Unidade IV Integrais duplas na forma polar

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Cálculo Diferencial 
e Integral II
Integrais duplas na forma polar
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Esp. Clovis Jose Serra Damiano
Revisão Técnica:
Prof.ª Me. Edmila Montezani
Revisão Textual:
Prof.ª Esp. Márcia Ota
5
Vamos iniciar os nossos estudos, definindo uma região limitada por coordenadas polares. 
Além disso, resolveremos alguns exercícios para calcular áreas ou integrais duplas na forma 
polar. Para tanto, o material foi organizado da seguinte forma:
1. Introdução;
2. Definição;
3. Limites de Integração;
4. Mudança de Integrais para polares;
5. Cálculo de integrais, usando coordenadas polares.
Desse modo, ao terminar essa unidade, você deverá ser capaz de identificar e diferenciar 
coordenadas polares de coordenadas cartesianas, bem como mudar as coordenadas 
cartesianas para polares e efetuar o cálculo de integrais duplas na forma polar.
Para ajudá-lo, realize a leitura dos textos indicados, acompanhe e refaça os exemplos resolvidos.
Não deixe de assistir, também, à apresentação narrada do conteúdo e de alguns exercícios resolvidos.
Finalmente, e o mais importante, fique atento às atividades avaliativas propostas e ao prazo 
de realização e envio
Nesta Unidade, estudaremos as integrais duplas na forma polar. 
Algumas vezes, fica mais fácil calcular as integrais duplas se mudarmos as 
variáveis as polares.
Então, leia com atenção a parte teórica e não deixe de rever o cálculo de 
integrais duplas na forma cartesiana. Os exercícios propostos ajudarão você 
a sedimentar esses novos conhecimentos.
Sendo assim, organize o seu tempo de estudos e esteja atento aos prazos de 
entrega das atividades propostas.
Integrais duplas na forma polar
 · Integrais duplas na forma polar
 · Limites de Integração
6
Unidade: Integrais duplas na forma polar
Contextualização
Cálculo de área
Suponha que você tenha de calcular a área da figura abaixo:
Qual é essa área?
Diga qual foi a técnica utilizada para esse cálculo e porque ela foi escolhida.
Expectativa de resposta:
O aluno deverá calcular a seguinte integral:
 
Por se tratar do cálculo de área de uma região circular, é mais fácil utilizar a integral com 
coordenadas polares.
[ ]
1 2
0 0
2
0
1
2
0
0
1
0
1
0
12
0
2 2
0
2
2
2 2
1 0
2 2 2 4
p
p
p
= q
= q
= q
é ùpê ú= -ê úë û
p=
é ùp ê ú= ê úë û
é ùp pê ú= - =ê úë û
ò ò
ò
ò
ò
ò
A r dr d
A d
A r dr
A r dr
A r dr
r
A
A
7
Integrais duplas na forma polar
Vimos, anteriormente, as integrais duplas bem adaptadas às coordenadas cartesianas. Seja 
pela região ou pela função a ser integrada, existem situações em que a integral dupla é mais 
bem adaptadas às coordenadas polares.
Nesta unidade, aprenderemos a calcular integrais sobre regiões, cujas fronteiras são dadas 
por coordenadas polares.
A definição de integral dupla de uma função sobre uma região R do plano xy é feita dividindo 
a região R em retângulos, cujos lados são paralelos aos eixos coordenados. Em coordenadas 
polares, o formato natural é um “retângulo polar”, cujos lados têm valores constantes de r e θ .
Dada uma função f(r,θ ) que esteja definida sobre uma região R e limitada pelos raios θ =α 
e θ =β e pelas curvas contínuas r=g1 (θ ) e r=g2 (θ ). Imagine, também, que 0 ≤ g1 ≤ g2 ≤α 
para todo valor de θ entre α e β . Portanto, R estará contido em uma região Q com formato de 
leque que é definida pelas desigualdades 0 ≤ r ≤ α e α ≤ θ ≤ β . Vide figura 1.
Figura 1
 
Observe que a região R (em azul) está contida na região no formato de leque. Se fizermos 
a partição de Q por arcos circulares e raios, isso induzirá a uma partição da região R. 
Então, cobriremos Q com uma grade de arcos circulares e raios. Os arcos serão cortados de 
circunferências centradas na origem e com raios: , 2 .r r m r∆ ∆ … ∆ sendo que /r a m∆ = .
Os raios serão dados por:
 
( )
, , 2 , , 
.
Q Q m Q sendoque
a
Q
m
θ α θ α θ α θ α β
β
′= = + ∆ = + ∆ … = =
−
∆ =
′
+ ∆ .
Concluindo: Os arcos e os raios dividem Q em pequenos pedaços chamados de retângulos polares.
Agora, iremos numerar os retângulos polares que estão dentro da região R (sem uma ordem 
particular) e denominaremos suas áreas de 1 2 . , , nA A A∆ ∆ … . Seja ( ),k kr θ qualquer ponto no 
retângulo polar, cuja área é ∆A_k. Formamos, então, a seguinte soma:
( )
1
, 
n
n k k k
k
S f r Aθ
=
= ∆∑
8
Unidade: Integrais duplas na forma polar
Se f for contínua em R, essa soma aproximará um limite quando refinarmos a grade para 
fazer r∆ e θ∆ tender a zero. Esse limite é chamado integral dupla de f sobre R, e tem a 
seguinte notação:
( )lim , 
a
nn
R
S f r dAθ
→∞
= ∫∫
Para calcularmos esse limite, é preciso escrever a soma Sn de forma que expresse kA∆ em 
termos de r∆ e θ∆ . Considere que rk seja a média entre os raios interno e externo que definem 
o k-ésimo retângulo polar ∆A_k. Observa na figura 2:
O raio do arco interno que delimita o retângulo : 
2k k
rA é r ∆∆ − .
O raio do arco externo é dado por: 
2k
rr ∆+ .
Figura 2
 
A área de um setor circular de raio e r ângulo θ é dada por:
21 
2
A rθ=
Portanto, as áreas dos setores circulares subentendidos por esses arcos na origem são:
Raio interno:
21
2 2k
rr Q∆ − ∆ 
 
Raio externo:
21
2 2k
rr Q∆ + ∆ 
 
9
Portanto, a área 
 kA∆ é igual à área do setor maior menos a área do setor menor.
( )
2 2
 2 2 2 2 2k k k k k
r rA r r r r r rθ θ θ
 ∆ ∆ ∆ ∆   ∆ = + − − = ∆ = ∆ ∆    
     
Combinando esses resultados com a soma que define Sn, teremos:
( )
1
, 
n
n k k k
k
S f r r rθ θ
=
= ∆ ∆∑
À medida que os valores de n tendem a infinito ( n→∞ ) e os valores de ∆r e θ∆ se 
aproximam de zero, essas somas convergem para a integral dupla:
( ), 
a
R
r r dr dθ θ∫∫
Um versão do Teorema de Fubbini diz que o limite aproximado por essas somas pode ser 
calculado por repetidas integrações simples em relação a r e a θ quando:
( )
( )
( )
( )
2
1
, , 
r ga
R r g
r dA f r r dr d
θθ β
θ α θ
θ θ θ
==
= =
=∫∫ ∫ ∫
Se temos uma região circular limitada pelos ângulos α e β e pelas funções ( ) ( )1 2 g e gθ θ , podemos 
calcular essa área, integrando a função em relação a r e a θ .
Sabemos que podemos representar um mesmo ponto de formas diferentes, isto é, podemos 
definir bem um ponto por meio de suas coordenadas cartesianas ou retangulares, ou podemos 
definir o mesmo ponto verificando o ângulo que ele forma em relação ao eixo polar e a sua 
distância da origem e chamamos esse tipo de representação de coordenadas polares.
Nesse primeiro momento, vamos aprender a transformar uma coordenada cartesiana em 
uma coordenada polar. Para tanto, vamos recordar as seguintes relações:
 
 
. 
x r cos
y r sen
dA dx dy r dr d
θ
θ
θ
=
=
= =
10
Unidade: Integrais duplas na forma polar
É importante 
recordar como 
calcular as integrais
 
duplas.
O que iremos aprender será transformar uma integral dupla em uma região xy para uma 
integral dupla em uma região dada por rθ :
( )
( )
( )
( )
, ,
, . , .
a a
R x y R r
f x y dxdy f rcos rsen rdrd
θ
θ θ θ→∫∫ ∫∫
Fizemos a conversão das variáveis:
x foi convertido para rcosθ .
y foi convertido para rsenθ .
dydx (ou dA) foi convertido em rdrdθ .
Note que dx dy não é substituído por dr dθ , mas por dr dθr .
Para que possamos entender melhor, vou apresentar um exemplo:
Calcule a área do círculo de raio igual a dois.
Nas aulas de geometria, aprendemos que a área de um círculo é dada por:
2A rπ=
Portanto, nosso círculo (figura 1) tem a seguinte área:( )2 2 4 .A unidades demedidaπ π= =
Hoje, aprenderemos a calcular essa mesma área, utilizando nossos conhecimentos de integrais.
A equação de uma circunferência é dada pela seguinte fórmula:
2 2 2x y r+ =
No exercício proposto, nossa circunferência tem raio 2; portanto, a sua equação é dada por:
2 2 4x y+ =
11
Vamos colocar o y em função de x, ou seja, vamos isolar o y:
2 2
2
4
4
y x
y x
= −
= ± −
Há duas situações:
Ou
Observe, na figura 3, essas indicações:
• Temos um círculo de raio 2.
• A parte superior do círculo em laranja.
• A parte inferior do círculo em verde.
Figura 3
y
y = 4 - x 2
x2
R
-2
y = - 4 - x2
 
No eixo x, temos os limites de integração em relação à variável x.
No eixo y, temos os limites de integração em relação à variável y.
Vamos escrever isso na forma de uma integral dupla:
O que fizemos foi variar o x de -2 até o 2 e o y de 24 x− − até 24 x− .
Mas, no caso, interessa-nos trabalhar com as coordenadas polares e não com as coordenadas 
cartesianas. Assim, é importante, para nós, a variação do raio e a variação dos ângulos contidos 
na figura. Concluímos, portanto:
24y x= −
24y x= − −
2
2
2 4
2 4
x
x
dx dy
−
− − −
∫ ∫
12
Unidade: Integrais duplas na forma polar
0 2r≤ ≤
0 2θ π≤ ≤
Vamos transformar a nossa integral dupla cartesiana em uma integral dupla polar.
2 2
0
p
= qò ò
0
I rdrd
Quando trabalhamos com duas variáveis, aquela que não está sendo integrada funciona 
como constante.
2 2
0
2 2
0
p
p
= q
= q
ò ò
ò ò
0
0
I rdrd
I rdr d
A integral de dθ =1dθ =θ . Quando se integra uma constante, acrescenta-se a ela a variável 
de integração.
[ ]
[ ]
2
2
0
0
2
0
2
0
2 0
2
p= q
= p-
= p
ò
ò
ò
I rdr 
I rdr
I rdr 
Observe, agora, que 2π é uma constante; portanto, pode sair para fora do sinal de integração:
2
0
2= pòI rdr
Vamos integrar a variável r:
( )
[ ]
22
0
2 2
2
2
2 0
2
2 2
2 . 2 0
4
2 .
2
4
é ù
ê ú= p ê úë û
é ùæ öê ú÷ç= p - ÷çê ú÷çè øê úë û
= p -
= p
= p
r
I
I
I
I
I
13
Limites de Integração
Um procedimento que devemos ter habilidade é o de encontrar os limites de integração. 
Vimos, anteriormente, que é possível determinar os limites de integração para coordenadas 
polares. Quando se quer calcular ∫∫_(R(r,∫∫))^a∫∫ f(r,∫∫)dA sobre uma região R em coordenadas 
polares, integrando primeiro em relação a r e depois em relação a A, siga os seguintes passos:
1) Faça um esboço da curva e identifique as curvas limitantes. (Figura 4)
Figura 4
 
2) Encontre os limites de integração de r. Imagine um raio L, partindo da origem e cortando 
a região R no sentido crescente de r. Marque os valores de r onde L entra e sai da região R. Esses 
são os limites de integração de r. (Figura 5).
Figura 5
 
3) Encontre os limites de integração de Đ. Encontre o menor e o maior valor de Đ que limitem 
a região R. Esses são os limites de integração de Đ. (Figura 6)
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Unidade: Integrais duplas na forma polar
Figura 6
 
 A integral é:
( )
( )
( )
22
,
24
, ,
p =
q
p = qq=
= q = q qòò ò ò
r
R r
r  csc 
f r dA f r r dr d
Você deve estar se perguntado: quando se deve usar as coordenadas polares?
Deve-se usar as coordenadas polares sempre que regiões circulares estiverem envolvidas em 
nossos cálculos, ou quando o domínio de uma função for um círculo ou parte de um círculo. 
A maneira de aprender é resolvendo exercícios.
Exemplo:
Calcule a integral dupla abaixo, cujo domínio está representado na figura 7 pintado em vermelho:
2 2D 1+ +òò
dA
x y
Figura 7
 
Nosso primeiro passo será identificar os limites de integração em relação a r e θ . Vamos 
utilizar a figura para identificar esse limites.
O círculo tem raio igual a dois, portanto:
0 ≤ r ≤ 2.
y
y = x
x2
2
-2
-2
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A área que se quer calcular não abrange todo o círculo, e sim parte dele; portanto, precisamos 
identificar esses pontos limitados pelos valores que o ângulo θ poderá assumir.
Queremos calcular a área vermelha. A reta que serve de fronteira nos dá a seguinte informação: y=x.
Essa informação nos diz que o primeiro quadrante está sendo dividido exatamente ao meio. 
O ângulo entre os eixos x e y é de 90 graus. Se dividirmos ao meio esse ângulo será de 45 graus. 
Portanto, a área que queremos calcular vai de 450 até 2700, todavia, não trabalhamos com graus 
e sim em radianos; portanto, é preciso transformar essas medidas em radianos: 045
4
p
é   e 2700 
é 3
2
p . Com isso, temos os seguintes limites de integração:
3
4 2
p p£ q £
Vamos reescrever a nossa integral, colocando os limites obtidos:
Ainda é preciso fazer algumas manipulações para conseguirmos efetuar o cálculo dessa 
integral dupla. Vamos usar algumas relações conhecidas para fazer algumas substituições:
Sabemos que:
dA=dx.dy=r dr dθ
x2+y2=r2
3
2 2
2 2
0
4
1
p
p
=
+ +ò ò
dA
I
x y
Observe que as partes, grifadas em amarelo, podem ser substituídas pelas relações acima:
3
2 2
2
0
4
1
p
p
q=
+ò ò
r dr d
I
r
Agora, temos condições de calcular essa integral:
[ ]
3
2 2
2
0
4
2 2
3
2
40
2
2
0
2
2
0
2
2
0
1
1
3
1 2 4
6
1 4
5
1 4
p
p
p
p
= q
+
= q
+
æ öp p÷ç= - ÷ç ÷çè ø+
æ öp-p÷ç= ÷ç ÷çè ø+
p=
+
ò ò
ò
ò
ò
ò
r dr 
I d
r
r dr 
I
r
r dr 
I
r
r dr 
I
r
r dr 
I
r
2
2 3
2 2
4
1
p
p
=
+ +ò ò
o
dA
I
x y
16
Unidade: Integrais duplas na forma polar
Faremos, agora, a integral em relação a r; portanto, podemos tirar a constante para fora do 
sinal de integração:
Vou reescrever a função da seguinte forma:
2
2
0
5 1
4 1
p=
+ò
 
I  r dr
r
Eu reescrevi dessa forma para que você possa identificar que temos um produto de duas 
funções. Nesse caso, a técnica utilizada para resolver o problema é a de substituição de variável:
u=1+r2
du=2r.dr
1
2 2
= ® =du rdr du rdr
Portanto, podemos substituir esses valores para transformar nossa sentença em uma integral 
imediata que sabemos como integrar:
2
0
2
0
5 1 1
4 2
5 1 1
. .
4 2
p=
p=
ò
ò
 
I   du
u
 
I    du
u
Lembre-se: a integral de 
1 = +ln x C
x . Como estamos trabalhando com integrais definidas 
podemos “esquecer” o C pois ele irá se cancelar.
2
0
5
8
p é ù= ë ûI  ln u
Retornando o valor de “u”:
Como ln 1 = 0, então:
5
5
8
p=I ln
Vamos aprender, agora, a calcular uma área circular contida em uma região entre dois círculos.
2
2
0
5
4 1
p=
+ò
r dr 
I
r
[ ]
2
2
0
5
1
8
5
5 1
8
p é ù= +ê úë û
p= -
I  ln r
I ln ln
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Exemplo:
Calcular a integral:
2 2
D
+òò x ye dxdy
Sendo que D é a região compreendida entre as curvas:
x2+y2=4
x2+y2=9
Essas duas equações representam dois círculos, sendo um de raio 2 e outro de raio 3. Estamos 
em busca da área entre eles. É a parte pintada em verde da figura 8.
Figura 8
 
Vamos identificar os limites de integração das variáveis r e θ que determinará a região de 
integração D:
2 ≤ r ≤ 3
0 ≤ θ ≤ 2π
Reescrevendo a integral dupla com esses limites teremos:
2 2
3 2
2 0
p
+= ò ò x yI e dxdy
Agora, vamos substituir as variáveis cartesianas pelas variáveis polares na função, lembrando que:
dA=dx.dy=r dr dθ
x2+y2=r2
Grifei, em amarelo, as mudanças que faremos na função:
x2 + y2 = 9
x2 + y2 = 4
x
y
2-2-3 3
2
3 2
2 0
p
= qò ò rI e r dr d
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Unidade: Integraisduplas na forma polar
Agora, faremos o cálculo da integral para cada variável:
Faremos, agora, a integração em relação à variável r; portanto, podemos colocar a constante 
2π para fora do sinal de integração.
Para calcular a primitiva de er
2
 r dr, teremos de usar o método da substituição 
aprendido anteriormente:
Vamos resolver mais um exercício para fixar esse aprendizado:
Exercício:
Dado que D é o contorno de x2+y2=4, calcule:
2 2
D
+òò x y  dxdy
Resolução:
Sabemos que o domínio será dado pelo contorno do círculo de raio 2.
[ ]
[ ]
2
2
2
2
3 2
2 0
3
2
0
2
3
2
3
2
2 0
2
p
p
= q
= q
= p-
= p
ò ò
ò
ò
ò
r
r
r
r
I e r dr d
I e r dr
I e r dr
I e r dr
2
3
2
2= pò rI e r dr
( ) ( )
( )
2
2 2
3
2
3
2
3
2
3 2
9 4
1
2 2
1
2
2
1
2
2
= ®
= p
= p
é ù= p ê úë û
é ù= p -ê úë û
= p -
ò
ò
u
u
r
du
rdr du
I e du
I e du
I e
I e e
I e e
19
Portanto:
0 ≤ r ≤ 2
0 ≤ θ ≤2π
Achado os limites de integração, vamos substituir as variáveis cartesianas pelas variáveis 
polares na função. Para isso, vamos usar as relações já conhecidas.
Fazendo as substituições, teremos:
As relações que devemos saber são:
x=r cosθ
y=r senθ
dA=dx.dy=r dr dθ
x2+y2=r2
[ ]
[ ]
2 2
2 2 2
D
0 0
2 2
2
0 0
2 2
2
0 0
2 2
2
0 0
2
22
0
0
2
2
0
2
2
0
2 0
.2
p
p
p
p
p
+ = q
= q
= q
= q
= q
= p-
= p
òò ò ò
ò ò
ò ò
ò ò
ò
ò
ò
x y  dxdy r  r dr d
I r  r dr d
I r  dr d
I  r dr  d
I  r dr 
I  r dr 
I  r dr
2
2
0
23
0
3 3
2
2
3
2 0
2
3 3
8
2 .
3
16
3
= p
é ù
ê ú= p ê úë û
é ù
ê ú= p -ê úë û
= p
p=
òI  r dr
r
I
I
I
I
20
Unidade: Integrais duplas na forma polar
Material Complementar
Para aprofundar seus estudos, assista aos seguintes vídeos:
• https://www.youtube.com/watch?v=XhOqMA_z8AA
• https://www.youtube.com/watch?v=AFxAszcLbzo
• https://www.youtube.com/watch?v=e89dG9hZutY
21
Referências
DEMANA, Franklin D.; WAITS, Bert K.; FOLEY, Gregory D.; KENNEDY, Daniel. Pré-Cálculo. 
2 ed. São Paulo: Pearson, 2013.
BOULOS, Pré-Cálculo. São Paulo: Makron Books, 1999/2001.
FLEMMING, Diva Marília; GONCALVES, Miriam Buss. Cálculo A: funções, limite, derivação, 
integração. 6 ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007.
STEWART, James. Cálculo 6. Ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010.
THOMAS JR., George B Et Al. Cálculo (de) George B. Thomas Jr. 12 ed. São Paulo: 
Addison-Wesley, 2003.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Em curso de cálculo. 5 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001-2002.