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Álgebra Linear
5ª Lista de Exercícios – Revisão para Provas
1 – (AFA 2003) Sejam m e n números reais tais que m ≠ n e as matrizes 
e 
. Qual a relação necessária entre m e n para que a matriz 
não seja inversível.
Solução. Multiplicando os escalares “m” e “n” pelas respectivas matrizes, temos:
i) 
Para que a matriz C não seja inversível, seu determinante deve ser nulo.
ii) 
. Desenvolvendo a expressão e simplificando, temos: 
. Resolvendo a equação em relação a “m”, vem.
. Como pelo enunciado m ≠ n, a matriz não será inversível se 7m + n = 0.
2 – Encontre o valor de x na matriz 
sabendo que det A-1 = 
.
Solução. Como 
conclui-se que 
. Logo, detA = - 10. Substituindo esse valor no cálculo do determinante de A, temos: 
3 – Seja A-1 a inversa de 
. Determine A + A-1.
Solução. O determinante da matriz é diferente de zero. Logo, possui inversa.
4 – (UC – GO) Determine x a fim de que a matriz 
seja igual a sua inversa.
Solução. O produto da matriz A por ela mesma deverá resultar na matriz identidade.
.
Logo, o único valor que satisfaz é x = - 1.
5 – Sabendo que 
 e 
, encontre o valor de:
20 b) 
- 100 c) 
40 d) 
- 60
Solução. Aplicando as propriedades dos determinantes, temos:
a) A 1ª linha foi multiplicada por 5. Logo o determinante também ficará multiplicado por 5. 
b) Houve uma troca de coluna que mudará o sinal do determinante. As duas linhas foram multiplicadas por 5. Logo o determinante ficará multiplicado por 25.
c) Houve a troca da 2ª coluna com a 1ª coluna mudando o sinal do determinante. A 3ª coluna foi multiplicada por 4. Logo o determinante também o ficará.
d) A 2ª linha foi multiplicada por 2 e a 3º linha multiplicada por 3. Logo o determinante ficará multiplicado por (2).(3) = 6.
5 – Resolva os sistemas, classifique e indique o significado geométrico das soluções.
a) 
 b) 
 
Solução. Os sistemas podem ser resolvidos por qualquer método.
a) 
 
Logo, 
. Sistema possível e determinado representado por retas concorrentes. 
b) 
. Retas paralelas distintas. 
6 – Determine o valor de a para que o sistema 
 seja possível e determinado (SPD).
Solução. O determinante da matriz dos coeficientes deverá ser diferente de zero. 
.
7 - Determine o valor de k de modo que o sistema 
 seja impossível (SI). Isto é, para que a representação geométrica da solução sejam retas paralelas distintas.
Solução. Para que o sistema seja possível e indeterminado (SI), basta que se verifique a proporcionalidade entre os coeficientes de “x” e “y”, mas não em relação aos termos independentes. Isto é:
 
.
Qualquer valor de “k” que não seja 4, tornará o sistema impossível.
8 – Discuta os sistemas abaixo em função do parâmetro k.
a) 
 b) 
Solução. No caso geral em sistemas 2 x 2 a análise pode ser feita partindo das situações:
 i) 
 ii) 
 iii) 
a) 
. Não há valor de “k” que o torne impossível.
b) 
. Não há valor de “k” que o torne indeterminado.
OBS. Repare que em (a) o termo independente já estava na mesma razão que os coeficientes de “y”. O que não ocorreu em (b). Isso acarreta que substituindo k = 8 no sistema (b) poderia haver a impossibilidade. Mas esse sistema não seria indeterminado para nenhum valor de “k”.
9) Resolva os sistemas, se possível, e classifique-os.
a) 
 b) 
 c) 
 d) 
Solução. Os sistemas foram escalonados.
a) 
 
�� EMBED Equation.3 
�� EMBED Equation.3 . Calculando o valor de z, temos: 
; 
; 
. 
Logo a solução é S = { 1, 1, 1}. O sistema é possível e determinado.
b) 
 
�� EMBED Equation.3 
�� EMBED Equation.3 . Calculando o valor de z, temos: 
; 
; 
. 
Logo a solução é S = { 1, 2, 3}. O sistema é possível e determinado.
c) 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 . Logo o sistema não possui solução. 
d) 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 . Calculando o valor de y, temos: 
; 
. A variável z é chamada variável livre.
Logo a solução é S = { 
, 
, 
}. O sistema é possível e indeterminado.
10 – (ITA – SP) Seja a um número real. Considere os sistemas lineares em x, y e z. Calcule o valor de a para que o sistema 
 admita infinitas soluções.
Solução. Escalonando o sistema: 
. 
Para que o sistema seja indeterminado o 2º membro da 3ª equação deve ser nulo. Logo, 
. 
11 - Numa loja, os artigos A e B, juntos custam R$ 70,00. Dois artigos A mais um C custam R$ 105,00 e a diferença de preços entre os artigos B e C, nessa ordem, é R$ 5,00. Qual o preço do artigo C?
Solução. De acordo com as informações do problema, temos o sistema: 
. Escalonando, vem:
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 . Substituindo nas equações anteriores, temos: 
; 
. A resposta pedida é R$25,00.
12 - (UERJ) Um feirante separou um número inteiro de dúzias de tangerinas (t), de maçãs (m) e de pêras (p). Observou que para cada maçã arrumada, havia 2 tangerinas. Com 90 dúzias, ele fez lotes de 6 tangerinas, lotes com 6 maçãs e lotes com 4 pêras. Colocou em cada lote, indistintamente, o preço de R$0,50. Arrecadou R$105,00 na venda de todos eles. Calcule t, m, e p.
Solução. Utilizando os dados do problema e as letras representantes das frutas, montamos o sistema:
. Escalonando o sistema simplificado, vem: 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 . Logo, p = 90. Substituindo na 1ª equação, encontra-se 
 e 
.
13 - Misturam-se dois tipos de leite, um com 30% de gordura outro com 4% de gordura para obter, ao todo, 80 litros de leite com 3,25% de gordura. Quantos litros de leite de cada tipo foram misturados?
Solução. Representando a quantidade de litros de leite com 3% de gordura como “x” e com 4% como “y”, o resultado final deverá ser (x + y).3,25%. O sistema é: 
. 
Multiplicando por 100 a 2ª equação e escalonando, vem: 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 . Calculando “y”, temos: 
; 
. Logo serão misturados 60 litros de leite.
14 - (UFF – 2000) As ligações entre as cidades A, B e C figuram num mapa rodoviário conforme ilustrado. Seguindo esse mapa, uma pessoa que se deslocar de A para C, passando por B, percorrerá 450km. Caso a pessoa se desloque de A para B, passando por C, o percurso será de 600km. Para se deslocar de B para C, passando por A, a pessoa vai percorrer 800km. Determine quantos quilômetros esta pessoa percorrerá ao se deslocar de A para B, sem passar por C.
Solução. Considerando as distâncias 
; 
; 
, temos:
a) 
 (distância de A até B passando por C). 
b) 
 (distância de A até C passando por B).
c) 
 (distância de B até C passando por A).
i) Construindo e resolvendo o sistema: 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 . 
ii) Valor de “z”: 
; 
; 
.
 A distância pedida é 
.
15 - A soma das quantias que Fernando e Beth possuem é igual à quantia que Rosa possui. O dobro do que possui Fernando menos a quantia de Beth mais a de Rosa é igual a 30 reais. Sabendo que a quantia que Fernando possui, adicionada a 1/3 da quantia de Rosa, vale 20 reais, calcule a soma das quantias de Fernando, Beth e Rosa.
Solução. Considerando as quantias “x” e “y” respectivamente de Fernando e Beth, temos de acordo com as informações que Rosa possui (x + y). Ainda de acordo com o enunciado temos o sistema:
. Logo, Rosa possui 30. O valor pedido é a soma das quantias de cada um: 10 + 20 + 30 = 60. 
16 – (UERJ 2004) Numa granja há patos,marrecos e galinhas num total de 50 aves. Os patos são vendidos a R$12,00 a unidade, as galinhas a R$5,00 e os marrecos a R$15,00. Considere um comerciante que tenha gastado R$440,00 na compra de aves desses três tipos e que tenha comprado mais patos do que marrecos. Qual o número de patos comprados pelo comerciante.
Solução. Considerando as quantidades “x”, “y” e “z” respectivamente de patos, galinhas e marrecos montamos o sistema: 
. Na forma em que está apresentado, o sistema é indeterminado. Precisamos considerar:
i) O valor de “x” é inteiro. Logo, 190 - 10z deve ser múltiplo de 7 e 10. Isto é de 70. Os múltiplos de 70 possíveis são 70 para z = 12 ou 140 com z = 5.
ii) Os valores de “x”, “y” e “z” apresentam as possibilidades:
	Patos (x)
	Galinhas (y)
	Marrecos (z)
	
	
	5
	
	
	12
iii) O número de patos é maior que o número de marrecos (x > z). Logo a única possibilidade é z = 5. 
Conferindo: 
Foram comprados 20 patos pelo comerciante.
Exercícios de Revisão
(FMU – SP) O valor de a para que o sistema 
 seja possível e indeterminado é:
-6	b) 6		c) 2		d) -2		e) 3/2 Resp: a)
(FGV – SP) O sistema 
 é:
determinado.
Impossível
Determinado e admite como solução (1, 1, 1).
Indeterminado.
N.D.A. Resp: d)
(UFRN) A solução do sistema 
 é:
(-2, 7, 1)	b) (4, -3, 5)	c) (0, 1, 5)	d) (2, 3, 1)	e) (1, 2, 3)				 Resp: e)
(Osec – SP) O sistema linear 
:
admite solução única;
admite infinitas soluções;
admite apenas duas soluções;
não admite solução;
N.D.A. Resp: b)
(Efoa – MG) O sistema de equações 
, terá uma única solução se:
 Resp: c) 
(Faap – SP) Para que o sistema linear 
 admita uma única solução, é necessário que:
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
 Resp: a)
(FCC – BA) O sistema linear 
 é impossível se e somente se:
a) 
 e 
	b) 
 ou a = –1 c) 
 d) 
 e) 
 Resp: d)
(FEI – SP) Se x = A, y = B e z = C são as soluções do sistema 
, então ABC vale:
-5	b) 8		c) -6		d) -10	 	e) 5 Resp: c)
(UFRS) O sistema sobre R 
, terá solução apenas se o valor de b for igual a:
6 b) 4		c) 1		d) -11		e) -12 Resp: b)
(Mack – SP) O sistema 
 é indeterminado. Então k + m vale:
1/2	 b) 1		c) 3/2		d) 2		e) 3 Resp: e)
(UFSC) Para qual valor de m o sistema 
admite infinitas soluções?
m = 0	 b) 
	 c) m = 2	 d) m = 10 	 e) m = 1 Resp: c) 
(FCC – BA) O sistema 
 nas incógnitas x e y:
é impossível se 
admite apenas a solução trivial se k = 1
é possível e indeterminado se k = -1
é impossível para todo k real
admite apenas a solução trivial para todo k real. Resp: c)
(Cesgranrio) O sistema 
 tem uma infinidade de soluções. Então, sobre os valores dos parâmetros a e b, podemos concluir que:
a = 1 e b arbitrário.
a = 1 e 
a = 1 e b = 1
a = 0 e b = 1 
a = 0 e b = 0 Resp: d)
 
(Fuvest – SP) O sistema linear: 
não admite solução se  for igual a:
a) 0	 b) 1	c) -1	 d) 2	 e) -2 Resp: e)
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