Notas de aula 1 Vetores (1)

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UCL – Faculdade do Centro Leste
Vetores
Geometria Analítica
Prof. Vinicius Ruiz Martins
• Escalar: número e unidade de medida.
(densidade, volume e temperatura.)
• Vetoriais (vetores): direção, intensidade (ou módulo) e sentido.
(deslocamento espacial, força, campo elétrico, campo magnético)
Grandezas Escalares e Vetoriais
O Plano Cartesiano
Eixos
• x:eixo dasabscissas
• y:eixo dasordenadas
• z:eixo dascotas (3ª dimensão)
OBS:
Inicialmente trabalharemos somente com duas
dimensões (x,y).
Sistema Cartesiano
Num plano Ω, vamos considerar dois eixos, X e Y, 
perpendiculares no ponto O.
Sendo P um ponto qualquer de Ω e chamando P’ e P’’ 
suas projeções ortogonais sobre os eixos X e Y, 
respectivamente, definimos:
 Abscissa de P: é o número real Xp =OP’
 Ordenada de P: É o número real Yp =OP’’
O ponto
Vendo graficamente
y
x
abscissa
ordenada
. P
P’
P’’
A(2, 1 ); B( 1, 2); C (-1, 1); D(-2, -1) e H (1, 0)
Coordenadas cartesianas na reta
Existe uma correspondência um a um (correspondência
biunívoca) entre o conjunto dos pontos da reta e o conjunto R
dos números reais.
Os números são chamados abscissas dos pontos. Assim, a
abscissa do ponto A’ é -1, a abscissa da origem O é 0, a
abscissa do ponto A é 1, etc.
A reta r é chamada eixo das ABCISSAS.
Exemplo 1
Solução:
Se um ponto pertence ao eixo vertical
(eixo-y), então a sua abscissa é nula.
Logo, no caso teremos:
2m - 16 = 0,
de onde tiramos m = 8
o ponto ficaria P = ( 0, 8)
Se o ponto P(2m-16 , m) pertençe ao eixo dos y , calcule o valor de m.
Solução:
Se um ponto pertence ao eixo horizontal
(eixo-x), então a sua ordenada é nula.
Logo, no caso teremos:
m = 0,
o ponto ficaria P = ( -16, 0)
Se o ponto P(2m-16 , m) pertençe ao eixo dos x, calcule o valor de m.
Exemplo 2
VETORES
 SÃO SEGMENTOS DE RETA ORIENTADOS QUE POSSUI:
 INTENSIDADE OU MÓDULO V
 DIREÇÃO
 SENTIDO
Formalização do conceito de vetor
 Segmentos orientados equipolentes
Ocorre quando:
a) Ambos são nulos, ou
b) Possuem mesmo comprimento, direção e sentido
 Classe de equipolência: conjunto de todos os
segmentos orientados equipolentes (a AB):
𝒗 = 𝒙𝒚 𝒙𝒚 ~ 𝑨𝑩}
Formalização do conceito de vetor
Formalização do conceito de vetor
Formalização do conceito de vetor
A
Representação gráfica de um vetor
 Para representar graficamente um vetor usamos um segmento de reta 
orientado.
 O módulo do vetor, representa numericamente o comprimento de sua
seta.
 O vetor acima tem módulo igual a 3u, que é igual a distância entre os
pontos A e B.
 Para indicar vetores usamos as seguintes notações:
V ou AB , onde: A é a origem e B é a extremidade
Observe que se A ≠ B, então AB é diferente de BA.
Podemos escrever 𝐴𝐵 = 𝐵 − 𝐴
Principais características de um vetor
 Módulo: comprimento do segmento (através
de uma escala pré-estabelecida).
O módulo de um vetor é indicado utilizando-se duas barras verticais.
|A| (Lê-se: módulo de A)
 Direção: reta que contém o segmento
 Sentido: orientação do segmento
Principais características de um vetor
 Módulo
Vetor oposto
(ou negativo de um vetor)
O vetor oposto é aquele que possui o mesmo módulo, a
mesma direção, mas o sentido oposto. Veja a seguir um
exemplo com o vetor e o seu respectivo oposto.
A -A
Principais características de um vetor
 Paralelismo (ou mesma direção)
Retas suporte paralelas ou coincidentes
𝐴𝐵 ∥ 𝐶𝐷
O vetor nulo é paralelo (ou colinear) a qualquer vetor.
Principais características de um vetor
 Sentido
- Retas suporte distintas: interseção dos segmentos AC e BD.
Principais características de um vetor
 Sentido
- Retas suporte coincidentes: segmento EF de mesma direção e
sentido de AB.
Simulação
Simulação de vetores
Campo elétrico
Forças e movimento
Principais características de um vetor
Principais características de um vetor
Dois vetores 𝑢 e 𝑣 quaisquer, não colineares, são sempre coplanares.
 Vetores coplanares
Principais características de um vetor
 Vetores coplanares