sintesis resuelto (5)

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Teor´ıa de Ma´quinas y Mecanismos
Septiembre 2013
PROBLEMA 4 (18% de la nota) Tiempo segunda parte: 1 hora 30 minutos
Obtenga la ecuacio´n ana´loga a la ecuacio´n de Freudenstein que rige la coordinacio´n de las
variables s y h en el mecanismo de doble corredera de la figura. Obtenga las dimensiones del
mecanismo que consigue la siguiente coordinacio´n:
h(m) 1 1.5 2
s(m) 2 1.7 1
h
s
a
b
t
j
Solucio´n
En primer lugar se obtiene la ecuacio´n de cierre del mecanismo. Para ello se definen las
barras mediante vectores (ver figura ). Se puede establecer entonces la ecuacio´n siguiente:
h+ a = s+ b+ t (1)
h
s
a
b
t
j
Figura 1: Definicio´n de las barras mediante vectores para determinar la ecuacio´n de cierre del
mecanismo.
Dicha ecuacio´n vectorial se proyecta en las dos direcciones del plano obtenie´ndose:
a = s+ t cosϕ
h = b+ t senϕ
(2)
En esta ecuacio´n se tiene que eliminar el a´ngulo ϕ. Para ello, se reordenan las ecuaciones 2:
t cos ϕ = a− s
t senϕ = h− b (3)
se elevan al cuadrado y se suman, resultando
t2 = a2 + h2 + s2 + b2 − 2 b h− 2 a s (4)
Esta ecuacio´n conviene reordenarla de la siguiente forma:
t2 − a2 − b2 + 2 b h+ 2 a s = h2 + s2 (5)
y al definir las constantes K1 = t
2 − a2 − b2, K2 = 2b y K3 = 2a, queda definitivamente:
K1 +K2 h+K3 s = h
2 + s2 (6)
que es la ecuacio´n ana´loga a la ecuacio´n de Freudenstein para este mecanismo. Esta ecuacio´n
se debe sustituir para los puntos de precisio´n que se hayan definido, en este caso 3:
K1 +K2 hi +K3 si = h
2
i + s
2
i ∀i = 1, 2, 3 (7)
Sustituyendo los valores de h y s para los puntos de precisio´n definidos en la tabla, resulta el
siguiente sistema de ecuaciones: 1 1 21 1,5 1,7
1 2 1
  K1K2
K3
 =
 55,14
5
 (8)
cuya solucio´n es K1 = 2,9,K2 = 0,7,K3 = 0,7. De aqu´ı y de las expresiones de las constantes
Ki se deducen las dimensiones del mecanismo
a = b = 0,35m
t = 1,77m
(9)