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DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS DE PROBABILIDADES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS. DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI Considere uma única tentativa de um experimento aleatório. Pode-se ter sucesso ou fracasso nessa tentativa. Seja a probabilidade de sucesso e a probabilidade de fracasso, com . Seja assume o valor que corresponde ao fracasso, com probabilidade , ou o valor , que corresponde ao sucesso, com probabilidade . com e Nestas condições a variável aleatória tem distribuição de BERNOULLI, e sua função de probabilidade é dada por: Parâmetros: e Exemplo: 1) Uma urna tem 30 bolas brancas e 20 verdes. Retira-se uma bola dessa urna. Seja Calcular , e determinar DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Consideremos novamente um experimento aleatório . Seja algum evento de interesse associado ao experimento aleatório . Podemos admitir, como no caso de uma distribuição de Bernoulli, que e, conseqüentemente, . Consideremos repetições do experimento aleatório . Então, o espaço amostral para as repetições do experimento aleatório será formado por todas as sequencias possíveis onde cada é ou dependendo do que se tenha ocorrido ou na repetição do experimento, . Supomos que permaneça a mesma para todas as repetições, e cada repetição do experimento seja independente das demais. Definimos a variável aleatória discreta, como o número de vezes que o evento ocorre nas repetições independentes do experimento, onde em qualquer repetição. A variável aleatória é denominada variável aleatória binomial, com parâmetros e , ou seja dizemos que , onde, para o símbolo “~” lê-se: “segue a distribuição”. Os valores possíveis que a variável aleatória binomial assume são e sua função de probabilidade é dada por: Pode-se dizer que a variável aleatória com distribuição binomial representa uma soma de variáveis aleatórias independentes com distribuição de Bernoulli, de parâmetro . Se , então e Exemplo: 1) Suponha que a probabilidade de qualquer peça produzida por uma determinada máquina ser defeituosa seja 0,2. Se 5 peças produzidas por essa máquina forem escolhidas ao acaso, qual é a probabilidade de encontrarmos não mais de uma peça defeituosa ser encontrada? 2) Suponha que cada amostra de ar represente 10% de chance de possuir uma determinada molécula rara. Admite-se que as amostras são independentes com relação à presença da molécula rara. Nas próximas 18 amostras, determinar a probabilidade de pelo menos 4 amostras possuírem uma molécula rara? 3) Aplicar propriedades de valor esperado e de variância para deduzir o valor esperado e a variância aleatória binomialmente distribuída, com parâmetros e . 4) Uma determinada empresa tem dois eventuais compradores para seu produto, que pagam preços em função da qualidade. O comprador paga R$1.300,00 por peça se em uma amostra de 5 peças não encontrar nenhuma defeituosa, e paga R$650,00 por peça, caso contrário; o comprador B paga R$900,00 por peça, desde que encontre no máximo uma peça defeituosa em 5 peças, pagando R$ 700,00 por peça, caso contrário. Qual dos compradores deve ser escolhido pelo empresário, sabendo-se que na produção 8% das peças são defeituosas? DISTRIBUIÇÃO DE POISSON Seja uma variável aleatória discreta, representando o número de ocorrências de um evento de interesse, em um determinado intervalo de tempo (ou em uma determinada extensão de produto, extensão esta também chamada de unidade de inspeção). Dizemos que a variável aleatória tem distribuição de Poisson, com parâmetro ou seja, , e sua função de probabilidade é dada por: ! , O parâmetro é conhecido como intensidade da distribuição, ou seja, ele corresponde ao valor esperado (média) do número de ocorrências do evento de interesse, no determinado intervalo de tempo considerado (ou na determinada extensão de produto considerada). Ocorre, aqui, o que chamamos de princípio da proporcionalidade, isto é, a freqüência média de ocorrências do evento de interesse deve ser proporcional ao intervalo de tempo considerado ou à extensão do produto considerado. Por exemplo, se em uma hora há, em média, três ocorrências, em duas horas há, em média, seis ocorrências. Além disso, as ocorrências do evento de interesse são independentes umas das outras. O valor esperado e a variância de são dados, respectivamente, por e . Exemplo: 1) O número médio de falhas por metro quadrado de tecido fabricado em uma indústria têxtil é de 0,1. Qual é a probabilidade de que haja exatamente uma falha em 3 metros quadrados de tecido? 2) Suponha que a variável aleatória tenha uma distribuição de Poisson, com parâmetro . Sabemos que . Calcular e 3) O número de partículas emitidas por uma fonte radioativa, durante um período especificado, é uma variável aleatória com distribuição de Poisson. Se a probabilidade de não houver emissões for igual a , qual a probabilidade de duas ou mais emissões ocorrerem? 4) Em um posto de gasolina, chegam automóveis para abastecimento com taxa de 20 automóveis por hora. Determinar a probabilidade de pelo menos dois automóveis chegarem a este posto em 15 minutos. DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA Suponha que se tenha um lote de peças, das quais sejam defeituosas, e das quais sejam não defeituosas. Suponha que escolhamos, ao acaso, peças desse lote , sem reposição. Seja a variável aleatória que representa o número de peças defeituosas encontradas entre as peças retiradas, sem reposição, do lote. Sabemos que a variável aleatória assume o valor se, e somente se, forem obtidas exatamente peças defeituosas (dentre as defeituosas do lote). E exatamente não defeituosas (dentre as não defeituosas do lote). Assim, a função de probabilidade da variável aleatória é dada por , Uma variável aleatória que tenha a distribuição de probabilidade acima tem distribuição hipergeométrica, com parâmetros ou seja, A e . Exemplo 1) Uma caixa contém 8 fichas azuis e 6 vermelhas. Um experimento consiste em extrair uma ficha, anotar sua cor, e não repor esta ficha na caixa. Determinar a probabilidade de serem extraídas 3 fichas azuis em 5 extrações. 2) Um lote de 200 lâmpadas apresenta 10% de lâmpadas defeituosas. São retiradas, ao acaso e sem reposição, 50 lâmpadas deste lote. Determinar a probabilidade de serem encontradas no máximo quatro lâmpadas defeituosas entre as que foram retiradas do lote. DISTRIBUIÇÃO GEOMÉTRICA Suponha que um experimento aleatório seja realizado e que exista o interesse apenas na ocorrência ou na não ocorrência de algum evento de interesse. O experimento aleatório pode ser realizado, repetidas vezes, e as repetições são independentes. Em cada repetição do experimento, e permanecem as mesmas. O experimento será repetido até que o evento de interesse ocorra pela primeira vez. Define-se a variável aleatória como o número de repetições independentes de um experimento aleatório necessárias para obter a primeira ocorrência do evento de interesse . Assim, a variável aleatória tem distribuição geométrica, com parâmetro , ou seja, . Os valores possíveis da variável distribuída geometricamente são Sabe-se, então, que a variável aleatória assume o valor se, e somentese, nas primeiras repetições do experimento aleatório o evento de interesse não ocorrer, e o evento ocorrer somente na repetição do experimento. Logo, a função de probabilidade da variável aleatória é dada por: Se , então e ( ) . A distribuição geométrica apresenta uma propriedade interessante. Para dois quaisquer inteiros positivos e , Ou seja, a distribuição geométrica não possui memória. Suponha que o evento não tenha ocorrido durante as primeiras repetições do experimento; então, a probabilidade de que ele não ocorra durante as próximas repetições será a mesma probabilidade de que não tivesse ocorrido durante as primeiras repetições; em outras palavras, a informação de nenhuma ocorrência é esquecida, no que interessa aos cálculos subseqüentes. Exemplo: 1) Determinar a probabilidade de que, em uma seqüência de jogadas de uma dado, o resultado 3 apareça pela primeira vez na quarta jogada. Seja a variável aleatória representando o número necessário de jogadas de um dado até a ocorrência do resultado 3. 2) As linhas telefônicas em um sistema de reservas de uma companhia aérea estão ocupadas 40% do tempo. Suponha que os eventos em que as linhas estejam ocupadas em sucessivas chamadas sejam independentes. Qual é a probabilidade de terem de ser realizadas 5 chamadas até a primeira chamada não estar com a linha ocupada? DISTRIBUIÇÃO DE PASCAL Tem-se novamente a seguinte situação: suponhamos que um experimento seja realizado e que exista o interesse apenas na ocorrência ou na não ocorrência de algum evento . O experimento aleatório pode ser realizado, repetidas vezes, e as repetições são independentes. Em cada repetição do experimento, e permanecem as mesmas. O experimento será repetido até que o evento de interesse ocorra vezes. Define-se a variável aleatória como o número de repetições independentes do experimento aleatório, necessárias para que o evento possa ocorrer exatamente vezes. Assim a variável aleatória tem distribuição de Pascal, com parâmetros e , ou seja, . Os valores possíveis que a variável aleatória de Pascal pode assumir são Evidentemente se , a variável aleatória terá a distribuição geométrica. Sabe-se, então, que assume o valor se, e somente se, o evento de interesse tiver ocorrido exatamente vezes nas repetições anteriores. Assim, a função de probabilidade da variável é dada por Pode-se verificar que uma variável aleatória com distribuição de Pascal equivale à soma de variáveis aleatórias independentes com distribuição geométrica. Assim, se , então e ( ) A distribuição de Pascal é comumente chamada de distribuição binomial negativa, denominação esta que pode ser explicada da seguinte maneira: a distribuição binomial surge quando se lida com um número fixo de repetições de um experimento aleatório e se está interessado no número de ocorrências; já a distribuição de Pascal é encontrada quando se prefixa o número de ocorrências a ser obtido e então se registra o número necessário de repetições aleatório para tal. Exemplo: 1) Determinar a probabilidade de, em uma seqüência de jogadas de um dado, serem necessárias 4 jogadas para o resultado 3 ocorrer exatamente 2 vezes. Seja a variável aleatória representando o número necessário até o resultado 3 ocorrer exatamente 2 vezes. 2) Determinar o número esperado de vezes que um experimento deve ser repetido, de modo a se obterem 4 resultados bem sucedidos, sabendo-se que a probabilidade de esse experimento ser bem sucedido em qualquer repetição é 0,8. DISTRIBUIÇÃO MULTINOMIAL Considere um experimento aleatório , seu espaço amostral e a partição de em eventos mutuamente excludentes . Considere repetições do experimento. Seja , e suponha que permaneça constante durante todas as repetições. Definem-se as variáveis aleatórias como ocorre nas repetições do experimento aleatório, onde . Assim, a função de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias é dada por Onde, A distribuição de probabilidade acima é conhecida como distribuição multinomial. Se as variáveis aleatórias tiverem uma distribuição multinomial, então e , . Exemplo: 1) Uma caixa contém 5 bolas vermelhas, 4 bolas brancas e 3 azuis. Extrai- se uma bola ao acaso, anota-se a cor, repondo-se em seguida a bola na caixa. Determinar a probabilidade de que, de 6 bolas assim escolhidas, 3 sejam vermelhas, 2 brancas e 1 azul. This document was created with Win2PDF available at http://www.win2pdf.com. The unregistered version of Win2PDF is for evaluation or non-commercial use only. This page will not be added after purchasing Win2PDF.
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