coordenadas polares

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Cálculo Diferencial 
e Integral II
Coordenadas Polares
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Esp. Clovis Jose Serra Damiano
Revisão Técnica:
Prof.ª Me. Edmila Montezani
Revisão Textual:
Prof.ª Esp. Márcia Ota
5
Até o momento, trabalhamos apenas com as coordenadas cartesianas para localizar pontos 
no espaço, mas existem outras formas de localizar pontos no plano.
Assim, vamos trabalhar a definição de coordenada polar, sua representação e como podemos 
relacionar as coordenadas polares com as coordenadas cartesianas.
Por isso, é interessante que você reveja a trigonometria básica para melhor entendimento 
da unidade.
Para ajudá-lo, realize a leitura dos textos indicados, acompanhe e refaça os exemplos resolvidos.
Não deixe de assistir, também, à apresentação narrada do conteúdo e de alguns exercícios resolvidos.
Finalmente, e o mais importante, fique atento às atividades avaliativas propostas e ao prazo 
de realização e envio.
Nesta Unidade, estudaremos as coordenadas polares e as suas relações com 
as coordenadas cartesianas.
Um ponto no plano tem apenas um par de coordenadas cartesianas (x,y), 
mas possui infinitos pares de coordenadas polares.
Desse modo, leia com atenção a parte teórica. Além disso, os exercícios ajudarão 
você a sedimentar esses novos conhecimentos. E não se esqueça de aprofundar 
seus estudos, investigando sobre o assunto na bibliografia indicada.
Coordenadas Polares
 · Introdução
 · Definindo coordenadas polares
 · Equações gráficos polares
 · Coordenadas polares e coordenadas cartesianas
6
Unidade: Coordenadas Polares
Contextualização
Para determinar as coordenadas cartesianas do ponto abaixo dado em coordenadas polares, é 
preciso desenvolver a competência necessária para transformá-las em coordenadas cartesianas, 
usando as relações conhecidas:
x = rcosθ
y = rsenθ
O ângulo 
4
π radianos equivale à 45º.
O seno e o cosseno de 45º são iguais e valem: 2
2
Coordenadas polares
( 2, )
4
P π
22 1
2
22 1
2
x
y
= × =
= × =
Portanto, em coordenadas cartesianas o ponto P é representado por:
P(1,1)
7
Introdução
Quando trabalhamos com as coordenadas cartesianas, por convenção, um ponto é 
sempre representando por um par ordenado P(x,y), por exemplo, se tomarmos o ponto P 
(3,4). Esse ponto significa que nos deslocaremos 3 unidades à direita a partir da origem, e 
quatro unidades para cima.
Podemos também localizar um ponto, partindo da origem e indo diretamente ao ponto e 
escrever as coordenadas do ponto em relação ao comprimento do segmento que sai da origem 
em direção ao ponto e mais o ângulo que ele forma com o eixo polar.
Para tanto, é preciso seguir algumas convenções. Olhe na figura 1, o ângulo θ será medido 
conforme a seta indica, ou seja, no sentido anti-horário. O comprimento do segmento que liga 
a origem ao ponto nós chamaremos de r.
Figura 1
 
0 1
θ
1
2
2
3 x
z
3
4
p (3, 4) = P (r, θ)
É possível reescrever as coordenadas desse mesmo ponto, usando essas informações, ou seja:
 » “r” é a distância que o ponto está da origem. » θ é o ângulo de inclinação do segmento em relação ao eixo x.
Caso você não se recorde é interessante rever os conceitos da trigonometria básica.
8
Unidade: Coordenadas Polares
Teorema de Pitágoras:
2 2 2
 
 
 
 
a b c
catetoopostosen
hipotenusa
catetoadjacentecos
hipotenusa
catetoopostotg
catetoadjacente
α
α
= +
=
=
∝=
Voltando à figura 1, verifica-se que, por Pitágoras, é possível calcular r, que é o tamanho do 
segmento que vai da origem até o ponto P, que no caso é a hipotenusa do triângulo retângulo 
de catetos com tamanhos 3 e 4 unidades:
2 2 2
2
3 4
25
25
5
r
r
r
r
= +
=
=
=
Já descobrimos o comprimento do segmento que liga a origem ao ponto P. Nosso próximo 
passo será achar o ângulo que o segmento forma com o eixo do x. Para solucionar esse problema, 
usaremos as relações trigonométricas. Voltando à figura 1, conhecemos o cateto oposto ao 
ângulo θ que mede 4 unidades, e o cateto adjacente ao ângulo θ que mede 3 unidades, portanto:
4tg =
3
Se sabemos que o valor da tangente de θ, com o auxílio de uma calculadora, podemos usar 
a função inversa da tangente e descobrir qual é o ângulo, cuja tangente é 
4
3
:
1 04 53,13
3
arctg ou tg − =
Essas duas informações combinadas são chamadas coordenadas polares do ponto P:
( )05, 53,13P
9
Defi nindo coordenadas polares
Para definir as coordenadas polares, fixa-se uma origem O chamada de polo e uma semirreta 
orientada a partir de O (AO) chamada eixo polar. É possível, portanto, localizar qualquer ponto P no 
plano, associando a esse ponto um par de coordenadas polares (r,θ), em que r é a distância orientada 
de O a P e θ é o ângulo orientado a partir do eixo polar até o segmento OP. Vide a figura 2.
Figura 2
 
θ
0
r
P (r, θ)
Eixo polar
Origem (pólo)
x
A trigonometria convencionou que quando medimos um ângulo no sentido anti-horário é 
positivo, portanto, quando ele assume o sentido horário, ele é negativo.
Observe a figura 3 e verifique que um ângulo associado a um ponto não é único. O ponto que está 
distante das duas unidades da origem poderá ser representado pelas seguintes coordenadas polares:
11 2, 2, 
6 6
P ou Pπ π   = = −   
   
Figura 2
 
θ = pi/6
θ = 0
0
Eixo polar
11pi
6
x
-
11pi
6-
pi
6
2,P = 2,P
10
Unidade: Coordenadas Polares
Para fixar esses conceitos iniciais, observe os exemplos a seguir:
Exemplo 1
Marque os pontos, a seguir, no sistema de coordenadas polares:
( )2, 0oP =
Resolução: 
Qualquer ponto que faça um ângulo de 0o em relação a semirreta OP está contido nesse eixo. 
Observe, abaixo, que o ponto P está sobre a semirreta OA ou sobre o eixo polar definido pela 
semirreta OA. 
 P
0 1 2 3 4 5 A
( )32,1 80oQ =
Resolução:
Observe que, agora, o ângulo OAQ faz ângulo de 180o com o eixo polar, ou seja, saindo da 
origem em direção a Q, no sentido anti-horário, damos uma volta de 180o.
 Q
-3 -2 -1 0 1 2 A3
3,
2
R π =  
 
Resolução:
Quando se trabalha com as coordenadas polares, podemos usar a medida do ângulo em 
graus ou em radianos. No ponto R, a medida do ângulo (90o) foi dada em radianos. O ponto 
R, portanto, estará contido em uma semirreta distante 3 pontos da origem e fazendo um 
ângulo de 90o ou 
2
π radianos com o eixo polar.
 
3
2
1
0 A
R
11
Exemplo 2
Marque o ponto 3,
2
P π =  
 
.
Resolução:
O exercício informa que o ponto P está a uma distância de 3 unidades da origem e que forma 
um ângulo de 270o (o mesmo que 3,
2
π
 rad) a partir do eixo polar.
 
Para transformar graus em radianos e vice-versa, usamos a seguinte relação:
0180π →
Para transformar, basta colocar informações iguais embaixo uma da outra e aplicar a regra de 3 
para resolver o problema. Exemplo: Quanto mede 900?
0
0
0
0
180
90
90 .
180 2
x
x rad
π
π π
→
→
×
= =
Determinando coordenadas polares
Exemplo:
Determine todas as coordenadas polares do ponto 2, 
6
P π  
 
Solução:
O primeiro passo é esboçar o eixo polar do sistema de coordenadas cartesianas e uma 
semirreta a partir da origem que forme um ângulo de 
6
π
 radianos (300) com o eixo polar e 
marca-se o ponto 2, 
6
P π  
 
. (Figura 4).
Figura 4
 
0 Eixo polar
x
pi
6
5pi
7pi/6
-5pi/6
6-
-pi
6
2, = 2,
7pi
6
-=
etc.
2,
12
Unidade: Coordenadas Polares
O ponto 2, 
6
P π  
 
 tem infinitos pares de coordenadas polares.
Para r = 2, os ângulos são:
, 2 , 4 , 6 , 8 , 
6 6 6 6 6
π π π π πθ π π π π=± ± ± ± …
Para r = -2, os ângulos são:
5 5 5 5 5, 2 , 4 , 6 , 8 , 
6 6 6 6 6
π π π π πθ π π π π= − − ± − ± − ± − ± …
Os pares correspondentes de coordenadas polares de P são:
2, 2
6
nπ π + 
 
Sendo n= ±1,±2 ,±3…) e
52, 2
6
nπ π − + 
 
Sendo n= ±1,±2 ,±3…) e
As coordenadas polares podem ter valores negativos de r. Há problemas em que se 
deseja que r seja negativo e, por essa razão, usamos a distância orientada na definição de 
P=(r,θ). O ponto 7 2, 
6
P π  
 
 pode ser obtido girando 7
6
π radianos no sentido anti-horário 
a partir do eixo polar e caminhando 2 unidades para frente, mas ele também pode ser 
alcançado girando 6
π
 radianos no sentido anti-horário e voltando 2 unidades, ou seja, o 
ponto P tem as coordenadas polares 2, 
6
P π − 
 
. (Figura 5).
Figura 5
 7pi/6
pi/6
θ = pi/6
θ = 0
x
0
pi
6
7pi
6
7pi
6
2,
θ =
P = -2,P
13
Equações gráfi cos polares
Se mantivermos fixo o valor de r : r = a ≠ 0, isto implica que o ponto dado pelas coordenadas 
polares P(r,θ) estará a uma distância de |a| da origem O. Conforme o ângulo θ varia em 
qualquer intervalo de comprimento 2π (uma volta), o ponto P descreverá um círculo de raio |a| 
centrado na origem. (Figura 6).
Figura6
 
x
0
|a|
r = a
Quando se mantém θ fixo (θ = θ0) em um valor constante e faz-se r variar entre -∞ e ∞, o 
ponto P(r,θ) traça uma reta que passa pela origem e forma um ângulo de θ0 com o eixo polar.
Equação Gráfico
r = a Círculo de raio |a| centrado na origem.
θ = θ0 Reta que contém O e forma um ângulo θ0 com o eixo polar.
Determinando equações polares para gráficos.
a. 1 1r e r= = −
Ambas são equações para o círculo de raio 1 centrado na origem.
b. 
7 5
6 6 6
π π πθ = = = −
No item b, temos equações de reta; aliás, da reta descrita na figura 5.
É possível combinar as equações da forma r = a e θ=θo para definir regiões, segmentos e semirretas.
Exemplo:
Desenhe o conjunto de pontos, cujas coordenadas polares satisfazem as seguintes condições:
a. 1 2 e 0
2
r πθ≤ ≤ ≤ ≤
14
Unidade: Coordenadas Polares
O tamanho de r está compreendido entre 1 e 2 e pode ser todos ao ângulos contidos no 
intervalo de zero graus a noventa graus. (Figura 7)
Figura 7
 
x
0 1 2
y
1 ≤ r ≤ 2,0 ≤ θ ≤ pi2
b. 3 2 e 
4
r πθ− ≤ ≤ =
O gráfico é uma reta que de comprimento de -3 até 2 e que forma um ângulo de 
4
π
 radianos 
com o eixo polar. (Figura 8)
Figura 7
 y
-3 ≤ r ≤ 2
x
0
2
3
pi
4
pi
4
θ = ,
Coordenadas polares e coordenadas cartesianas
Quando se usa as coordenadas cartesianas e as coordenadas polares em um único plano, 
coloca-se as duas origens juntas e faz-se o eixo polar coincidir com o eixo positivo das abscissas 
(eixo x) dos sistema de coordenadas cartesianas. Feito isso, a semirreta dada por 
2
πθ = , r>0 
ficará sendo o eixo das ordenadas (eixo y) do sistema cartesiano. (Figura 9).
15
Figura9
 
Origem
comum
Eixo polar0 x
x
y
y
r
P(x, y) = P(r, θ)
θ = 0, r > 0
raio θ = pi
2
θ
Portanto, os dois sistemas de coordenadas estão relacionados pelas seguintes equações:
2 2 2
cos
 
x r
y r sen
x y r
θ
θ
=
=
+ =
As duas primeiras equações determinam as coordenadas cartesianas x e y quando são dadas 
as coordenadas polares r e θ.
Quando x e y é dado, a terceira equação fornece duas possíveis escolhas de r, ou sejam um 
valor positivo ou um valor negativo.
Para cada seleção, há um único θϵ [0, 2π] que satisfaz as duas primeiras equações, e cada uma, 
portanto, fornece uma representação em coordenadas polares do ponto cartesiano (x,y). As outras 
representações do ponto em coordenadas polares podem ser obtidas a partir dessas duas.
Vamos aprender a converter coordenadas cartesianas em coordenadas polares.
Determine uma equação polar do círculo x2+(y - 3)2=9.
O primeiro passo será expandir (y - 3)2, e, para isso, usaremos o produto notável quadrado 
de uma diferença: (a - b)2 = a2 -2ab + b2.
( )
( )
2 2 2
2 2
3 2. .3 3
3 6 9
y y y
y y y
− = − +
− = − +
16
Unidade: Coordenadas Polares
Vamos reescrever a equação com esse termo expandido:
2 2 6 9 9.x y y+ − + =
Perceba que o 9 se cancela, basta passar um deles para o outro membro da equação, portanto, 
a equação ficará apenas:
2 2 6 0.x y y+ − =
Vimos que:
2 2 2
 
x y r
y r senθ
+ =
=
Substituindo:
2 6 0r r senθ− =
Colocando r em evidência:
2 6 0r r senθ− =
Temos um produto com dois fatores, cujo resultado é zero, portanto, ou
r = 0
Ou
( )6 0r r senθ− =
Grifado em amarelo, temos as duas equações polares equivalentes à equação cartesiana 
x2 + (y - 3)2 = 9.
Também é possível converter coordenadas polares em coordenadas cartesianas.
Exemplo 1
Substitua a equação polar r cos θ = -4 por uma equação cartesiana equivalente.
Solução:
Usar as relações conhecidas e fazer a substituição. Lembre-se que 
x = r cosθ
Portanto:
x = -4
17
Exemplo 2 
Substitua a equação cartesiana r2 = 4r cosθ por uma equação polar equivalente.
Solução:
Usar as relações conhecidas e fazer a substituição. Lembre-se que: 
x = r cosθ
x2 + y2 = r2
Portanto, fazendo as substituições teremos:
2
2 2
2 2
4 cos
4
4 0
r r
x y x
x y x
θ=
+ =
+ − =
Para resolver, vamos usar o método de completar o quadrado:
( )
2 2
2 2
2 2
4 0
2 4 4
2 4
x x y
x x y
x y
− + =
− + + =
− + =
Método de completar quadrados
Esse método é usado como uma forma de resolver equações quadráticas, ou no nosso caso, 
o objetivo será transformar uma equação normal em uma equação geral.
Passo a passo para resolver:
Completar o quadrado de: x2 + y2 - 2x + 4y - 4.
Juntar as variáveis semelhantes e separar das constantes. Observe que o número 4 foi passado 
para o outro lado da igualdade com o sinal trocado.
x2 - 2x + y2 + 4y = 4
Vamos recordar também como se calcula o produto notável:
(a±b)2 = a2 ± 2ab + b2
Isso que usaremos para completar o quadrado. Vamos reescrever o que tem x e y como um 
trinômio quadrado perfeito.
x2 - 2x+(Đ) + y2 + 4y + (Đ) = 4
Veja o termo do centro é 2ab; portanto, se dividirmos 2ab por 2 restará apenas ab. O número 
encontrado deve ser elevado ao quadrado e completar o quadradinho vazio. Vamos tomar o 
termo central da expressões dividir por 2 e elevar ao quadrado.
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Unidade: Coordenadas Polares
( )
( )
2
2
2 2 2 1
1 1
4 2 2
2 4
x x
y y
− → ÷ =−
− =
→ ÷ =
=
Substituir os valores encontrados nos “quadradinhos vazios”.
( ) ( )2 22 1 4 4 4x x y y− + + + + =
Se acrescentou-se 1 e 4 de um lado da igualdade, temos de somar o mesmo valor do outro lado:
2 2
2 2
2 1 4 4 4 1 4
2 1 4 4 9
x x y y
x x y y
− + + + + = + +
− + + + + =
Para terminar, basta reescrever os termos na forma (a±b)2:
( )
( )
22
22
2 1 1
4 4 2
x x x
y y y
− + = −
+ + = +
Portanto:
( ) ( )2 21 2 9x y− + + =
Exercícios de Fixação
Exercício 1
Represente as coordenadas cartesianas do ponto 
7(2, )
3
A π .
Resolução:
Para transformar as coordenadas polares de A em coordenadas cartesianas, usaremos as 
relações já conhecidas:
x = r cosθ
y = r sen θ
Portanto:
72
3
72
3
x cos
y sen
π
π
= ×
= ×
Precisamos verificar qual é a primeira determinação positiva do ângulo em questão: 7
3
π . 
19
7 2
3
7 6
3 3
π π
π π π
−
−
=
O ângulo 
3
π é o mesmo que 60º, o seno e cosseno de 60º valem 3 1
2 2
e respectivamente, portanto:
12 1
2
32 3
2
x
y
= × =
= × =
Portanto, as coordenadas cartesianas de A são: A( 3,1)
Vamos relembrar da Trigonometria o queé a primeira determinação positiva de um ângulo 
e o que são arcos côngruos.
Arcos côngruos são aqueles que estão localizados em um mesmo ponto do Ciclo Trigonométrico.
Se marcarmos o ponto P no Ciclo Trigonométrico como sendo o ponto que faz uma ângulo 
de 450 com o eixo das abscissas (eixo do x). Se a partir ponto ponto P dermos uma volta de 
3600, esse novo ponto coincidirá com o ponto P, ou seja, ele terá dado por um volta completa 
mais 450, formando, então, um ângulo de 4050 com o eixo x. Sempre que dermos uma volta 
completa, o novo ponto sempre coincidirá com o ponto P.
Chama-se de primeira determinação positiva ao ângulo ∝:
0 00 360≤ ∝ ≤
Para saber qual é a primeira determinação positiva, basta dividir o ângulo por 360. O resto 
dessa divisão será a primeira determinação positiva.
Exemplo: 
Qual é a primeira determinação positiva do ângulo de 4050?
405 360
1 45restode
÷ =
+
Portanto: 450 é primeira determinação positiva do ângulo 4050, ou seja, damos uma volta a 
partir da origem e nos deslocamos mais 450 no sentido anti-horário.
Para fazer o cálculo em radianos, pense da seguinte forma:
Qual é a primeira determinação ângulo 12
5
π :
Busque o maior número do numerador que seja divisível 5; no caso, é o número 10 e reescreva:
20
Unidade: Coordenadas Polares
12 10 2 22
5 5 5 5
π π π ππ= + = +
Portanto, a primeira determinação positiva do ângulo 12 2 .
5 5
éπ π
Uma última informação importante é que dois arcos são côngruos quando a diferença entre 
eles é um múltiplo de 2π.
Exercício 2
Substitua a equação polar r cosθ = 2pela sua equação cartesiana equivalente.
Resolução:
Vamos continuar usando as relações conhecidas. Sabe-se que:
x = r cosθ
Basta substituir:
r cosθ = 2
x = 2
Exemplo 3
Substitua a equação cartesiana x = 7 pela equação polar equivalente.
Resolução:
Sabe-se que:
x = r cosθ
Substituindo:
r cosθ = 7
Exemplo 4
Determine os pontos do plano que satisfazem a equação: r = 6 cosθ.
Resolução:
O que se pede é a equação na forma cartesiana. Vamos retomar as relações estabelecidas 
anteriormente:
x = r cosθ
y = r sen θ
x2 + y2 = r2
Veja que podemos manipular essas equações algebricamente de acordo com a nossa 
conveniência para resolver o problema.
Temos a seguinte equação:
21
r = 6 cosθ
Manipulando as equações conhecidas, podemos reescrevê-las das seguintes formas:
2 2r x y= +
2 2
cos cosx x
r x y
θ θ= → =
+
Fazendo as substituições, teremos:
r = 6 cos θ
2 2
2 2
6 xx y
x y
+ =
+
Multiplicando os dois lados da igualdade por 
2 2r x y= + :
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
6 6x xx y x y x y x y x y x y
x y x y
+ × + = × + + × + = × +
+ +
Passar todas as variáveis para um único lado:
x2 + y2 - 6x = 0
Para concluir, teremos de utilizar o método de completar o quadrado:
x2 - 6x + (Đ) + y2 = 0
6 ÷ 2 = 3 → (3)2 = 9
Completando:
x2 - 3x . 2 + (9) + y2 = 0 + 9
Voltado parta a forma (a - b)2:
(x - 3)2 + y2 = 9
E equação obtida é a equação de um círculo de centro (3,0) e raio 3.
22
Unidade: Coordenadas Polares
Material Complementar
Para aprofundar seus estudos sobre coordenadas polares, sugiro uma leitura de qualquer um 
dos livros textos da bibliografia no assunto em questão.
 
 Explore
Outras indicações:
 » https://goo.gl/cVjmxs
 » https://youtu.be/acbOnil9WK8
23
Referências
DEMANA, Franklin D.; WAITS, Bert K.; FOLEY, Gregory D.; KENNEDY, Daniel. Pré-Cálculo. 
2 ed. São Paulo: Pearson, 2013.
FLEMMING, Diva Marília; GONCALVES, Miriam Buss. Cálculo A: funções, limite, derivação, 
integração. 6 ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007.
STEWART, James. Cálculo 6. Ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010.
THOMAS JR., George B Et Al. Cálculo (de) George B. Thomas Jr. 12 ed. São Paulo: 
Addison-Wesley, 2003.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Em curso de cálculo. 5 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001-2002