A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
8 pág.
aula - estatística - distribuição amostral

Pré-visualização | Página 1 de 2

DISTRIBUIÇÕES TEÓRICAS DE PROBABILIDADES DE VARIÁVEIS 
ALEATÓRIAS DISCRETAS. 
DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI 
Considere uma única tentativa de um experimento aleatório. Pode-se ter 
sucesso ou fracasso nessa tentativa. 
Seja 
 
a probabilidade de sucesso e 
 
a probabilidade de fracasso, com 
. 
Seja 
 
assume o valor 
 
que corresponde ao fracasso, com probabilidade , ou o valor 
, que corresponde ao sucesso, com probabilidade . 
 com e 
 
Nestas condições a variável aleatória 
 
tem distribuição de BERNOULLI, 
e sua função de probabilidade é dada por: 
 
Parâmetros: 
 
e 
 
Exemplo: 
1) Uma urna tem 30 bolas brancas e 20 verdes. Retira-se uma bola dessa 
urna. Seja 
 
Calcular , 
 
e determinar 
 
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
Consideremos novamente um experimento aleatório . Seja 
 
algum 
evento de interesse associado ao experimento aleatório . Podemos admitir, 
como no caso de uma distribuição de Bernoulli, que 
 
e, 
conseqüentemente, . 
Consideremos 
 
repetições do experimento aleatório . Então, o espaço 
amostral para as 
 
repetições do experimento aleatório 
 
será formado por 
todas as sequencias possíveis 
 
onde cada 
 
é 
 
ou 
 
dependendo do que se tenha ocorrido 
 
ou 
 
na 
 
repetição do 
experimento, . Supomos que 
 
permaneça a mesma para 
todas as repetições, e cada repetição do experimento seja independente das 
demais. Definimos a variável aleatória discreta, 
 
como o número de vezes que 
o evento 
 
ocorre nas 
 
repetições independentes do experimento, onde 
 
em qualquer repetição. A variável aleatória 
 
é denominada variável 
aleatória binomial, com parâmetros 
 
e , ou seja
 
dizemos que , 
onde, para o símbolo “~” lê-se: “segue a distribuição”. Os valores possíveis que 
a variável aleatória binomial assume são 
 
e sua função de 
probabilidade é dada por: 
 
Pode-se dizer que a variável aleatória com distribuição binomial 
representa uma soma de 
 
variáveis aleatórias independentes com distribuição 
de Bernoulli, de parâmetro . 
Se , então 
 
e 
 
Exemplo: 
1) Suponha que a probabilidade de qualquer peça produzida por uma 
determinada máquina ser defeituosa seja 0,2. Se 5 peças produzidas por 
essa máquina forem escolhidas ao acaso, qual é a probabilidade de 
encontrarmos não mais de uma peça defeituosa ser encontrada? 
2) Suponha que cada amostra de ar represente 10% de chance de possuir 
uma determinada molécula rara. Admite-se que as amostras são 
independentes com relação à presença da molécula rara. Nas próximas 
18 amostras, determinar a probabilidade de pelo menos 4 amostras 
possuírem uma molécula rara? 
3) Aplicar propriedades de valor esperado e de variância para deduzir o 
valor esperado e a variância aleatória binomialmente distribuída, com 
parâmetros 
 
e . 
4) Uma determinada empresa tem dois eventuais compradores para seu 
produto, que pagam preços em função da qualidade. O comprador 
 
paga R$1.300,00 por peça se em uma amostra de 5 peças não encontrar 
nenhuma defeituosa, e paga R$650,00 por peça, caso contrário; o 
comprador B paga R$900,00 por peça, desde que encontre no máximo 
uma peça defeituosa em 5 peças, pagando R$ 700,00 por peça, caso 
contrário. Qual dos compradores deve ser escolhido pelo empresário, 
sabendo-se que na produção 8% das peças são defeituosas? 
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 
Seja 
 
uma variável aleatória discreta, representando o número de 
ocorrências de um evento de interesse, em um determinado intervalo de tempo 
(ou em uma determinada extensão de produto, extensão esta também 
chamada de unidade de inspeção). 
Dizemos que a variável aleatória 
 
tem distribuição de Poisson, com 
parâmetro 
 
ou seja, , e sua função de probabilidade é dada 
por: 
!
, 
 
O parâmetro 
 
é conhecido como intensidade da distribuição, ou seja, 
ele corresponde ao valor esperado (média) do número de ocorrências do 
evento de interesse, no determinado intervalo de tempo considerado (ou na 
determinada extensão de produto considerada). 
Ocorre, aqui, o que chamamos de princípio da proporcionalidade, isto é, 
a freqüência média de ocorrências do evento de interesse deve ser 
proporcional ao intervalo de tempo considerado ou à extensão do produto 
considerado. Por exemplo, se em uma hora há, em média, três ocorrências, em 
duas horas há, em média, seis ocorrências. Além disso, as ocorrências do 
evento de interesse são independentes umas das outras. 
O valor esperado e a variância de 
 
são dados, 
respectivamente, por 
 
e . 
Exemplo: 
1) O número médio de falhas por metro quadrado de tecido fabricado em 
uma indústria têxtil é de 0,1. Qual é a probabilidade de que haja 
exatamente uma falha em 3 metros quadrados de tecido? 
2) Suponha que a variável aleatória 
 
tenha uma distribuição de Poisson, 
com parâmetro . Sabemos que . Calcular 
 
e 
 
3) O número de partículas emitidas por uma fonte radioativa, durante um 
período especificado, é uma variável aleatória com distribuição de 
Poisson. Se a probabilidade de não houver emissões for igual a , 
qual a probabilidade de duas ou mais emissões ocorrerem? 
4) Em um posto de gasolina, chegam automóveis para abastecimento com 
taxa de 20 automóveis por hora. Determinar a probabilidade de pelo 
menos dois automóveis chegarem a este posto em 15 minutos. 
DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA 
Suponha que se tenha um lote de 
 
peças, 
 
das quais sejam defeituosas, e 
 
das quais sejam não defeituosas. Suponha que escolhamos, ao acaso, 
 
peças desse lote , sem reposição. Seja 
 
a variável aleatória que 
representa o número de peças defeituosas encontradas entre as 
 
peças 
retiradas, sem reposição, do lote. Sabemos que a variável aleatória 
 
assume 
o valor 
 
se, e somente se, forem obtidas exatamente 
 
peças defeituosas 
(dentre as 
 
defeituosas do lote). E exatamente 
 
não defeituosas (dentre 
as 
 
não defeituosas do lote). Assim, a função de probabilidade da 
variável aleatória 
 
é dada por 
, 
 
Uma variável aleatória que tenha a distribuição de probabilidade acima tem 
distribuição hipergeométrica, com parâmetros 
 
ou seja, 
 
A 
 
e . 
Exemplo 
1) Uma caixa contém 8 fichas azuis e 6 vermelhas. Um experimento 
consiste em extrair uma ficha, anotar sua cor, e não repor esta ficha na 
caixa. Determinar a probabilidade de serem extraídas 3 fichas azuis em 
5 extrações. 
2) Um lote de 200 lâmpadas apresenta 10% de lâmpadas defeituosas. São 
retiradas, ao acaso e sem reposição, 50 lâmpadas deste lote. 
Determinar a probabilidade de serem encontradas no máximo quatro 
lâmpadas defeituosas entre as que foram retiradas do lote. 
DISTRIBUIÇÃO GEOMÉTRICA 
Suponha que um experimento aleatório seja realizado e que exista o 
interesse apenas na ocorrência ou na não ocorrência de algum evento 
 
de 
interesse. O experimento aleatório pode ser realizado, repetidas vezes, e as 
repetições são independentes. Em cada repetição do experimento, 
 
e 
 
permanecem as mesmas. O experimento será repetido até que o 
evento 
 
de interesse ocorra pela primeira vez. Define-se a variável aleatória 
 
como o número de repetições independentes de um experimento aleatório 
necessárias para obter a primeira ocorrência do evento de interesse . Assim, 
a variável aleatória 
 
tem distribuição geométrica, com parâmetro , ou seja, 
. Os valores possíveis da variável distribuída geometricamente são 
 
Sabe-se, então, que a variável aleatória 
 
assume o valor 
 
se, e 
somente