curso-11188-aula-06-v1

Prévia do material em texto

Aula 06
Matemática e suas Tecnologias p/ ENEM 2016
Professores: Arthur Lima, Hugo Lima
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 1 
 
AULA 06: Funções polinomiais e racionais 
 
SUMÁRIO PÁGINA 
1. Teoria 02 
2. Resolução de exercícios 15 
3. Questões apresentadas na aula 53 
4. Gabarito 67 
 
 
Olá! 
Nesta sexta aula aprenderemos os tópicos relacionados a funções 
polinomiais e funções racionais. Tenha uma excelente aula. Permaneço à 
disposição e deixo abaixo meus contatos: 
 
E-mail: ProfessorArthurLima@hotmail.com 
Facebook: www.facebook.com/ProfArthurLima 
Ah, e não deixe de me seguir no aplicativo Periscope, onde 
transmito vídeos gratuitos ao vivo com dicas adicionais para seu estudo: 
www.periscope.tv/arthurrrl, ou simplesmente busque @ARTHURRRL no 
aplicativo. 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 2 
 
1. TEORIA 
1.1. POLINÔMIOS OU FUNÇÕES POLINOMIAIS 
 Observe a função abaixo: 
f(x) = 5x4 + 8,05x3 ± 2x + 35 
 
 Note que ela é formada por uma soma de potências da variável x 
multiplicadas por coeficientes. Os expoentes de x são todos números 
naturais (4, 3, 2, 1 e 0). Já os coeficientes são todos números reais (5; 
8,05; 0; -2 e 35). Repare que o termo x2 não aparece acima pois ele está 
multiplicado pelo coeficiente 0; e o coeficiente 35 aparece sozinho porque 
ele está multiplicando x0, que é igual a 1. 
 Chamamos este tipo de função de polinômio ou função polinomial. 
Em nosso exemplo temos um polinômio de 4º grau, pois o expoente de 
maior valor é igual a 4. Da mesma forma, as funções lineares que 
estudamos na aula passada são polinômios de 1º grau, e as funções 
quadráticas são polinômios de 2º grau. 
 O grau de um polinômio determina o número de raízes que ele 
possui ± lembrando que uma raiz é um valor de x que torna f(x) = 0. 
Essas raízes podem pertencer ou não ao conjunto dos números reais. O 
número de raízes reais é também o número de vezes que o gráfico da 
função f(x) toca o eixo horizontal. 
 Podemos escrever um polinômio de forma genérica assim: 
f(x) = anxn + an-1xn-1 ��«��D2x2 + a1x + a0 
 
 Sendo r1, r2, r3, ... rn DV� ³Q´� UDt]HV� GHVWH� SROLQ{PLR�� SRGHPRV�
reescrevê-OR�QD�IRUPD�GH�SURGXWR��RX�³IDWRUDGD´��DVVLP� 
f(x) = an (x ± r1) (x ± r2) ... (x ± rn-1) (x ± rn) 
 
 Para aprender a manipular polinômios, vamos usar os exemplos 
abaixo: 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 3 
f(x) = 5x4 + 8x3 ± 2x + 3 
g(x) = 3x4 + x + 1 
 
a) Somar f(x) com g(x). Para isso, basta somar os coeficientes dos 
termos que multiplicam as mesmas potências de x. Veja: 
f(x) + g(x) = (5x4 + 8x3 ± 2x + 3) + (3x4 + x + 1) 
 
Tirando os parênteses: 
f(x) + g(x) = 5x4 + 8x3 ± 2x + 3 + 3x4 + x + 1 
 
 Somando os termos de mesmo expoente: 
f(x) + g(x) = (5+3) x4 + 8x3 + (±2 + 1) x + (3 + 1) 
f(x) + g(x) = 8x4 + 8x3 ± x + 4 
 
b) Subtrair g(x) de f(x). Para isso, basta subtrair os coeficientes dos 
termos que multiplicam as mesmas potências de x, porém efetuando as 
trocas de sinal necessárias. Veja: 
f(x) ± g(x) = (5x4 + 8x3 ± 2x + 3) ± (3x4 + x + 1) 
 
Tirando os parênteses: 
f(x) ± g(x) = 5x4 + 8x3 ± 2x + 3 ± 3x4 ± x ± 1 
 
 Somando os termos de mesmo expoente: 
f(x) ± g(x) = (5 ± 3) x4 + 8x3 + (±2 ± 1) x + (3 ± 1) 
f(x) ± g(x) = 2x4 + 8x3 ± 3 x + 2 
 
c) Multiplicar ou dividir f(x) por um número. Para isso, basta multiplicar 
ou dividir cada coeficiente por este número. Veja: 
10 . f(x) = 10 . (5x4 + 8x3 ± 2x + 3) 
10 . f(x) = 10 . 5x4 + 10 . 8x3 + 10 . (-2)x + 10 . 3 
10 . f(x) = 50x4 + 80x3 ± 20x + 30 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 4 
 
 f(x) / 10 = (5x4 + 8x3 ± 2x + 3) / 10 
f(x) / 10 = 0,5x4 + 0,8x3 ± 0,2x + 0,3 
 
d) Multiplicar f(x) por g(x). Para isso basta utilizar a propriedade 
distributiva da multiplicação, de modo a multiplicar cada termo de um 
polinômio por cada termo do outro. Repare que é preciso multiplicar os 
termos xn entre si, e não apenas os coeficientes: 
f(x) . g(x) = (5x4 + 8x3 ± 2x + 3) . (3x4 + x + 1) 
 
 Multiplicando cada termo de f(x) por todos os termos de g(x): 
f(x) . g(x) = (5x4.3x4 + 5x4.x + 5x4.1) + (8x3.3x4 + 8x3.x + 8x3.1) + (± 
2x .3x4 ± 2x .x ± 2x . 1) + (3.3x4 + 3.x + 3.1) 
 
 Efetuando as multiplicações dentro dos parênteses: 
f(x).g(x) = (15x8 + 5x5 + 5x4) + (24x7 + 8x4 + 8x3) + (± 6x5 ± 2x2 ± 2x) 
+ (9x4 + 3x + 3) 
 
 Somando os termos de mesmo expoente: 
f(x).g(x) = 15x8 + 24x7 ± x5 + 22x4 + 8x3 ± 2x2 + x + 3 
 
 Repare que ao multiplicar um polinômio de grau 4 por outro de grau 
4 obtivemos um polinômio de grau 4 + 4 = 8. 
 
e) Dividir f(x) por g(x). Aqui é preciso entender a metodologia da divisão 
de polinômios, que é muito similar àquela utilizada para dividir números. 
 
 Antes de começar, lembre-se que em uma divisão comum, temos 
um dividendo que é dividido por divisor, gerando um quociente e um 
resto. Se o resto for igual a zero, dizemos que a divisão é exata, ou seja, 
o dividendo é divisível pelo divisor. Além disso: 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 5 
Dividendo = Divisor x Quociente + Resto 
 
 Ao dividir f(x) por g(x), o polinômio f será o dividendo e g será o 
divisor. Chamando de Q(x) o polinômio quociente e de R(x) o resto, 
temos que: 
f(x) = g(x) . Q(x) + R(x) 
 
 Vamos trabalhar com os polinômios abaixo: 
f(x) = 4x4 + 8x3 ± 2x + 3 
g(x) = 2x2 + x + 1 
 
 Devemos começar dividindo o termo de maior grau do dividendo 
(4x4) pelo termo de maior grau do divisor (2x2), que tem por quociente 
2x2: 
4 3 2
2
4 8 2 3 2 1
 2
x x x x x
x
� � � � �
 
 
 Agora devemos multiplicar o termo encontrado (2x2) pelo divisor 
(2x2+x+1), e a seguir subtrair este valor do dividendo (4x4 + 8x3 ± 2x + 
3). 
2 2 4 3 2(2 1) 2 4 +2 +2x x x x x x� � u 
 
temos: 
4 3 2
4 3 2 2
4 8 2 3 2 1
(4 +2 +2 ) 2
x x x x x
x x x x
� � � � �
�
 
 
 Efetuando a subtração, temos: 
4 3 2
4 3 2 2
3 2
4 8 2 3 2 1
(4 +2 +2 ) 2
6 2 2 3
x x x x x
x x x x
x x x
� � � � �
�
 � � �
 
 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 6 
 Agora vamos dividir o termo de maior expoente do resultado (6x3) 
pelo termo de maior expoente do divisor (2x2), obtendo o resultado 3x, 
que devemos somar ao quociente já encontrado: 
4 3 2
4 3 2 2
3 2
4 8 2 3 2 1
(4 +2 +2 ) 2 3
6 2 2 3
x x x x x
x x x x x
x x x
� � � � �
� �
 � � �
 
 
 Multiplicando o termo 3xpelo divisor (2x2+x+1), e depois 
subtraindo do dividendo, temos: 
4 3 2
4 3 2 2
3 2
3 2
2
4 8 2 3 2 1
(4 +2 +2 ) 2 3
6 2 2 3
(6 3 3 )
5 5 3
x x x x x
x x x x x
x x x
x x x
x x
� � � � �
� �
 � � �
� � �
 � � �
 
 
 Dividindo (-5x2) por (2x2) temos -2,5. Devemos adicionar este valor 
ao quociente: 
4 3 2
4 3 2 2
3 2
3 2
2
4 8 2 3 2 1
(4 +2 +2 ) 2 3 2,5
6 2 2 3
(6 3 3 )
5 5 3
x x x x x
x x x x x
x x x
x x x
x x
� � � � �
� � �
 � � �
� � �
 � � �
 
 
 A seguir devemos multiplicar -2,5 pelo divisor (2x2+x+1), e depois 
subtrair do dividendo: 
4 3 2
4 3 2 2
3 2
3 2
2
2
4 8 2 3 2 1
(4 +2 +2 ) 2 3 2,5
6 2 2 3
(6 3 3 )
5 5 3
( 5 2,5 2,5)
2,5 5,5
x x x x x
x x x x x
x x x
x x x
x x
x x
x
� � � � �
� � �
 � � �
� � �
 � � �
� � � �
 � �
 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 7 
 Agora o dividendo é um polinômio de grau 1, inferior ao grau do 
divisor. Portanto, chegamos ao final da divisão, obtendo o quociente 
2( ) 2 3 2,5Q x x x � � e o resto ( ) 2,5 5,5R x x � � , de fato, 
f(x) = g(x).Q(x) + R(x) 
 
ou seja, 
 
4x4 + 8x3 ± 2x + 3 = (2x2 + x + 1) (2x2 + 3x ± 2,5) + (-2,5x + 5,5) 
 
Observe que sempre dividimos um polinômio por outro de grau 
menor ou igual. E o resto sempre terá grau menor que o do dividendo. 
Isto é, só podemos dividir um polinômio de grau 5 por outro de grau 5 ou 
menor que este. E, se estivermos dividindo este polinômo por outro de 
grau 3, isto significa que o resto poderá ter, no máximo, grau 2. Isto é, 
este resto terá a forma R(x) = ax2 + bx + c (sendo que os coeficientes a, 
b e c podem ser iguais a zero). 
Um caso muito comum é a divisão de um polinômio P(x) por um 
divisor na forma (x ± a), onde ³D´� p� XPD� FRQVWDQWH� TXDOTXHU�� &RPR� R�
divisor é um polinômio de grau 1, o resto certamente terá grau zero, ou 
seja, será um valor constante. O teorema do resto nos diz que o resto 
dessa divisão é o próprio P(a). Entenda isso através do exemplo abaixo: 
 
Sendo P(x) = 5x4 + 8x3 ± 2x + 3, qual é o valor do resto da divisão 
de P(x) por (x ± 1)? 
Observe que o divisor é na forma (x ± a), onde a = 1. De acordo 
com o teorema acima, o resto é o próprio P(1), ou seja: 
 
Resto = P(1) = 5.14 + 8.13 ± 2.1 + 3 = 5 + 8 ± 2 + 3 = 14 
 
 E se quiséssemos saber o valor do resto da divisão deste polinômio 
por (x+2)? Temos novamente um divisor na forma (x ± a), porém neste 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 8 
caso a = -2. Afinal, [x ± (-2)] = (x + 2). O resto da divisão é justamente 
P(a), ou seja, P(-2): 
Resto = P(-2) = 5.(-2)4 + 8. (-2)3 ± 2. (-2) + 3 = 80 ± 64 + 4 + 3 = 23 
 
f) igualdade entre polinômios: para que dois polinômios f(x) e g(x) sejam 
iguais, é necessário e suficiente que os coeficientes que multiplicam as 
mesmas potências de x sejam iguais, ou seja, para os dois polinômios a 
seguir serem iguais 
4 3 2
1 1 1 1 1
4 3
( )
( ) 5 7 3 10
f x a x b x c x d x e
g x x x x
 � � � �
 � � � 
 
é necessário e suficiente que: 
1
1
1
1
1
5
7
0
3
10
a
b
c
d
e
 
 
 
 
 
 
Vamos agora aprender a tirar algumas conclusões sobre as raízes 
dos polinômios. 
 
a) soma das raízes de um polinômio de 3º ou 4º graus: a soma das raízes 
de um polinômio de 3º ou 4º graus, dos tipos (ax3 + bx2 + cx + d) e (ax4 
+ bx3 + cx2 + dx + e), respectivamente, é dada por 
bSoma
a
� 
 
 
Dessa forma, no polinômio f(x) = 5x4 + 8x3 ± 2x + 3, em que a = 5 
e b = 8 temos que a soma das raízes é igual a -8/5. 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 9 
 
b) produto das raízes de um polinômio: o produto das raízes de um 
polinômio de 3º ou 4º graus, dos tipos (ax3 + bx2 + cx + d) e (ax4 + bx3 
+ cx2 + dx + e), respectivamente, é dado por: 
 
Pr _ _ _ 3
Pr _ _ _ 4
o
o
d
oduto das raizes grau
a
e
oduto das raizes grau
a
� 
 
 
 
c) Teorema das raízes complexas: antes de ver essa propriedade das 
raizes, vamos relembrar brevemente o que são números complexos. 
 
 
 
NÚMEROS COMPLEXOS 
 Como já vimos anteriormente, não existe raiz quadrada de número 
negativo no conjunto dos números reais. 
 3DUD�³VROXFLRQDU´�HVWH�SUREOHPD��IRL�FULDGR�R�FRQMXQWR�GRV�Q~PHUos 
complexos, através da definição da unidade imaginária, simbolizada pela 
letra i, sendo que: 
1i � 
 Observe que: 
� �22 1 1i � � 
 Um número complexo é formado por duas partes: uma parte real e 
uma parte imaginária. Costumamos designar um número complexo pela 
letra z, e os escrevemos na forma z a b i � u , ou simplesmente z = a + 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 10 
EL�� 1HVWH� FDVR�� ³D´� UHSUHVHQWD� D� SDUWH� UHDO� GR� Q~PHUR� FRPSOH[R� H� ³E´�
representa a parte imaginária. 
 Exemplificando, veja os números complexos abaixo: 
z = 3 + 5i Æ 3 é a parte real e 5 é a parte imaginária 
w = 2 ± 3i Æ 2 é a parte real e -3 é a parte imaginária 
 
 Chamamos de conjugado de um número complexo aquele que 
apresenta a mesma parte real e a parte imaginária com o sinal oposto. 
Veja abaixo os conjugados dos números complexos z e w vistos 
anteriormente: 
3 5
2 3
z i
w i
 �
 � 
***************************** 
 Agora sim vamos ao Teorema das raízes complexas. Este Teorema 
diz que caso um número complexo z a b i � u seja raiz de um polinômio, 
o seu conjugado z também será uma raiz daquele polinômio. 
 Dessa forma, podemos afirmar que caso um polinômio tenha raízes 
complexas, ele o terá em números pares. Como consequência, podemos 
dizer também que caso o polinômio tenha grau ímpar, pelo menos uma 
raiz deve ser real. 
 
1.2. FUNÇÕES RACIONAIS 
Uma função racional é obtida a partir da divisão de dois polinômios. 
Algo como: 
f(x) = P(x) / Q(x), 
onde tanto P como Q são dois polinômios. 
Para que seja possível calcular o valor desta função em um 
determinado ponto x, é preciso que o denominador seja diferente de zero, 
isto é, precisamos que Q(x) não seja igual a zero. Portanto, podemos 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 11 
dizer que o domínio de uma função racional é formado por todos os 
números reais, exceto aquele(s) que torna(m) Q(x) igual a zero. Como 
HVVHV�SRQWRV�SUHFLVDP�VHU�³UHWLUDGRV´�GR�GRPtQLR��R�JUiILFR�GDV� IXQo}HV�
racionais podem apresentar descontinuidades, isto é, interrupções. Para 
exemplificar, vamos trabalhar com a seguinte função racional: 
f(x) = 1 / (x-1) 
 
Repare que esta função é dada pela divisão de dois polinômios. 
Neste caso temos P(x) = 1, isto é, um polinômio de grau zero, constante. 
E temos Q(x) = x ± 1, um polinômiode grau 1. Repare que Q(x) é igual a 
zero quando temos x = 1. Portanto, é preciso excluir x = 1 do domínio da 
função, pois neste ponto não é possível calculá-la. Vamos calcular alguns 
pontos da função. Veja isso na tabela abaixo: 
 
x f(x) = 1 / (x ± 1) 
-4 -0,2 
-2 -0,33 
-1 -0,5 
0 -1 
1 (fora do domínio) 
2 1 
4 0,33 
6 0,2 
 
 Veja abaixo um esboço do gráfico desta função: 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 12 
 
Fonte: www.calculo.iq.unesp.br 
 
 Note que para x = 1 a função não possui valor. Note ainda que 
quanto mais nos aproximamos de x = 1, pela esquerda ou pela direita, o 
valor da função distancia-se de zero indefinidamente (para cima ou para 
baixo). Por exemplo, para x = 1,00001, temos: 
f(1,00001) = 1 / (1,00001 ± 1) = 1 / 0,00001 = 100.000 
 
 E note que, para x = 0,99999, temos: 
f(0,99999) = 1 / (0,99999 ± 1) = 1 / (-0,00001) = -100.000 
 
 Repare ainda nas extremidades esquerda e direita do gráfico. Note 
que, para ambos os lados, à medida que nos distanciamos da origem (x = 
0), a curva vai se aproximando do eixo horizontal (por cima ou por 
baixo). Por exemplo, para x = 1.001, ficamos com: 
f(1.001) = 1 / (1.001 ± 1) = 1 / 1.000 = 0,001 
 
 E veja que para x = -999 temos: 
f(-999) = 1 / (-999 ± 1) = 1 / (-1.000) = -0,001 
 
 Logo, podemos dizer que a função se aproxima bastante do eixo 
horizontal, mas nunca chega exatamente a tocá-lo. De maneira mais 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 13 
formal, podemos dizer que o gráfico se aproxima assintoticamente do 
eixo horizontal, isto é, o eixo onde y = 0 é uma assíntota do gráfico. 
 Aqui vale frisar o seguinte: a divisão de qualquer número por zero é 
impossível. É por isso que a função não pode ser definida nos pontos onde 
Q(x) é igual a zero. Há apenas uma exceção: a divisão de zero por zero 
não é impossível, e sim possível, porém com resultado indeterminado. 
Qual a diferença prática? A diferença é que, se por acaso o ponto onde 
Q(x) é igual a 0 também tornar o numerador igual a 0, não teremos uma 
interrupção brusca no gráfico, como vimos anteriormente, mas apenas 
XP� ³IXUR´� QR� JUiILFR�� QDTXHOH� SRQWR� RQGH� R� UHVXOWDGR� p� LQGHWHUPLQDGR��
Exemplificando, veja esta função racional: 
f(x) = (x2 ± 1) / (x ± 1) 
 
 Note que temos a divisão do polinômio de segundo grau P(x) = x2 ± 
1 pelo polinômio de primeiro grau Q(x) = x ± 1. Note que o denominador 
Q(x) é igual a zero quando temos x = 1. Mas veja que, neste mesmo 
ponto, P(x) também será igual a zero, pois 12 ± 1 = 0. Deste modo, no 
ponto x = 1 não temos uma interrupção brusca como no primeiro caso, 
PDV� DSHQDV� XP� ³IXUR´�� XP� SRQWR� SDUD� R� TXDO� QmR� FRQVHJXLPRV�
determinar o valor da função. Desconsiderando o ponto onde x = 1, 
podemos fatorar a função e simplifica-la assim: 
f(x) = (x2 ± 1) / (x ± 1) 
f(x) = (x ± 1).(x + 1) / (x ± 1) 
f(x) = x + 1 
 
 Portanto, repare que o gráfico da função será simplesmente o 
gráfico de f(x) = x + 1, que é uma função de primeiro grau (uma reta). A 
única diferença é que, agora, não vamos definir a função no ponto x = 1, 
LVWR�p��SUHFLVDPRV�GHL[DU�XP�³IXUR´�QDTXHOH�SRQWR��$OJR�DVVLP� 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 14 
 
 
 Simples, não? Calcule alguns pontos desta função racional, 
substituindo valores para x, e veja que o gráfico é exatamente este que 
desenhamos! 
 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 15 
 
2. RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS 
 Trabalharemos agora alguns exercícios de fixação, um exercício do 
ENEM e também exercícios de outros vestibulares. O assunto desta aula 
não é um assunto muito cobrado pelo ENEM. Por esse motivo, 
aproveitaremos essa aula para fazer mais exercícios sobre o tema da aula 
anterior: gráficos e funções, funções algébricas do 1º e do 2º graus e 
relações de dependência entre grandezas. Lembre-se: é muito importante 
que você execute os cálculos à mão, pois é assim que você deverá fazer 
na hora da prova. Além disso, é com a prática que vamos ficar cada vez 
melhores. 
 
 
 
1. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Calcule o valor de f(x) para x = 2 no 
seguinte polinômio: 
f(x) = 5x4 + 8,05x3 ± 2x + 35 
RESOLUÇÃO: 
 Basta substituir x=2 na expressão de f(x): 
f(x) = 5x4 + 8,05x3 ± 2x + 35 
f(2) = 5(2)4 + 8,05(2)3 ± 2(2) + 35 
f(2) = 5(16) + 8,05(8) ± 4 + 35 
f(2) = 80 + 64,4 + 31 
f(2) = 175,4 
RESPOSTA: 175,4 
 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 16 
2. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Diga se a função abaixo é um polinômio e 
justifique. 
f(x) = 5x4 + 8,05x3 ± 2ix + 35 
RESOLUÇÃO: 
 Repare qXH�R�FRHILFLHQWH�GH�³[´�p��L��RX�VHMD��XP�Q~PHUR�FRPSOH[R��
Para ser polinômio, todos os coeficientes têm que ser números reais. 
Portanto, f(x) não é uma função polinomial. 
RESPOSTA: F 
 
3. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Qual o resto da divisão do polinômio x3 + 
2x2 + 1 pelo polinômio x2 + 3x + 3 ? 
RESOLUÇÃO: 
 Devemos começar dividindo o termo de maior grau do dividendo 
(x3) pelo termo de maior grau do divisor (x2), que tem por quociente x: 
x3 + 2x2 + 1 | x2 + 3x + 3 
 x 
 
Agora devemos multiplicar o termo encontrado x pelo divisor (x2 + 
3x + 3): 
x(x2 + 3x + 3) = x3 + 3x2 + 3x 
 
 A seguir, subtraímos o resultado acima do dividendo: 
x3 + 2x2 + 1 | x2 + 3x + 3 
 - (x3 + 3x2 + 3x) x 
 = 0 - x2 - 3x + 1 
 
Agora vamos dividir o termo de maior expoente do resultado (-x2) 
pelo termo de maior expoente do divisor (x2), obtendo o resultado (-1), 
que devemos somar ao quociente já encontrado: 
x3 + 2x2 + 1 | x2 + 3x + 3 
 - (x3 + 3x2 + 3x) x - 1 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 17 
 = 0 - x2 - 3x + 1 
 
Multiplicando o termo (-1) pelo divisor (x2 + 3x + 3), e depois 
subtraindo do dividendo, temos: 
x3 + 2x2 + 1 | x2 + 3x + 3 
 - (x3 + 3x2 + 3x) x - 1 
 = 0 - x2 - 3x + 1 
 - (-x2 - 3x - 3) 
 
Reescrevendo a última linha e efetuando a subtração temos: 
 
x3 + 2x2 + 1 | x2 + 3x + 3 
 - (x3 + 3x2 + 3x) x - 1 
 = 0 - x2 - 3x + 1 
 + x2 + 3x + 3 
 = 4 
 
Logo, o resto da divisão é 4. 
RESPOSTA: 4 
 
4. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Supondo que a representação gráfica a 
seguir seja de um polinômio, qual o grau do mesmo? 
04178253905MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 18 
 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que o gráfico corta em três pontos o eixo x, ou seja, nesses 
três pontos o valor da função é nula. As raízes de uma função f(x) (no 
nosso caso um polinômio) são aqueles valores de x para os quais a 
função tem valor nulo. Logo, temos três raízes. O grau do polinômio tem 
uma relação intrínseca com o número de raízes. Se temos três raízes 
podemos afirmar com certeza que estamos diante de um polinômio de 
grau 3. 
RESPOSTA: 3 
 
5. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Seja h(x) a função resultante do produto 
dos polinômios f(x) = 5x4 + 8x3 ± 2x + 3 e g(x) = 3x4 + x + 1. Calcule 
h(1). 
RESOLUÇÃO: 
h(x) = f(x) . g(x) = (5x4 + 8x3 ± 2x + 3) . (3x4 + x + 1) 
 
Multiplicando cada termo de f(x) por todos os termos de g(x): 
h(x) = f(x) . g(x) = (5x4.3x4 + 5x4.x + 5x4.1) + (8x3.3x4 + 8x3.x + 8x3.1) 
+ (± 2x .3x4 ± 2x .x ± 2x . 1) + (3.3x4 + 3.x + 3.1) 
 
 Efetuando as multiplicações dentro dos parênteses: 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 19 
h(x) = (15x8 + 5x5 + 5x4) + (24x7 + 8x4 + 8x3) + (± 6x5 ± 2x2 ± 2x) + 
(9x4 + 3x + 3) 
 
 Somando os termos de mesmo expoente: 
h(x) = 15x8 + 24x7 ± x5 + 22x4 + 8x3 ± 2x2 + x + 3 
 
 Assim, h(1) é dado por: 
h(1) = 15 + 24 ± 1 + 22 + 8 ± 2 + 1 + 3 
h(1) = 70 
RESPOSTA: 70 
 
6. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Qual o resto da divisão do polinômio x3 + 
2x2 + 1 pelo polinômio x - 1? 
RESOLUÇÃO: 
Podemos resolver de maneira bem mais rápida o exercício 
utilizando o teorema do resto. Ele nos diz que na divisão de um polinômio 
P(x) por outro de forma x ± a, o resto da divisão é P(a). 
No nosso caso, P(x) = x3 + 2x2 + 1, e a = 1. Logo: 
P(1) = 13 + 2(12)+ 1 = 1 + 2 + 1 = 4 
RESPOSTA: 4 
 
7. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) As raízes do polinômio f(x) têm soma igual 
a -2 e produto igual 2. Se uma das raízes é igual ao oposto da outra, 
quais são as raízes? 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos chamar de x1, x2 e x3 as raízes do polinômio f(x). Do 
enunciado temos o seguinte sistema de equações: 
1 2 3
1 2 3
1 2
2
2
x x x
x x x
x x
 ­° � � �®° �¯ 
 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 20 
 Substituindo a terceira equação na segunda, temos: 
2 2 3
3
2
2
x x x
x
� � � �
 � 
 
 Substituindo esta última informação e a terceira equação na 
primeira, temos: 
2 2
2
2
2
1
( 2) 2
1
1
1
x x
x
x
x
� � 
 
 
 � 
RESPOSTA: (-1;1;-2) 
 
8. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Utilizando as informações da questão 
anterior e sabendo que o polinômio em questão é da forma f(x) = x3 + 
bx2 + x + d, identifique os valores de b e d. 
RESOLUÇÃO: 
 A soma das raízes de um polinômio de 3º grau é dada por: 
bSoma
a
� 
 
 
 Do enunciado temos que a = 1. As raízes do polinômio f(x) têm 
soma igual a -2. Portanto, -2 = -b/1, o que leva a b = 2. 
O produto das raízes de um polinômio de 3º grau é dado por: 
Pr doduto
a
� 
 
 
As raízes do polinômio f(x) têm produto igual 2. Portanto, 2 = -d/1, 
o que nos leva a d = -2. 
Logo, b e d valem, respectivamente, 2 e -2. 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 21 
RESPOSTA: 2; -2 
 
9. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Sabendo que um polinômio de terceiro 
grau tem como raízes x1 = 2 e x2 = i, quais são, respectivamente, os 
valores da soma e do produto das raízes desse polinômio? 
RESOLUÇÃO: 
 O polinômio é de terceiro grau, logo, ele obrigatoriamente tem três 
raízes. Como uma das raízes é complexa, pelo teorema das raízes 
complexas sabemos que o conjugado dessa raiz também será uma raiz. 
Portanto, as três raízes do polinômio ficam sendo: x1 = 2; x2 = i e x3 = -i. 
 A soma das raízes fica sendo: 
Soma = 2 + i ± i = 2 
 O produto das raízes fica sendo: 
Produto = 2 x i x (-i) 
Produto = 2 x (-i2) 
 
 Como � �22 1 1i � � , então temos: 
Produto = 2 
RESPOSTA: 2;2 
 
10. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Qual o domínio da função abaixo? 
3 22 1( )
33
x xf x
x
� � � 
RESOLUÇÃO: 
 Na aula passada vimos que o domínio de uma função é o conjunto 
onde a função é definida, ou seja, contém todos os elementos de x que 
serão ligados a elementos de y. 
 O enunciado nos apresentou uma função racional, caracterizada 
pela divisão de dois polinômios. Para que seja possível calcular o valor 
desta função em um determinado ponto x, é preciso que o seu 
denominador seja diferente de zero. Portanto, podemos dizer que o 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 22 
domínio desta função é formado por todos os números reais, exceto 
aquele que torna o denominador igual a zero, ou seja, x = 33. 
 Para representar matematicamente esse conjunto domínio podemos 
utilizar a seguinte notação: R ± {33}, ou seja, números reais menos o 
número 33. 
RESPOSTA: R ± {33} 
 
11. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Qual o domínio da função abaixo? 
3 2
2
2 1( )
3 2
x xf x
x x
� � � � 
RESOLUÇÃO: Para que seja possível calcular o valor desta função em um 
determinado ponto x, é preciso que o seu denominador seja diferente de 
zero, ou seja: 
2 3 2 0x x� � z 
 
 Veja que o denominador é uma função de segundo grau, a qual 
assume valores nulos quando x é igual a suas raízes. Assim, vamos 
encontrar as raízes dessa função de segundo grau em que consiste o 
denominador: 
2 2
1
2
4 ( 3) 4(1)(2)
9 8 1
( 3) 1
2 2(1)
2
1
b ac
b
x
a
x
x
' � � �
' � 
� r ' � � r 
 
 
 
 Assim, para os valores de x = 1 e x = 2 a função apresentada no 
enunciado torna-se impossível, pois estaríamos diante da divisão de um 
número real (numerador) por zero, o que é impossível (repare que para x 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 23 
= 1 e x = 2 a função presente no numerador não assume valor zero, caso 
em que teríamos um resultado indeterminado, fruto da divisão de zero 
por zero). 
 Logo, o conjunto domínio da função apresentada no enunciado é R 
± {1;2}. 
RESPOSTA: R ± {1;2} 
 
12. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) A divisão de um polinômio f(x) por (x ± 
1) deixa resto 5. Já a divisão de f(x) por (x + 3) deixa resto -2. Qual o 
resto da divisão de f(x) por (x-1)(x+3)? 
RESOLUÇÃO: 
 Pelo teorema do resto que vimos acima, se f dividido por (x ± 1) 
tem resto igual a 5, isto significa que f(1) = 5. E se f dividido por (x + 3) 
tem resto igual a -2, isto indica que f(-3) = -2. 
 O polinômio (x ± 1).(x + 3) terá grau 2. Assim, ao dividir f por este 
polinômio, o grau do resto será, no máximo, igual a 1. Genericamente, 
podemos representar este resto por R(x) = ax + b, sendo que a e/ou b 
podem seriguais a zero. 
 
 Assim, lembrando que P(x) = Q(x).D(x) + R(x), temos que: 
f(x) = Q(x).(x ± 1).(x + 3) + ax + b 
 
 Como f(1) = 5, substituindo x por 1 temos: 
f(1) = Q(1).(1 ± 1).(1 + 3) + a.1 + b 
5 = Q(1).(0).(1 + 3) + a + b 
5 = a + b 
 
 E como f(-3) = -2, podemos substituir x por ±3: 
f(-3) = Q(-3).(-3 ± 1).(-3 + 3) + a.(-3) + b 
-2 = Q(-3).(-3 ± 1).(0) + -3a + b 
-2 = -3a + b 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 24 
 
 Portanto, temos um sistema linear com 2 equações e duas variáveis 
(a e b): 
5 = a + b 
-2 = -3a + b 
 
 Da primeira equação temos que b = 5 ± a. Substituindo na 
segunda: 
-2 = -3a + (5 ± a) 
-2 = -4a + 5 
4a = 5 + 2 
a = 7 / 4 
 Logo, 
b = 5 ± a = 5 ± 7/4 = 13 / 4 
 
 Portanto, 
R(x) = ax + b = (7/4)x + 13/4 
RESPOSTA: (7/4)x + 13/4 
 
13. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Sobre o polinômio f(x) = x3 + 3x2 ± 6x ± 
18, pode-se afirmar que: 
a) existem duas raízes reais e uma complexa 
b) a maior raiz é o dobro da menor 
c) não possui raízes reais 
d) o produto das raízes é igual a 18 
e) a soma das raízes é igual a 6 
RESOLUÇÃO: 
 Pelo teorema das raízes complexas, se um polinômio tiver uma raiz 
complexa, a conjugada desta também será uma raiz. Ou seja, fica 
impossível ter um número ímpar (um, por exemplo) de raízes complexas 
como diz a letra A. 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 25 
 Vamos encontrar as raízes do polinômio, colocando em evidência os 
termos que se repetem. 
3 2
2
3 6 18 0
( 3) 6( 3) 0
x x x
x x x
� � � 
� � � 
2( 6)( 3) 0x x� � 
 
 Para que um produto seja nulo, algum de seus fatores deve ser 
nulo. Logo: 
1
2
2
2 3
3 0 3
6 0
6 6 6
x x
x
x x x
� o �
� 
 o o � 
 
 Como podemos ver, a maior raiz não é o dobro da menor, tornando 
a letra B falsa. Veja também que todas as raízes são reais, o que torna a 
letra C falsa. 
 O produto das raízes de fato é igual a 18. Se não tivéssemos 
encontrado as raízes, poderíamos obter o produto delas pela fórmula a 
seguir: 
Pr doduto
a
� 
 
Produto = -(-18)/1 = 18 
 
 Veja que a soma das raízes não é 6. Se não tivéssemos encontrado 
as raízes, poderíamos obter a soma delas pela fórmula a seguir: 
bSoma
a
� 
 
Soma = -3/1 = -3 
RESPOSTA: D 
 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 26 
14. ENEM ± 2014) Um professor, depois de corrigir as provas de sua 
turma, percebeu que várias questões estavam muito difíceis. Para 
compensar, decidiu utilizar uma função polinomial f, de grau menor que 
3, para alterar as notas x da prova para notas y = f(x), da seguinte 
maneira: 
‡�D�QRWD�]HUR�SHUPDQHFH�]HUR� 
‡�D�QRWD����SHUPDQHFH���� 
‡�D�QRWD���SDVVD�D�VHU�� 
A expressão da função y=f(x) a ser utilizada pelo professor é 
$��\� ����[2 + 7/5x 
%��\� ����[2 + 2x 
C) y = 1/21 x2 + 7/12x 
D) y = 4/5x + 2 
E) y = x 
RESOLUÇÃO: 
 
 A função polinomial utilizada pelo professor é de grau menor que 
três. Vamos supor então que seja uma função de segundo grau, do tipo 
y = ax2 + bx + c 
 
 Vamos às condições: a nota zero permanece zero, ou seja, para x = 
0, y = 0. Veja que fazendo x = 0 temos y = c. Portanto, c = 0. 
 A nota 10 permanece 10. Para x = 10, temos: 
y = ax2 + bx 
10 = a(10)2 + b(10) 
10 = 100a + 10b 
(1) 1 = 10a + b 
 
A nota 5 passa a ser 6. 
y = ax2 + bx 
6 = a(5)2 + b(5) 
(2) 6 = 25a + 5b 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 27 
 
Vamos multiplicar por 5 a expressão (1) e subtraí-la da expressão 
(2): 
6 = 25a + 5b 
 - (5 = 50a + 5b) 
1 = -25a 
a = -1/25 
 
 Aqui já poderíamos marcar a alternativa correta. No entanto, 
vamos calcular b: 
1 = 10a + b 
1 = 10(-1/25) + b 
b = 1 + 10/25 
b = 35/25 = 7/5 
 
Logo, a expressão da função y=f(x) a ser utilizada pelo professor é 
\� ����[2 + 7/5x 
 
 Outra forma de resolver esse exercício seria testar nas alternativas 
as condições dadas no enunciado. Veja se é mais rápido para você 
resolver dessa outra maneira. Na hora da prova toda economia de tempo 
pode ser vantajosa. 
Resposta: A 
 
15. SENAC-SP ± VESTIBULAR ± 2013) Sendo P(x) e Q(x) dois 
polinômios de grau 1 e sabendo que P(x) + Q(x) = 7x + 5 e P(x��í�4�[��
 �í�[������R�SURGXWR�3�[����4�[��FRUUHVSRQGH�D 
a) 12x2 + 6. 
b) 12x2 + 18x + 6. 
F����[2 �[����� 
G����[2 + 6. 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 28 
H����[2 + 12x + 6. 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos supor que P(x) = ax + b e Q(x) = cx + d, visto que ambos 
são polinômios do primeiro grau. Como P(x) + Q(x) = 7x + 5, temos: 
ax + b + cx + d = 7x + 5 
(a+c)x + (b+d) = 7x + 5 
a+c=7 
b+d=5 
 
Como P(x��í�4�[�� �í�[����, temos: 
ax + b í cx í d =í x + 1 
(aíc)x + (bíd) =í x + 1 
aíc=í1 
bíd=1 
 
 Perceba que temos dois sistemas de equações, um envolvendo a e 
c, outro envolvendo b e d. Vamos resolvê-los: 
a+c=7 
+(aíc=í1) 
2a=6 
a=3 
a+c=7 
3+c=7 
c=4 
 
b+d=5 
+(bíd=1) 
2b=6 
b=3 
b+d=5 
3+d=5 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 29 
d=2 
 
 Logo, P(x) = 3x + 3 e Q(x) = 4x + 2. O produto P(x) . Q(x) 
corresponde a: 
P(x) . Q(x) = (3x + 3)(4x + 2) 
P(x) . Q(x) = 12x2+6x+12x+6 
P(x) . Q(x) = 12x2+18x+6 
RESPOSTA: B 
 
16. PUC-PR ± VESTIBULAR ± 2012) Sabe-se que a representação 
gráfica de uma função polinomial do 1º grau é uma reta. Se 
FRQVLGHUDUPRV�DV�IXQo}HV�I�[�� ������[��������J�[�� ������[�����2 e 
K�[�� �����[���P����FRP�VHXV�UHVSHFWLYRV�JUiILFRV�QXP�PHVPR�SODQR�
cartesiano, qual o valor de m para que os três gráficos sejam 
concorrentes num único ponto? 
a) 28 
b) 36 
c) 58 
d) 48 
e) 14 
RESOLUÇÃO: 
 Para que os três gráficos sejam concorrentes num único ponto 
basta igualar a equação dos três para identificar quais os valores de x e y 
no qual isso ocorre. Vamos igualar f(x) e g(x). 
5 21 5 7
12 6 16 2
x x� � �
 
 
Multiplicando os dois lados da equação por 12 e por 16, temos: 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 30 
(16)5 21(16)(2) 5(12) 7(16)(6)
80 672 60 672
140 1344
1344 192 48
140 20 5
x x
x x
x
x
� � �
� � �
 
 
 
5 21 5 48 21(10)
12 6 12 5 6(10)
240 210 30 1
60 60 2
y x
y
 � �
� 
 
 
Sabendoque os três gráficos se encontram no ponto (48/5;1/2), 
então h(x) também passa por esse ponto. Logo: 
1( )
4 20
1 1 48
2 4 5 20
10 48
20 20 20
10 48
58
mh x x
m
m
m
m
 � �
 � �
 � �
 � �
 
RESPOSTA: C 
 
17. COLÉGIO PEDRO II ± ENG. CIVIL ± 2015) O polinômio 
Px2+5x+R=0 possui raízes inteiras, uma múltipla da outra, os coeficientes 
P e R são números inteiros e positivos. Os valores de P e R são, 
respectivamente, 
a) 1 e 4 
b) 2 e 2 
c) 4 e 1 
d) 1 e 6 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 31 
e) 3 e 2 
RESOLUÇÃO: 
 Lembre-se da fórmula de Báskara para encontrar as raízes de uma 
equação de segundo grau. Vamos aplica-la em cada alternativa, de forma 
a determinar as raízes: 
ALTERNATIVA A: x2+5x+4 =0; delta = 25-4.4=9; x1=-1 e x2=-4 
ALTERNATIVA B: 2x2+5x+2 =0; delta = 25-4.2.2=9; x1=-1/2 e x2=-2 
ALTERNATIVA C: 4x2+5x+1 =0; delta = 25-4.4=9; x1=-1/4 e x2=-1 
ALTERNATIVA D: x2+5x+6 =0; delta = 25-4.6=1; x1=-2 e x2=-3 
ALTERNATIVA E: 3x2+5x+2 =0; delta = 25-4.3.2=1; x1=-4/6 e x2=-1 
 
 Veja que só temos raízes inteiras em A e D. Veja também que em D 
as raízes não são uma múltipla da outra. Logo, ficamos com a letra A. 
RESPOSTA: A 
 
18. UNICENTRO ± UNICENTRO ± 2012) Se a1 e a2 são as raízes reais 
da equação x6 ± 7x3 ± 8 = 0, e a1 < a2, então a1 ± a2 é igual a 
 a) ±3 
 b) ±2 
 c) ±1 
 d) 0 
 e) 1 
RESOLUÇÃO: 
x6 ± 7x3 ± 8 = 0 
 
 Se chamarmos x3 de y, temos que: 
x3 = y 
x6 = (x3)2 = y2 
 
 Portanto, podemos escrever a equação: 
y2 ± 7y ± 8 = 0 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 32 
 Resolvendo essa equação de segundo grau, temos: 
2( 7) ( 7) 4.1.( 8)
2.1
y � � r � � � 
7 81
2
y r 
7 9
2
y r 
y = 8 ou y = -1 
 
 Lembrando que y = x3, então 3x y : 
3 1 1x � � 
3 8 2x 
 
 Como a1 < a2, então a1 = -1 e a2 = 2, de modo que: 
a1 ± a2 = -1 ± 2 = -3 
Resposta: A 
 
19. ENEM - 2008) A figura abaixo representa o boleto de cobrança da 
mensalidade de uma escola, referente ao mês de junho de 2008. 
 
Se M(x) é o valor, em reais, da mensalidade a ser paga, em que x é o 
número de dias em atraso, então 
A) M(x) = 500 + 0,4x. 
B) M(x) = 500 + 10x. 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 33 
C) M(x) = 510 + 0,4x. 
D) M(x) = 510 + 40x. 
E) M(x) = 500 + 10,4x. 
RESOLUÇÃO: 
 O valor da mensalidade parte de 500 reais, caso seja pago com x=0 
dias de atraso. No caso de atraso, é cobrada uma multa pontual de 10 
reais e mais 0,40 reais por dia de atraso. Logo, a partir do primeiro dia de 
atraso a mensalidade já vai ser acrescida da multa, ou seja, o valor M(x) 
parte de 510 reais para x maior que zero. 
 A cada dia de atraso são acrescidos 0,40 centavos. Assim, após um 
atraso de x dias, um total de 0,40x é acrescido aos 510 reais para obter o 
valor da mensalidade com atraso M(x). Logo: 
M(x) = 510 + 0,4x 
Resposta: C 
 
20. ENEM - 2007) O gráfico abaixo, obtido a partir de dados do 
Ministério do Meio Ambiente, mostra o crescimento do número de 
espécies da fauna brasileira ameaçadas de extinção. 
 
Se mantida, pelos próximos anos, a tendência de crescimento mostrada 
no gráfico, o número de espécies ameaçadas de extinção em 2011 será 
igual a 
A) 465. 
B) 493. 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 34 
C) 498. 
D) 538. 
E) 699. 
RESOLUÇÃO: 
 Se mantida a tendência de crescimento mostrada no gráfico 
teremos a seguinte reta descrevendo o número de espécies ameaçadas 
de extinção nos próximos anos: 
 
 
 
 Bastar encontrarmos a equação da reta em vermelho acima e fazer 
com que o ano seja igual a 2011 para obter o número de espécies 
ameaçadas naquele ano. Mãos à obra. 
 Como você sabe, a função de primeiro grau, cuja representação 
gráfica é uma reta, é do tipo f(x) = y = ax + b. Veja que a nossa reta no 
gráfico passa pelos pontos (1983;239) e (2007;461). Substituindo na 
função f(x) temos: 
239 = 1983a + b 
461 = 2007a + b 
 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 35 
 Subtraindo uma equação da outra, temos: 
222 = 24a 
a = 9,25 
239 = 1983a + b 
239 = 1983x9,25 + b 
b = -18103,75 
 
 Logo, y = 9,25x ± 18103,75. Para x = 2011, temos: 
y = 9,25x2011 ± 18103,75 
y = 498 espécies ameaçadas de extinção. 
Resposta: C 
 
21. ENEM - 2006) Nos últimos anos, ocorreu redução gradativa da taxa 
de crescimento populacional em quase todos os continentes. A seguir, são 
apresentados dados relativos aos países mais populosos em 2000 e 
também as projeções para 2050. 
 
Com base nas informações dos gráficos mostrados, suponha que, no 
período 2050-2100, a taxa de crescimento populacional da Índia seja a 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 36 
mesma projetada para o período 2000-2050. Sendo assim, no início do 
século XXII, a população da Índia, em bilhões de habitantes, será 
A) inferior a 2,0. 
B) superior a 2,0 e inferior a 2,1. 
C) superior a 2,1 e inferior a 2,2. 
D) superior a 2,2 e inferior a 2,3. 
E) superior a 2,3. 
RESOLUÇÃO: 
 A população da Índia foi de 1008 milhões para 1572 milhões de 
habitantes de 2000 para 2050. Logo, a taxa de crescimento nesse período 
foi: 
 Taxa de crescimento = População2050 ± População2000 
 População2000 
 
Taxa de crescimento = 1572 ± 1008 = 55,95% 
 1008 
 
Se no período 2050-2100, a taxa de crescimento populacional da 
Índia for a mesma projetada para o período 2000-2050, teremos: 
 
Taxa de crescimento = População2100 ± População2050 
 População2050 
 
55,95% = População2100 ± 1572 
 1572 
 
População2100 = 2451 milhões 
 
 Logo, em bilhões, a população da Índia em 2100 seria superior a 
2,3. 
Resposta: E 
 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 37 
22. ENEM - 2011) O saldo de contratações no mercado formal no setor 
varejista da região metropolitana de São Paulo registrou alta. 
Comparando as contratações deste setor no mês de fevereiro com as de 
janeiro deste ano, houve incremento de 4 300 vagas no setor, totalizando 
880 605 trabalhadorescom carteira assinada. 
Disponível em: http://www.folha.uol.com.br. Acesso em: 26 abr. 2010 
(adaptado). 
Suponha que o incremento de trabalhadores no setor varejista seja 
sempre o mesmo nos seis primeiros meses do ano. Considerando-se que 
y e x representam, respectivamente, as quantidades de trabalhadores no 
setor varejista e os meses, janeiro sendo o primeiro, fevereiro, o 
segundo, e assim por diante, a expressão algébrica que relaciona essas 
quantidades nesses meses é 
A) y = 4 300x 
B) y = 884 905x 
C) y = 872 005 + 4 300x 
D) y = 876 305 + 4 300x 
E) y = 880 605 + 4 300x 
RESOLUÇÃO: 
 Comparando as contratações deste setor no mês de fevereiro com 
as de janeiro deste ano, houve incremento de 4 300 vagas no setor, 
totalizando 880 605 trabalhadores com carteira assinada. Ou seja, em 
fevereiro (x = 2) temos y = 880605. 
 O enunciado diz também que o incremento de trabalhadores no 
setor varejista é sempre o mesmo nos seis primeiros meses do ano. Logo, 
a cada mês há um incremento de 4300 vagas no setor. Logo, o nosso 
coeficiente angular a = 4300. Só precisamos encontrar o coeficiente linear 
b, o que faremos utilizando os dados do parágrafo anterior. Veja: 
y = ax + b 
880605 = 4300x2 + b 
b = 872.005 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 38 
 Logo, a expressão algébrica é y = 872.005 + 4.300x 
Resposta: C 
 
23. ENEM - 2011) O prefeito de uma cidade deseja construir uma 
rodovia para dar acesso a outro município. Para isso, foi aberta uma 
licitação na qual concorreram duas empresas. A primeira cobrou R$ 100 
000,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 350 
000,00, enquanto a segunda cobrou R$ 120 000,00 por km construído 
(n), acrescidos de um valor fixo de R$ 150 000,00. As duas empresas 
apresentam o mesmo padrão de qualidade dos serviços prestados, mas 
apenas uma delas poderá ser contratada. 
Do ponto de vista econômico, qual equação possibilitaria encontrar a 
extensão da rodovia que tornaria indiferente para a prefeitura escolher 
qualquer uma das propostas apresentadas? 
A) 100n + 350 = 120n + 150 
B) 100n + 150 = 120n + 350 
C) 100(n + 350) = 120(n + 150) 
D) 100(n + 350 000) = 120(n + 150 000) 
E) 350(n + 100 000) = 150(n + 120 000) 
RESOLUÇÃO: 
 A primeira empresa cobrou R$ 100 000,00 por km construído (n), 
acrescidos de um valor fixo de R$ 350 000,00. O valor cobrado pela 
empresa 1, que vamos chamar de y1 é dado por: 
y1 = 100.000n + 350.000 
 
 A segunda empresa cobrou R$ 120 000,00 por km construído (n), 
acrescidos de um valor fixo de R$ 150 000,00. O valor cobrado pela 
empresa 2, que vamos chamar de y2 é dado por: 
y2 = 120.000n + 150.000 
 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 39 
 A equação que possibilita encontrar a extensão da rodovia que 
tornaria indiferente para a prefeitura escolher qualquer uma das 
propostas apresentadas é obtida igualando os valores y1 e y2. Logo: 
100.000n + 350.000 = 120.000n + 150.000 
 
 Dividindo os dois lados da equação por 1000, temos: 
100n + 350 = 120n + 150 
Resposta: A 
 
24. ENEM - 2011) Uma indústria fabrica um único tipo de produto e 
sempre vende tudo o que produz. O custo total para fabricar uma 
quantidade q de produtos é dado por uma função, simbolizada por CT, 
enquanto o faturamento que a empresa obtém com a venda da 
quantidade q também é uma função, simbolizada por FT. O lucro total 
(LT) obtido pela venda da quantidade q de produtos é dado pela 
expressão LT(q) = FT(q) ± CT(q). Considerando-se as funções FT(q) = 5q 
e CT(q) = 2q + 12 como faturamento e custo, qual a quantidade mínima 
de produtos que a indústria terá de fabricar para não ter prejuízo? 
A) 0 
B) 1 
C) 3 
D) 4 
E) 5 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos encontrar a expressão que rege o lucro: 
LT(q) = FT(q) ± CT(q) 
LT(q) = 5q ± (2q + 12) 
LT(q) = 5q ± 2q ± 12 
LT(q) = 3q ± 12 
 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 40 
Para que não haja prejuízo, o lucro LT(q) deve ser maior ou igual a 
zero. Logo: 
3q ± 12 •�� 
�T�•��� 
T�•�� 
 
 A quantidade mínima de produtos que a indústria terá de fabricar 
para não ter prejuízo é 4. 
Resposta: D 
 
25. ENEM - 2010) Nos processos industriais, como na indústria de 
cerâmica, é necessário o uso de fornos capazes de produzir elevadas 
temperaturas e, em muitas situações, o tempo de elevação dessa 
temperatura deve ser controlado, para garantir a qualidade do produto 
final e a economia no processo. Em uma indústria de cerâmica, o forno é 
programado para elevar a temperatura ao longo do tempo de acordo com 
a função 
 
em que T é o valor da temperatura atingida pelo forno, em graus Celsius, 
e t é o tempo, em minutos, decorrido desde o instante em que o forno é 
ligado. Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a temperatura 
for 48°C e retirada quando a temperatura for 200°C. 
O tempo de permanência dessa peça no forno é, em minutos, igual a 
A) 100 
B) 108 
C) 128 
D) 130 
E) 150 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 41 
RESOLUÇÃO: 
 Antes de tudo, precisamos saber até qual temperatura devemos 
usar a equação de primeiro grau. Veja que até t = 100 minutos usamos a 
equação de primeiro grau e para t acima de 100 minutos usamos a 
equação de segundo grau. Vamos substituir t=100 na função de primeiro 
grau: 
7(100) 100 20 160
5
T ˜ � 
 
 
 Isso nos diz que até temperaturas de 160°C vamos utilizar a 
primeira expressão. Para temperaturas superiores vamos utilizar a 
segunda expressão. 
 Substituindo 48°C na função de primeiro grau, temos: 
7( ) 20
5
748 20
5
20min
T t t
t
t
 �
 �
 
 
Logo, são necessários 20 minutos para que o forno atinja a 
temperatura de 48°C para só então colocarmos a peça no seu interior. 
Vamos agora calcular quanto tempo é necessário para que o forno 
chegue em 200°C. 
2
2
2
2
2 16200 320
125 5
2 16 120 0
125 5
2 400 15000 0
200 7500 0
t t
t t
t t
t t
 � �
� � 
� � 
� � 
 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 42 
2
2
4
( 200) 4(1)(7500)
10000
b ac' �
' � �
' 
1
2
2
( 200) 10000 200 100
2 2
150
50
b
t
a
t
t
t
� r ' 
� � r r 
 
 
 
 
 Veja que encontramos dois valores de tempo para que o forno 
chegue a 200°C. No entanto, sabemos que só valores acima de 100 
minutos nos interessam nesse caso. Logo, em 150 minutos o forno chega 
em 200°C. Subtraindo os 20 minutos necessários para que ele chegue a 
48°C, temos que a peça temos que o tempo de permanência dessa peça 
no forno é de 130 minutos. 
Resposta: D 
 
26. ENEM ± 2015) Um estudante está pesquisando o desenvolvimento 
de certo tipo de bactéria.Para essa pesquisa, ele utiliza uma estufa para 
armazenar as bactérias. A temperatura no interior dessa estufa, em graus 
Celsius, é dada pela expressão T(h) = ± h² +22h ± 85, em que h 
representa as horas do dia. Sabe-se que o número de bactérias é o maior 
possível quando a estufa atinge sua temperatura máxima e, nesse 
momento, ele deve retirá-las da estufa. A tabela associa intervalos de 
temperatura, em graus Celsius, com as classificações: muito baixa, baixa, 
média, alta e muito alta. 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 43 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando o estudante obtém o maior número possível de bactérias, a 
temperatura no interior da estufa está classificada como 
(A) muito baixa. 
(B) baixa. 
(C) média. 
(D) alta. 
(E) muito alta. 
RESOLUÇÃO: 
 Veja a função fornecida no enunciado: 
T(h) = ± h² + 22h ± 85 
 
 Esta função nos apresenta uma relação entre as horas do dia (h) e 
a temperatura na estufa (T). Dizemos que esta é uma função de segundo 
JUDX�SRLV�QHOD� WHPRV�D�YDULiYHO� ³K´�HOHYDGD�j�VHJXQGD�SRWrQFLD�� LVWR�p��
h2. De maneira genérica, esta função pode ser escrita como: 
T(h) = a.h² + b.h + c 
 
 1D� H[SUHVVmR� DFLPD�� ³D´�� ³E´� H� ³F´� UHSUHVHQWDP� RV� Q~PHURV� TXH�
chamamos de coeficientes desta função. Comparando esta expressão com 
a original, podemos dizer que: a = -1; b = 22; e c = -85. 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 44 
 Nós queremos saber a temperatura máxima, ou seja, o maior valor 
possível de T. Em uma função de segundo grau, o seu valor máximo é 
dado por: 
 
4
Valor máximo
a
�' , onde: 
2 4b ac' � 
 
Utilizando os coeficientes da função dada pelo enunciado, temos: 
2
2
4
22 4.( 1).( 85)
484 4.85
484 340
144
b ac' �
' � � �
' �
' �
' 
 
 
Com isso, podemos calcular o valor máximo (temperatura máxima): 
 
4
(144)
 
4.( 1)
144
 
4
144
 
4
 36
Valor máximo
a
Valor máximo
Valor máximo
Valor máximo
Valor máximo
�' 
� �
� � �
 
 
 
 
 Portanto, a temperatura máxima é igual a 36 graus Celsius. É nesta 
temperatura que temos o maior número possível de bactérias, segundo o 
enunciado. Pela tabela fornecida, vemos que esta temperatura se 
classifica como alta: 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 45 
 
 Podemos marcar a alternativa D. 
RESPOSTA: D 
 
27. ENEM ± 2015) Uma padaria vende, em média, 100 pães especiais 
por dia e arrecada com essas vendas, em média, R$ 300,00. Constatou-
se que a quantidade de pães especiais vendidos diariamente aumenta, 
caso o preço seja reduzido, de acordo com a equação 
q = 400 ± 100p 
na qual q representa a quantidade de pães especiais vendidos 
diariamente e p, o seu preço em reais. 
A fim de aumentar o fluxo de clientes, o gerente da padaria decidiu fazer 
uma promoção. Para tanto, modificará o preço do pão especial de modo 
que a quantidade a ser vendida diariamente seja a maior possível, sem 
diminuir a média de arrecadação diária na venda desse produto. 
O preço p, em reais do pão especial nessa promoção deverá estar no 
intervalo: 
�$��5�������”�S���5������ 
�%��5�������”�S���5������ 
�&��5�������”�S���5������ 
�'��5�������”�S���5������ 
�(��5�������”�S���5������ 
RESOLUÇÃO: 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 46 
O enunciado diz que o preço do pão especial será modificado de 
modo que a quantidade a ser vendida diariamente seja a maior possível, 
sem diminuir a média de arrecadação diária na venda desse produto. 
 Podemos definir a arrecadação A do produto como sendo a 
quantidade q multiplicado pelo preço p. 
 No entanto sabemos que . Assim temos que a 
arrecadação é dada por: 
 
 A arrecadação média é de 300 reais por dia e não deve diminuir, 
conforme o enunciado. Logo temos a seguinte equação: 
ou seja, ou ainda 
 Resolvendo a equação temos: 
 
 Assim p=1 ou p=3. 
O preço atual do pão especial é obtido com a divisão da 
arrecadação média (300 reais) pela quantidade média de pães vendidos 
(100 pães). Logo, o preço atual do pão é de 3 reais. Para que o preço 
diminua, a quantidade aumente e a arrecadação se mantenha a mesma, o 
novo preço do pão especial deve ser p=1, portanto, pertencente ao 
LQWHUYDOR�5�������”�S���5������� 
Resposta: A 
 
28. ENEM - 2009) Um experimento consiste em colocar certa 
quantidade de bolas de vidro idênticas em um copo com água até certo 
nível e medir o nível da água, conforme ilustrado na figura a seguir. Como 
resultado do experimento, concluiu-se que o nível da água é função do 
número de bolas de vidro que são colocadas dentro do copo. 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 47 
 
O quadro a seguir mostra alguns resultados do experimento realizado. 
 
Qual a expressão algébrica que permite calcular o nível da água (y) em 
função do número de bolas (x)? 
A) y = 30x. 
B) y = 25x + 20,2. 
C) y = 1,27x. 
D) y = 0,7x. 
E) y = 0,07x + 6. 
RESOLUÇÃO: 
 A expressão algébrica que procuramos é do tipo y = ax +b. Vamos 
substituir valores de x e y dados na tabela nessa expressão para que 
possamos calcular a e b. Veja: 
6,35 = 5a + b 
6,70 = 10a + b 
 
 Subtraindo a primeira da segunda, temos: 
0,35 = 5a 
a = 0,07 
6,70 = 10a + b 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 48 
6,70 = 10x0,07 + b 
6,70 = 0,7 + b 
b = 6 
 
 Assim, a expressão é: 
y = 0,07x + 6 
Resposta: E 
 
29. ENEM - 2009) Uma pousada oferece pacotes promocionais para 
atrair casais a se hospedarem por até oito dias. A hospedagem seria em 
apartamento de luxo e, nos três primeiros dias, a diária custaria R$ 
150,00, preço da diária fora da promoção. Nos três dias seguintes, seria 
aplicada uma redução no valor da diária, cuja taxa média de variação, a 
cada dia, seria de R$ 20,00. Nos dois dias restantes, seria mantido o 
preço do sexto dia. Nessas condições, um modelo para a promoção 
idealizada é apresentado no gráfico a seguir, no qual o valor da diária é 
função do tempo medido em número de dias. 
 
De acordo com os dados e com o modelo, comparando o preço que um 
casal pagaria pela hospedagem por sete dias fora da promoção, um casal 
que adquirir o pacote promocional por oito dias fará uma economia de 
A) R$ 90,00. 
B) R$ 110,00. 
C) R$ 130,00. 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br49 
D) R$ 150,00. 
E) R$ 170,00. 
RESOLUÇÃO: 
 O preço da diária fora da promoção é de 150 reais. Logo, uma 
estadia convencional de 7 dias ficaria em 1050 reais. 
Já no caso da promoção, da primeira à terceira diária o valor seria 
de 150. A quarta diária seria 20 reais inferior, ou seja, 130 reais. A quinta 
diária seria 20 reais inferior, ou seja, 110 reais. A sexta diária seria 20 
reais inferior, ou seja, 90 reais. A sétima e a oitava diárias seguem o 
preço da sexta diária ou seja, 90 reais cada. Logo, no total, as oito diárias 
ficariam em: 
3x150 + 130 + 110 + 3x90 = 960 
 
Assim, a economia dessa opção em relação à anterior é de 1050 ± 
960 = 90 reais. 
Resposta: A 
 
30. ENEM - 2013) Na aferição de um novo semáforo, os tempos são 
ajustados de modo que, em cada ciclo completo (verde-amarelo-
vermelho), a luz amarela permaneça acesa por 5 segundos, e o tempo 
em que a luz verde permaneça acesa seja igual à 
2
3
do tempo em que a 
luz vermelha fique acesa. A luz verde fica acesa, em cada ciclo, durante X 
segundos e cada ciclo dura Y segundos. 
Qual é a expressão que representa a relação entre X e Y? 
A) �;��<������ �� 
B) �;��<������ �� 
C) �;��<������ �� 
D) �;��<������ �� 
E) �;��<�� 10 = 0 
RESOLUÇÃO: 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 50 
 Do enunciado temos que o ciclo do semáforo é de Y segundos. Por 
ciclo podemos entender o tempo que o semáforo leva para, por exemplo, 
acender a luz verde, apagar a luz verde e acender a luz amarela, apagar 
a luz amarela e acender a luz vermelha e, por fim, apagar a luz vermelha, 
quando então o ciclo se reinicia. De outra forma, podemos entender o 
ciclo (Y) como o resultado da soma abaixo: 
Tempo que a luz verde permanece acesa + Tempo que a luz amarela 
permanece acesa + Tempo que a luz vermelha permanece acesa 
 O enunciado nos informou que o tempo que a luz amarela 
permanece acesa é de 5 segundos. 
 Além disso, sabemos que o tempo em que a luz verde permaneça 
acesa é igual à 
2
3
do tempo em que a luz vermelha fique acesa, ou seja: 
Tempo que a luz verde permanece acesa =
2
3
 x Tempo que a luz vermelha 
permanece acesa. 
 Isolando, na expressão acima, o tempo que a luz vermelha 
permanece acesa, temos: 
Tempo que a luz vermelha permanece acesa = (3/2) x Tempo que a luz 
verde permanece acesa 
 Substituindo as informações acima na expressão do ciclo que 
mostramos no início da resolução temos: 
Ciclo = Tempo que a luz verde permanece acesa + 5 + (3/2) x Tempo 
que a luz verde permanece acesa 
 O enunciado nos disse que o Ciclo é de Y segundos e que o tempo 
que a luz verde permanece acesa é de X segundos, logo: 
Y=X+5+(3/2)X 
 
Multiplicando toda a equação por 2 temos: 
2Y=2X+10+3X 
2Y=5X+10 
5X+10-2Y=0 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 51 
5X-2Y+10=0 
Resposta: B 
 
31. ENEM - 2013) A temperatura T de um forno (em graus centígrados) 
é reduzida por um sistema a partir do instante de seu desligamento (t = 
0) e varia de acordo com a expressão � � 2 400,4
tT t � � com t em 
minutos. Por motivos de segurança, a trava do forno só é liberada para 
abertura quando o forno atinge a temperatura de 39ºC. Qual o tempo 
mínimo de espera, em minutos, após se desligar o forno, para que a porta 
possa ser aberta? 
A) 19,0 
B) 19,8 
C) 20,0 
D) 38,0 
E) 39,0 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos substituir T = 39ºC na expressão da queda de temperatura 
após o desligamento do forno. 
2
2
2
2
( ) 400
4
39 400
4
156 1600
1444
38
tT t
t
t
t
t
� �
� �
 � �
 
 
Resposta: D 
 
32. ENEM - 2012) As curvas de oferta e de demanda de um produto 
representam, respectivamente, as quantidades que vendedores e 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 52 
consumidores estão dispostos a comercializar em função do preço do 
produto. Em alguns casos, essas curvas podem ser representadas por 
retas. Suponha que as quantidades de oferta e de demanda de um 
produto sejam, respectivamente, representadas pelas equações: QO = ±
20 + 4P e QD = 46 ± 2P em que QO é quantidade de oferta, QD é a 
quantidade de demanda e P é o preço do produto. 
A partir dessas equações, de oferta e de demanda, os economistas 
encontram o preço de equilíbrio de mercado, ou seja, quando QO e QD se 
igualam. 
Para a situação descrita, qual o valor do preço de equilíbrio? 
A) 5 
B) 11 
C) 13 
D) 23 
E) 33 
RESOLUÇÃO: 
 Basta igualar QO e QD. Assim temos: 
±20 + 4P = 46 ± 2P 
6P = 66 
P = 11 
Resposta: B 
 
Fim de aula!!! Nos vemos na aula 07. Abraço, 
Prof. Arthur Lima 
Periscope: @ARTHURRRL 
Facebook: www.facebook.com/ProfArthurLima
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 53 
 
3. QUESTÕES APRESENTADAS NA AULA 
 
1. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Calcule o valor de f(x) para x = 2 no 
seguinte polinômio: 
f(x) = 5x4 + 8,05x3 ± 2x + 35 
 
2. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Diga se a função abaixo é um polinômio e 
justifique. 
f(x) = 5x4 + 8,05x3 ± 2ix + 35 
 
3. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Qual o resto da divisão do polinômio x3 + 
2x2 + 1 pelo polinômio x2 + 3x + 3 ? 
 
4. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Supondo que a representação gráfica a 
seguir seja de um polinômio, qual o grau do mesmo? 
 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 54 
5. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Seja h(x) a função resultante do produto 
dos polinômios f(x) = 5x4 + 8x3 ± 2x + 3 e g(x) = 3x4 + x + 1. Calcule 
h(1). 
 
6. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Qual o resto da divisão do polinômio x3 + 
2x2 + 1 pelo polinômio x - 1? 
 
7. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) As raízes do polinômio f(x) têm soma igual 
a -2 e produto igual 2. Se uma das raízes é igual ao oposto da outra, 
quais são as raízes? 
 
8. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Utilizando as informações da questão 
anterior e sabendo que o polinômio em questão é da forma f(x) = x3 + 
bx2 + x + d, identifique os valores de b e d. 
 
9. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Sabendo que um polinômio de terceiro 
grau tem como raízes x1 = 2 e x2 = i, quais são, respectivamente, os 
valores da soma e do produto das raízes desse polinômio? 
 
10. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Qual o domínio da função abaixo? 
3 22 1( )
33
x xf x
x
� � � 
 
11. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Qual o domínio da função abaixo? 
3 2
2
2 1( )
3 2
x xf x
x x
� � � � 
12. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) A divisão de um polinômio f(x) por (x ± 
1) deixa resto 5. Já a divisão de f(x) por (x + 3) deixa resto -2. Qual o 
resto da divisão de f(x) por (x-1)(x+3)? 
 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br55 
13. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Sobre o polinômio f(x) = x3 + 3x2 ± 6x ± 
18, pode-se afirmar que: 
a) existem duas raízes reais e uma complexa 
b) a maior raiz é o dobro da menor 
c) não possui raízes reais 
d) o produto das raízes é igual a 18 
e) a soma das raízes é igual a 6 
 
14. ENEM ± 2014) Um professor, depois de corrigir as provas de sua 
turma, percebeu que várias questões estavam muito difíceis. Para 
compensar, decidiu utilizar uma função polinomial f, de grau menor que 
3, para alterar as notas x da prova para notas y = f(x), da seguinte 
maneira: 
‡�D�QRWD�]HUR�SHUPDQHFH�]HUR� 
‡�D�QRWD����SHUPDQHFH���� 
‡�D�QRWD���SDVVD�D�VHU�� 
A expressão da função y=f(x) a ser utilizada pelo professor é 
$��\� ����[2 + 7/5x 
%��\� ����[2 + 2x 
C) y = 1/21 x2 + 7/12x 
D) y = 4/5x + 2 
E) y = x 
 
15. SENAC-SP ± VESTIBULAR ± 2013) Sendo P(x) e Q(x) dois 
polinômios de grau 1 e sabendo que P(x) + Q(x) = 7x + 5 e P(x��í�4�[��
 �í�[������R�SURGXWR�3�[����4�[��FRUUHVSRQGH�D 
a) 12x2 + 6. 
b) 12x2 + 18x + 6. 
F����[2 �[����� 
G����[2 + 6. 
H����[2 + 12x + 6. 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 56 
 
16. PUC-PR ± VESTIBULAR ± 2012) Sabe-se que a representação 
gráfica de uma função polinomial do 1º grau é uma reta. Se 
FRQVLGHUDUPRV�DV�IXQo}HV�I�[�� ������[��������J�[�� ������[�����2 e 
K�[�� �����[���P����FRP�VHXV�UHVSHFWLYRV�JUiILFRV�QXP�PHVPR�SODQR�
cartesiano, qual o valor de m para que os três gráficos sejam 
concorrentes num único ponto? 
a) 28 
b) 36 
c) 58 
d) 48 
e) 14 
 
17. COLÉGIO PEDRO II ± ENG. CIVIL ± 2015) O polinômio 
Px2+5x+R=0 possui raízes inteiras, uma múltipla da outra, os coeficientes 
P e R são números inteiros e positivos. Os valores de P e R são, 
respectivamente, 
a) 1 e 4 
b) 2 e 2 
c) 4 e 1 
d) 1 e 6 
e) 3 e 2 
 
18. UNICENTRO ± UNICENTRO ± 2012) Se a1 e a2 são as raízes reais 
da equação x6 ± 7x3 ± 8 = 0, e a1 < a2, então a1 ± a2 é igual a 
 a) ±3 
 b) ±2 
 c) ±1 
 d) 0 
 e) 1 
 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 57 
19. ENEM - 2008) A figura abaixo representa o boleto de cobrança da 
mensalidade de uma escola, referente ao mês de junho de 2008. 
 
Se M(x) é o valor, em reais, da mensalidade a ser paga, em que x é o 
número de dias em atraso, então 
A) M(x) = 500 + 0,4x. 
B) M(x) = 500 + 10x. 
C) M(x) = 510 + 0,4x. 
D) M(x) = 510 + 40x. 
E) M(x) = 500 + 10,4x. 
 
20. ENEM - 2007) O gráfico abaixo, obtido a partir de dados do 
Ministério do Meio Ambiente, mostra o crescimento do número de 
espécies da fauna brasileira ameaçadas de extinção. 
 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 58 
Se mantida, pelos próximos anos, a tendência de crescimento mostrada 
no gráfico, o número de espécies ameaçadas de extinção em 2011 será 
igual a 
A) 465. 
B) 493. 
C) 498. 
D) 538. 
E) 699. 
 
21. ENEM - 2006) Nos últimos anos, ocorreu redução gradativa da taxa 
de crescimento populacional em quase todos os continentes. A seguir, são 
apresentados dados relativos aos países mais populosos em 2000 e 
também as projeções para 2050. 
 
Com base nas informações dos gráficos mostrados, suponha que, no 
período 2050-2100, a taxa de crescimento populacional da Índia seja a 
mesma projetada para o período 2000-2050. Sendo assim, no início do 
século XXII, a população da Índia, em bilhões de habitantes, será 
A) inferior a 2,0. 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 59 
B) superior a 2,0 e inferior a 2,1. 
C) superior a 2,1 e inferior a 2,2. 
D) superior a 2,2 e inferior a 2,3. 
E) superior a 2,3. 
 
22. ENEM - 2011) O saldo de contratações no mercado formal no setor 
varejista da região metropolitana de São Paulo registrou alta. 
Comparando as contratações deste setor no mês de fevereiro com as de 
janeiro deste ano, houve incremento de 4 300 vagas no setor, totalizando 
880 605 trabalhadores com carteira assinada. 
Disponível em: http://www.folha.uol.com.br. Acesso em: 26 abr. 2010 
(adaptado). 
Suponha que o incremento de trabalhadores no setor varejista seja 
sempre o mesmo nos seis primeiros meses do ano. Considerando-se que 
y e x representam, respectivamente, as quantidades de trabalhadores no 
setor varejista e os meses, janeiro sendo o primeiro, fevereiro, o 
segundo, e assim por diante, a expressão algébrica que relaciona essas 
quantidades nesses meses é 
A) y = 4 300x 
B) y = 884 905x 
C) y = 872 005 + 4 300x 
D) y = 876 305 + 4 300x 
E) y = 880 605 + 4 300x 
 
23. ENEM - 2011) O prefeito de uma cidade deseja construir uma 
rodovia para dar acesso a outro município. Para isso, foi aberta uma 
licitação na qual concorreram duas empresas. A primeira cobrou R$ 100 
000,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 350 
000,00, enquanto a segunda cobrou R$ 120 000,00 por km construído 
(n), acrescidos de um valor fixo de R$ 150 000,00. As duas empresas 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 60 
apresentam o mesmo padrão de qualidade dos serviços prestados, mas 
apenas uma delas poderá ser contratada. 
Do ponto de vista econômico, qual equação possibilitaria encontrar a 
extensão da rodovia que tornaria indiferente para a prefeitura escolher 
qualquer uma das propostas apresentadas? 
A) 100n + 350 = 120n + 150 
B) 100n + 150 = 120n + 350 
C) 100(n + 350) = 120(n + 150) 
D) 100(n + 350 000) = 120(n + 150 000) 
E) 350(n + 100 000) = 150(n + 120 000) 
 
24. ENEM - 2011) Uma indústria fabrica um único tipo de produto e 
sempre vende tudo o que produz. O custo total para fabricar uma 
quantidade q de produtos é dado por uma função, simbolizada por CT, 
enquanto o faturamento que a empresa obtém com a venda da 
quantidade q também é uma função, simbolizada por FT. O lucro total 
(LT) obtido pela venda da quantidade q de produtos é dado pela 
expressão LT(q) = FT(q) ± CT(q). Considerando-se as funções FT(q) = 5q 
e CT(q) = 2q + 12 como faturamento e custo, qual a quantidade mínima 
de produtos que a indústria terá de fabricar para não ter prejuízo? 
A) 0 
B) 1 
C) 3 
D) 4 
E) 5 
 
25. ENEM - 2010) Nos processos industriais, como na indústria de 
cerâmica, é necessário o uso de fornos capazes de produzir elevadas 
temperaturas e, em muitas situações, o tempo de elevação dessa 
temperatura deve ser controlado, para garantir a qualidade do produto 
final e a economia no processo. Em uma indústria de cerâmica, o forno é 
04178253905
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 06 
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 61 
programado para elevar a temperatura ao longo do tempo de