curso 11188 aula 04 v1

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Aula 04
Matemática e suas Tecnologias p/ ENEM 2016
Professores: Arthur Lima, Hugo Lima
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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AULA 04: Equações e Sistemas de Equações 
 
SUMÁRIO PÁGINA 
1. Teoria 02 
2. Resolução de exercícios 16 
3. Questões apresentadas na aula 58 
4. Gabarito 73 
 
 
 
Olá! 
Nesta quarta aula aprenderemos os tópicos relacionados a equações 
e sistemas de equações. 
Tenha uma excelente aula. Permaneço à disposição e deixo abaixo 
meus contatos: 
 
E-mail: ProfessorArthurLima@hotmail.com 
Facebook: www.facebook.com/ProfArthurLima 
Ah, e não deixe de me seguir no aplicativo Periscope, onde 
transmito vídeos gratuitos ao vivo com dicas adicionais para seu estudo: 
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1. TEORIA 
1.1 EQUAÇÕES DE 1º GRAU 
 Para começar o estudo deste tópico, vamos trabalhar o seguinte 
H[HPSOR�� ³-RmR� WLQKD� XPD� TXDQWLGDGH� GH� ERODV� FKHLDV�� SRUpP� ��
PXUFKDUDP��UHVWDQGR�DSHQDV���FKHLDV��4XDQWDV�ERODV�WLQKD�-RmR"´��1HVWH�
caso, a variável que pretendemos descobrir é o número de bolas. 
Chamando essa variável de x, sabemos que x menos 5 bolas que 
murcharam resulta em apenas 3 bolas cheias. Matematicamente, temos: 
x ± 5 = 3 
portanto, 
x = 8 bolas 
 Este é um exemplo bem simples. Note que a variável x está elevada 
ao expoente 1 (lembra-se que 1x x ?) . Quando isso acontece, estamos 
diante de uma equação de 1º grau. Estas equações são bem simples de 
se resolver: basta isolar a variável x em um lado da igualdade, passando 
todos os demais membros para o outro lado, e assim obtemos o valor de 
x. 
 Antes de prosseguirmos, uma observação: você notará que eu não 
JRVWR�GH�XVDU�D�OHWUD�[��PDV�VLP�XPD�OHWUD�TXH�³OHPEUH´�R�TXH�HVWDPRV�
buscando. No exemplo acima, eu teria usado B (de bolas), pois acho que 
isso evita esquecermos o que representa aquela variável ± principalmente 
quando estivermos trabalhando com várias delas ao mesmo tempo. 
2�YDORU�GH�[�TXH�WRUQD�D� LJXDOGDGH�FRUUHWD�p�FKDPDGR�GH�³UDL]�GD�
HTXDomR´�� 8PD� equação de primeiro grau sempre tem apenas 1 raiz. 
Vejamos outro exemplo: 
3x - 15 = 0 
3x = 15 
x = 5 
 Note que as equações abaixo NÃO são de primeiro grau: 
a) 2 16 0x � 
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b) 30 0x x� � 
c) 
1
5 0x
x
� � 
Uma equação do primeiro grau pode sempre ser escrita na forma 
0ax b� , onde a e b são números que chamaremos de coeficientes, 
sendo que, necessariamente, 0a z (a deve ser diferente de zero, caso 
contrário 0.x = 0, e não estaríamos diante de uma equação de primeiro 
grau). Veja que, isolando x em 0ax b� , temos: 
b
x
a
� 
 Portanto, a raíz da equação é sempre dada por 
b
a
�
. Na equação de 
primeiro grau 2 13 0x � , a = 2 e b = -13. Portanto, a raiz será x = 
( 13) 13
2 2
b
a
� � � . 
 $JRUD�LPDJLQH�R�VHJXLQWH�SUREOHPD��³2�Q~PHUR�GH�ERODV�TXH�-RmR�
tem, acrescido em 5, é igual ao dobro do número de bolas que ele tem, 
PHQRV����4XDQWDV�ERODV�-RmR�WHP"´ 
 Ora, sendo B o número de bolas, podemos dizer que B + 5 (o 
número de bolas acrescido em 5) é igual a 2B ± 2 (o dobro do número de 
bolas, menos 2). Isto é: 
B + 5 = 2B ± 2 
 
 Para resolver este problema, basta passar todos os termos que 
contém a incógnita B para um lado da igualdade, e todos os termos que 
não contém para o outro lado. Veja: 
-(-2) + 5 = 2B ± B 
2 + 5 = B 
7 = B 
 
1.1.1 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DE PRIMEIRO GRAU (SISTEMAS 
LINEARES) 
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 Em alguns casos, pode ser que tenhamos mais de uma incógnita. 
Imagine que um exercício diga que: 
x + y = 10 
Veja que existem infinitas possibilidades de x e y que tornam essa 
igualdade verdadeira: 2 e 8, -2 e 12 etc. Por isso, faz-se necessário obter 
mais uma equação envolvendo as duas incógnitas para poder chegar nos 
seus valores exatos. Portanto, imagine que o mesmo exercício diga que: 
x ± 2y = 4 
 Portanto, temos o seguinte sistema, formado por 2 equações e 2 
variáveis: 
10
2 4
x y
x y
� ­® � ¯ 
 A principal forma de resolver esse sistema é usando o método da 
substituição. Este método é muito simples, e consiste basicamente em 
duas etapas: 
1. Isolar uma das variáveis em uma das equações 
2. Substituir esta variável na outra equação pela expressão achada no 
item anterior. 
 
A título de exemplo, vamos isolar a variável x na primeira equação 
acima. Teremos, portanto: 
10x y � 
 Agora podemos substituir x por 10 ± y na segunda equação. Assim: 
2 4
(10 ) 2 4
10 3 4
10 4 3
6 3
2
x y
y y
y
y
y
y
� 
� � 
� 
� 
 
 
 
 Uma vez encontrado o valor de y, basta voltar na equação x = 10 ± 
y e obter o valor de x: 
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10
10 2
8
x y
x
x
 �
 �
 
 
 É importante conhecer bem o método da substituição, visto que ele 
auxiliará a resolver diversas questões de sua prova! 
 
 Outro método bastante útil é o método da adição (ou método da 
soma). Ele também é um método muito simples e consiste basicamente 
em duas etapas: 
1. Multiplicar uma das equações por um número que seja mais 
conveniente. 
2. Somar as duas equações (ou subtrair uma equação da outra), de 
forma a ficar apenas com uma variável. 
 
Vejamos como aplicar o método da adição no mesmo exemplo visto 
anteriormente. 
10
2 4
x y
x y
� ­® � ¯ 
 
 Vamos multiplicar a primeira equação por 2 e, posteriormente, 
soma-la com a segunda equação, da seguinte forma: 
2 2 20
2 4
2 2 2 20 4
3 24
8
10
8 10
2
x y
x y
x x y y
x
x
x y
y
y
� ­® � ¯
� � � �
 
 
� 
� 
 
 
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 Poderíamos ter optado por simplesmente utilizar as duas equações 
originais e subtrair a segunda da primeira. Vejamos: 
10
2 4
( 2 ) 10 4
2 6
3 6
2
10
2 10
8
x y
x y
x x y y
y y
y
y
x y
x
x
� ­® � ¯
� � � � �
� 
 
 
� 
� 
 
 
1.2 EQUAÇÕES DE 2º GRAU 
 Assim como as equações de primeiro grau se caracterizam por 
possuírem a variável elevada à primeira potência (isto é, 1x ), as equações 
de segundo grau possuem a variável elevada ao quadrado ( 2x ), sendo 
escritas na forma 2 0ax bx c� � , onde a, b e c são os coeficientes da 
equação. Veja um exemplo: 
2 3 2 0x x� � 
 Nesta equação, a = 1 (pois 2x está sendo multiplicado por 1), b = 
-3 e c = 2. Asequações de segundo grau tem 2 raízes, isto é, existem 2 
valores de x que tornam a igualdade verdadeira. No caso da equação 
acima, veja que x = 1 e x = 2 são raízes, pois: 
21 3 1 2 0� u � 
e 
22 3 2 2 0� u � 
 
 Toda equação de segundo grau pode ser escrita também da 
seguinte forma: 
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1 2( ) ( ) 0a x r x ru � u � 
 
 Nesta forma de escrever, 1r e 2r são as raízes da equação. Tratando 
do exemplo acima, como as raízes são 1 e 2, podemos escrever: 
1 ( 1) ( 2) 0x xu � u � 
 
 Desenvolvendo a equação acima, podemos chegar de volta à 
equação inicial: 
2
2
1 ( 1) ( 2) 0
2 1 ( 1) ( 2) 0
3 2 0
x x
x x x
x x
u � u � 
� � � � u � 
� � 
 
 
 A fórmula de Báskara nos dá as raízes para uma equação de 
segundo grau. Basta identificar os coeficientes a, b e c e colocá-los nas 
seguintes fórmulas: 
2 4
2
b b ac
x
a
� � � 
e 
2 4
2
b b ac
x
a
� � � 
 
 Como a única diferença entre as duas fórmulas é um sinal, podemos 
escrever simplesmente: 
2 4
2
b b ac
x
a
� r � 
 
 Para exemplificar, vamos calcular as raízes da equação 
2 3 2 0x x� � utilizando a fórmula de Báskara. Recordando que a = 1, b = 
-3 e c = 2, basta substituir estes valores na fórmula: 
� r � 
2 4
2
b b ac
x
a
 
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� � r � � u u u
2( 3) ( 3) 4 1 2
2 1
x 
r � 3 9 8
2
x 
r 3 1
2
x 
 
 Observe esta última expressão. Dela podemos obter as 2 raízes, 
usando primeiro o sinal de adição (+) e depois o de subtração (-). Veja: 
1
3 1 4
2
2 2
x
� 
e 
2
3 1 2
1
2 2
x
� 
 
 1D� IyUPXOD� GH� %iVNDUD�� FKDPDPRV� GH� ³GHOWD´� �' ) a expressão 
2 4b ac� , que vai dentro da raiz quadrada. Na resolução acima, 
2 4 1b ac� ��RX�VHMD��R�³GHOWD´�HUD�XP�YDORU�SRVLWLYR�� 0' ! ). Quando 0' ! , 
teremos sempre duas raízes reais para a equação, como foi o caso. 
Veja que, se ' for negativo, não é possível obter a raiz quadrada. 
Portanto, se 0' � , dizemos que não existem raízes reais para a equação 
de segundo grau. 
 Já se 0' , a fórmula de Báskara fica 0
2 2
b b
x
a a
� r � . Isto significa 
que teremos apenas 1 raiz para a equação, ou melhor duas raízes 
idênticas. Por exemplo, vamos calcular as raízes de 2 2 1 0x x� � . Veja 
que a = 1, b = -��H�F� ����&DOFXODQGR�R�YDORU�GH�³GHOWD´��WHPRV� 
2
2
4
( 2) 4 1 1
4 4 0
b ac' �
' � � u u
' � 
 
 
 Na fórmula de Báskara, temos: 
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2 4
2
2
( 2) 0
2 1
2
1
2
b b ac
x
a
b
x
a
x
x
� r � 
� r ' 
� � r u
 
 
 
 Portanto, chegamos apenas ao valor x = 1. Essa equação de 
segundo grau tem 0' , o que leva a apenas 1 raiz, isto é, a 2 raízes de 
mesmo valor (x = 1). Esta equação poderia ter sido escrita assim: 
1 x (x ± 1) x (x ± 1) = 0 
ou simplesmente 
(x ± 1)2 = 0 
 
1.2.1 EQUAÇÕES BIQUADRADAS 
 Observe a equação abaixo: 
x4 ± 2x2 ± 3 = 0 
 Aqui temos uma equação de quarto grau, pois temos a variável x 
elevada à quarta potência. Repare ainda que não temos o termo x3 e nem 
o termo x1 (ou simplesmente x). Isto é, estes dois termos possuem 
coeficiente igual a zero. 
 Essas equações, onde temos x4 e não temos nem x3 nem x, são 
chamadas de biquadradas. Elas são importantes porque podemos resolvê-
las utilizando o mesmo método que vimos para as equações de segundo 
grau, com algumas adaptações. 
 2�SULPHLUR�SDVVR�p�³FULDU´�D�YDULiYHO�\��GHILQLQGR�TXH�\� �[2. Assim, 
podemos reescrever a equação inicial, agora em função de y. Basta 
lembrar que x4 = (x2)2: 
x4 ± 2x2 ± 3 = 0 
(x2)2 ± 2x2 ± 3 = 0 
y2 ± 2y ± 3 = 0 
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 Veja que nesta última linha temos uma equação de segundo grau 
com a variável y. Sabemos resolvê-la, utilizando a fórmula de Báskara: 
� r � 
2 4
2
b b ac
y
a
 
r � 2 4 12
2
y 
r 2 4
2
y 
 
 Portanto, temos 2 valores para y: 
y1 = 3 e y2 = -1 
 
 Atenção: até aqui obtemos o valor de y apenas. Mas a equação 
original tinha a variável x, motivo pelo qual devemos buscar os valores de 
x. Para isto, basta lembrar que y = x2. Considerando y1 = 3, temos: 
y = x2 
3 = x2 
3x r 
 Veja que, a partir de y1, obtivemos 2 valores para x: 1 3x e 
2 3x � . A partir de y2 devemos obter outros 2 valores de x, totalizando 
4 valores de x (o que era previsível, afinal temos uma equação de 4º 
grau): 
y = x2 
-1 = x2 
1x r � 
 
 Se estivéssemos trabalhando no conjunto dos números complexos 
(onde existe raiz quadrada de números negativos), estas seriam as outras 
duas raízes da equação original: 3 1x � e 4 1x � � . Entretanto, em 
regra devemos considerar que estamos no conjunto dos números reais, 
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onde não existe raiz quadrada de número negativo. Portanto, diante de 
1x r � , devemos dizer simplesmente que a equação biquadrada x4 ± 
2x2 ± 3 = 0 só tem 2 raízes reais, e não 4. 
 Pratique a resolução de equações biquadradas utilizando a equação 
abaixo: 
x4 ± 13x2 + 36 
 
 Você deverá encontrar y1 = 4 e y2 = 9, e a seguir encontrar x1 = 2, 
x2 = -2, x3 = 3 e x4 = -3. 
 
É importante destacar que para as equações de 3º grau ou mais 
(com exceção das equações biquadradas), não é possível encontrar as 
raízes utilizando-se de uma fórmula baseada exclusivamente nos 
coeficientes, como acontece nas de 1º e 2º graus. 
 
1.2.2 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DE 2º GRAU 
 Já aprendemos a resolver sistemas formados por duas ou mais 
equações de primeiro grau, contendo duas ou mais variáveis. Utilizamos 
para isso o método da substituição. Podemos ter sistemas contendo 
também equações de segundo grau, onde aplicaremos o mesmo método 
para resolver. Veja um exemplo a seguir: 
2 2
3
3
x y
x y
� ­® � �¯
 
 Isolando x na primeira equação, temos que x = 3 ± y. Efetuando a 
substituição na segunda equação, temos que: 
(3 ± y)2 ± y2 = -3 
9 ± 6y + y2 ± y2 = -3 
y = 2 
Logo, x = 3 ± y = 3 ± 2 = 1 
 
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 Veja que neste caso a solução foi bem simples, pois a variável y2 foi 
cancelada por ±y2. Entretanto, ainda que isso não ocorra é possível 
resolver o sistema, utilizando os conhecimentos de equações de 2º grau. 
Veja este outro exemplo: 
2 3
1
x y
x y
­ � ® � �¯
 
 
 Isolando x na segunda equação, temos x = y ± 1. Substituindo na 
primeira equação,temos: 
(y ± 1)2 + y = 3 
y2 ± 2y + 1 + y = 3 
y2 ± y ± 2 = 0 
 
 Com o auxílio da fórmula de Báskara podemos resolver esta 
equação de segundo grau na variável y: 
2( 1) ( 1) 4 1 ( 2)
2 1
y � � r � � u u � u 
1 3
2
y r 
y = 2 ou y = -1 
 
 Para y = 2 temos que x = y ± 1 = 2 ± 1 = 1. Da mesma forma, 
para y = -1 você pode ver que x = -2. Assim, este sistema possui duas 
soluções: 
x = 1 e y = 2 
ou 
x = -2 e y = -1 
 
1.3 PRODUTOS NOTÁVEIS 
 9RFr� Mi� GHYH� WHU� RXYLGR� IDODU� QRV� ³SURGXWRV� QRWiYHLV´�� TXH� VmR�
multiplicações bastante recorrentes na matemática. O mais importante é 
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o quadrado da soma de dois termos, que nos diz que se temos dois 
números A e B, então: 
(A + B)2 = 
=(A+B)(A+B) 
= A2 + AxB +BxA + B2 
= A2 + 2xAxB + B2 
 
 (X�VHPSUH�JUDYHL�DVVLP��³R�TXDGUDGR�GR�SULPHLUR��PDLV�GXDV�YH]HV�
o primeiro vezes o segunGR�� PDLV� R� TXDGUDGR� GR� VHJXQGR´��
Exemplificando, 
(8 + 7)2 = 
82 + 2x8x7 + 72 = 
64 + 112 + 49 = 
225 
 
 Este produto notável é bastante útil para elevarmos números ao 
quadrado rapidamente. Exemplificando, imagine que você pretenda fazer 
a operação: 
572 
 
 Este cálculo fica bem rápido usando o produto notável que 
mencionei acima. Veja o passo-a-passo detalhado: 
572 = 
(50 + 7)2 = 
502 + 2x7x50 + 72 = 
2500 + 700 + 49 = 
3249 
 
 Você também poderia usar outro produto notável, o quadrado da 
diferença de dois termos, que nos diz: 
(A ± B)2 = 
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=(A-B)(A-B) 
= A2 ± AxB ± BxA + B2 
= A2 ± 2xAxB + B2 
 
Este podemos gravar assim��³R�TXDGUDGR�GR�SULPHLUR��Penos duas 
vezes o primeiro vezes o segunGR��PDLV�R�TXDGUDGR�GR�VHJXQGR´� 
 Vejamos como obter 572 utilizando o esse produto notável: 
572 = 
(60 ± 3)2 = 
602 ± 2x60x3 + 32 = 
3600 ± 360 + 9 = 
3249 
 
 Vamos praticar mais um pouco, fazendo 822: 
(80 + 2)2 = 
802 + 2x80x2 + 22 = 
6400 + 320 + 4 = 
6724 
 
 Fazendo alguns passos mentalmente, fica ainda mais rápido. Veja o 
exemplo de 792: 
(80 ± 1)2 = 
6400 ± 2x80x1 + 1 = 
6241 
 
 
 
 Existem outros produtos notáveis que podem nos ser úteis. Vamos 
começar pelo produto da soma pela diferença de dois termos: 
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(A+B)(A-B) = A2-AB+BA-B2=A2-B2 
 
 Ou seja, o produto da soma pela diferença de dois termos é igual à 
diferença dos quadrados desses dois termos. 
 
 Vamos ao próximo: o cubo da soma de dois termos. 
 
(A+B)3= 
=(A+B)(A+B)2 
=(A+B)(A2 + 2AB + B2) 
= A3 + 2A2B + AB2+ BA2 + 2AB2 + B3 
= A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 
 
 Ou seja, o cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do 
primeiro, mais três vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo, mais 
três vezes o primeiro vezes o quadrado do segundo, mais o cubo do 
segundo. 
 
Finalmente, vamos ao cubo da diferença de dois termos. 
 
(A±B)3= 
=(A±B)(A±B)2 
=(A±B)(A2 ± 2AB + B2) 
= A3 ± 2A2B + AB2± BA2 + 2AB2 ± B3 
= A3 ± 3A2B + 3AB2 ± B3 
 
 Ou seja, o cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do 
primeiro, menos três vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo, 
mais três vezes o primeiro vezes o quadrado do segundo, menos o cubo 
do segundo. 
 
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2. RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS 
 
Trabalharemos agora alguns exercícios de fixação seguidos de 
questões do ENEM e questões de vestibulares. Lembre-se: é muito 
importante que você execute os cálculos à mão, pois é assim que você 
deverá fazer na hora da prova. Além disso, é com a prática que vamos 
ficar cada vez melhores. 
 
 
1. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Encontre os valores de x que tornam a 
igualdade abaixo verdadeira. 
x2 - 8x + 15 = 0 
RESOLUÇÃO: 
 Essa é uma equação de segundo grau e, portanto, é do tipo: ax2 + 
bx + c, em que a=1, b=-8 e c=15. Vamos utilizar a fórmula de Báskara: 
2 4
2
b b ac
x
a
� r � 
28 8 4 1 15
2 1
8 64 60
2
8 2
2
x
x
x
r � ˜ ˜ ˜
r � 
r 
 
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1
2
8 2 5
2
8 2 3
2
x
x
� 
� 
 
RESPOSTA: 3;5 
 
2. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Resolva o sistema de equações abaixo: 
3 23
11
x y
y x
� 
� 
 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos isolar y na segunda equação e substituir na primeira para 
encontrar x. Após isso, basta voltar à segunda equação com o valor de x 
para descobrir o valor de y. 
11
3 11 23
4 12
3
11 3 14
y x
x x
x
x
y
 �
� � 
 
 
 � 
RESPOSTA: 3;14 
 
3. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Encontre as raízes reais da equação 
biquadrada abaixo: 
4 26 16 0x x� � 
RESOLUÇÃO: 
 Essa equação nada mais é que uma equação de segundo grau 
³GLVIDUoDGD´��9DPRV�DVVXPLU�TXH�\ [2 para resolvê-la. 
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4 2
2
2
2
1 1
2 2
6 16 0
6 16 0
6 ( 6) 4 1 ( 16)
2 1
6 36 64
2
6 10
2
8 8 2 2
2 2
x x
y x
y y
y
y
y
y x
y x
� � 
 
� � 
r � � ˜ ˜ � ˜
r � 
r 
 o r r
 � o r � 
 Assim, só temos duas raízes real, que são 2 2r . 
RESPOSTA: 2 2r 
 
4. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Encontre os valores de x que tornam a 
igualdade abaixo verdadeira: 
( 15)( 29) 0x x� � 
RESOLUÇÃO: 
 Note que temos uma multiplicação acima dos dois termos que estão 
entre parênteses. O produto desta multiplicação é zero e para que isso 
seja possível pelo menos um dos termos tem que ser igual a zero. Assim, 
temos: 
x-15 = 0 ĺ x=15 
x-29 = 0 ĺ x=29 
RESPOSTA: 15;29 
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5. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Encontre as raízes reais da equação 
biquadrada abaixo: 
2 2
2 2
13
2 1
x y
x y
­ � °® � °¯ 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos isolar x2 na segunda equação e substituir na primeira: 
2 21 2x y � 
2 2
2
2
(1 2 ) 13
3 12
4 2
y y
y
y y
� � 
 
 o r 
 
 Após ter encontrado o valor de y2 basta substituí-lo em qualquer 
uma das equações. Utilizaremos aquela equação inicial em que deixamos 
o x2 isolado: 
2 21 2x y � 
2
2
1 2 4
9 3
x
x x
 � ˜
 o r 
RESPOSTA: ±2;±3 
 
6. ENEM - 2010)� (PERUD� R� ,ɍQGLFH� GH� 0DVVD� &RUSRUDO� �,0&�� VHMD�
DPSODPHQWH�XWLOL]DGR��H[LVWHP�DLQGD� LQXɍPHUDV�UHVWULF ࡤR 笀eV�WHRɍULFDV�DR�XVR�H�DɌV�IDL[DV�GH�QRUPDOLGDGH�SUHFRQL]DGDV��2�5HFLɍSURFR�GR�,ɍQGLFH�3RQGHUDO�
�5,3��� GH� DFRUGR� FRP� R� PRGHOR� DORPHɍWULFR�� SRVVXL� XPD� PHOKRU�
fundamentac ࡤD 笀o�PDWHPDɍWLFD��MDɍ�TXH�D�PDVVD�Hɍ�XPD�YDULDɍYHO�GH�GLPHQVR 笀eV�
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FXɍELFDV�H�D�DOWXUD��XPD�YDULDɍYHO�GH�GLPHQVR 笀eV�OLQHDUHV��$V�IRɍUPXODV�TXH�
GHWHUPLQDP�HVVHV�LɍQGLFHV�VD 笀o� 
 
Se uma menina, com 64 kg de massa, apresenta IMC igual a 25 kg/m2��
HQWD 笀o�HOD�SRVVXL�5,3 igual a 
A) 0,4 cm/kg1/3 
B) 2,5 cm/kg1/3 
C) 8 cm/kg1/3 
D) 20 cm/kg1/3 
E) 40 cm/kg1/3 
RESOLUÇÃO: 
A menina possui 64 kg de massa e apresenta IMC igual a 25 kg/m2. 
Logo, vamos substituir esses valores na fórmula do IMC para encontrar a 
sua altura: 
2
2
2
6425
2,56
1.6
massaIMC
altura
altura
altura
altura
 
 
 
 
 
A altura, portanto, é de 1,6 metros, que corresponde a 160 
centímetros. Veja que a fórmula do RIP pede a altura em centímetros. A 
massa continua em quilos. Vamos substituir esse valor e o da massa na 
fórmula do RIP: 
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3
3
160 160
464
40
alturaRIP
massa
RIP
RIP
 
 
 
Logo, o RIP é de 40 cm/kg1/3. 
Resposta: E 
 
7. ENEM ± 2015) Uma padaria vende, em média, 100 pães especiais por 
dia e arrecada com essas vendas, em média, R$ 300,00. Constatou-se 
que a quantidade de pães especiais vendidos diariamente aumenta, caso 
o preço seja reduzido, de acordo com a equação 
q = 400 ± 100p 
na qual q representa a quantidade de pães especiais vendidos 
diariamente e p, o seu preço em reais. 
A fim de aumentar o fluxo de clientes, o gerente da padaria decidiu fazer 
uma promoção. Para tanto, modificará o preço do pão especial de modo 
que a quantidade a ser vendida diariamente seja a maior possível, sem 
diminuir a média de arrecadação diária na venda desse produto. 
O preço p, em reais do pão especial nessa promoção deverá estar no 
intervalo: 
�$��5�������”�S���5������ 
�%��5�������”�S���5���,50 
�&��5�������”�S���5������ 
�'��5�������”�S���5������ 
�(��5�������”�S���5������ 
RESOLUÇÃO: 
O enunciado diz que o preço do pão especial será modificado de 
modo que a quantidade a ser vendida diariamente seja a maior possível, 
sem diminuir a média de arrecadação diária na venda desse produto. 
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 Podemos definir a arrecadação A do produto como sendo a 
quantidade q multiplicado pelo preço p. 
 No entanto sabemos que . Assim temos que a 
arrecadação é dada por: 
 
 A arrecadação média é de 300 reais por dia e não deve diminuir, 
conforme o enunciado. Logo temos a seguinte equação: 
ou seja, ou ainda 
 Resolvendo a equação com Baskara temos: 
 
 Assim p=1 ou p=3. 
O preço atual do pão especial é obtido com a divisão da 
arrecadação média (300 reais) pela quantidade média de pães vendidos 
(100 pães). Logo, o preço atual do pão é de 3 reais. Para que o preço 
diminua, a quantidade aumente e a arrecadação se mantenha a mesma, o 
novo preço do pão especial deve ser p=1, portanto, pertencente ao 
LQWHUYDOR�5�������”�S���5� 1,50. 
Resposta: A 
 
8. ENEM - 2009) O Indicador do CadÚnico (ICadÚnico), que compõe o 
cálculo do Índice de Gestão Descentralizada do Programa Bolsa Família 
(IGD), é obtido por meio da média aritmética entre a taxa de cobertura 
qualificada de cadastros (TC) e a taxa de atualização de cadastros (TA), 
em que ,
NV NATC TA
NF NV
 em que NV é o número de cadastros 
domiciliares válidos no perfil do CadÚnico, NF é o número de famílias 
estimadas como público alvo do CadÚnico e NA é o número de cadastros 
domiciliares atualizados no perfil do CadÚnico. 
Portaria n° 148 de 27 de abril de 2006 (adaptado). 
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Suponha que o IcadÚnico de um município específico é 0,6. Porém, 
dobrando NF o IcadÚnico cairá para 0,5. Se NA + NV = 3.600, então NF é 
igual a 
A) 10.000. 
B) 7.500. 
C) 5.000. 
D) 4.500. 
E) 3.000. 
RESOLUÇÃO: 
 O Indicador do CadÚnico (ICadÚnico) é obtido por meio da média 
aritmética entre a taxa de cobertura qualificada de cadastros (TC) e a 
taxa de atualização de cadastros (TA): 
2
2
2
TC TAICadÚnico
NV NA
NF NVICadÚnico
NV NA ICadÚnico
NF NV
� 
�
 
� ˜
 
 
O IcadÚnico de um município específico é 0,6. Logo: 
2 0,6 1,2NV NA
NF NV
� ˜ 
 
 
 Como consequência da igualdade acima temos: 
1,2NA NV
NV NF
 �
 (1) 
 
Porém, dobrando NF o IcadÚnico cairá para 0,5. 
2 0,5 1
2
NV NA
NF NV
� ˜ 
 
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Substituindo a relação (1) na encontrada acima, temos: 
1,2 1
2
0,2
2
0,4
NV NV
NF NF
NV
NF
NV NF
� � 
 
 
 
 Substituindo esta última informação em (1) temos: 
1, 2
0, 41, 2
1, 2 0, 4 0,8
NA NV
NV NF
NA NF
NV NF
NA
NV
 �
 �
 � 
 
 
 Como NA + NV = 3.600 temos: 
3600 0,8
3600 1,8
2000
NV NV
NV
NV
� 
 
 
 Como NV = 0,4 x NF temos: 
2000 0, 4
5000
NF
NF
 
 
Resposta: C 
 
9. ENEM - 2009) Para cada indivíduo, a sua inscrição no Cadastro de 
Pessoas Físicas (CPF) é composto por um número de 9 algarismos e outro 
número de 2 algarismos, na forma d1d2, em que os dígitos d1 e d2 são 
denominados dígitos verificadores. Os dígitos verificadores são calculados, 
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a partir da esquerda, da seguinte maneira: os 9 primeiros algarismos são 
multiplicados pela sequência 
10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 (o primeiro por 10, o segundo por 9, e assim 
sucessivamente); em seguida, calcula-se o resto r da divisão da soma dos 
resultados das multiplicações por 11, e se esse resto r for 0 ou 1, d1 é 
zero, caso contrário d1 = (11 ± r). O dígito d2 é calculado pela mesma 
regra, na qual os números a serem multiplicados pela sequência dada são 
contados a partir do segundo algarismo, sendo d1 o último algarismo, isto 
é, d2 é zero se o resto s da divisão por 11 das somas das multiplicações 
for 0 ou 1, caso contrário, d2 = (11 ± s). Suponha que João tenha perdido 
seus documentos, inclusive o cartão de CPF e, ao dar queixa da perda na 
delegacia, não conseguisse lembrar quais eram os dígitos verificadores, 
recordando-se apenas que os nove primeiros algarismos eram 
123.456.789. Neste caso, os dígitos verificadores d1 e d2 esquecidos são, 
respectivamente, 
A) 0 e 9. 
B) 1 e 4. 
C) 1 e 7. 
D) 9 e 1. 
E) 0 e 1.RESOLUÇÃO: 
 Vamos calcular os dígitos do CPF de João, começando por d1. 
Vamos multiplicar a sequência 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 pelos nove 
primeiros algarismos do CPF de João (123.456.789), da seguinte forma: 
10x1+9x2+8x3+7x4+6x5+5x6+4x7+3x8+2x9= 
10+18+24+28+30+30+28+24+18=210 
 
Agora, vamos calcular o resto r da divisão da soma dos resultados 
das multiplicações por 11. 
 
 
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 210 |11 
 -11 19 
 100 
 -99 
 1 
O resto da divisão foi 1. Sabemos que se esse resto r for 0 ou 1, d1 
é zero. 
Vamos agora calcular d2. O dígito d2 é calculado pela mesma regra, 
na qual os números a serem multiplicados pela sequência dada são 
contados a partir do segundo algarismo, sendo d1 o último algarismo, da 
seguinte forma. 
10x2+9x3+8x4+7x5+6x6+5x7+4x8+3x9+2x0= 
20+27+32+35+36+35+32+27+0=244 
 
 Agora, vamos calcular o resto r da divisão da soma dos resultados 
das multiplicações por 11. 
 244 |11 
 -22 22 
 24 
 -22 
 2 
 
Sabemos que d2 é zero se o resto s da divisão por 11 das somas 
das multiplicações for 0 ou 1, caso contrário, d2 = (11 ± s). Como o resto 
foi 2, temos que d2=11-2=9. 
Assim temos que d1=0 e d2=9. 
Resposta: A 
 
10. ENEM - 2014) Em uma cidade, o valor total da conta de energia 
elétrica é obtido pelo produto entre o consumo (em kWh) e o valor da 
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tarifa do kWh (com tributos), adicionado à Cosip (contribuição para 
custeio da iluminação pública), conforme a expressão: 
Valor do kWh (com tributos) x consumo (em kWh) + Cosip 
 
O valor da Cosip é fixo em cada faixa de consumo. O quadro mostra o 
valor cobrado para algumas faixas. 
Suponha que, em uma residência, todo mês o consumo seja de 150 kWh, 
e o valor do kWh (com tributos) seja de R$ 0,50. O morador dessa 
residência pretende diminuir seu consumo mensal de energia elétrica com 
o objetivo de reduzir o custo total da conta em pelo menos 10%. 
Qual deve ser o consumo máximo, em kWh, dessa residência para 
produzir a redução pretendida pelo morador? 
A) 134,1 
B) 135,0 
C) 137,1 
D) 138,6 
E) 143,1 
RESOLUÇÃO: 
 O valor total da conta de energia elétrica é dado por: 
Valor Total = Valor do kWh (com tributos) x consumo (em kWh) + Cosip 
 
 Por consumir 150kWh o morador está na faixa mais cara de Cosip, 
conforme a tabela do enunciado, ou seja, Cosip = 4,5 reais. Atualmente o 
valor total da conta de energia elétrica desse morador é de: 
Valor Total = 0,50 x 150 + 4,5 
Valor Total = 79,50 reais 
 
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 O morador quer reduzir o custo total da conta em pelo menos 10%. 
Logo, o Novo Valor Total = 90% x Valor Total = 71,55 reais. Substituindo 
na fórmula do valor total da conta de energia elétrica temos que: 
 Novo Valor Total = Valor do kWh x consumo máximo + Cosip 
71,55 = 0,50 x consumo máximo + Cosip 
 
 Vamos supor inicialmente que mesmo com a redução do custo total 
da conta em pelo menos 10% o morador ainda se encontre na faixa de 
Cosip mais cara, portanto, Cosip = 4,50 reais. Logo: 
71,55 = 0,50 x consumo máximo + 4,5 
Consumo máximo = 134,10 kWh 
 
 Veja que chegamos a um absurdo pois o valor de consumo 
encontrado acima estaria na faixa de Cosip = 3,00 reais. Façamos agora a 
suposição de que a Cosip paga pelo morador passe a ser de 3 reais após 
a redução do consumo. Logo: 
71,55 = 0,50 x consumo máximo + 3 
Consumo máximo = 137,10 kWh 
Resposta: C 
 
11. ENEM - 2014) Uma pessoa compra semanalmente, numa mesma 
loja, sempre a mesma quantidade de um produto que custa R$ 10,00 a 
unidade. Como já sabe quanto deve gastar, leva sempre R$ 6,00 a mais 
do que a quantia necessária para comprar tal quantidade, para o caso de 
eventuais despesas extras. Entretanto, um dia, ao chegar à loja, foi 
informada de que o preço daquele produto havia aumentado 20%. Devido 
a esse reajuste, concluiu que o dinheiro levado era a quantia exata para 
comprar duas unidades a menos em relação à quantidade habitualmente 
comprada. 
A quantia que essa pessoa levava semanalmente para fazer compra era 
A) R$ 166,00. 
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B) R$ 156,00. 
C) R$ 84,00. 
D) R$ 46,00. 
E) R$ 24,00. 
RESOLUÇÃO: 
 Seja G o gasto associado à compra de Q unidades do produto em 
questão, que custava 10 reais a unidade inicialmente. 
 Assim, o gasto que essa pessoa tinha antes era de: 
G = 10 x Q 
 
 O preço do produto, que era de 10 reais a unidade, sofreu um 
aumento de 20%, indo, portanto, para 10 + 20%x10 = 10 + 0,2x10 = 12 
reais a unidade. 
 Depois do aumento do preço para 12 reais a unidade, foi possível 
comprar duas unidades a menos do ela comprava (Q-2) utilizando o que 
ela já gastava antes mais os 6 reais extras (G+6). Traduzindo isso 
matematicamente, temos: 
G + 6 = 12 x (Q - 2) 
 
 Substituindo G = 10 x Q na equação acima, temos: 
10Q + 6 = 12 x (Q - 2) 
10Q + 6 = 12Q ± 24 
2Q=30 
Q=15 
 
 Assim, a quantia que essa pessoa leva semanalmente para fazer a 
compra é o suficiente para comprar 15 unidades ao preço de 10 reais a 
unidade mais 6 reais extras (como fazia antes do aumento do preço), ou 
seja, 15 x 10 + 6 = 156 reais. Ou poderíamos dizer que a quantia que 
essa pessoa leva semanalmente para fazer a compra é o suficiente para 
comprar 13 unidades ao preço de 12 reais a unidade (após o aumento do 
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preço), ou seja, 13 x 12 = 156 reais. Em ambos os casos a quantia é de 
156 reais. 
Resposta: B 
 
12. ENEM - 2013) Na aferição de um novo semáforo, os tempos são 
ajustados de modo que, em cada ciclo completo (verde-amarelo-
vermelho), a luz amarela permaneça acesa por 5 segundos, e o tempo 
em que a luz verde permaneça acesa seja igual à 
2
3
do tempo em que a 
luz vermelha fique acesa. A luz verde fica acesa, em cada ciclo, durante X 
segundos e cada ciclo dura Y segundos. 
Qual é a expressão que representa a relação entre X e Y? 
A) �;��<������ �� 
B) �;��<������ �� 
C) �;��<������ �� 
D) �;��<������ �� 
E) �;��<������ �� 
RESOLUÇÃO:Do enunciado temos que o ciclo do semáforo é de Y segundos. Por 
ciclo podemos entender o tempo que o semáforo leva para, por exemplo, 
acender a luz verde, apagar a luz verde e acender a luz amarela, apagar 
a luz amarela e acender a luz vermelha e, por fim, apagar a luz vermelha, 
quando então o ciclo se reinicia. De outra forma, podemos entender o 
ciclo (Y) como o resultado da soma abaixo: 
Tempo que a luz verde permanece acesa + Tempo que a luz amarela 
permanece acesa + Tempo que a luz vermelha permanece acesa 
 O enunciado nos informou que o tempo que a luz amarela 
permanece acesa é de 5 segundos. 
 Além disso, sabemos que o tempo em que a luz verde permaneça 
acesa é igual à 
2
3
do tempo em que a luz vermelha fique acesa, ou seja: 
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Tempo que a luz verde permanece acesa =
2
3
 x Tempo que a luz vermelha 
permanece acesa. 
 Isolando, na expressão acima, o tempo que a luz vermelha 
permanece acesa, temos: 
Tempo que a luz vermelha permanece acesa = (3/2) x Tempo que a luz 
verde permanece acesa 
 Substituindo as informações acima na expressão do ciclo que 
mostramos no início da resolução temos: 
Ciclo = Tempo que a luz verde permanece acesa + 5 + (3/2) x Tempo 
que a luz verde permanece acesa 
 O enunciado nos disse que o Ciclo é de Y segundos e que o tempo 
que a luz verde permanece acesa é de X segundos, logo: 
Y=X+5+(3/2)X 
 
Multiplicando toda a equação por 2 temos: 
2Y=2X+10+3X 
2Y=5X+10 
5X+10-2Y=0 
5X-2Y+10=0 
Resposta: B 
 
13. ENEM - 2012) As curvas de oferta e de demanda de um produto 
representam, respectivamente, as quantidades que vendedores e 
consumidores estão dispostos a comercializar em função do preço do 
produto. Em alguns casos, essas curvas podem ser representadas por 
retas. Suponha que as quantidades de oferta e de demanda de um 
produto sejam, respectivamente, representadas pelas equações: QO = ±
20 + 4P e QD = 46 ± 2P em que QO é quantidade de oferta, QD é a 
quantidade de demanda e P é o preço do produto. 
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A partir dessas equações, de oferta e de demanda, os economistas 
encontram o preço de equilíbrio de mercado, ou seja, quando QO e QD se 
igualam. 
Para a situação descrita, qual o valor do preço de equilíbrio? 
A) 5 
B) 11 
C) 13 
D) 23 
E) 33 
RESOLUÇÃO: 
 O valor do preço do equilíbrio se dá quando QO e QD se igualam, 
logo: 
QO = QD 
±20 + 4P = 46 ± 2P 
6P = 66 
P = 11 
Resposta: B 
 
14. PUC/RJ ± 2012) Um imóvel em São Paulo foi comprado por x reais, 
valorizou 10% e foi vendido por R$ 495.000,00. Um imóvel em Porto 
Alegre foi comprado por y reais, desvalorizou 10% e também foi vendido 
por R$ 495.000,00. 
Os valores de x e y são: 
 a) x = 445500 e y = 544500 
 b) x = 450000 e y = 550000 
 c) x = 450000 e y = 540000 
 d) x = 445500 e y = 550000 
 e) x = 450000 e y = 544500 
RESOLUÇÃO: 
 Quando o enunciado diz que o imóvel foi comprado por x e 
valorizou 10%, significa que ele agora vale x mais 10% de x, ou seja: 
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x + 10%x = 495000 
x + 0,1x = 495000 
1,1x = 495000 
x = 450.000 mil 
 
 Da mesma forma fazemos para y, com a diferença que aqui houve 
desvalorização, portanto, há uma subtração: 
y - 10%y = 495000 
y ± 0,1y = 495000 
0,9y = 495000 
y = 550.000 mil 
Resposta: B 
 
15. UFT ± 2012) Os candidatos A e B realizaram um teste de resistência 
física para um concurso público, onde os candidatos percorreram uma 
distância superior à mínima exigida para serem aprovados. O candidato A 
percorreu 2/3 da distância percorrida pelo candidato B. Observando o 
rendimento destes candidatos, e sabendo-se que o candidato que 
percorreu a maior distância foi de 3.000m então, a diferença entre as 
distâncias percorridas pelos candidatos foi de 
 a) 1.000m. 
 b) 2.000m. 
 c) 3.000m. 
 d) 4.500m. 
 e) 6.000m. 
RESOLUÇÃO: 
 Seja A a distância percorrida pelo candidato A. Seja B a distância 
percorrida pelo candidato B. O candidato A percorreu 2/3 da distância 
percorrida pelo candidato B. Logo: 
A = (2/3)B 
 
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O candidato que percorreu a maior distância percorreu 3.000m. 
Sabemos pela relação anteriormente encontrada que o candidato B correu 
uma distância maior que o candidato A. Então o candidato B foi o que 
percorreu 3000 m. Isso nos leva a: 
A = (2/3)B 
A = (2/3)×3000 
A = 2.000m 
 
Então, a diferença entre as distâncias percorridas pelos candidatos 
foi de 3000 ± 2000 = 1000m. 
Resposta: A 
 
16. FUVEST ± 2011) Em uma festa com n pessoas, em um dado 
instante, 31 mulheres se retiraram e restaram convidados na razão de 2 
homens para cada mulher. Um pouco mais tarde, 55 homens se retiraram 
e restaram, a seguir, convidados na razão de 3 mulheres para cada 
homem. O número n de pessoas presentes inicialmente na festa era igual 
a 
 a) 100 
 b) 105 
 c) 115 
 d) 130 
 e) 135 
RESOLUÇÃO: 
 Seja M o número de mulheres que havia na festa inicialmente. 
Logo, o número de homens é dado por n-M, visto que haviam n pessoas 
inicialmente. 
Em um dado instante, 31 mulheres se retiraram e restaram 
convidados na razão de 2 homens para cada mulher. Após a saída dessas 
31 mulheres, o número de mulheres passou a ser M-31 e o de homens 
continuou o que era antes, n-M, visto que não saiu nenhum homem. 
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Restaram convidados na razão de 2 homens para cada mulher. 
Logo, após a saída das 31 mulheres, o número de homens passou a ser o 
dobro do número de mulheres. 
n ± M = 2(M-31) 
n ± M = 2M ± 62 
n + 62 = 3M 
M = (n+62)/3 
 
 Um pouco mais tarde, 55 homens se retiraram. O número de 
homens, que era n-M, passou a ser n-M-55. Já o número de mulheres 
continuou M-31. 
 Restaram, a seguir, convidados na razão de 3 mulheres para cada 
homem. Logo, número de mulheres passou a ser o triplo do número de 
homens. 
M ± 31 = 3(n-M-55) 
M ± 31 = 3n ± 3M ± 165 
 
Sabemos que n + 62 = 3M ou, de outra forma, M = (n+62)/3. 
Vamos substituir na última igualdade. 
(n+62)/3 ± 31 = 3n ± (n + 62) ± 165 
 
 Vamos multiplicar os dois lados da equação por 3: 
(n+62) ± 93 = 9n ± 3(n + 62) ± 495 
n ± 31 = 9n ± 3n ± 186 ± 495 
5n = 650 
n = 130 
Resposta: D 
 
17. VUNESP ± 2015) Uma imobiliária exige dos novos locatários de 
imóveis o pagamento, ao final do primeiro mês no imóvel, de uma taxa, 
junto com a primeira mensalidade de aluguel. Rafael alugou um imóvel 
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nessa imobiliária e pagou R$ 900,00 ao final do primeiro mês. No período 
de um ano de ocupação do imóvel, ele contabilizou gastos totais de R$ 
6.950,00 com a locação do imóvel. Na situação descrita, a taxa paga foi 
de 
 a) R$ 450,00. 
 b) R$ 250,00. 
 c) R$ 300,00. 
 d) R$ 350,00. 
 e) R$ 550,00. 
RESOLUÇÃO: 
 Rafael pagou R$ 900,00 ao final do primeiro mês. Esse valor se 
refere ao aluguel e à taxa. Seja A o valor do aluguel mensal e T a taxa 
paga ao fim do primeiro mês. Assim: 
A + T = 900 
A = 900 ± T 
 
 No período de um ano de ocupação do imóvel, ele contabilizou 
gastos totais de R$ 6.950,00 com a locação do imóvel. Nesses gastos 
totais estão inclusos 12 meses de aluguel e o valor da taxa paga no 
primeiro mês, logo: 
12A + T = 6950 
 
 Substituindo A = 900 ± T na igualdade acima, temos: 
12×(900 ± T) + T = 6950 
10800 ± 12T + T = 6950 
11T = 3850 
T = 350 reais 
Resposta: D 
 
18. FUVEST ± 2015) A igualdade correta para quaisquer a e b, números 
reais maiores do que zero, é 
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a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
RESOLUÇÃO: 
 Nesta questão devemos analisar todas as alternativas. 
A) 
Na Aula 01 vimos a seguinte propriedade de raízes: 5DL]� ³Q´� GH�
SURGXWR�p�LJXDO�DR�SURGXWR�GDV�UDt]HV�³Q´� 
,VWR�p��D�UDL]�³Q´�GH�$�[�%�p�LJXDO�D�UDL]�³Q´�GH�$�[�UDL]�³Q´�GH�%�� 
n n nA B A Bu u 
 Essa propriedade só vale para o produto de A e B, não para a 
adição. 
 
B) 
Aqui o problema é igual ao da alternativa A. Ele utiliza a 
propriedade que vale apenas para o produto para uma adição. 
 
C) 
Incorreto, visto que: 
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2
2
( ) ( )( )
( ) 2
a b a b a b
a b a a b b
� � �
� � � 
 
D) 
Incorreto, visto que: 
1 1 1b a
a b ab a b
�� z � 
 
E) 
Só nos sobrou a alternativa E. Vamos confirmar que ela está 
correta: 
3 3
2 2
3 3 2 2
3 3 3 2 2 2 2 3
3 3 3 3
( )( )
a b
a b
a ab b
a b a b a ab b
a b a a b ab a b ab b
a b a b
� �� �
� � � �
� � � � � �
� � 
Resposta: E 
 
19. FGV ± 2015) De acordo com matéria da revista The Economist 
divulgada em 2014, o Brasil tem o quinto Big Mac mais caro do mundo, 
ao preço de US$ 5,86. A mesma matéria aponta o preço do Big Mac nos 
EUA (US$ 4,80) como o décimo quarto mais caro do mundo. Se 
usássemos o preço do Big Mac nos EUA (em US$) como referência de 
preço, então o preço do Big Mac no Brasil (em US$) supera o dos EUA 
em, aproximadamente, 
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 a) 22%. 
 b) 18%. 
 c) 16%. 
 d) 12%. 
 e) 6%. 
RESOLUÇÃO: 
 Big Mac no Brasil: 5,86 dólares 
 Big Mac nos EUA: 4,80 dólares 
 Dividindo um pelo outro temos: 
5,86/4,8 = 1,22 
 
 Ou seja, o preço do Big Mac no Brasil corresponde a 1,22 vezes o 
seu valor nos EUA. No entanto, ele quer saber em quantos % o preço do 
Big Mac no Brasil (em US$) supera o dos EUA. Logo: 
5,86/4,8 = 1 + 0,22 = 1 + 22/100 
5,86/4,8 = 1 + 22% 
Resposta: A 
 
20. FGV ± 2015) Alfredo e Breno partem, ao mesmo tempo, dos pontos 
A e B, respectivamente, ambos caminhando sobre a reta AB, mas em 
sentidos contrários. No momento em que eles se encontram, Alfredo 
havia percorrido 18 km a mais do que Breno. Logo depois do encontro, 
eles continuam suas caminhadas sendo que Alfredo leva 4 horas para 
chegar em B, percorrendo x quilômetros, e Breno leva 9 horas para 
chegar em A. Admitindo-se que Alfredo e Breno fizeram suas caminhadas 
com velocidades constantes durante todo o tempo, x será a raiz positiva 
da equação 
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 a) 5x2 ± 36x ± 684 = 0. 
 b) 5x2 ± 72x ± 1296 = 0. 
 c) 5x2 ± 72x ± 1368 = 0. 
 d) 5x2 ± 144x ± 1296 = 0. 
 e) 5x2 ± 144x ± 1368 = 0. 
RESOLUÇÃO: 
 Resumimos na Figura abaixo grande parte das informações do 
enunciado. 
 
 Vamos organizar as informações que o enunciado nos forneceu. 
Alfredo e Breno partem, ao mesmo tempo, dos pontos A e B, 
respectivamente, ambos caminhando sobre a reta AB, mas em sentidos 
contrários. 
Chamamos de O o ponto em que eles se encontram. Logo depois do 
encontro, eles continuam suas caminhadas sendo que Alfredo leva 4 
horas para chegar em B, percorrendo x quilômetros, ou seja, do ponto O 
até o ponto B há uma distância de x quilômetros. 
No entanto, no momento em que eles se encontram, Alfredo havia 
percorrido 18 km a mais do que Breno. Então podemos chamar a 
distância percorrida por Alfredo antes do encontro de 18 + x quilômetros. 
Seja VA e VB as velocidades de Alfredo e Breno, respectivamente. O 
enunciado nos disse que as velocidades são constantes. Vamos chamar o 
tempo gasto do início até eles se encontrarem de t. Você deve saber da 
Física que a distância percorrida é dada pela velocidade multiplicada pelo 
tempo. Mesmo esta questão não sendo do ENEM ela está em perfeita 
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sintonia com o Exame, visto que é comum o ENEM misturar conceitos de 
matérias diferentes numa mesma questão contextualizada. 
A distância percorrida por Alfredo até o encontro é dada por: 
VA×t = 18 + x 
 (1) t = (18 + x)/VA 
 
A distância percorrida por Breno até o encontro é dada por: 
VB×t = x 
 (2) VB = x/t 
 
Logo depois do encontro, Alfredo leva 4 horas para chegar em B. 
VA×4 =x 
 (3) VA =x/4 
 
Logo depois do encontro, Breno leva 9 horas para chegar em A. 
 (4) VB×9 = 18 + x 
 
Veja que temos 4 igualdades e 4 incógnitas (x; t; VA; VB). 
Precisamos agora encontrar o x. 
Substituindo (4) em (2) temos: 
VB×9 = 18 + x 
(x/t) ×9 = 18 + x 
 
Multiplicando toda a igualdade por t, temos: 
9x = 18t + xt 
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Substituindo (1) na equação acima temos: 
9x = 18[(18 + x)/VA] + x[(18 + x)/VA] 
 
Multiplicando toda a igualdade por VA temos: 
VA9x = 18(18 + x) + x(18 + x) 
 
Substituindo (3) na igualdade acima temos: 
(x/4)9x = 18(18 + x) + x(18 + x) 
 
Multiplicando toda a igualdade por 4 temos: 
9x2 = 72(18 + x) + 4x(18 + x) 
9x2 = 1296 + 72x + 72x + 4x2 
5x2 ± 144x ± 1296 = 0 
Resposta: D 
 
21. UCS ± 2015) Em uma lanchonete, Luana consumiu uma unidade de 
cada um dos produtos A e B epagou R$9,50; Renata consumiu uma 
unidade dos produtos B e C pelo que pagou R$11,00; e Fernanda pagou 
R$10,60, tendo consumido uma unidade dos produtos A e C. 
Joice consumiu uma unidade de cada um dos produtos A, B e C, e pagou 
o valor de R$15,70. Tendo como base o valor pago por suas colegas, 
Luana, Renata e Fernanda, o valor pago por Joice 
 a) está correto. 
 b) excede em 15 centavos o valor que ela teria de pagar. 
 c) excede em 20 centavos o valor que ela teria de pagar. 
 d) é 10 centavos a menos do que ela teria de pagar. 
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 e) é 25 centavos a menos do que ela teria de pagar. 
RESOLUÇÃO: 
 Sejam a, b e c os preços dos produtos A, B e C, respectivamente. 
Luana consumiu uma unidade de cada um dos produtos A e B e 
pagou R$9,50. Logo: 
a + b = 9,5 
a = 9,5 ± b 
 
Renata consumiu uma unidade dos produtos B e C pelo que pagou 
R$11,00. Logo: 
b + c = 11 
c = 11 ± b 
 
Fernanda pagou R$10,60, tendo consumido uma unidade dos 
produtos A e C. Logo: 
a + c = 10,6 
 
Substituindo na igualdade acima os valores de a e c encontrados 
anteriormente temos: 
9,5 ± b + 11 ± b = 10,6 
20,5 ± 2b = 10,6 
2b = 9,9 
b = 4,95 
a = 9,5 ± b = 9,5 ± 4,95 = 4,55 
c = 11 ± b = 11 ± 4,95 = 6,05 
 
Joice consumiu uma unidade de cada um dos produtos A, B e C. 
Logo: 
a + b + c = 4,55 + 4,95 + 6,05 = 15,55 
 
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Assim, o valor pago por Joice excede em 15,70 ± 15,55 = 0,15 
reais, ou 15 centavos, o valor que ela teria que pagar. 
Resposta: B 
 
22. FGV ± 2015) Débora pagou por 3 balas e 10 chicletes o triplo do que 
Paulo pagou, no mesmo lugar, por 4 balas e 3 chicletes. A razão entre o 
preço de uma bala e o preço de um chiclete neste lugar é 
 a) 3. 
 b) 7/13. 
 c) 3/10. 
 d) 3/7. 
 e) 1/9. 
RESOLUÇÃO: 
 Seja b o preço da bala e c o preço do chiclete. Débora pagou por 3 
balas e 10 chicletes o triplo do que Paulo pagou, no mesmo lugar, por 4 
balas e 3 chicletes. Traduzindo em uma expressão matemática, temos: 
3b + 10c = 3 × (4b + 3c) 
3b + 10c = 12b + 9c 
c = 9b 
b/c = 1/9 
Resposta: E 
 
23. FGV ± 2015) $� IDPRVD� ³SDQH� GRV� VHLV�PLQXWRV��� RFRUULGD� QR� MRJR�
Alemanha 7 x 1 Brasil, é descrita a seguir: 
 
 O segundo gol foi aos 23 minutos, o terceiro aos 24 minutos, o quarto 
aos 26 minutos e o quinto aos 29 minutos. 
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Se essa pane tivesse se estendido até o final da partida (90 minutos no 
total) mantendo o padrão observado de aumentar sempre um minuto, a 
partir do segundo gol, nos intervalos entre gols consecutivos, o número 
de gols que a Alemanha teria marcado no Brasil seria igual a 
 a) 13. 
 b) 25. 
 c) 17. 
 d) 11. 
 e) 45. 
RESOLUÇÃO: 
 O segundo gol foi aos 23 minutos, o terceiro aos 24 minutos, o 
quarto aos 26 minutos e o quinto aos 29 minutos. Se essa sequência 
continuasse, os próximos gols (a partir do sexto gol) seriam nos minutos 
33, 38, 44, 51, 59, 68, 78, 89. Portanto, teríamos 13 gols. 
Resposta: A 
 
24. UERJ ± 2015) No ano letivo de 2014, em uma turma de 40 alunos, 
60% eram meninas. Nessa turma, ao final do ano, todas as meninas 
foram aprovadas e alguns meninos foram reprovados. Em 2015, nenhum 
aluno novo foi matriculado, e todos os aprovados confirmaram suas 
matrículas. Com essa nova composição, em 2015, a turma passou a ter 
20% de meninos. 
O número de meninos aprovados em 2014 foi igual a: 
 a) 4 
 b) 5 
 c) 6 
 d) 8 
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RESOLUÇÃO: 
 No ano letivo de 2014, em uma turma de 40 alunos, 60% eram 
meninas. Logo, o número de meninas era 0,6 x 40 = 24. Já o de meninos 
era de 40 ± 24 = 16. 
Nessa turma, ao final do ano, todas as meninas foram aprovadas e 
alguns meninos foram reprovados. Ou seja, a sala em 2015 continha 24 
meninas e x meninos aprovados em 2014. Total de alunos na sala em 
2015: x + 24, dos quais x são meninos. 
Com essa nova composição, em 2015, a turma passou a ter 20% de 
meninos, ou seja: 
2020% 0,2
24 100
x
x
 � 
x = 0,2 (x + 24) 
x = 0,2x + 4,8 
0,8x = 4,8 
x = 6 
Resposta: C 
 
25. PUC/GO ± 2015) Duas pererecas estão no fundo de uma cisterna e 
iniciam, juntas, a tentativa de sair de lá, saltando, verticalmente, pelas 
paredes. Depois de uma hora de saltos, uma delas consegue subir quatro 
metros, ao passo que a outra sobe apenas um metro. Mas, a cada hora, a 
primeira consegue subir apenas a metade do que subira na hora anterior, 
e a segunda consegue dobrar a distância percorrida rumo à borda da 
cisterna. Considerando-se que elas saltem sempre no mesmo instante, 
em quantas horas as duas terão atingido a mesma altura? 
 a) 2 horas. 
 b) 3 horas. 
 c) 4 horas . 
 d) 5 horas. 
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RESOLUÇÃO: 
 Depois de uma hora de saltos, uma delas consegue subir quatro 
metros, ao passo que a outra sobe apenas um metro. A cada hora, a 
primeira consegue subir apenas a metade do que subira na hora anterior. 
Logo, na segunda hora ela vai subir mais 2 metros, chegando a 6 metros 
de altura; na terceira hora ela vai subir mais 1 metro, chegando a 7 
metros de altura. 
 Já a segunda perereca sobe apenas um metro na primeira hora. A 
cada hora a segunda consegue dobrar a distância percorrida rumo à 
borda da cisterna. Logo, na segunda hora ela sobe mais 2 metros, 
chegando a 3 metros de altura. Na terceira hora ela sobe mais 4 metros, 
chegando a 7 metros de altura. 
 Logo, na terceira hora as duas pererecas as duas terão atingido a 
mesma altura. 
Resposta: B 
 
26. PUC/SP ± 2015) Ao conferir o livro de registro de entrada e saída 
das pessoas que fizeram exames num laboratório de uma clínica 
hospitalar, foi possível constatar-se que, ao longo dos cinco dias úteis de 
certa semana, 
 ± o número de pessoas atendidas na segunda-feira correspondia à quarta 
parte do total atendido nos cinco dias; 
± em cada um dos três dias subsequentes, o número de pessoas 
atendidas correspondia a 2/3 do número daquelas atendidas no dia 
anterior. 
Considerando que na sexta-feira foram atendidas 129 pessoas, é correto 
afirmar que o número de pessoas que fizeram exames 
 a) ao longo dos cinco dias foi 342. 
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 b) na segunda-feira foi 72. 
 c) na terça-feira foi 54. 
 d) na quarta-feira foi 32. 
 e) na quinta-feira foi 21. 
RESOLUÇÃO: 
 Seja T o total deatendidos nos cinco dias daquela semana. Seja S o 
total de atendidos na segunda-feira. 
O número de pessoas atendidas na segunda-feira correspondia à 
quarta parte do total atendido nos cinco dias. Logo, S = T/4. 
Em cada um dos três dias subsequentes, o número de pessoas 
atendidas correspondia a 2/3 do número daquelas atendidas no dia 
anterior. Logo, na terça-feira foram atendidas (2/3)S pessoas; na quarta-
feira foram atendidas (2/3)2S pessoas e na quinta-feira foram atendidas 
(2/3)3S. 
Na sexta-feira foram atendidas 129 pessoas. Logo, o total T de 
pessoas atendidas naquela semana foi: 
T = S + (2/3)S + (2/3)2S + (2/3)3S + 129 
 
 Como S = T/4, temos: 
T = T/4 + (2/3) T/4 + (2/3)2 T/4 + (2/3)3 T/4 + 129 
 
 Multiplicando os dois lados da igualdade por 4, temos: 
4T = T+ (2/3)T + (2/3)2T + (2/3)3T + 516 
4T = T+ (2/3)T + (4/9)T + (8/27)T + 516 
 
Multiplicando os dois lados da igualdade por 27, temos: 
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108T = 27T+ 18T + 12T + 8T + 13932 
43T=13932 
T=324 pessoas 
 
 Assim, na segunda-feira foram atendidas 324/4 = 81 pessoas, na 
terça 81 x (2/3) = 54 pessoas, na quarta 54 x (2/3) = 36 pessoas e na 
quinta 36 x (2/3) = 24 pessoas. 
Resposta: C 
 
27. PUC/SP ± 2015) Num mesmo instante, são anotadas as populações 
de duas culturas de bactérias: P1, com 32 000 elementos, e P2 , com 
12,5% da população de P1 . Supondo que o número de bactérias de P1 
dobra a cada 30 minutos enquanto que o de P2 dobra a cada 15 minutos, 
quanto tempo teria decorrido até que as duas culturas igualassem suas 
quantidades de bactérias? 
 a) 2 horas e 30 minutos. 
 b) 2 horas 
 c) 1 hora e 45 minutos. 
 d) 1 hora e 30 minutos. 
 e) 1 hora. 
RESOLUÇÃO: 
 P1 começa com 32000 elementos e dobra a cada 30 minutos. 
Assim, ao final dos primeiros 30 minutos P1 = 64000, ao final da primeira 
hora P1 é igual a 128000 e ao final de uma hora e meia P1 é igual a 
256000. 
 Já P2 começa com 12,5% da população de P1, ou seja, 0,125 x 
32000 = 4000 elementos. O total da cultura P2 dobra a cada 15 minutos. 
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Logo, o total da cultura P2 ao final dos primeiros 15 minutos é de 8000, 
ao final de meia hora é de 16000, ao final de 45 minutos é de 32000, ao 
final de uma hora é de 64000, ao final de uma hora e quinze minutos é de 
128000 e ao final de uma hora e meia é de 256000. 
 Assim, são necessárias uma hora e meia até que as duas culturas 
igualassem suas quantidades de bactérias. 
Resposta: D 
 
28. PUC/SP ± 2015) Três impressoras ± A, B e C ± foram ligadas, 
simultaneamente, com o objetivo de que cada uma delas tirasse uma 
mesma quantidade de cópias. Considere que: 
± cada máquina operou com velocidade constante; 
± quando A terminou de tirar as suas cópias, ainda faltavam, 
respectivamente, 250 e 120 cópias para C e B completarem as suas 
partes; 
± quando B terminou de tirar as suas cópias, ainda faltavam 160 cópias 
para C completar a sua parte. 
Nessas condições, se X é o total de cópias tiradas pelas três impressoras, 
então 
 a) X < 1 800. 
 b) 1 800 < X < 2 000. 
 c) 2 000 < X < 2 200. 
 d) 2 200 < X < 2 400. 
 e) X > 2 400. 
RESOLUÇÃO: 
 Sejam y o número de cópias tiradas por cada máquina. O enunciado 
diz que as máquinas vão tirar a mesma quantidade de cópias, chegando a 
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um total de X cópias. Logo, X = 3y. Sejam VA, VB e VC as velocidades de 
impressão das máquinas A, B e C. 
 Quando A terminou de tirar as suas cópias, ainda faltavam, 
respectivamente, 250 e 120 cópias para C e B completarem as suas 
partes. Ao passo que A fez y cópias, B fez y ± 120 e C fez y ± 250. Logo, 
podemos criar as seguintes relações de proporção entre as velocidades 
das impressoras e o número de cópias por elas feitas: 
120
250
A
B
A
C
V y
V y
V y
V y
 �
 � 
 
Dividindo a primeira relação pela segunda, temos: 
250
120
CA
B A
VV y y
V V y y
� � 
(1) 
250
120
C
B
V y
V y
� � 
 
Quando B terminou de tirar as suas cópias, ainda faltavam 160 
cópias para C completar a sua parte. Perceba que enquanto B fez suas 
120 cópias finais, a máquina C fez 90, indo de 250 para 160 cópias 
restantes. Logo, a velocidade da máquina B em relação à velocidade da 
máquina C respeita a seguinte relação: 
(2) 
120 12 4
90 9 3
B
C
V
V
 
 
 
Substituindo (2) em (1) temos: 
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250 3
120 4
C
B
V y
V y
� � 
( 250)4 ( 120)3
4 1000 3 360
640
y y
y y
y
� �
� �
 
 Como X = 3y, temos X = 1920. Portanto, 1800 < X < 2000. 
Resposta: B 
 
29. PUC/RS ± 2015) Em nossos trabalhos com matemática, mantemos 
um contato permanente com o conjunto Թ dos números reais, que possui, 
como subconjuntos, o conjunto Գ dos números naturais, o conjunto Ժ dos 
números inteiros, o Է dos números racionais e o I dos números 
irracionais. O conjunto dos números reais também pode ser identificado 
por: 
 a) Գ ׫ Ժ. 
 b) Գ ׫ Է. 
 c) Ժ ׫ Է. 
 d) Ժ ׫ I. 
 e) Է ׫ I. 
RESOLUÇÃO: 
 Lembram-se do esquema abaixo visto na Aula 01? 
 
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 Nele fica claro que o conjunto dos números reais é a união dos 
racionais e dos irracionais, ou seja, Է ׫ I. 
Resposta: E 
 
30. PUC/RS ± 2015) INSTRUÇÃO: Para responder à questão, considere 
a figura e o texto abaixo. 
 
As medidas de comprimento e largura da tela de uma televisão, em geral, 
obedecem à proporção 16:9, sendo que o número de polegadas (1 pol = 
2,5 cm) desse aparelho indica a medida da diagonal de sua tela. 
Considerando essas informações, as medidas do comprimento e da 
largura, em centímetros, de uma TV de 32 polegadas, como mostra a 
figura acima, podem ser obtidas com a resolução do seguinte sistema: 
a) 
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b) 
c) 
d) 
e) 
RESOLUÇÃO: 
 As medidas de comprimento e largura da tela de uma televisão, em 
geral, obedecem à proporção 16:9. Logo: 
16
9
x
y
 
 
 Antes de prosseguirmos na resolução, precisamos recordar de um 
conceito muito importante: o Teorema de Pitágoras. Veremos em 
detalhes esse assunto na aula de trigonometria. Por enquanto, só 
precisamos saber o que diz o Teorema para resolver a questão. 
 Repare no triângulo retângulo abaixo, de lados a, b e c. 
 
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Triângulo retângulo é aquele que possui um ângulo de 90 graus. 
Triângulos desse tipo guardam a seguinte relação entre os seus lados, à 
qual chamamos de Teorema de Pitágoras: 
a2 + b2 = c2 
 
O enunciado nos diz que 1 pol = 2,5 cm. Assim, a diagonal dessa 
TV tem 32 polegadas ou 32 x 2,5 = 80 cm. Assim, aplicando o Teorema 
de Pitágoras ao triângulo retângulo que corresponde à metade da TV, 
temos: 
x2 + y2 = 802 
x2 + y2 = 6400 
Resposta: E 
 
31. FUMARC 2015) Se 
15 4
3
a b� 
 e 
3 3 4
6 4 3
b a a b� �� 
 então é 
CORRETO afirmar que o valor de 
a b
a
�
 é igual a: 
 a) 3 
 b) 4 
 c) 6 
 d) 9 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos começar resolvendo a igualdade abaixo, de forma a isolar a 
variável b: 
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15 4
3
15 12
15 12
a b
a b
b a
� 
� 
 � 
 
 Vamos agora para a outra igualdade: 
3 3 4
6 4 3
b a a b� �� 
 
 
 Multiplicando os dois lados da igualdade por 12, temos: 
3 3 412 12 12
6 4 3
2(3 ) 3(3 ) 4 4
6 2 9 3 16
3 7 16
b a a b
b a a b
b a a b
b a
� �u � u u
� � � ˜
� � � 
� 
 Substituindo na igualdade acima a expressão que encontramos 
anteriormente para b, temos: 
3(15 12) 7 16
45 36 7 16
52 36 16 52
52 1
52
a a
a a
a
a
� � 
� � 
 � 
 
 
 
Uma vez encontrado o valor de a, podemos encontrar o valor de b: 
15 12 15 1 12
3
b a
b
 � u �
 
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 Agora basta fazer: 
1 3 4 4
1 1
a b
a
� � 
 
Resposta: B 
 
 
 
Fim de aula!!! Nos vemos na aula 05. 
Abraço, 
Prof. Arthur Lima 
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3. QUESTÕES APRESENTADAS NA AULA 
 
1. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Encontre os valores de x que tornam a 
igualdade abaixo verdadeira. 
x2 - 8x + 15 = 0 
 
2. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Resolva o sistema de equações abaixo: 
3 23
11
x y
y x
� 
� 
 
 
3. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Encontre as raízes reais da equação 
biquadrada abaixo: 
4 26 16 0x x� � 
 
4. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Encontre os valores de x que tornam a 
igualdade abaixo verdadeira: 
( 15)( 29) 0x x� � 
5. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Encontre as raízes reais da equação 
biquadrada abaixo: 
2 2
2 2
13
2 1
x y
x y
­ � °® � °¯ 
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6. ENEM - 2010)� (PERUD� R� ,ɍQGLFH� GH� 0DVVD� &RUSRUDO� �,0&�� VHMD�
DPSODPHQWH�XWLOL]DGR��H[LVWHP�DLQGD� LQXɍPHUDV�UHVWULF ࡤR 笀eV�WHRɍULFDV�DR�XVR�
H�DɌV�IDL[DV�GH�QRUPDOLGDGH�SUHFRQL]DGDV��2�5HFLɍSURFR�GR�,ɍQGLFH�3RQGHUDO�
�5,3��� GH� DFRUGR� FRP� R� PRGHOR� DORPHɍWULFR�� SRVVXL� XPD� PHOKor 
fundamentac ࡤD 笀o�PDWHPDɍWLFD��MDɍ�TXH�D�PDVVD�Hɍ�XPD�YDULDɍYHO�GH�GLPHQVR 笀eV�
FXɍELFDV�H�D�DOWXUD��XPD�YDULDɍYHO�GH�GLPHQVR 笀eV�OLQHDUHV��$V�IRɍUPXODV�TXH�
GHWHUPLQDP�HVVHV�LɍQGLFHV�VD 笀o� 
 
Se uma menina, com 64 kg de massa, apresenta IMC igual a 25 kg/m2, 
HQWD 笀o�HOD�SRVVXL�5,3�LJXDO�D 
A) 0,4 cm/kg1/3 
B) 2,5 cm/kg1/3 
C) 8 cm/kg1/3 
D) 20 cm/kg1/3 
E) 40 cm/kg1/3 
 
7. ENEM ± 2015) Uma padaria vende, em média, 100 pães especiais por 
dia e arrecada com essas vendas, em média, R$ 300,00. Constatou-se 
que a quantidade de pães especiais vendidos diariamente aumenta, caso 
o preço seja reduzido, de acordo com a equação 
q = 400 ± 100p 
na qual q representa a quantidade de pães especiais vendidos 
diariamente e p, o seu preço em reais. 
A fim de aumentar o fluxo de clientes, o gerente da padaria decidiu fazer 
uma promoção. Para tanto, modificará o preço do pão especial de modo 
que a quantidade a ser vendida diariamente seja a maior possível, sem 
diminuir a média de arrecadação diária na venda desse produto. 
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O preço p, em reais do pão especial nessa promoção deverá estar no 
intervalo: 
�$��5�������”�S���5������ 
�%��5�������”�S���5������ 
�&��5�������”�S���5������ 
�'��5�������”�S���5������ 
�(��5�������”�S���5������ 
 
8. ENEM - 2009) O Indicador do CadÚnico (ICadÚnico), que compõe o 
cálculo do Índice de Gestão Descentralizada do Programa Bolsa Família 
(IGD), é obtido por meio da média aritmética entre a taxa de cobertura 
qualificada de cadastros (TC) e a taxa de atualização de cadastros (TA), 
em que ,
NV NATC TA
NF NV
 em que NV é o número de cadastros 
domiciliares válidos no perfil do CadÚnico, NF é o número de famílias 
estimadas como público alvo do CadÚnico e NA é o número de cadastros 
domiciliares atualizados no perfil do CadÚnico. 
Portaria n° 148 de 27 de abril de 2006 (adaptado). 
Suponha que o IcadÚnico de um município específico é 0,6. Porém, 
dobrando NF o IcadÚnico cairá para 0,5. Se NA + NV = 3.600, então NF é 
igual a 
A) 10.000. 
B) 7.500. 
C) 5.000. 
D) 4.500. 
E) 3.000. 
 
9. ENEM - 2009) Para cada indivíduo, a sua inscrição no Cadastro de 
Pessoas Físicas (CPF) é composto por um número de 9 algarismos e outro 
número de 2 algarismos, na forma d1d2, em que os dígitos d1 e d2 são 
denominados dígitos verificadores. Os dígitos verificadores são calculados, 
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a partir da esquerda, da seguinte maneira: os 9 primeiros algarismos são 
multiplicados pela sequência 
10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 (o primeiro por 10, o segundo por 9, e assim 
sucessivamente); em seguida, calcula-se o resto r da divisão da soma dos 
resultados das multiplicações por 11, e se esse resto r for 0 ou 1, d1 é 
zero, caso contrário d1 = (11 ± r). O dígito d2 é calculado pela mesma 
regra, na qual os números a serem multiplicados pela sequência dada são 
contados a partir do segundo algarismo, sendo d1 o último algarismo, isto 
é, d2 é zero se o resto s da divisão por 11 das somas das multiplicações 
for 0 ou 1, caso contrário, d2 = (11 ± s). Suponha que João tenha perdido 
seus documentos, inclusive o cartão de CPF e, ao dar queixa da perda na 
delegacia, não conseguisse lembrar quais eram os dígitos verificadores, 
recordando-se apenas que os nove primeiros algarismos eram 
123.456.789. Neste caso, os dígitos verificadores d1 e d2 esquecidos são, 
respectivamente, 
A) 0 e 9. 
B) 1 e 4. 
C) 1 e 7. 
D) 9 e 1. 
E) 0 e 1. 
 
10. ENEM - 2014) Em uma cidade,