário que se façam inicialmente algumas considerações, definindo alguns conceitos 
fundamentais e estabelecendo os limites de aplicação dos processos de medição da altura dos 
pontos do terreno que irão caracterizar este relevo. 
 
1- Considerações Iniciais e Definições 
Existem várias superfícies que envolvem a representação do relevo terrestre. A primeira delas 
é a Superfície Física que define a forma do relevo. Há a superfície tomada como referência 
para determinação da altura dos pontos que definem o relevo, chamada de Superfície de 
Nível de Referência, também conhecida como Superfície Geoidal. A Física define esta 
superfície como Equipotencial, ou seja, aquela superfície que possui a mesma aceleração da 
gravidade em todos os pontos. Seria assim como a superfície média dos mares, supondo-os 
sem movimentos, prolongada através dos continentes. Esta superfície de nível idealizada 
corresponde à forma da Terra desconsiderando suas elevações e depressões (Geóide). Há 
ainda aquelas superfícies que são utilizadas em substituição às superfícies anteriores uma vez 
que elas não são matematicamente definidas, como a Superfície Elipsoidal e a Superfície 
Esférica, empregadas conforme se precise de mais ou menos precisão. 
Pode-se imaginar também várias superfícies de nível concêntricas e paralelas àquela 
considerada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. XI-1 
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Assim, supondo 3 pontos A, B e C (Fig. XI-1), situados na superfície (expostos, para melhor 
visualização, no plano do desenho), estes determinam 3 superfícies concêntricas, cujas 
intercessões com o plano da figura são os arcos AA', BB', e CC'. Se o ponto A estiver situado 
ao nível médio dos mares, a superfície de nível determinada pelo mesmo seria a Superfície de 
Nível de Referência. 
É chamada Diferença de Nível entre 2 pontos da superfície da Terra à distância, segundo a 
vertical, que separa as superfícies de nível por eles determinadas. Assim, supondo os pontos 
A, B e C (Fig. XI-2) na superfície da Terra, a diferença de nível entre eles seria a distância 
entre as superfícies concêntricas que passam por eles. Ou, por outra, a diferença de nível 
entre C e B seria o segmento CC' da vertical de C até a superfície de nível que passa em B. A 
diferença de nível entre B e A seria também o segmento BB' da vertical de B, entre as 
superfícies de nível de B e A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Percebe-se, pois, que se teoricamente seria possível se calcular a diferença de nível entre 
qualquer par de pontos da superfície da Terra, na prática seria bastante complexo se 
determinar o segmento da vertical entre 2 superfícies que passam por 2 pontos distantes. 
Como a Topografia se propõe a representar graficamente porção muito limitada da superfície 
terrestre, os pontos cuja diferença de nível se pretenda, não estarão muito distantes um do 
outro. Pode-se, então, adotar uma hipótese que simplifica enormemente o trabalho, 
determinando, em seguida, até quais limites poder-se-á utilizá-la. 
Supondo 2 pontos A e B (Fig. XI-3) sobre a superfície da Terra (plano do desenho), sabemos, 
de acordo com o que foi exposto, que a diferença de nível entre eles seria o segmento da 
vertical entre as 2 superfícies de nível AA' e BB', que passam por A e por B, respectivamente, 
aqui consideradas esféricas. A hipótese simplificadora consiste em se substituir uma das 
superfícies de nível esféricas pelo plano horizontal tangente à superfície de nível num dos 
pontos. Isto é, substituímos AA' pelo plano HH', plano tangente à superfície em A. Este plano 
Fig. XI-2 
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é chamado de Superfície de Nível Aparente, e é utilizado em substituição à Superfície de 
Nível Verdadeira (AA'). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Feita a substituição, teríamos que a diferença de nível entre B e A não mais seria o segmento 
da vertical entre as duas superfícies de nível (BB' e AA'), isto é, BE na Fig. XI-3, mas o 
segmento da vertical entre B e o plano HH'. Isto é, a diferença de nível seria BC. Se 
chamarmos BE de diferença de nível verdadeira, com a hipótese feita teríamos uma 
diferença de nível fictícia ou aparente. 
É claro que se comete um erro substituindo uma das superfícies de nível pelo plano. Como 
esta hipótese simplifica enormemente o cálculo da diferença de nível entre dois pontos, resta-
nos calcular, portanto, até que limite o erro é admissível. 
Expressão do Erro de Nível Aparente 
O problema da simplificação feita, portanto, se resume em se determinar a diferença 
resultante da substituição da superfície de nível verdadeira pela aparente. Em outras palavras, 
esse erro se expressa, matematicamente, pela diferença entre os valores de BE e BC, ou seja, 
EC (na Fig. XI-3). Chamamos este segmento de Erro de Nível Aparente. 
Calculemos o seu valor: 
Seja a figura XI - 4 
Fig. XI-3 
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EC = e = erro de nível aparente 
 
Sendo o triângulo OAC retângulo tem-se: 
 
 
Chamando AC de L, e sabendo que OA = OE = R = Raio da Terra, tem-se: 
Como o valor de “e” em relação a “R” é desprezível podemos adotar, e = L² 
 2R 
Este seria o valor do erro de nível aparente, resultante da substituição efetuada. 
Fig. XI-4 
OC² = OA² + AC² 
(OE + EC)² = OA²+ AC² 
(R + e)² = R² + L² 
R² + 2Re + e² = R² + L² 
2Re + e² = L² 
e (2R + e) = L² 
e = _ L² _ 
 2R + e 
 
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Acontece, porém, que o raio luminoso ao atravessar as camadas atmosféricas, de densidade 
crescente com a aproximação da superfície da Terra, sofre o efeito da refração, que, por 
assim dizer, o encurva, com a concavidade voltada para o terreno. Em virtude disso, se do 
ponto A observarmos o ponto C (pé da vertical de B no plano horizontal HH') não o veremos 
na sua posição real, mas numa posição C', mais próxima da Terra. Isto quer dizer que o Erro 
de Nível Aparente, conforme hipótese feita, é menor ainda que o valor calculado. Várias 
experiências efetuadas demonstram que o valor real do erro, EC na Fig. XI-4, levando-se em 
conta a refração, é igual a 0,84 do valor de EC. Isto é, na prática o valor do erro seria: 
 
Expressão
analítica do Erro de Nível Aparente: 
 
 
Tomando o valor do raio da Terra R = 6.366.173 m e experimentando diversos valores para 
L, teremos: 
L e 
100 m 0,7 mm
125 m 1,0 mm
200 m 2,6 mm
300 m 5,9 mm
400 m 1,06 mm
500 m 1,65 mm
1000 m 6,6 mm
Observando os resultados apresentados acima conclui-se que para valores de L até 125 m o 
erro é inferior a 1 mm podendo ser portanto, desprezado. Assim, ao se determinar a diferença 
de nível entre dois pontos deve-se observar a distância limite de 125 m para visada ou do 
contrário, se fazer a correção do resultado encontrado em função do valor do erro de nível 
aparente. 
 
Altitude e Cota 
Quando se determina a diferença de nível entre um ponto qualquer da superfície da Terra e a 
superfície de nível verdadeira referida ao nível dos mares (Superfície de Nível de 
Referência), a diferença de nível se chama, nesse caso especial, Altitude. 
No caso de se medir a distância vertical que vai desse ponto a uma superfície de nível 
aparente qualquer, tomada como referência, o valor medido recebe o nome de Cota. 
e = 0,84 L² = 0,42 L² 
 2R R 
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Assim, supondo A e B (Fig. XI-5) na superfície da Terra, o ponto A determina uma superfície 
de nível aparente que é o plano horizontal HH', tangente à superfície de nível verdadeira em 
A, e que a substitui. 
 
 
 
 
A altitude do ponto B será o segmento da vertical de B, que vai do ponto B até a superfície 
que representa o nível médio dos mares, supondo essa superfície em repouso e prolongada 
através dos continentes: a altitude de B será, pois, o segmento BE. 
A cota de B em relação a esta superfície de nível aparente tomada como referência, é o 
segmento BC. Em outras palavras, a cota de B é a distância, segundo a vertical, desde B até o 
plano horizontal HH' tomado como referência. 
Percebe-se, de imediato, a aplicação prática da simplificação efetuada: para se determinar o 
relevo de uma região limitada da superfície da Terra, estabelece-se um plano de referência 
(superfície de nível aparente) em um ponto interior à mesma e se determinam as cotas de 
todos os pontos que caracterizem o relevo do terreno. 
 
2 - Instrumentos 
Como foi visto, para se determinar o relevo de uma região, usa-se o artifício de se fixar um 
plano horizontal como referência e, então, medir as cotas dos pontos de inflexão do terreno, 
que são os pontos onde ocorrem mudanças na declividade (Fig. XI-6), em relação a este plano. 
 
 
Fig. XI-5 
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Inicialmente é necessário, portanto, materializar um plano horizontal de referência. 
Veremos a seguir alguns instrumentos que materializam, de alguma forma, plano ou planos 
horizontais, do mais rústico aos mais sofisticados. 
 
2.1 - Nível de Tubo Flexível Transparente 
Não se constitui, propriamente, num aparelho ou instrumento e sim num expediente usado 
nas construções em geral. 
Consta essencialmente de um tubo de plástico, longo, flexível e transparente. Geralmente é a 
própria mangueira de 1/2” utilizada para fins de irrigação ou condução de água. Enchendo-se 
o tubo de água quase completamente, os níveis d'água nas duas extremidades do tudo 
determinam ou materializam uma reta horizontal. 
Assim, é muito fácil para o pedreiro verificar se a fiada de tijolos que está construindo está ou 
não nivelada com a mesma fiada da parede oposta: basta colocar o tubo cheio d'água com as 
duas extremidades junto a cada uma das paredes e verificar se as fiadas estão igualmente 
distantes dos níveis d'água respectivos (Fig. XI-7). 
Da mesma forma o encarregado de uma construção poderá transportar o nível do meio fio 
para um ponto A qualquer, no interior da construção. Bastará estender a mangueira cheia 
d'água com as extremidades próximas aos dois pontos mencionados. Medindo com uma 
régua ou metro a distância do nível d'água até o nível do meio fio, bastará marcar essa mesma 
distância numa régua ou estaca cravada próxima ao ponto A (Fig. XI-8). 
 
 
 
 
Fig. XI-6 
 
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 Fig. XI-7 Fig. XI-8 
 
2.2 - Níveis de Bolha 
Os níveis de bolha são os componentes de vários instrumentos que materializam retas 
horizontais, desde o simples nível de pedreiro até o nível de luneta. 
Os níveis de bolha, de acordo com sua forma se classificam em tubulares e esféricos. Os 
tubulares constam de um tubo de vidro em forma de tóro, que é um cilindro arqueado. Por 
construção, o plano tangente TT' ao traço central superior ao tóro é paralelo ao plano ao 
plano PP' do instrumento onde o tubo se apoia (Fig. XI-9). Assim, quando a bolha do tubo 
estiver dividida ao meio pelo traço, sabemos que o plano tangente é horizontal. Neste caso, o 
plano suporte também o será. Nos instrumentos mais precisos há parafusos de ajustagem que 
permitem uma retificação do nível, isto é, que assegure o rigoroso paralelismo dos planos 
tangente e suporte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Há alguns instrumentos que dispõem de um nível de bolha de forma esférica (Fig. XI-10), isto 
é, um cilindro de vidro terminado superiormente por uma calota, todo cheio de líquido, 
exceto a bolha, que na realidade é constituída do próprio vapor do líquido (éter, álcool, etc.). 
Fig. XI-9 
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Neste caso, também o plano tangente à calota é paralelo ao plano suporte do nível. Assim, 
quando a bolha estiver centrada, o plano suporte será horizontal. Os níveis esféricos são de 
menor sensibilidade que os tubulares por não poder se aumentar muito o raio da calota. 
 
 
Os níveis tubulares têm a sensibilidade variando proporcionalmente ao raio de curvatura do 
tubo: de 5 metros nos mais rústicos até 30 metros nos mais sofisticados. (Não é possível ou 
aconselhável se usar tubos com grande raio, pois, a bolha oscilaria ao menor deslocamento e, 
isto só seria conveniente, em instrumentos que possibilitem pequeníssimos ajustes). 
 
Observação: Como é difícil a observação da bolha nos níveis tubulares, quer dizer, verificar 
rigorosamente se a mesma está centrada, usa-se comumente um dispositivo por intermédio de 
espelhos e prismas, o qual permite se observar conjuntamente cada semi-imagem das duas 
extremidades opostas da bolha (Fig. XI-11). Assim, se há coincidência das duas semi-
extremidades, isto quer dizer que a bolha está centrada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.3 - Níveis de Luneta 
Os Níveis de Luneta são constituídos, basicamente, de um suporte com 3 parafusos calantes, 
um eixo vertical, no qual se apóia a luneta, e níveis de bolha (Fig. XI-12). Por construção, a 
linha de
visada ou eixo ótico da luneta (OO') é paralela ao plano que tangencia o ponto 
superior do nível (TT'). Assim, ao se visar um ponto distante, se a bolha estiver centrada a 
linha de colimação será horizontal. 
 
 
Fig. XI-10 
Fig. XI-11 
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Normalmente, há um nível esférico para um primeiro nivelamento e um nível de bolha 
tubular, solidário à luneta, para o nivelamento mais preciso antes de cada visada. Este 
procedimento é dispensável nos Níveis Automáticos, neste tipo de instrumento a 
horizontalidade da linha de visada é assegurada automaticamente, desde que a base esteja 
mais ou menos nivelada. 
Num nível de luneta qualquer, provido de nível tubular de bolha, há três eixos (Fig. XI-13): 
- Eixo de rotação VV' 
- Eixo ótico da luneta OO' 
- Eixo do nível tubular HH' 
Para as perfeitas condições de funcionamento do aparelho: 
- VV' deve estar na vertical; 
- OO' deve ser perpendicular a VV'; 
- OO' deve ser paralelo ao eixo HH'. 
Quando ocorrem estas condições o nível está retificado. 
 
 
2.4 – Altímetros 
O funcionamento do altímetro baseia-se na relação inversamente proporcional entre altitude e 
pressão atmosférica. 
Essencialmente, os altímetros constam de uma caixa metálica cilíndrica, hermeticamente 
fechada a vácuo. Uma das faces da caixa é recoberta apenas por uma membrana elástica, a 
qual sofre deformações com a variação da pressão atmosférica e as transmite para um 
mostrador. No altímetro analógico (Fig. XI-14) a altitude é indicada por um ponteiro associado 
a uma escala de leitura graduada em metros ou pés. Se o altímetro analógico possui um 
dispositivo para a correção da altitude em função da temperatura, ele é chamado de 
Fig. XI-13 
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“compensado”. No altímetro digital o mostrador é um visor de cristal líquido, típico dos 
aparelhos eletrônicos (Fig. XI-15). 
 
 Fig. XI-14 Fig. XI-15 
 
3-Nivelamento 
Nivelamento é a operação topográfica de se determinar a diferença de nível entre 2 ou mais 
pontos da superfície terrestre. 
Pode-se classificar os nivelamentos em três tipos: 
 
3.1 Nivelamento Barométrico 
O Nivelamento Barométrico determina a diferença de nível entre dois pontos em função da 
proporcionalidade entre pressão atmosférica e altitude em cada um dos pontos. 
A maneira mais precisa de se determinar a diferença de nível, em função da pressão 
atmosférica, é por intermédio dos aparelhos denominados barômetros: neste caso, mede-se 
nos dois pontos a pressão atmosférica e as temperaturas no mesmo instante, alem da latitude 
de um ponto médio e por intermédio de fórmulas empíricas, chega-se a resultados 
satisfatórios (precisão de mm). 
Para o uso na Topografia, no entanto, os barômetros de mercúrio apresentam inconvenientes 
óbvios de locomoção.São preferidos por isso, aparelhos bem menos precisos, mas muito 
menos volumosos e portáteis, chamados altímetros. 
A precisão obtida no nivelamento Barométrico é bem inferior à dos demais processos que 
serão abordados a seguir. 
Assim, o nivelamento Barométrico é empregado na Engenharia, mas dentro de suas 
condições precárias de precisão, ou quando se requer grande rapidez e pouco rigor: é o caso 
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do reconhecimento de estradas, obras hidráulicas, linhas de transmissão, exploração de 
minas, tudo isso ainda na fase preliminar de reconhecimento. 
 
3.2 Nivelamento Indireto ou Trigonométrico 
Nivelamento trigonométrico, é aquele que se baseia, para determinação da diferença de nível, 
na medição do ângulo de inclinação do eixo da luneta do teodolito em relação à horizontal e 
nas relações trigonométricas. 
 
Poderíamos classificá-lo, quanto aos instrumentos ou processos particulares utilizados em 
três distintos: 
- Nivelamento Trigonométrico propriamente dito 
- Nivelamento Estadimétrico 
- Nivelamento Taqueométrico 
 
3.2.1 Nivelamento Trigonométrico Propriamente Dito 
 
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É aquele que utiliza um teodolito 
comum para a medição do ângulo de 
inclinação do eixo da luneta em 
relação à horizontal, além de efetuar 
uma medição direta de distância 
(base). 
Suponhamos dois pontos A e B do 
terreno, vistos em corte na Figura ao 
lado e em perspectiva (aproximada) na 
seguinte. 
Suponhamos um plano horizontal H, 
passando por A, sendo B' o pé da 
perpendicular de B nesse plano. 
 A finalidade do nivelamento é 
determinar o segmento BB' dessa 
perpendicular, cateto do triângulo 
BB'A, retângulo em B'. 
 
 
 
Sendo î o ângulo BÂB', sabemos que este ângulo, fácil de se medir, seria o ângulo de 
inclinação do eixo da luneta de um teodolito instalado em A, visando B. 
Ora: 
'BB = 'AB . tg î 1 
 
Mas, AB' seria tão difícil de se medir diretamente como 'BB . No entanto, se tivermos, no 
plano horizontal H um ponto C, tal que determine um triângulo CAB' qualquer, teremos, pela 
lei dos senos: 
 
 AB' = AC ou 'AB = AC Csen . 
sen C sen B' sen B' 
 
 
Levando em 1 : 'BB = AC Csen . . tg î 
 sen B' 
Vê-se que a determinação da diferença de nível 'BB entre A e B depende agora de elementos 
possíveis, isto é, de se estabelecer um triângulo no plano horizontal de A, e medir um lado e 
dois ângulos desse triângulo. 
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Na prática, estabelecemos uma base AC , a partir do ponto A. Esta base, cuja dimensão, se 
possível, deverá se aproximar da dimensão de 'AB , deverá ser medida com todo rigor, como 
se mede uma base de triangulação (ver Triangulação Topográfica). 
Em seguida, com o teodolito em A, medimos não só o ângulo î (de inclinação da luneta em 
relação à horizontal) como o ângulo  do triângulo B'AC: isto se faz, simplesmente visando 
o ponto B e girando a luneta até a baliza em C: o ângulo  é o registrado no limbo horizontal 
do teodolito. Da mesma forma, com o teodolito instalado no piquete em C, visamos a baliza 
em A e em seguida o ponto B: no limbo horizontal estará assinalado o ângulo horizontal C, 
do triângulo ACB'. 
Contando com todos os elementos, isto é, o comprimento da base AC, os ângulos î, Â e Cˆ , é 
só aplicá-los na fórmula anterior. 
 
[ 'Bˆ é igual a 180 - (Â + Cˆ )]. 
 
Este processo é muito utilizado para se determinar a diferença de nível entre um dado ponto e 
outro inacessível, pois não é necessário o auxiliar se deslocar com a baliza para o 2º ponto 
distante. 
Sua precisão é relativa, dependendo da exatidão das medidas da “base”
e dos ângulos 
indicados (teodolito com precisão de segundo). 
Não é aconselhável para grandes distâncias, visadas maiores que 3 a 3,5 Km, uma vez que a 
refração atmosférica produz um erro considerável. 
Convém ainda lembrar que o que se determina é a diferença de nível entre o ponto visado e o 
“ponto eixo” do teodolito. Há, portanto, que se adicionar a “altura” do instrumento, altura h 
do eixo do teodolito ao piquete. 
 
 
 
 
3.2.2 Nivelamento Estadimétrico 
 
É chamado nivelamento estadimétrico o processo de determinação da diferença de nível 
(distância vertical) entre dois pontos através da estadimetria. 
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Com o teodolito instalado em um dos pontos visa-se a mira colocada verticalmente sobre o 
outro. Lêm-se os fios estadimétricos (superior, médio e inferior) projetados na mira, o ângulo 
de inclinação do eixo da luneta com a horizontal e mede-se a altura do teodolito. A diferença 
de nível será dada pela formula abaixo, conforme demonstrado no Capítulo V. 
 
dv = mg sen 2α + i - L 
 2 
 
Outro processo de nivelamento estadimétrico 
 
Há um outro processo de medição, não só da distância horizontal (DH), como da vertical 
(dv), o qual prescinde a utilização da mira, mas requer a utilização de um teodolito de grande 
precisão (segundos). 
O processo utiliza um teodolito num dos pontos (P) e uma haste colocada verticalmente no 
ponto (Q) distante (Figura abaixo). Nesta haste estão firmemente fixadas duas marcas ou 
sinais, distanciados de, por exemplo, 5,00 m, sendo que a marca inferior dista 1,00 m do solo, 
isto é, da base da haste. TOP 022 
 
 
Estas marcas ou sinais devem ser vistos a distância através da 
luneta do teodolito, isto é, o cruzamento dos retículos deve 
coincidir exatamente com o centro da marca, geralmente em forma 
de X. Estas marcas ou sinais podem ser duas placas de lata ou 
madeira que se fixam numa haste de metal ou bambu, por 
braçadeiras e pintadas como na Figura ao lado. 
A medição das distâncias horizontal e vertical entre P e Q se baseia 
na medição dos ângulos verticais dos raios visuais do eixo da 
luneta observando as marcas S e I. 
Assim, no exemplo numérico da Figura, os ângulos verticais, 
visando-se o centro das marcas em S e I seriam: 
OS com a vertical = 76o20' 
OI com a vertical = 79o15' 
Logo: 
D = OS = ____5,00_____ . sen 100°45' = 96,539 m 
sen 2°55' 
 
D' = OI = ____5,00_____ . sen 76o20' = 96,482 m 
sen 2°55' 
 
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E, portanto, teríamos: 
 
DH = D cos 13o40' = 96,539 x 0,97168 = 93,806 m 
 
 
Para comprovar, DH em função de D' 
DH = D' cos 10o45' = 95,482 x 0,9824 = 93,806 m 
 
Para a diferença de nível, poderíamos obter dv de duas maneiras: 
dv = SR + h - 6.00 ∴ SR = DH tg 13o40' 
dv = DH tg 13o40' - 6,00 + 1.50 = 22,810 - 6 + 1,50 = 18,31 m, ou, 
dv = SI + h - 6,00 ∴ SI = D' sen 10o45' 
dv = d' sen 10o45' - 6,00 + 1,50 = 17,810 + 0,50 = 18,31 m 
 
3.2.3 Nivelamento Taqueométrico 
 
O Nivelamento Taqueométrico se baseia no mesmo princípio da Estadimetria, utilizando, no 
entanto, aparelhagem mais específica e aperfeiçoada chamada, em geral, Taqueômetros ou 
Taqueômetros Redutores (porque fornecem a distância reduzida). 
Foi visto que pela estadimetria, com um teodolito qualquer, para se determinar a distância 
horizontal (Dh) ou vertical (Dv) entre dois pontos, basta se visar a mira no ponto distante e se 
avaliar o comprimento m interceptado pelo fios estadimétricos, lendo-se ainda o ângulo alfa 
de inclinação do eixo da luneta em relação à horizontal. As distâncias horizontal e vertical 
são dadas pelas fórmulas: 
 
Dh = mg cos²α 
 
Dv = mg sen 2α - L + i 
 2 
 
 
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179
Os taqueômetros utilizam um 
dispositivo pelo qual os dois fios 
estadimétricos são substituídos por 
duas curvas trigonométricas gravadas 
num disco de cristal. Este disco é 
articulado com o movimento da luneta 
de tal modo que o afastamento entre as 
curvas é proporcional à função cos²α. 
Na realidade, conforme Figura ao lado, 
no disco, são gravados dois pares de 
curvas: as duas curvas externas cujo 
afastamento, é proporcional à função 
cos²α; e duas curvas internas, cujo 
afastamento é proporcional à função 
senα x cosα = sen 2α 
 2 
 
 ( A cruz central é o cruzamento dos dois retículos) 
 
Portanto, para se determinar a distância horizontal (Dh) ou vertical (Dv) entre dois pontos, 
basta se visar a mira colocada verticalmente no ponto distante. 
A distância horizontal, Dh, será o segmento interceptado entre o par de curvas externas, 
multiplicado por 100, já que o valor do segmento interceptado é igual a m . cos2α. 
Já a distância vertical, Dv, será obtida também, multiplicando pelo número gerador o 
segmento interceptado entre o par de curvas internas, já que este segmento vale m . sen 2 α. 
 2 
Mas aqui, teríamos ainda de subtrair “L” e somar “i”, sendo L e i, respectivamente a altura do 
fio médio e a altura do instrumento. Este inconveniente (de ainda ter que se subtrair e somar 
L e i), no entanto, é superado modernamente por intermédio de um dispositivo que eleva o pé 
da mira a uma altura igual à altura do instrumento. Neste caso, sendo L = i (o operador 
simplesmente informa ao porta-mira, a altura do instrumento e este já coloca o pé da mira 
àquela altura sobre o ponto distante) a fórmula se reduz a mg sen 2 α e a distância 
 2 
vertical será, em cada visada, o segmento entre as curvas internas multiplicado pelo número 
gerador. 
Os taqueômetros auto-redutores mais modernos, na realidade, não apresentam dois pares de 
curvas e sim três curvas. As duas curvas externas, isto é, seu afastamento, corresponde a m 
cos²α. O afastamento entre a curva média e a inferior, corresponde a 
m sen 2 α . 
 2 
Além disso, já vem gravado no campo ótico da luneta (no cristal), o valor da constante 
estadimétrica g. Na Figura a seguir, a leitura da mira é feita por intermédio de um 
taqueômetro redutor RDS da Wild. 
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Distância horizontal: 35.4 m 
Diferença de nível: + 0,1 x 21.8 = 2,18 m 
Como se percebe, para o cálculo da 
diferença de nível, além do número gerador, 
ainda está registrado o sinal mais ou menos, 
conforme o ângulo de inclinação alfa da 
luneta. 
 
 
 
3.3. Nivelamento Direto ou Geométrico 
Este processo se baseia na execução de visadas horizontais, através de um nível de luneta, 
sobre miras colocadas verticalmente em pontos cujas diferenças de nível se pretenda medir. 
 
Assim, conforme Figura a seguir, se deseja calcular a diferença de nível BB', entre os pontos 
A e B do terreno, instala-se o nível num ponto qualquer C e visa-se horizontalmente a mira 
colocada verticalmente sobre os pontos A e B, efetuando as leituras HA e HB dos 
comprimentos de
mira interceptados. A diferença de leituras HA e HB fornece a diferença de 
nível BB', entre A e B. Observe-se que o nível não precisará estar situado sobre um ponto C, 
colinear com os pontos A e B: basta que do ponto de instalação se aviste a mira sobre os 
pontos em questão. 
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Se o operador está caminhando no sentido de A para B, chamamos a leitura do ponto anterior 
de leitura de ré (correspondente à visada de ré, atrás) e a leitura do ponto posterior de leitura 
de vante (correspondente à visada de vante, frente). Por convenção, a diferença de nível entre 
dois pontos será sempre a diferença aritmética: leitura de ré - leitura de vante. 
 
Assim a diferença de leituras é positiva, o ponto de ré estará abaixo do ponto de vante. Se a 
diferença de leituras for negativa, o ponto de ré estará acima do de vante. 
 
Poderíamos, ao invés de instalar o nível num ponto intermediário entre os pontos, colocá-lo 
justamente sobre um dos pontos. Bastaria que se efetuasse a leitura da mira sobre o outro 
ponto e se medisse a altura que vai do ponto ao eixo da luneta. Isto, entretanto, somente é 
utilizado no caso de pontos situados nas duas margens de um rio (ou outro acidente que 
impossibilite a instalação do aparelho), pois, além da dificuldade natural de se instalar o 
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182
aparelho exatamente sobre um dos pontos, instalando-o num ponto intermediário, reduz-se à 
metade a distância entre os dois cuja diferença de nível se deseja medir. 
 
Ora, como já foi visto, a distância das visadas é limitada pelo erro resultante de se substituir a 
superfície de nível verdadeira pela aparente, constituída pelo plano horizontal que contém o 
eixo da luneta. 
Assim, colocando-se o nível num ponto intermediário, em cada instalação pode-se aumentar 
em até duas vezes o alcance da visada, ou seja, a distância horizontal entre os dois pontos 
cuja diferença de nível se pretenda pode ser até o dobro da distância limite. 
 
Acontece freqüentemente que, ao se determinar a diferença de nível entre dois pontos não se 
consegue com apenas uma instalação intermediária do nível de luneta, se visarem as miras 
colocadas verticalmente sobre estes pontos: pode acontecer que a diferença de nível seja 
superior ao do comprimento da mira, que haja um obstáculo natural do terreno que impeça as 
visadas, ou mesmo que os dois pontos sejam de tal maneira distantes que os erros das visadas 
excedam os limites de precisão. 
Em todos esses casos, que são os mais comuns, fazem-se várias instalações-intermediárias e 
dizemos então que o nivelamento geométrico é composto, enquanto que quando há somente 
uma instalação do aparelho, o nivelamento geométrico é dito simples. 
Na Figura a seguir mostramos, em corte e planta, o esquema de um nivelamento geométrico 
composto para se determinar a diferença de nível entre 2 pontos A e B do terreno. 
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Observe-se que não só os pontos C, D, E, F, intermediários de colocação da mira, como os 
pontos I, II, III, IV, V, de instalação do nível, não são necessariamente colineares com os 
pontos extremos A e B. Isto é, para se determinar a diferença de nível entre dois pontos 
distantes A e B, vão-se fazendo instalações intermediárias tais como I, de onde se visa a mira 
em A e em C. Depois, transferido o nível para uma segunda instalação II, visa-se a mira 
ainda em C e em D. Em seguida, transferido o aparelho para um ponto qualquer III, visa-se a 
mira ainda em D e em seguida em E. E assim por diante... Quer dizer, vai-se determinando a 
diferença de nível por partes ou por pontos intermediários, de maneira que um ponto visado 
como vante numa instalação será ré na instalação seguinte: por exemplo, da instalação em I 
visamos a mira em A e C. Depois, instalado em II visa-se a mira em C, agora visada de ré. A 
mira, portanto, apenas gira, sendo visada de vante em I e de ré em II. Aliás, nos nivelamentos 
geométricos mais rigorosos, a fim de se evitar o possível erro resultante do giro da mira, 
costumam-se assinalar os pontos intermediários por intermédio de um piquete. Em alguns 
casos usa-se mesmo uma sapata de metal, chamada sapo, a qual se crava provisoriamente no 
chão durante colocação da mira, para as leituras. 
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A diferença de nível entre os 2 pontos extremos A e B será, a soma algébrica das diferenças 
de nível parciais, ou seja: 
 
dn = HA - HC + H'C - HD + H'D - HE + H'E - HF + H'F - HB = 
= (HA + H'C + H'D + H'E + H'F) - (HC + HD + HE + HF + HB) = 
= ∑ H ré -∑ H vante 
 
Registro das Operações no Nivelamento Geométrico 
 
Indica-se, a seguir, dois tipos de registros das operações de nivelamento geométrico ou 
Caderneta de Campo, conforme o fim a que se destine: 
a. Caderneta de um nivelamento entre dois pontos extremos cuja finalidade seja 
determinar-lhes a diferença de nível. 
Suponha-se, conforme Figura a seguir, que se deseje determinar a diferença de nível entre os 
pontos A e B, bastante afastados e que o croqui do nivelamento seja o indicado. 
 
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A caderneta de Campo seria a seguinte: 
 
INSTALAÇÃO DO 
APARELHO 
VISADAS OBSERVAÇÕES 
 De ré De vante 
I 2.875 1.413 Ré à margem do Córrego 
II 3.627 2.074 
III 1.942 2.708 
IV 1.435 3.528 
V 1.622 3.578 
VI 1.277 3.065 Vante-marco de alvenaria 
Somas 12.778 16.366 
 
Observe-se, novamente, que os pontos de instalação do aparelho (I, II, III, etc), assim como 
os pontos de colocação da mira (C, D, E, etc), são quaisquer, não necessariamente colineares 
com A e B. 
Observe-se, ainda, pela diferença entre as somas das duas colunas, 12.778 - 16.366 = - 3.588, 
negativa, que o ponto de ré está acima do ponto de vante. 
 
b. Nivelamento a fim de se determinar a cota de vários pontos do terreno em relação 
a um plano de referência. 
 Suponha que se tenha um terreno 
retangular (lote) como o da Figura ao lado, já 
demarcado, com as dimensões indicadas e 
que se tenham cravados os piquetes A, B, C, 
D, E, F, G, H e I nas divisas e segundo as 
metades. E que se tenha a cota do meio fio 
(M.F.) = 100,000 m. 
Pretende-se determinar as cotas dos 
piquetes indicados, com a finalidade de se 
conhecer o relevo do terreno. Inicialmente 
instala-se o nível num ponto 1 qualquer, 
interior ao terreno, tal que deste ponto, com 
o giro horizontal da luneta, aviste-se a mira 
colocada verticalmente sobre o meio fio 
(M.F.) e ainda nos piquetes A, B, C, D e E. 
 
 
 
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Ao se colocar a mira verticalmente sobre o M.F. e se visar a mira, suponhamos que se leu na 
mesma 3,475 m conforme esquema indicado abaixo (corte entre 1 e M.F., sem escala). Isto 
vale dizer que o eixo ótico da luneta gerou ou está contido num plano horizontal cuja cota 
será igual a 100.000 + 3,475 = 103,475 m. 
 
Se agora ainda com o nível instalado em 1 visa-se a mira verticalmente em A, leríamos, por 
exemplo, 3,162. Ora, se o plano de giro horizontal da luneta está na cota 103,475, como foi 
visto atrás, a cota de A será 103,475 - 3,162 = 100,313 m. 
 
Da mesma forma, ainda da instalação 1 visando-se B, leríamos, por exemplo 2,134 m. Então, 
a cota de B seria 103,475 - 2,134 = 101,341 m. 
 
 
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Percebe-se que da instalação 1 pode-se determinar a cota de quaisquer pontos do terreno, em 
função da cota do plano horizontal da luneta = 103,475 m. 
Basta que se coloque a mira sobre o ponto em questão e se faça a leitura, subtraindo-se do 
valor da cota do plano de giro o valor da leitura da mira. 
Chamamos à cota do plano de giro horizontal da luneta no caso = 103,475, de cota de 
referência ou plano de referência. 
No exemplo, supondo que da instalação em 1 ainda se conseguiu ler a mira nos piquetes C, D 
e E e que os valores das leituras tenham sido: 
Em C = 1,348 
Em D = 1,709 
Em E = 0,475 
(As Figuras esquemáticas, indicam 
3 cortes sem escala das três 
leituras). 
Em relação á cota do Plano de 
Referência, as cotas respectivas 
seriam: 
De C: 103,475 - 1,348 = 102,127 m 
De D: 103,475 - 1,709 = 101,766 m 
De E: 103,475 - 0,475 = 103,000 m 
 
Poder-se-ia, mesmo, ir organizando um quadro que, na realidade é a Caderneta de Campo do 
Nivelamento em questão, como se mostra a seguir: 
 
PONTOS 
VISADOS 
LEITURAS PLANO DE 
REFERÊNCIA 
COTAS OU 
ALTITUDES 
 
 
De ré De vante 
M.F. 3,475 103,475 100,000 
A 3,162 100,313 
B 2,134 101,311 
C 1,348 102,127 
D 1,709 101,766 
E 0,475 103,000 
 
Acontece que, como o terreno do exemplo se inclina, “subindo” da direita para a esquerda e 
de frente para os fundos, da instalação do nível em 1 não se conseguiu avistar a mira nos 
piquetes restantes (F, G, H, e I). 
Transferiu-se o nível, então para uma posição 2, tal que dela se consegue avistar a mira em E 
(que já havia sido visada na instalação 1 anterior) e ainda em F, G, H, e I. 
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Como já se conhece a cota do piquete E, quando lermos a mira novamente em E, da instalação 
2, por exemplo = 3,024 (ver Figura abaixo) estabelece-se um novo plano de referência cuja 
cota será = 103,000 + 3,024 = 103,024 m. 
 
Continuando a visar os demais piquetes, da instalação em 2, teríamos na mira 
respectivamente: 
Em F = 2,728 Em G = 2,696 
Em H = 1,466 Em I = 0,678 
As cotas, como já se percebeu, são obtidas deduzindo-se as visadas do novo plano de 
referência, por exemplo, a cota de F = 103,024 - 2,728 = 100,296. 
Pode-se, pois, completar a Caderneta de Campo iniciada: 
 
Pontos 
Visados 
LEITURAS Plano de 
Referência 
Cotas ou 
Altitudes 
OBSERVAÇÕES 
 De ré De vante 
E 0,475 103,000 
E 3,024 106,024 mudança 
F 2,728 103,296 
G 2,696 103,328 
H 1,466 104,558 
I 0,672 105,346 
 
Se, por acaso, da instalação 2 não se conseguisse avistar qualquer dos piquetes restantes, 
proceder-se-iam a tantas mudanças quantas necessárias. 
No caso do exemplo, partiu-se de uma cota, possivelmente arbitrária, do Meio Fio, igual a 
100.000 m. Em muitos casos é possível se referir a cota inicial àquela já existente nas 
imediações de nivelamentos já efetuados anteriormente. 
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Em casos especiais, essas cotas já existentes se referem ao nível médio dos mares e nestes 
casos a cota é a própria altitude. Várias entidades como o IBGE, Serviços 
Aerofotogramétricos, Prefeituras, Serviços Geográficos deixam marcos de Triangulação com 
as altitudes gravadas ou registradas. Tais marcos se chamam, em geral, Referências de Nível 
ou RNs. Os RNs não são necessariamente referidos ao nível médio dos mares. Assim, na 
exploração de estradas costuma-se deixar um RN de km em km, numerados e com a cota, ás 
vezes arbitrária, em pontos bem assinalados. 
 
Observações Finais sobre Nivelamento Geométrico 
 
1. Como no nivelamento geométrico não se considera nem a curvatura terrestre nem a 
refração atmosférica, as distâncias do nível à mira não devem ultrapassar os 125 m, pelo 
que já se expôs no início do estudo da Altimetria. 
 
2. No caso de se determinar a diferença de nível entre pontos muito distantes, escalona-se a 
distância, colocando-se o nível em cada instalação dentro dos limites recomendados, a 
meia distância das visadas de ré e vante. 
 
3. As miras a serem utilizadas, em nivelamentos de precisão média para cima, deverão ser 
equipadas com níveis de bolha esféricas, a fim de garantir sua verticalidade. Mesmo 
assim, devem ser evitadas visadas em pontos muito elevados da mira, devido a dificuldade 
de leitura provocada pelo balanço natural e inevitável. Assim, também, devem ser evitadas 
visadas rasantes (muito baixas) nas horas de maior calor ou sobre superfícies que 
receberam o calor, como o asfalto. 
 
4. Em nivelamentos de alta precisão, como no caso de observação de recalques de edifícios, 
deslocamentos de barragens, etc, usam-se níveis de luneta especiais, equipados com 
micrômetros óticos, os quais dão precisão direta de décimos de milímetros e aproximada 
(estima) de centésimos de milímetros. A observação, neste caso, se faz em miras de ínvar, 
apropriadas para a medição de alta precisão. 
 
5. Sempre que se faz o nivelamento geométrico de uma poligonal, aberta ou fechada, obtém-
se a checagem deste nivelamento com outro nivelamento, chamado contra-nivelamento, o 
qual pode ser efetuado no mesmo sentido ou em sentido contrário, indiferentemente. No 
caso de um poligonal fechada, evidentemente, a cota calculada ao final do nivelamento 
deve ser igual a cota inicial uma vez que se referem ao mesmo ponto, caso haja diferença 
esta será o erro. No caso de poligonal aberta, o erro é a diferença entre as cotas do mesmo 
ponto final, obtidas no nivelamento e no contra-nivelamento. Para se aquilatar se o erro é 
aceitável, ou não, há especificações adotadas e aceitas quase unanimemente. Assim, 
aceita-se atualmente que o erro de nivelamento geométrico esteja dentro dos limites 
abaixo, para os diversos tipos de terrenos: 
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- Terrenos planos: ± 2 mm K 
- Terrenos ondulados: ± 4 mm K 
- Terrenos acidentados: ± 7 mm K 
Sendo K o número de km entre os pontos extremos. 
 
6. Recomenda-se que o nivelamento e contra nivelamento
geométrico sejam executados com 
a mesma mira, a fim de evitar possíveis diferenças de leitura. São recomendáveis, também, 
as miras de dobrar às de encaixe, pela possibilidade de não estarem estas últimas 
corretamente encaixadas. 
 
7. Caso o erro esteja dentro dos limites especificados no item 5, deve-se proceder a correção. 
Esta é feita distribuindo-se o erro de acordo com o número de estações, ou seja, número de 
instalações do aparelho. Observemos o exemplo abaixo: 
 
CADERNETA DE NIVELAMENTO 
 
Pontos 
Visados 
Leituras Plano de 
Referência
Cotas ou 
Altitudes 
 
Correção 
Cotas 
Corrigidas 
 
Observações
 De ré De vante 
RN = A 0,848 100,848 100,000 ----- 100,00 
B 2,725 98,123 -0,003 98,120 
C 3,101 97,747 -0,003 97,744 
C 1,620 99,367 mudança 
D 0,546 98,821 -0,005 98,816 
D 2,533 101,354 mudança 
A 1,347 100,007 -0,007 100,000 
 
Erro de nivelamento = En = 100,007 - 100,000 = + 0,007 
 
Sendo o terreno ondulado e considerando K = 3,45 km o limite para o erro será: 
 
En ≤ ± 4 mm 45,3 
En ≤ ± 7,43 mm 
 
Portanto, o erro cometido é aceitável. 
Correção de En: 
Fator de correção por estação: 
 
 erro = 0,007 = 0,002333... 
 Nº de estações 3 
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Não sendo exato o valor, optou-se por corrigir em 0,003 m uma estação e as outras duas em 
0,002 m, perfazendo o valor do erro. É claro que o sinal da correção é inverso ao sinal do erro 
para que o mesmo seja anulado. Deve-se atentar que ao se proceder a correção esta é 
acumulativa. Observe a coluna correção na caderneta: o valor da correção na primeira estação 
é -0,003, na segunda estação a correção é -0,005, ou seja, a mesma soma da correção própria 
desta estação (-0,002) com a correção da estação anterior (-0,003). Na terceira estação a 
correção é -0,007 (-0,005 estação anterior e 0,002 referente a esta estação). Justifica-se este 
procedimento pela própria metodologia do nivelamento geométrico, a cota de um ponto 
obtida na estação anterior é referência para o cálculo das cotas da estação seguinte, se a 
mesma é corrigida o valor da correção deve ser transferido para a estação seguinte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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192
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
CAPÍTULO XI - Altimetria 
 
1. Calcule a caderneta de nivelamento abaixo: 
 
 
 
Pontos 
LEITURAS 
Plano de 
 
Cotas 
 
Observações 
Visados De ré De vante Referência 
A= RN 3,422 500,000 
B 0,845 
B 1,784 
C 2,644 
D 3,711 
D 0,887 
A 1,537 
 
2. Calcule a caderneta de nivelamento abaixo e caso exista erro faça a correção. 
 
 
 
 
Pontos 
LEITURAS 
Plano de 
 
Cotas 
 
Correções 
 
Cotas 
 
Observações 
Visados De ré De vante Referência Corrigidas 
RN= A 1,523 
B 0,320 
B 2,003 
C 0,546 
D 1,054 
E 2,402 
E 3,476 
F 0,843 
F 0,363 
A 3,792 
 
 
 
 
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3. Calcule a cota do ponto inacessível “P”, usando a base AB de comprimento 422,50 m sendo a 
cota de A = 832,321 m . 
 
 
 
 
 
 
 Leituras em A: alt. instrumento = 1,49 m 
 ângulo H1 = 66o42' 
 ângulo V1 = 7o38' 
 
 
 
 
Leituras em A: alt. instrumento = 1,49 m 
ângulo H1 = 66o42' 
ângulo V1 = 7o38' 
Leituras em B: alt. instrumento = 1,47 m 
ângulo H2 = 102o17' 
ângulo V2 = 4o51' 
 
4. Com o teodolito instalado em “ B” (a e t. aparelho = 1,51 m) foram visados os pontos “ A” 
e “ C” e obtidas a seguintes leituras: 
 
 
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Em “ A” : Leitura da mira FS = 2,144 m 
FM = 1,572 m 
FI = 1,000 m 
ângulo zenital lido: 98o30' 
 Em “ C” : Leitura da mira FS = 2,088 m 
FM = ? 
FI = 1,000 m 
ângulo zenital lido: 88o46' 
Qual a diferença de nível entre B e A, entre B e C e entre A e C ? 
 
5. Com o teodolito instalado em “ A” pergunta-se: 
 
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a. Qual a cota da soleira do prédio (em “ B” )? 
b. Qual a altura do prédio (BC)? 
 
ângulo X = 80o40' FS = 1,670 m 
ângulo Y = 93o30' FM = 1,335 m 
alt. instrumento - h = 1,54 m FI = 1,000 m 
Cota de “ A” = 100,000 m 
 
6. Num corte vertical feito no terreno, conforme croquis, não foi possível colocar a mira na 
crista “ B” Com um teodolito instalado em “ A” foi visado “ B” e lida a mira em “ 
C”Considerando a cota de “ A” igual a 200,000 m calcule as cotas de “ B” e “ C” e a 
altura do corte BC. 
 
 
ângulo zenital C = 89o12' 
ângulo zenital B = 78o52' 
FS = 2,848 m 
FM = 1,924 m 
FI = 1,000 m 
 
 
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CAPÍTULO XII 
 
CLINOMETRIA 
 
Declividade - Conceito 
Suponhamos dois pontos A e B sobre o terreno, conforme figura (corte) ao abaixo. Chama-se 
declividade entre os pontos A e B à inclinação da reta AB , em relação à horizontal. 
 
Expressões da Declividade 
De acordo com o conceito, poderemos exprimir a declividade entre dois pontos, por várias 
maneiras: 
a. Pelo ângulo que a reta AB faz com a horizontal. Assim, a declividade entre A e B seria 
expressa pelo ângulo BÂC = α que a reta AB faz com a horizontal AC em A (Fig. XII-2). 
b. Pela tangente do ângulo que a reta AB faz com a horizontal, ou seja, declividade entre A e 
B é ACBCtg =α (Fig. XII-3). 
A
B
C
Fig. XII-1 
A
B
C
A
B
C
Fig. XII-2 Fig. XII-3 
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Neste caso, poderíamos particularizar, isto é, se considerarmos o segmento AC = 1, tg α 
= BC . 
Ora, em relação aos pontos A e B do terreno, AC é a distância horizontal e BC a distância 
vertical ou diferença de nível. 
Podemos, então, concluir que a medida da declividade entre dois pontos é a relação entre 
diferença de nível e a distância horizontal entre eles. 
Ou, ainda,
podemos exprimir que a declividade entre dois pontos do terreno é igual à sua 
diferença de nível, tomando a distância horizontal como unidade, ou comprimento unitário. 
 
c. Em porcentagem, expressando ainda a declividade como a relação diferença de nível / 
distância horizontal e tomando o valor da distância horizontal, não como comprimento 
unitário, mas igual a 100 (metros, pés, centímetros, etc), o valor da declividade será expresso 
em porcentagem. 
Assim, se dissermos que a declividade entre dois pontos A e B de um terreno é igual a 3%, 
isto quer dizer que a relação entre BC e AC , sendo AC horizontal, será: 
100
3=
AC
BC (É claro que, se AC = 100 m, BC = 3m;se AC = 100 cm, BC = 3 cm, etc.). 
 
Como se vê, caso a declividade seja expressa pelo ângulo de inclinação, poderá variar de 0º a 
90o. 
Caso seja expressa pela tangente, seu valor variará de 0º a ∞, o que também ocorre se 
expressa em porcentagem. 
Assim, uma declividade de 45o corresponde à tangente = 1 e ao valor de 100% expresso em 
porcentagem. 
Por outro lado, uma declividade de 250% corresponderia a um ângulo de cerca de 68o12' de 
inclinação. 
 
 
Rampa, Contra Rampa 
Em geral, chama-se a declividade no sentido ascendente de Rampa e no sentido descendente 
de declive ou Contra Rampa. É claro que, nesse caso consideramos um sentido, como de A 
para B na figura abaixo a 1ª representa uma rampa e a 2ª, um declive. 
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A
B
C
A
B
 
Observações finais 
a. É possível, conhecendo-se a declividade entre dois pontos e sua distância horizontal, 
determinar sua diferença de nível. Com efeito, conforme Fig. XII-5. 
αα tgACBCACBCtg ⋅== ; ; 
Assim, se tg α = 0,57735 e a distância horizontal é 80 m, a diferença de nível será = 0,57735 
x 80 = 46,188 m. 
 
 
 
 
 
(Aliás, este era justamente o processo usado pelos taqueômetros antigos, tipo Arco Beaman 
para determinar a diferença de nível entre dois pontos, em função da declividade em 
percentagem, e da distância horizontal). 
b. É importante observar que, quando se determina a declividade entre dois pontos do terreno 
(Fig. XII-6), subentende-se que a inclinação entre os mesmos seja constante. 
Se a inclinação entre os dois pontos não for constante (Fig. XII-7), a reta que os une, não pode 
ser confundida com o terreno. Neste caso, para fielmente representar o terreno, devem ser 
tomados pontos intermediários, tais como C e D, e calcular a declividade entre A e B, B e C, 
C e D. 
 
 
 
 
 
A
B
RAMPA
B
A
DECLIVE
Fig. XII-4 
Fig. XII-5 
Fig. XII-6 
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A
B
C
D
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Instrumentos de Medir Declividade 
a. Clinômetros 
Chamam-se clinômetros, em geral, os instrumentos destinados a medir as declividades, no 
caso expressas pelo ângulo de inclinação. 
Os clinômetros são instrumentos portáteis (Fig. XII-8), enquanto que os eclímetros são 
clinômetros que se apoiam em bastões ou tripés. 
O princípio de funcionamento dos clinômetros se resume em medir o ângulo que a linha de 
visada entre dois pontos do terreno faz com a horizontal. 
O ângulo de visada, em geral, é conseguido através de uma pequena luneta, à qual está 
acoplado um nível de bolha. 
 
 
 
Assim, para se medir a declividade entre os pontos A e B (Fig. XII-9), o observador se coloca 
sobre o ponto A e visa, através da luneta, um ponto à mesma altura (h) sobre B. Acoplada a 
essa luneta, há um nível de bolha e estando a bolha centrada, haverá uma graduação que 
permitirá ler o ângulo alfa, que a direção da visada faz com a horizontal. 
Fig. XII-7 
Fig. XII-8 
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A
B
h
h
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Há outros clinômetros, nos quais o nível de bolha é substituído por um pequeno pêndulo, que 
dá a direção da vertical. 
Quando se utiliza o clinômetro para medir a declividade, o observador deve visar a mira 
colocada verticalmente no ponto distante, numa altura igual à altura de seus olhos. Para 
medições continuadas, pode-se improvisar uma régua com uma corrediça móvel, chamada 
bandeirola (Fig. XII-10), a qual se gradua de maneira que o ponto central da mesma coincida 
com a altura dos olhos de cada observador. 
 
 
b. Jogo de Réguas 
Conforme se viu anteriormente, a declividade pode ser expressa pela relação entre a diferença 
de nível e a distância horizontal entre os dois pontos, cuja declividade se pretende determinar. 
O processo do Jogo de Réguas se baseia em medir estas distâncias. 
Para tanto, usam-se duas réguas de madeira, uma graduada em decímetros (AD na Fig. XII-11), 
que se dispõe horizontalmente, graças a um nível de bolha a ela adaptado, e outra (BC) que 
pode ser uma mira comum, é graduada em centímetros e que se dispõe verticalmente no 
segundo ponto. A régua horizontal mede até 4 m e a vertical, até 2 m. 
Fig. XII-9 
h
BANDEIRA GRADUÁVEL
RÉGUA OU MIRA
Fig. XII-10 
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-201-
 
 
 
Para se medir a declividade, se coloca a régua graduada em decímetro horizontalmente, a 
partir do ponto mais alto, apoiando-se na outra régua (mira), colocada verticalmente sobre o 
ponto mais baixo. 
A relação entre as duas, distâncias vertical e horizontal, é a declividade entre os dois pontos. 
Em trabalhos de exploração de estradas, é muito comum o uso do jogo de réguas. O 
explorador assinala em cada estaca, as direções a 90o à direita e à esquerda. Os 
"seccionistas", com um jogo de réguas e uma caderneta de campo, vão anotando as relações 
entre cada par de pontos correspondentes às inflexões do terreno, conforme modelo abaixo: 
 
Esquerda Estacas Direita 
4,00 
+1,18
 
2,30 
+1,65
 
2,50 
+0,98
 
3,10 
0,65
 
3,60 
0,16
 
1,50 
-0,28
 
148 0,80 
-0,93
 
1,10 
-0,87
 
2,60 
-1,00
 
3,40 
-0,56
 
3,20 
-0,98
 
3,80 
-1,85
 
3,40 
+1,76
 
3,10 
+1,18
 
3,40 
+1,05
 
1,60 
+0,37
 
1,15 
+0,45
 
1,10 
+0,35
 
149 2,10 
+0,23
 
2,45 
-1,13
 
1,60 
-0,52
 
2,85 
+0,57
 
4,00 
+0,45
 
4,00 
-0,94
 
4,00 
+1,17
 
3,50 
+1,05
 
3,10 
+0,45
 
2,10 
+0,35
 
2,20 
-0,10
 
1,00 
-0,10
 
150 1,70 
-1,22
 
1,95 
-1,47
 
3,10 
-0,57
 
3,45 
+0,82
 
3,10 
+0,16
 
4,00 
-0,58
 
 MODELO DE CADERNETA DE CAMPO (Caderneta de Secções Transversais) 
 
A
B
2,
00
 m
4,00m
NÍVEL
C
D
Fig. XII-11 
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS - CAPÍTULO XII 
 
1. Expressar em porcentagem as rampas dadas pelos ângulos de inclinação abaixo: 
a. 38o b. 19o c. 5o d. 41o 
 
2. Calcular os ângulos que correspondem às declividades abaixo: 
a. 90% b. 26,8% c. 62,5% d. 123,5% 
 
3. Calcular o comprimento da cerca e as cotas de B e C na figura abaixo, dados a cota de A, a 
declividade de AB e BC e sus respectivas distâncias no plano. 
4. Com o teodolito em A e visando a mira em B temos os seguintes dados: 
Fio Superior = 1,824 m; Fio Médio = 1,662 m; Fio Inferior = 1,500m 
Altura do instrumento, i = 1,42; Ângulo Zenital = Z = 87°42'; g = 100 
Pergunta-se: Qual a declividade entre A e B em %. 
 
Respostas 
1- a. 78,1% b. 34,4% c. 8,8% d. 86,9% 
2- a. 42º b. 15º c. 32º d. 51º 
3- a. 599,65 m b. B= 454,121 C= 382,473 
4- 3,27% 
A
B
C
277,296 m 311,514 m
+ 1
4% - 23 %
415,300
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CAPÍTULO XIII 
 
NOÇÕES DE TRIANGULAÇÃO 
 
Redes de Triangulação 
Como referência e suporte dos levantamentos topográficos, em geral, é necessário que se 
estabeleçam pontos dos quais se conheçam as coordenadas geográficas (latitude e longitude) 
e a altitude. Em outras palavras: é sempre desejável que se relacione a poligonal de apoio de 
um levantamento a um ponto já existente e cujas coordenadas geográficas estejam bem 
determinadas. 
Para isto, a maioria dos países possui as chamadas redes de triangulação, que são cadeias de 
triângulos que se estendem geralmente, seguindo as direções dos meridianos e dos paralelos 
que atravessam o país. 
Estas redes de triangulação, as quais utilizam os processos geodésicos (pois consideram a 
curvatura da superfície da Terra), pertencem a várias ordens, de acordo com a média do 
comprimento de seus lados, a saber: 
1ª ordem - lados com comprimento acima de 30 km 
2ª ordem - lados com comprimento de 15 a 30 km 
3ª ordem - lados com comprimento de 5 a 15 km 
 
Rede de Triangulação Topográfica 
As redes de triangulação de 4ª ordem são aquelas cujos lados variam até 5 km e, além disso, 
no seu desenvolvimento, não é considerada a curvatura terrestre - são as chamadas redes de 
Triangulação Topográfica. 
Como se percebe, portanto, o motivo do estabelecimento de uma rede de triangulação 
topográfica, anterior ao levantamento, decorre da necessidade de se relacionar os vértices da 
poligonal de apoio do levantamento aos vértices da rede de triangulação topográfica. Por 
meio desta relação, vai-se, por assim dizer, "amarrando" os vários vértices da poligonal à 
rede de triangulação. Isto permite uma "checagem" do levantamento em todo seu transcurso, 
o que é uma ótima garantia de sua exatidão. 
O desenvolvimento de uma rede de triangulação topográfica pode se iniciar a partir de uma 
rede de triangulação geodésica (1ª a 3ª ordem) que esteja próxima. Isto é, no caso de 
existirem bases geodésicas ou marcos de triangulação geodésica próxima à região a ser 
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-204-
levantada, basta que se propague a rede de triângulos dentro da região, mas agora diminuindo 
os lados dos triângulos, de acordo com a necessidade e conveniência do levantamento a ser 
efetuado. Neste caso, possivelmente, parte-se de uma base ou marco de triangulação 
geodésica e chega-se a outro (ou ao mesmo) marco ou base de triangulação geodésica, já 
estabelecida. Este, contudo, não é o caso mais freqüente. 
O que ocorre, normalmente, é a não existência de base ou marco de triangulação nas 
proximidades, quando se pretende estabelecer uma rede de triangulação topográfica como 
suporte a um levantamento. 
Neste caso, ter-se-á que cobrir a região com uma rede de triangulação topográfica 
desenvolvida ou "propagada" a partir de uma base de triangulação a ser estabelecida no local. 
Para tanto, escolhem-se numa região mais ou menos plana, dois pontos A e B que distem no 
mínimo uns 200 m, os quais constituirão os vértices da base inicial AB da rede a ser 
desenvolvida (Fig. XIII-1). 
 
O comprimento dessa base inicial será medido rigorosamente com o fio invar, trena de aço 
ou, se possível, distanciômetros eletrônicos. 
Além de não ser acidentada a região onde será implantada a base, é necessário que de seus 
extremos A e B se avistem os próximos vértices possíveis, isto é, locais onde possam ser 
cravados os futuros vértices da triangulação. 
A B E
C
D
F
G
H
I
J
L M
BASE
INICIAL
BASE
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-205-
A B
C
D
α β
γ δ
Ainda sobre a base inicial AB : no caso de não se relacionar a rede a ser implantada e nenhum 
marco próximo, já existente, teremos que arbitrar as coordenadas do vértice inicial A. 
Fazemos isso, de tal sorte, que não haja possibilidade de chegar-se a coordenadas negativas 
durante o cálculo analítico dos demais vértices de toda rede, isto é, os números deverão ser 
suficientemente "grandes", de modo que não resultem coordenadas negativas. 
Além de se arbitrarem as coordenadas do 1º vértice A, determina-se a meridiana ou direção 
do Norte Verdadeiro no referido vértice. Em conseqüência, se obtém o Azimute e/ou o Rumo 
da base AB e, portanto, as coordenadas do outro vértices B( em função do comprimento da 
base, rumo e coordenadas do vértice anterior) (Fig. XIII-2). 
 
Está-se, pois, em condições de iniciar o desenvolvimento da rede de triângulos que cobrirá a 
região. 
A partir da base AB , iremos escolhendo pontos C e D que constituirão vértices de novos 
triângulos ABC e ABD. 
A partir da medição da base AB só se irão medir ângulos e não lados, por intermédio de 
teodolitos (com precisão de segundos). 
Assim, com o teodolito instalado em A e visando C, iremos medir CÂB = α. Ainda em A e 
visando D medimos DÂB = γ. De B medimos: 
C Bˆ A = β 
D Bˆ A = δ ; conforme Fig. XIII-3 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. XIII-2 
N.V
.
A B
"0'0º210=→AZ BA
Fig. XIII-3 
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Em seguida, a partir de C e D e visando E, medimos E Cˆ D e E Dˆ C. 
Assim por diante, medindo a partir de cada vértice os ângulos adjacentes. 
Estes triângulos seguintes aos iniciais da base poderão ter seus lados maiores, já que não se 
necessitarão medir comprimentos dos lados.1 
A única recomendação (além dos vértices consecutivos serem intervisíveis) é que os ângulos 
não devem ser nem muito agudos nem muito obtusos (nem menos de 20o e nem mais de 
100o). 
Os ângulos, em cada vértice, devem ser medidos pelo processo de reiteração, já explicado
anteriormente. 
Além dos ângulos horizontais, em cada vértice, deverão ser lidos também os ângulos verticais 
correspondentes, para a posterior determinação das diferenças de níveis e, portanto, cotas ou 
altitudes. 
Partindo-se, portanto, da base AB e medindo-se ângulos adjacentes, chegamos a uma outra 
base final, LM na figura da pág. 198, também medida com o mesmo rigor. 
O cálculo das coordenadas de todos os vértices da rede é posterior á operação de campo, 
propriamente dita. Mas ainda no campo dever-se-á ir checando a exatidão de toda operação, 
como se segue: 
Em cada triângulo (horizontal) a soma dos três ângulos medidos deve se aproximar de 180o. 
Se estiver utilizando um aparelho com aproximação de segundos, que é o recomendado, a 
diferença não deve ultrapassar os 3". Neste caso divide-se a diferença por três e compensa-se 
o erro igualmente nos três vértices. 
A conferência final, ainda no campo, é feita pela comparação entre o valor calculado para o 
último lado ( LM ) e o seu valor medido, já que é a 2ª base, conforme foi dito.2 
 
1No caso de se contar com um distanciômetro poderão ser medidos também vários lados. Neste caso, na 
realidade temos não só triangulação como trilateração. 
 
2Apenas como ilustração, lembramos que utilizamos uma triangulação a ‘lei dos senos”, que nos permite, num 
triângulo ABP e os ângulos alfa e beta, determinar b e a, de acordo com a fórmula: 
BP = a = αγ sensen ⋅
c
 
AP = b = βγ sensen ⋅
c
 
Seguindo o mesmo raciocínio podemos determinar os lados P’P e P”, em função dos lados e ângulos 
adjacentes. 
 
A B
P
P'
P"b a
c
α β
γ
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Há casos em que se parte e se chega na mesma base de triangulação, como indica a figura 
seguinte: Parte-se da base AB e se chega à mesma base (Fig.XIII-4). 
A B
 
 
Tudo que já foi dito se aplica aqui, além de ainda se poder checar os ângulos concorrentes em 
B cuja soma deve ser igual a 360o. 
Encerrada a operação de campo da Triangulação Topográfica, passa-se para a parte de 
escritório, com o cálculo analítico das coordenadas dos Vértices da rede de triangulação. 
Como complemento a este assunto, julgamos importante detalhar melhor 2 tópicos já 
abordados: Vértices de Triangulação e Medição da Base. 
 
Vértices de Triangulação 
Os marcos que materializam os vértices são feitos em concreto na forma de tronco de 
pirâmide ou prisma (Fig. XIII-5). 
 
Fig. XIII-4 
40
25 cm
25 
cm
10 10
60
1515
Fig. XIII-5 
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Em ambos os casos deverá haver um prego ou pedaço de ferro bem cravado no concreto, o 
qual assinalará o ponto exato do vértice a ser visado (para colocação da ponta da baliza). 
Medição da Base de Triangulação 
A medição da base de triangulação, no caso de medição à trena de aço, poderá ser executada 
como a seguir se descreve sucintamente: 
 
1. Instalar o teodolito num vértice da base, visando a baliza verticalmente no outro 
vértice.(Fig. XIII-6). 
2. Piquetear o alinhamento com distâncias de no máximo 20 m, com a direção dada pelo 
teodolito. (A, B, C, D, E, F na figura). 
3. Medir com trena de aço aferida as distâncias entre os piquetes consecutivos, isto é, as 
distâncias inclinadas entre piquetes. Repetir várias vezes as medições e tomar o valor médio 
(valor provável da medida), anotando-se a temperatura local no início e ao fim das medições. 
4. Nivelar geometricamente os piquetes. Este nivelamento também deve ser executado com o 
máximo de cuidado. Em função desse nivelamento, calculam-se as diferenças de nível entre 
os piquetes. 
5. Calcular as distâncias horizontais (cateto) entre os piquetes, em função da distância 
inclinada (hipotenusa) e o desnível (cateto). 
6. A soma das distâncias horizontais entre os piquetes consecutivos nos dá o comprimento da 
base. Este comprimento deverá ser reduzido ao nível médio dos mares e corrigido em função 
da temperatura. 
 
A
F
E
D
CB
A CB D E F
Fig. XIII-6 
MEDIDA F
EITA COM
 TRENA
DISTÂNCIA HORIZONTAL
DIFERENÇA DE NÍVEL
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209
 
CAPÍTULO XIV 
 
TOPOLOGIA 
A topologia consiste no estudo das formas da superfície terrestre e das leis naturais que as 
regem. 
Como foi dito, o objeto da topografia é a representação gráfica, plani-altimétrica, de parte 
limitada da superfície da terra. O conhecimento das formas da superfície terrestre possibilita 
a execução de um trabalho mais preciso, à medida que orienta a escolha dos pontos do 
terreno a serem levantados e auxilia no desenho da planta topográfica, permitindo uma 
representação fiel do relevo da área levantada. 
 
Processos de Representação do Relevo 
A representação plana do terreno consiste em transportar para o papel as distâncias e ângulos 
horizontais que determinam as posições relativas dos pontos que caracterizam os acidentes, 
naturais e artificiais do terreno. 
Para representação do relevo, isto é, das alturas relativas dos pontos que caracterizam o 
relevo, usam-se artifícios, uma vez que essas alturas são perpendiculares ao plano de 
referência e, portanto ao plano do desenho, o que torna a tarefa algo mais difícil. 
São dois os principais processos de representação do relevo: Plano ou Pontos cotados e 
Curvas de nível. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Plano Cotado ou Pontos Cotados 
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Neste processo o relevo é representado por uma série de pontos característicos, isto é, pelas 
projeções desses pontos que bem caracterizem o relevo, num plano fixo de referência. Essas 
projeções têm ao lado as respectivas cotas. Assim, os pontos têm sua posição (planimetria) e 
sua altura (altimetria) definidas. 
A figura a seguir bem ilustra o inconveniente desse processo: pelo exame da planta em 
pontos cotados de uma região, não se consegue visualizar a conformação de seu relevo: a 
grande quantidade de algarismos torna isto impossível. 
Apesar disso, o processo é empregado em terrenos pouco acidentados (não há necessidade de 
muitos pontos), ou ainda, em casos onde se torna indispensável o conhecimento das cotas de 
pontos específicos com precisão, como os pontos que definem o eixo da fundação de uma 
ponte, os pontos de cruzamento ou mudança de declividade de arruamentos, etc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Processos das Curvas de Nível 
José Carlos de Paula Figueira de Freitas, Ariclo Pulinho Pires de Almeida 
e Maria Márcia Magela Machado 
TOPOGRAFIA 
Fundamentos, Teoria e Prática 
Instituto de Geociências da Universidade Federal de Minas Gerais, Dept°. de Cartografia 
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