MATRIZES 2015

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CENTRO UNIVERSITÁRIO DA FEI
CURSO DE ENGENHARIA
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Matrizes. Operações. Matriz Transposta. Matriz Inversa
Bibliografia Básica:
Vetores e Geometria Analítica. Loreto e Loreto Júnior. LCTE Editora.
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Definição de Matrizes
Uma matriz é uma tabela com m.n elementos, dispostos em m linhas e n colunas, com m e n pertencente ao conjunto {1, 2, 3, 4, ...}.
Exemplo:
A matriz A tem 2 linhas e 3 colunas e, consequentemente, 6 elementos.
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Notação e Representação
Uma matriz A do tipo mn pode ser indicada por A = (aij), com 1  i  m e 1  j  n, em que i indica o número da linha e j indica número da coluna em que o elemento a está localizado.
A representação de uma matriz é feita utilizando-se parênteses ou colchetes. Sendo assim, o exemplo anterior também poderia ser apresentado como
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Igualdade de matrizes
As matrizes A = (aij) e B = (bij), com 1  i  m e 1  j  n, são iguais quando (aij) = (bij), para todo i e j.
Note que a igualdade entre matrizes somente pode ocorrer em matrizes do mesmo tipo, ou seja, com o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas.
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Definições gerais
Matriz linha: tem apenas uma linha e n colunas.
Matriz coluna: tem m linhas e apenas uma coluna.
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Definições gerais
Matriz quadrada: tem o número de linhas igual ao número de colunas, ou seja, m = n. Nesse caso, m (ou n) é a ordem da matriz.
No exemplo, temos uma matriz de ordem 2.
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Definições gerais
Matriz retangular: tem o número de linhas diferente do número de colunas, ou seja, m  n. 
No exemplo, temos uma matriz do tipo 23.
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Definições gerais
Matriz nula: tem todos os elementos iguais a zero.
Matriz oposta: dada a matriz A = (aij), com 1  i  m e 1  j  n, a sua oposta será a matriz B = –A = –( aij), com 1  i  m e 1  j  n.
Exemplo:
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Definições gerais
Matriz identidade: é uma matriz quadrada Im em que todos os elementos da diagonal principal são unitários e os demais elementos são nulos, ou seja, Im = (aij), de ordem m, em que (aij) = 1 quando i = j, e (aij) = 0, quando i  j, para todo 1  i  m e 1  j  m.
Exemplo:
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Definições gerais
Matriz diagonal: é uma matriz quadrada Dm em que todos os elementos da diagonal principal são diferentes de zero e os demais elementos são nulos, ou seja, Dm = (aij), de ordem m, em que (aij)  0 quando i = j, e (aij) = 0 quando i  j, para todo 1  i  m e 1  j  m.
Exemplo:
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Adição de matrizes
Somente ocorre em matrizes do mesmo tipo, ou seja, com o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas;
Dadas as matrizes A e B, do tipo mn, em que A = (aij) e B = (bij), com 1  i  m e 1  j  n, a matriz soma A+B será a matriz C = (cij), em que (cij) = (aij) + (bij).
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Adição
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Propriedades da adição de matrizes
Sendo A, B e C matrizes com m linhas e n colunas, são válidas as seguintes propriedades:
A1) A + (B + C) = (A + B) + C 		(associativa)
A2) A + B = B + A				(comutativa)
A3) 0| A + 0 = A			(elem. neutro)
A4) A,  –A| A +(–A) = 0		(elem. oposto)
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Exemplos de adição de matrizes
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Observação
A – B = A + (–B)
Logo:
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Multiplicação de uma matriz por um número real
Dados um número real  e uma matriz A = (aij) com 1  i  m e 1  j  n, o produto .A será a matriz B = (bij), em que (bij) = .(aij) = .aij
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Propriedades da Multiplicação de uma matriz por um número real
Sendo A e B matrizes com m linhas e n colunas, e 1 e 2 dois números reais, são válidas as seguintes propriedades:
M1) 1.(2.A) = (1. 2).A 			
M2) 1.(A + B) = 1.A + 1.B
M3) (1 + 2).A = 1.A + 2.A
M4) 1.A = A
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Exemplo de Multiplicação de uma matriz por um número real
Dado:
Tem-se:
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Multiplicação de Matrizes
Somente ocorre quando o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz.
Dadas as matrizes A, do tipo mn, e B do tipo np, em que A = (aij) com 1  i  m e 1  j  n, e B = (bjk) com 1  j  n e 1  k  p, o produto A.B é a matriz C = (cik) do tipo mp, em que cik será igual a
ai1.b1k + ai2.b2k + ... + ain.bnk 
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Exemplo
É possível fazer o produto A.B?
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Exemplo
Resposta: SIM, pois o número de colunas
da primeira matriz é igual ao número de linhas da
segunda matriz
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Exemplo
Como será o tipo da matriz produto?
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Exemplo
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Calculando os elementos da matriz produto
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Resultado
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Propriedades da multiplicação de matrizes
Supondo que existam os produtos e as somas abaixo, são válidas as seguintes propriedades:
A.(B.C) = (A.B).C
A.(B + C) = A.B + A.C
(A + B).C = A.C + B.C
Observação: não é válida a propriedade comutativa na multiplicação de matrizes!
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Matriz transposta
Dada a matriz A do tipo mn em que A = (aij), com 1  i  m e 1  j  n, define-se a matriz transposta de A, indicada como At ou AT, a matriz B = (bij) do tipo nm, em que bij = aji.
Exemplo:
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Matriz transposta
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Propriedades da matriz transposta
Supondo que existam a soma A+B e o produto A.B, e sendo  um número real, são válidas as seguintes propriedades:
T1) (A + B)t = At + Bt
T2) (.A)t = .At
T3) (At)t = A
T4) (A.B)t = Bt.At
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Matriz simétrica
Uma matriz quadrada A é simétrica, se A = At.
Exemplo:
Característica de uma matriz simétrica: aij = aji
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Matriz antissimétrica
Uma matriz quadrada A é antissimétrica, se A = –At.
Exemplo:
Características de uma matriz antissimétrica:
 aij = 0, se i = j
 aij = –aji
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Matriz invertível
Uma matriz quadrada A, de ordem n, é invertível se existe a matriz A-1, tal que
A.A-1 = A-1.A = In
Uma matriz quadrada A, de ordem n, é invertível se, e somente se, o determinante da matriz A é diferente de zero.
Se A é uma matriz invertível, a matriz A-1 é denominada matriz inversa da matriz A.
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Propriedades da matriz inversa
Sendo A uma matriz quadrada cujo determinante é diferente de zero e supondo existentes os produtos abaixo, são válidas as seguintes propriedades, com  real:
(A-1)-1 = A
(A.B)-1 = B-1.A-1
(.A)-1 = -1.A-1 = (1/).A-1
(A-1)t = (At)-1
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Determinando uma matriz inversa
Exemplo 1: Determinar, se existir, a inversa da matriz 
Resolução:
Como A é invertível, existe a matriz inversa de A, a qual indicaremos por
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Determinando uma matriz inversa
Aplicando a definição, temos:
Resolvendo a multiplicação de matrizes, encontramos:
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Determinando uma matriz inversa
Da igualdade anterior, temos os seguintes sistemas:
Resolvendo os sistemas, chegamos a:
a = 3, b = –2, c = –1, e d = 1
Logo:
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Determinando uma matriz inversa
Exemplo 2: Determinar, se existir, a inversa da matriz 
Existe a matriz inversa de A:
Resolução:
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Determinando uma matriz inversa
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Determinando uma matriz inversa
Resolvendo os sistemas, chegamos a:
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Processo prático – Fórmula de Binet
Sendo A uma matriz quadrada invertível, podemos encontrar sua matriz inversa A-1 utilizando a seguinte relação:
onde det(A) é o determinante da matriz A e cof.A é a matriz dos cofatores da matriz A.
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Matriz dos cofatores de uma matriz
Considere a seguinte matriz quadrada A = (aij), de ordem n:
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Matriz dos cofatores de uma matriz
A matriz dos cofatores da matriz A é a matriz quadrada C = (cij), de mesma ordem da matriz A, em que cij = (-1)i+j.Dij, sendo Dij o determinante da matriz que se obtém excluindo-se a linha i e a coluna j da matriz A.
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Matriz dos cofatores de uma matriz
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Aplicando a fórmula de Binet
Determinar, se existir, a inversa da matriz 
Existe a matriz inversa de A.
Resolução:
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Aplicando a fórmula de Binet
Determinando a matriz dos cofatores de A
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Aplicando a fórmula de Binet
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Aplicando a fórmula de Binet
Aplicando a relação: