Cálculo Numérico - Trabalho prático 2015/1

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Universidade Federal de Minas Gerais
Cálculo Numérico
Trabalho Prático
Entrega: 09/06/2015
1o semestre - 2015
Questões
1. Nesta questão, deve-se encontrar a quantidade de carros por hora que trafegam nas
estradas de um determinado vilarejo. A Figura 1 apresenta um mapa no qual são
exibidos os tempos de trajeto das estradas em horas.
No vilarejo mostrado na Figura 1, para cada nó k, identificado pela interseção entre
duas ou mais estradas, existe um número Nk chamado nível de congestionamento. O
número Nk é a média ponderada de carros no nó k a cada hora. Considere para todo
nó k que Nk seja o mesmo em todas as horas do dia. Desse modo, pode-se modelar
o problema, assumindo-se para todas as estradas, exceto a que conecta os nós 1 e 2 e
a que conecta os nós 3 e 4, a seguinte relação:
∆Nij = Ni −Nj = Tijfij (1)
Onde:
• Ni e Nj : níveis de congestionamento nos nós i e j, respectivamente.
• Tij : tempo de trajeto na estrada que une os nós i e j.
• fij : fluxo de carros por hora na estrada que une os nós i e j.
O fluxo de carros sempre vai do nó com maior nível de congestionamento para o nó
com menor nível de congestionamento de modo que ∆Nij < 0 indica fluxo do nó j
para o nó i. Para as estradas que ligam os nós 1 e 2 e os nós 3 e 4 temos:
∆N21 = 300 carros (2)
∆N34 = 500 carros (3)
1
Figura 1: Mapa do Vilarejo.
Sabemos também que o número de carros que entra em um nó por hora é igual ao
número que sai, ou seja, para cada nó tem-se:∑
fentrada =
∑
fsaida (4)
Sabemos também que:
min
1≤k≤10
{Nk} = 150 carros. (5)
Encontre os níveis de congestionamento Nk em todos os nós k e a quantidade de
carros fij que trafegam por hora em todas as estradas do mapa. Obs.: Por se tratar
de médias, os valores de Nk e os de fij não são necessariamente inteiros.
2. Calcule uma aproximação para e3.1 utilizando a fórmula de Lagrange sobre 3 pontos
da tabela a seguir. Escolha os pontos que propiciem uma melhor aproximação.
x 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8
ex 11.02 13.46 16.44 20.09 24.53 29.96 36.60 44.70
2
3. Utilize a regra de 3/8 de Simpson sem subdivisão do intervalo para calcular:∫ 0,8
0
0, 2 + 25x− 200x2 + 675x3 − 900x4 + 400x5 (6)
4. Utilize as regras 1/3 e 3/8 de Simpson para calcular o valor desta integral considerando
a divisão do intervalo em 5 segmentos.
5. Calcule uma estimativa para o erro nos 2 casos acima utilizando as fórmulas:
Et = −(b− a)
5
2.880
f (4)(ξ) 1/3 Simpson. (7)
e
Et = −(b− a)
5
6.480
f (4)(ξ) 3/8 Simpson. (8)
6. Para cada Integral apresentada, faça o seguinte:
• Mostre que as duas integrais são equivalentes.
• Encontre o valor da integral utilizando Quadratura Gaussiana para 2, 3 e 4
pontos.
7. A função f(x) = 2x3 − 5x2 − 10x + 20 tem 4 raízes localizadas no intervalo [−5, 5].
Informe os 4 intervalos contendo uma raiz cada. Em seguida, encontre a raiz de
f(x) = 0 localizada no intervalo [3, 4] utilizando o método da bisseção e da secante
com ξ ≤ 10−4.
8. Implemente em Scilab o algoritmo da Bisseção. Em seguida, calcule uma raiz para a
função f(x) da questão anterior.
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