3ª Aula - Propriedades algébricas das operações com matrizes

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Álgebra Linear
Assunto: Propriedades algébricas das operações com
matrizes
Universidade Federal Rural do Semi-Árido - UFERSA
Campus Pau dos Ferros-RN
25 de março de 2015
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 25 de março de 2015 1 / 11
PROPRIEDADES ALGÉBRICAS DAS OPERAÇÕES
COM MATRIZES
Conhecendo o conjunto das matrizes e suas operações podemos passar a
ver as propriedades destas:
Teorema 1:
Sejam A, B e C matrizes m× n. Então
(a) A+B = B +A;
(b) A+ (B + C) = (A+B) + C;
(c) Existe uma única matriz 0, m× n, dita MATRIZ NULA, tal que
A+ 0 = A, para toda matriz A;
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 25 de março de 2015 1 / 11
PROPRIEDADES ALGÉBRICAS DAS OPERAÇÕES
COM MATRIZES
Conhecendo o conjunto das matrizes e suas operações podemos passar a
ver as propriedades destas:
Teorema 1:
Sejam A, B e C matrizes m× n. Então
(a) A+B = B +A;
(b) A+ (B + C) = (A+B) + C;
(c) Existe uma única matriz 0, m× n, dita MATRIZ NULA, tal que
A+ 0 = A, para toda matriz A;
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 25 de março de 2015 1 / 11
PROPRIEDADES ALGÉBRICAS DAS OPERAÇÕES
COM MATRIZES
Conhecendo o conjunto das matrizes e suas operações podemos passar a
ver as propriedades destas:
Teorema 1:
Sejam A, B e C matrizes m× n. Então
(a) A+B = B +A;
(b) A+ (B + C) = (A+B) + C;
(c) Existe uma única matriz 0, m× n, dita MATRIZ NULA, tal que
A+ 0 = A, para toda matriz A;
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 25 de março de 2015 1 / 11
(d) Para cada matriz A, existe uma única matriz D m× n, tal que
A+D = 0,
donde D = −1A. Dizemos que D é a MATRIZ OPOSTA de A e
escrevemos −A.
Demonstremos (b) e (d):
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Por exemplo,
temos que
[
4 −1
2 3
]
+
[
0 0
0 0
]
=
[
4 −1
2 3
]
.
E se A =
[
1 3 −2
−2 4 3
]
, então −A =
[
−1 −3 2
2 −4 −3
]
.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 25 de março de 2015 3 / 11
Por exemplo,
temos que
[
4 −1
2 3
]
+
[
0 0
0 0
]
=
[
4 −1
2 3
]
.
E se A =
[
1 3 −2
−2 4 3
]
, então
−A =
[
−1 −3 2
2 −4 −3
]
.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 25 de março de 2015 3 / 11
Por exemplo,
temos que
[
4 −1
2 3
]
+
[
0 0
0 0
]
=
[
4 −1
2 3
]
.
E se A =
[
1 3 −2
−2 4 3
]
, então −A =
[
−1 −3 2
2 −4 −3
]
.
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Teorema 2:
Sejam A, B e C matrizes de tamanhos apropriados. Então
(a) A(BC)=(AB)C;
(b) (A+B)C=AC+BC;
(c) C(A+B)=CA+CB.
Demonstremos (b):
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Teorema 2:
Sejam A, B e C matrizes de tamanhos apropriados. Então
(a) A(BC)=(AB)C;
(b) (A+B)C=AC+BC;
(c) C(A+B)=CA+CB.
Demonstremos (b):
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 25 de março de 2015 4 / 11
Teorema 2:
Sejam A, B e C matrizes de tamanhos apropriados. Então
(a) A(BC)=(AB)C;
(b) (A+B)C=AC+BC;
(c) C(A+B)=CA+CB.
Demonstremos (b):
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Por exemplo,
para A =
[
2 2 3
3 −1 2
]
, B =
[
0 0 1
2 3 −1
]
e C =

1 0
2 2
3 −1
, segue
que (A+B)C =
[
2 2 4
5 2 1
]
·

1 0
2 2
3 −1
 =
[
18 0
12 3
]
e
AC +BC =
[
15 1
7 −4
]
+
[
3 −1
5 7
]
=
[
18 0
12 3
]
.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 25 de março de 2015 5 / 11
Por exemplo,
para A =
[
2 2 3
3 −1 2
]
, B =
[
0 0 1
2 3 −1
]
e C =

1 0
2 2
3 −1
, segue
que (A+B)C =
[
2 2 4
5 2 1
]
·

1 0
2 2
3 −1
 =
[
18 0
12 3
]
e
AC +BC =
[
15 1
7 −4
]
+
[
3 −1
5 7
]
=
[
18 0
12 3
]
.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 25 de março de 2015 5 / 11
Por exemplo,
para A =
[
2 2 3
3 −1 2
]
, B =
[
0 0 1
2 3 −1
]
e C =

1 0
2 2
3 −1
, segue
que (A+B)C =
[
2 2 4
5 2 1
]
·

1 0
2 2
3 −1
 =
[
18 0
12 3
]
e
AC +BC =
[
15 1
7 −4
]
+
[
3 −1
5 7
]
=
[
18 0
12 3
]
.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 25 de março de 2015 5 / 11
Por exemplo,
para A =
[
2 2 3
3 −1 2
]
, B =
[
0 0 1
2 3 −1
]
e C =

1 0
2 2
3 −1
, segue
que (A+B)C =
[
2 2 4
5 2 1
]
·

1 0
2 2
3 −1
 =
[
18 0
12 3
]
e
AC +BC =
[
15 1
7 −4
]
+
[
3 −1
5 7
]
=
[
18 0
12 3
]
.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 25 de março de 2015 5 / 11
Por exemplo,
para A =
[
2 2 3
3 −1 2
]
, B =
[
0 0 1
2 3 −1
]
e C =

1 0
2 2
3 −1
, segue
que (A+B)C =
[
2 2 4
5 2 1
]
·

1 0
2 2
3 −1
 =
[
18 0
12 3
]
e
AC +BC =
[
15 1
7 −4
]
+
[
3 −1
5 7
]
=
[
18 0
12 3
]
.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 25 de março de 2015 5 / 11
Teorema 3:
Se r e s são números reais e A e B são matrizes de tamanhos
apropriados, então
(a) r(sA) = (rs)A;
(b) (r + s)A = rA+ sA;
(c) r(A+B) = rA+ rB;
(d) A(rB) = r(AB) = (rA)B;
Demonstremos (a) e (b):
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 25 de março de 2015 6 / 11
Teorema 3:
Se r e s são números reais e A e B são matrizes de tamanhos
apropriados, então
(a) r(sA) = (rs)A;
(b) (r + s)A = rA+ sA;
(c) r(A+B) = rA+ rB;
(d) A(rB) = r(AB) = (rA)B;
Demonstremos (a) e (b):
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 25 de março de 2015 6 / 11
Teorema 3:
Se r e s são números reais e A e B são matrizes de tamanhos
apropriados, então
(a) r(sA) = (rs)A;
(b) (r + s)A = rA+ sA;
(c) r(A+B) = rA+ rB;
(d) A(rB) = r(AB) = (rA)B;
Demonstremos (a) e (b):
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 25 de março de 2015 6 / 11
Teorema 3:
Se r e s são números reais e A e B são matrizes de tamanhos
apropriados, então
(a) r(sA) = (rs)A;
(b) (r + s)A = rA+ sA;
(c) r(A+B) = rA+ rB;
(d) A(rB) = r(AB) = (rA)B;
Demonstremos (a) e (b):
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 25 de março de 2015 6 / 11
Por exemplo,
se A =
[
4 2 3
2 −3 4
]
e B =

3 −2 1
2 0 −1
0 1 2
, temos
A(2B) =
[
4 2 3
2 −3 4
]
·

6 −4 2
4 0 −2
0 2 4
 =
[
32 −10 16
0 0 26
]
=
2(AB)
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 25 de março de 2015 7 / 11
Por exemplo,
se A =
[
4 2 3
2 −3 4
]
e B =

3 −2 1
2 0 −1
0 1 2
, temos
A(2B) =
[
4 2 3
2 −3 4
]
·

6 −4 2
4 0 −2
0 2 4
 =
[
32 −10 16
0 0 26
]
=
2(AB)
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 25 de março de 2015 7 / 11
Por exemplo,
se A =
[
4 2 3
2 −3 4
]
e B =

3 −2 1
2 0 −1
0 1 2
, temos
A(2B) =
[
4 2 3
2 −3 4
]
·

6 −4 2
4 0 −2
0 2 4
 =
[
32 −10 16
0 0 26
]
=
2(AB)
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 25 de março de 2015 7 / 11
Teorema 4:
Se r é um escalar e A e B são matrizes de tamanhos apropriados, então
(a) (AT )T = A;
(b) (A+B)T = AT +BT ;
(c) (AB)T = BTAT ;
(d) (rA)T = rAT ;
Demonstremos (a) e (b)
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 25 de março de 2015 8 / 11
Teorema 4:
Se r é um escalar e A e B são matrizes de tamanhos apropriados, então
(a) (AT )T = A;
(b) (A+B)T = AT +BT ;
(c) (AB)T = BTAT ;
(d) (rA)T = rAT ;
Demonstremos (a) e (b)
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 25 de março de 2015 8 / 11
Teorema 4:
Se r é um escalar e A e B são matrizes de tamanhos apropriados, então
(a) (AT )T = A;
(b) (A+B)T = AT +BT ;
(c) (AB)T = BTAT ;
(d) (rA)T = rAT ;
Demonstremos (a) e (b)
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 25 de março de 2015 8 / 11
Teorema 4:
Se r é um escalar e A e B são matrizes de tamanhosapropriados, então
(a) (AT )T = A;
(b) (A+B)T = AT +BT ;
(c) (AB)T = BTAT ;
(d) (rA)T = rAT ;
Demonstremos (a) e (b)
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 25 de março de 2015 8 / 11
Por exemplo,
se A =
[
1 2 3
−2 0 1
]
e B =
[
3 −1 2
3 2 −1
]
tem-se
AT =

1 −2
2 0
3 1
 e BT =

3 3
−1 2
2 −1
 , donde
(A+B)T =
([
4 1 5
1 2 0
])T
=

1 −2
2 0
3 1
+

3 3
−1 2
2 −1
 = AT+BT .
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 25 de março de 2015 9 / 11
Por exemplo,
se A =
[
1 2 3
−2 0 1
]
e B =
[
3 −1 2
3 2 −1
]
tem-se
AT =

1 −2
2 0
3 1
 e BT =

3 3
−1 2
2 −1
 , donde
(A+B)T =
([
4 1 5
1 2 0
])T
=

1 −2
2 0
3 1
+

3 3
−1 2
2 −1
 = AT+BT .
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 25 de março de 2015 9 / 11
Por exemplo,
se A =
[
1 2 3
−2 0 1
]
e B =
[
3 −1 2
3 2 −1
]
tem-se
AT =

1 −2
2 0
3 1
 e BT =

3 3
−1 2
2 −1
 , donde
(A+B)T =
([
4 1 5
1 2 0
])T
=

1 −2
2 0
3 1
+

3 3
−1 2
2 −1
 =
AT+BT .
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 25 de março de 2015 9 / 11
Por exemplo,
se A =
[
1 2 3
−2 0 1
]
e B =
[
3 −1 2
3 2 −1
]
tem-se
AT =

1 −2
2 0
3 1
 e BT =

3 3
−1 2
2 −1
 , donde
(A+B)T =
([
4 1 5
1 2 0
])T
=

1 −2
2 0
3 1
+

3 3
−1 2
2 −1
 = AT+BT .
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 25 de março de 2015 9 / 11
E para finalizar,
Observação
Multiplicação de matrizes tem diferenças da multiplicação de números
reais, ou seja, se A, B e C são matrizes de tamanhos apropriados,
1. AB não é necessariamente igual a BA;
2. AB pode ser igual a matriz nula com A 6= 0 e B 6= 0;
3. AB pode ser igual a AC com B 6= C.
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E para finalizar,
Observação
Multiplicação de matrizes tem diferenças da multiplicação de números
reais, ou seja, se A, B e C são matrizes de tamanhos apropriados,
1. AB não é necessariamente igual a BA;
2. AB pode ser igual a matriz nula com A 6= 0 e B 6= 0;
3. AB pode ser igual a AC com B 6= C.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 25 de março de 2015 10 / 11
E para finalizar,
Observação
Multiplicação de matrizes tem diferenças da multiplicação de números
reais, ou seja, se A, B e C são matrizes de tamanhos apropriados,
1. AB não é necessariamente igual a BA;
2. AB pode ser igual a matriz nula com A 6= 0 e B 6= 0;
3. AB pode ser igual a AC com B 6= C.
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Por exemplo,
para A =
[
1 2
2 4
]
e B =
[
4 −6
−2 3
]
tem-se
AB =
[
0 0
0 0
]
e
A =
[
1 2
2 4
]
, B =
[
2 1
3 2
]
, C =
[
−2 7
5 −1
]
segue que
AB = AC =
[
8 5
16 10
]
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 25 de março de 2015 11 / 11
Por exemplo,
para A =
[
1 2
2 4
]
e B =
[
4 −6
−2 3
]
tem-se
AB =
[
0 0
0 0
]
e
A =
[
1 2
2 4
]
, B =
[
2 1
3 2
]
, C =
[
−2 7
5 −1
]
segue que
AB = AC =
[
8 5
16 10
]
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 25 de março de 2015 11 / 11
Por exemplo,
para A =
[
1 2
2 4
]
e B =
[
4 −6
−2 3
]
tem-se
AB =
[
0 0
0 0
]
e
A =
[
1 2
2 4
]
, B =
[
2 1
3 2
]
, C =
[
−2 7
5 −1
]
segue que
AB = AC =
[
8 5
16 10
]
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 25 de março de 2015 11 / 11
Por exemplo,
para A =
[
1 2
2 4
]
e B =
[
4 −6
−2 3
]
tem-se
AB =
[
0 0
0 0
]
e
A =
[
1 2
2 4
]
, B =
[
2 1
3 2
]
, C =
[
−2 7
5 −1
]
segue que
AB = AC =
[
8 5
16 10
]
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 25 de março de 2015 11 / 11