CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA

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CCoonnttaabbiilliiddaaddee,, MMaatteemmááttiiccaa ee PPrreeppaarraaççããoo ppaarraa CCoonnccuurrssooss))
�Conceitos Básicos 
�Aplicações 
�Uso de tabelas financeiras 
�Uso da calculadora HP-12C 
�Uso da planilha EXCEL 
 
Prof. Ilydio Pereira de Sá 
 
Curso Básico de Matemática Comercial e Financeira 
Prof. Ilydio Pereira de Sá 2
1) Introdução: 
 
Todos nós sabemos da importância da Matemática Comercial e Financeira 
na vida de todas as pessoas. Economistas, Administradores de Empresa, 
Professores, Empresários, Estudantes, Candidatos a Concursos Públicos,... todos 
precisam estar familiarizados e atualizados com seus conceitos fundamentais. 
 Normalmente o que acontece na maioria dos cursos de graduação é que 
aprendemos, de forma muito rápida, a usar a máquina na obtenção das respostas 
dos problemas principais e, quase sempre, não sabemos ao menos o que 
estamos fazendo e os conceitos que estão envolvidos na solução do problema. 
 Em nosso curso, procuraremos usar uma linguagem simples, com 
exemplos do mercado financeiro brasileiro, enfocando sempre os conceitos 
matemáticos envolvidos em cada tópico estudado. 
 As aplicações da Matemática Financeira serão abordadas através do uso 
de tabelas financeiras (mostradas em anexo, no final da apostila), da calculadora 
HP-12C ou do uso da planilha Excel. 
 
HP 12 C 
 
"Aprender é descobrir aquilo que você já sabe. 
Fazer é demonstrar que você o sabe. 
Ensinar é lembrar aos outros que eles sabem tanto quanto você". 
(Richard Bach) 
 
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2) RESUMO DAS PRINCIPAIS FUNÇÕES DA 
CALCULADORA FINANCEIRA HP-12C 
 
2.1) Apresentação da HP 12-C
• A HP 12-C apresenta três funções, uma na cor branca que é a função 
primária, onde se encontram os algarismos e outras inscrições; uma na 
função amarela cujas inscrições encontram-se logo acima do teclado e para 
usá-la se faz necessário acionar antes a tecla “f” situada ao lado do ON, e 
outra na função azul, que encontra-se na parte inferior do teclado, e para 
utilizá-la aciona-se a tecla “g”, situada ao lado da tecla “f”. 
 
• Para facilitarmos a identificação das teclas na máquina, vamos sempre nos 
referir a linhas e colunas da ESQUERDA para a DIREITA. Como exemplo, a 
primeira coluna na máquina começa com n e a primeira linha também. A 
Quinta coluna começa com FV e a terceira linha com R/S. A oitava coluna com 
a terceira linha corresponde ao algarismo 2. 
 
• Quando no visor surgir um asterisco piscando, significa que as baterias da 
máquina precisam ser substituídas sob pena de danificação dos circuitos 
eletrônicos. 
 
• Mantenha no visor da máquina um “c” minúsculo que é conseguido 
pressionando STO (quarta coluna, última linha) e EEX (sexta coluna, segunda 
linha). Isso deve ser feito para que os juros calculados nas frações de tempo 
sejam feitos de acordo com a convenção exponencial (juros compostos), que 
atende ao mercado brasileiro. 
 
• PONTO E VÍRGULA
A notação americana para números decimais é com um ponto separando as 
casas decimais da parte inteira, assim: 1 230.45 representa 1230,45. A 
notação brasileira é com uma vírgula separando os centavos dos reais. Para 
passarmos a máquina para operar de acordo com a notação brasileira você 
deve fazer o seguiinte: 
Com a máquina desligada, mantenha pressionado o ponto (oitava coluna com 
última linha) e ligue a máquina. Se estava com ponto surgiu a vírgula com este 
procedimento, se estava com vírgula volta para o ponto da notação 
americana. 
 
• QUANTIDADE DE CASAS DECIMAIS
Para trabalharmos com 2, 3, 4 ou mais casas decimais, devemos utilizar a 
tecla função “f” (Segunda coluna com última linha). Para colocarmos no visor 6 
casas decimais, pressione f e logo em seguida o algarismo 6 na função 
branca. Para 2 casas pressione F e em seguida 2 na função branca. Lembre-
se que este formato só arredonda no visor, para os registros internos e 
operações da máquina ela continua a considerar todas as casas decimais.
• PILHA OPERACIONAL
Na HP 12-C os registradores (memórias) da chamada “pilha” operacional são 
quatro, a saber: X, Y, Z e T. É a chamada notação Polonesa. Este recurso 
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facilita uma cadeia de cálculos que funciona mais ou menos como um 
rascunho através destes registradores adicionais. É o chamado cálculo do 
número pendente. Para ilustramos este enunciado observe a seguir: 
 a b c
T 4 3
Z 3 2
Y 2 1
X 1 1
Na coluna “a” verificamos os quatro registradores X,Y,Z e T. Na coluna “b” 
verificamos os lançamentos que foram efetuados ocupando os diversos 
registradores, que foi conseguido da seguinte forma: 4 enter 3 enter 2 enter 1. 
Quando digitamos 4 este foi para o registrador X e ao pressionarmos ENTER o 
algarismo quatro foi copiado no registrador Y e continuou disponível no visor 
que corresponde ao registrador X. Ao digitarmos 3 e pressionarmos ENTER o 4 
foi copiado no registrador Z, o 3 para o registrador Y e continuou disponível no 
visor que é o X. Ao digitarmos 2 e pressionarmos ENTER, o 4 foi copiado no T, 
o 3 no Z, o 2 no Y e continuou disponível no X que corresponde ao visor. Ao 
digitarmos agora o algarismo 1 simplesmente, teremos a substituição do 2 no 
registrador X pelo 1. Conferindo os números nos respectivos registradores, 
pressionaremos agora a tecla R (terceira coluna com terceira linha). No 
primeiro comando veremos no visor o algarismo 2 (Y), no segundo comando o 
algarismo 3 (Z), no terceiro comando o algarismo 4 (T) e no quarto comando o 
algarismo 1 (X) que foi o ponto de partida. 
 
Na coluna “c” verificamos que agora o 1 foi copiado no Y. Isto significa que 
partindo do último comando da coluna “a” após a digitação do algarismo 1, foi 
pressionado ENTER. O 2 foi copiado para o Z, o 3 para o T e algarismo 4 foi 
perdido. 
 
É importante a compreensão deste mecanismo para facilitar uma série de 
cálculos com utilização de números pendentes. Exemplo: 4+[4-(9/3)]. Na HP a 
sequência utilizando os recursos da pilha operacional: 4 enter 4 enter 9 enter 3 
divide menos mais visor = 5. 
 
• TROCAR REGISTRO DE “X” POR “Y” E “Y” POR “X”.
Por exemplo, se ao comandar na HP a divisão de 20 por 5, foi introduzido 
primeiro o 5 e depois o 820. Para resolver o problema evitando assim nova 
digitação, deve-se pressionar a tecla x >< y (Quarta coluna, terceira linha). 5 
enter 20 x >< y divide visor = 4. Essa tecla pressionada faz a inversão dos 
valores digitados. 
 
2.2) Teclado - Principais Funções 
• ON ligar e desligar; 
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Teclas Financeiras 
• n prazo e/ou número de capitalizações; 
• i taxa de juros; 
• PV valor presente/atual/principal ou capital; (Present Value) 
• FV valor futuro/montante ou valor nominal; (Future Value) 
• PMT prestação ou pagamento (Periodic Payment) 
Teclas da Taxa de Retorno 
• CFo significa fluxo de caixa do momento zero ou inicial; 
• CFj fluxo de caixa nos períodos seguintes; 
• Nj repete fluxos iguais e consecutivos; 
• IRR significa a taxa interna de retorno (TIR); 
• NPV valor presente líquido 
Tabulação de Casas Decimais 
• Para apresentar no visor o número de casas decimais desejadas, 
pressione a tecla AMARELA - f e o número referente a quantidade de 
casas ( de 0 a 9 ); 
• A tecla Clx - clear é usada para limpar somente os números do visor. Se 
pressionado as teclas f Clx , todos os registros serãodeletados. 
Inversão de sinais 
• Para alterar o número de: positivo para negativo ou vice-versa, basta 
pressionar a tecla CHS 
Função Calendário 
• Para encontrar datas futuras ou passadas e o dia da semana 
correspondente, pressione as teclas g e D.My . Na seqüência introduza a 
data conhecida, separando o dia e o mês pela tecla ., e pressione a tecla 
ENTER. Digite o número de dias correspondente ao intervalo de tempo e 
pressione as teclas g DATE na seqüência. 
OBS: Na primeira vez que for usar a máquina você deve clicar na tecla g e, 
em seguida, a tecla D.My, para que o formato da data fique adequado ao 
padrão Brasileiro (dia, mês, ano). Irá surgir no visor da máquina a sigla D.My, 
que indica tal notação. 
Dia da semana : Ex.:17.06.2000 - Digite 17. 062000, ENTER 0 (zero) g DATE 
= 17.06.2000 6 (sábado) 
• 1 - segunda-feira; 
• 2 - terça-feira; 
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• 3 - quarta-feira; 
• 4 - quinta-feira; 
• 5 - sexta-feira; 
• 6 - sábado; 
• 7 - domingo 
TECLAS CLEAR 
 
CLx ==> Clear x ==> Limpa O Visor 
 
f CLEAR FIN ==> Apaga os registradores financeiros, a saber: .N, I, PV, PMT, 
FV 
 
f CLEAR REG ==> Apaga todos os registros. 
 
OPERAÇÕES BÁSICAS 
 
+ - x : xy X
EXEMPLOS 
 
1) 87 + 35 = ? 
PRESSIONAR NA HP: 87 ENTER 35 + ==> 122 
2) 55 - 43 = ? 
PRESSIONAR NA HP: 55 ENTER 43 - ==> 12 
3) 130 x 43 = ? 
PRESSIONAR NA HP: 130 ENTER 43 x ==> 5.590 
 
4) 847,30 : 59 = ? 
 PRESSIONAR NA HP: 847,30 ENTER 59 : ==> 14,36 
5) 80
3
= ?
PRESSIONAR NA HP: 80 ENTER 3 xy ==> 512.000 
 
6) 1356 = ?
PRESSIONAR NA HP: 1356 g x ==> 36,82 
(SÓ UTILIZAMOS ESTA FUNÇÃO QUANDO FOR RAÍZ QUADRADA)
Ou podemos transformar a raiz em potenciação, assim: 
 
1356 ENTER 2 1/x xy ==> 36,82 
O que você fez ao digitar o 2, seguido de 1/x foi transformar o número 2 na fração 
½, que é o expoente correspondente à raiz quadrada. 
 
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OBSERVAÇÃO IMPORTANTE SOBRE O CÁLCULO DA RADICIAÇÃO 
NA HP-12C 
 
O cálculo das demais raízes deve ser feito transformando-as em potências de 
expoentes fracionários. Ex: 3
1
3 300300 = Na HP-12C, 300 ENTER 3 1/x xy
==> 6,69 
COMO OPERAR AS “MEMÓRIAS” DA HP-12C ? 
• PARA ARMAZENAR ==> STO (STORE) 
• PARA RECUPERAR ==> RCL (RECALL)
• PARA APAGAR ==> COLOCAR ZERO SOBRE 
• PARA SUBSTITUIR ==> COLOCAR O NOVO NÚMERO 
• PARA APAGAR “TUDO” ==> f CLEAR REG 
• PARA CALCULAR COM NÚMEROS NA MEMÓRIA: 
• SOMENTE OPERAÇÕES ARITMÉTICAS 
• COMO CONSTANTE 
 
APLICAÇÃO 
Vamos supor que eu queira “guardar” na memória da máquina, alguns dados 
(somente numéricos, não esqueça). Em seguida, (posso até desligá-la) e 
recuperar ou mesmo modificar os dados guardados. 
COMO FAZER ISTO NA HP-12C ? 
 
VAMOS ARMAZENAR O SEGUINTE: 
O valor do dólar paralelo de hoje ==> 2,70 na memória 1 
O telefone do João ==> 22125765 na memória 2 
O telefone do Maria ==> 36061234 na memória 3 
 
FAZER NA HP-12C: 
2,70 STO 1 22125765 STO 2 36061234 STO 3 (Já guardou tudo) 
 
PARA RECUPERAR O QUE FOI ARQUIVADO, FAZER: 
 
RCL 1 ==> APARECE NO VISOR 2,70 
RCL 2 ==> APARECE NO VISOR 22125765 
RCL 3 ==> APARECE NO VISOR 36061234 
 
Dificuldades reais podem ser resolvidas; 
apenas as imaginárias são insuperáveis." 
Theodore N. Vail 
 
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TIPOS DE ERRO QUE PODEM APARECER NO VISOR DA HP 12C 
ERROR 0 => OPERAÇÃO IMPRÓPRIA ENVOLVENDO O ZERO 
 
ERROR 1 => ULTRAPASSAGEM DA CAPACIDADE DO REGISTRADOR DE 
ARMAZENAMENTO 
 
ERROR 2 => DADOS IMPRÓPRIOS NOS REGISTRADORES ESTATÍSTICOS 
 
ERROR 3 => FLUXO DE CAIXA: CÁLCULO MUITO COMPLEXO - 
INTRODUZA UMA ESTIMATIVA DE JUROS E PRESSIONE RCL g R/S 
 
ERROR 4 => ENDEREÇAMENTO IMPRÓPRIO À MEMÓRIA 
 
ERROR 5 => JURO COMPOSTO - INTRODUÇÃO ERRADA - TROCAR SINAIS
ERROR 6 => ANÁLISE DE FLUXO DE CAIXA, DESCONTADO - 
INTRODUÇÃO ERRADA DOS DADOS 
 
ERROR 7 => IRR - NÃO EXISTE SOLUÇÃO 
 
ERROR 8 => CALENDÁRIO - INTRODUÇÃO ERRADA DOS DADOS 
 
ERROR 9 => MAU FUNCIONAMENTO DA HP 
 
PR ERROR => MEMÓRIA CONTÍNUA APAGADA - FALHA NA ALIMENTAÇÃO 
 
* PISCANDO NA PARTE INFERIOR ESQUERDA DO VISOR => PILHA FRACA 
 
"Há grandes homens que fazem com que todos se sintam pequenos. Mas o 
verdadeiro grande homem é aquele que faz com que todos se sintam grandes." 
(Gilbert Keith Chesterton, escritor inglês) 
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3) A Matemática Financeira e o Dinheiro – Os fatores 
de correção. 
 
Fonte: Revista Veja – Edição 1755 de 12 de junho de 2002 
 
A reportagem acima, extraída da revista Veja, é uma excelente “entrada” para a 
introdução do conceito de fatores correção. Após discutirmos os seus usos, 
voltaremos a ela, verificando a veracidade dos dados que estão na reportagem. 
 
Ousamos mesmo dizer que o uso adequado dos fatores de correção é o maior 
segredo da Matemática Financeira, como procuraremos mostrar ao longo dessa 
Unidade de nosso curso. 
 
Muita gente acha que a “Matemática do dinheiro” serve só para pagarmos nossas 
contas, conferir trocos, coisas desse tipo. Mas não é somente isso, sabemos que 
o dinheiro, as transações bancárias ou comerciais, estão cada vez mais presentes 
na vida de todas as pessoas. 
 
Se perguntarmos a uma pessoa qual o valor de 100 dólares, mais 100 marcos, 
mais 100 reais, ela provavelmente dirá que primeiramente precisamos converter 
todos esses valores para uma mesma moeda, antes de efetuarmos a soma. 
Analogamente, precisamos tomar cuidado com valores monetários no tempo. 
Será que 3 parcelas de 100 reais, pagas com intervalos de 30 dias, correspondem 
a um único pagamento de 300 reais, numa Economia com inflação? 
 
Infelizmente, a maioria dos livros de matemática ignora este fato, assim como 
ignoram também a inflação. Esse tipo de erro é encontrado tanto em textos para o 
Ensino Fundamental e para o Ensino Médio. 
 
Você deve concordar comigo que, sem a Matemática, não conseguiríamos 
entender nossos contracheques, calcular nossos aumentos de salário, identificar 
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os produtos que aumentaram demasiadamente de preço, constatar e criticar as 
propagandas enganosas, reivindicar nossos direitos trabalhistas, ou mesmo 
escolher a opção mais rentável para um investimento qualquer. 
 
Dessa forma, iremos agora abordar um conteúdo da Matemática que 
normalmente é ignorado na maioria das escolas ou mesmo currículos brasileiros – 
a Matemática Comercial e Financeira.
Nossa abordagem inicial será através de um importante “segredo” da “Matemática 
do dinheiro” – os fatores de correção. Você irá constatar rapidamente que, este 
conceito, é a base de quase tudo o que se estuda na Matemática Comercial e 
Financeira e, com o auxílio de uma calculadora simples, você poderá entender e 
resolver uma grande quantidade de problemas que estão no nosso cotidiano. 
 
3.1 ) O GRANDE SEGREDO DA MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA: 
OS FATORES DE CORREÇÃO 
Temos a certeza de que o mais simples e também o mais importante conceito de 
matemática financeira é o conceito de FATOR DE CORREÇÃO. O domínio deste 
conceito será fundamental para que se possa acompanhar todo o curso. 
 
FATOR DE CORREÇÃO: 
Vamos imaginar que uma mercadoria será aumentada em 23%. Você 
poderá descobrir o novo preço de vários modos distintos: 
 
1) Multiplicando o preço antigo por 23 e dividindo por 100, somando oresultado com o preço antigo; 
2) Multiplicando o preço antigo por 0,23 e somando o resultado com o 
preço antigo; 
3) Simplesmente multiplicando o preço antigo por 1,23. 
 
O número 1,23 do exemplo é denominado fator de correção para um acréscimo 
de 23 % e foi obtido a partir de 100 % (preço antigo) mais 23 % (aumento). Em 
seguida dividimos por 100 para obter a forma de número decimal. A taxa 23% é a 
taxa percentual e a taxa 0,23 (i), é denominada taxa unitária. 
 
OBS: Salvo qualquer menção em contrário, sempre que em alguma fórmula 
de nosso curso usarmos o símbolo i, estaremos nos referindo à taxa 
unitária e não à percentual. 
Se, no exemplo apresentado o preço fosse diminuído em 23 %, o fator seria 0,77, 
pois 100 % menos 23 % é igual a 77 %. Concluímos que os fatores que 
representam aumentos são maiores que 1 e os que representam reduções são 
menores que 1.
F = (100 + k ) :100 ou F = 1 + i 
 (Fator de Aumento de k%) 
 
F = (100 - k ):100 ou F + 1 - i 
(Fator de Redução de k%) 
Vamos exercitar um pouco: 
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1) Transforme as taxas percentuais em unitárias e vice-versa. 
 
Taxa Percentual Taxa Unitária 
23% 
0,345 
2,56% 
0.0098 
2345% 
6
2) Complete o quadro agora, transformando as taxas nos respectivos fatores 
de correção, e vice-versa. 
 
Taxa de aumento Fator de Correção 
2,56 % 
1,098 
56,9 % 
3
345,9 % 
5,897 
EXEMPLOS: 
 
Flash Nº 1: 
O senhor Enkren Kado, gerente de um supermercado, tem que aumentar os 
preços de todos os produtos de um setor em 3,25 %. Qual o fator de aumento? 
Quanto passará a custar uma mercadoria do setor, que custava R$ 60,00? 
 
SOLUÇÃO : 
Fator de aumento : 1,0325 [(100 % + 3,25 %) : 100] 
Novo preço : R$ 61,95 ( 60,00 x 1,0325 ) 
 
Flash nº 2: 
Vinícius, em Setembro, obteve uma correção salarial de 5,65 %, sobre o salário 
de Agosto, passando a receber R$ 422,60. Quanto recebia em Agosto? 
 
SOLUÇÃO: 
A x 1,0565 = 422,60 
A = 422,60 : 1,0565 = 400,00. 
Logo, em agosto Vinícius recebia R$ 400,00 
 
Flash nº 3: 
Um remédio estava custando R$ 3,40, e passou a custar R$ 4,70. Qual o fator de 
correção e qual o percentual de aumento? 
 
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SOLUÇÃO : 
 
3,40 x F = 4,70 
F = 4,70 : 3,40 = 1,3824 (Fator de correção) 
1,3824 x 100 - 100 = 38,24 % (Aumento) 
 
Flash nº 4: 
Uma loja está vendendo um produto com um desconto à vista de 15 %, ou então 
com pagamento normal , sem desconto, com um cheque pré-datado para 30 dias. 
Quanto estará pagando de juros , em um mês, o cliente que optar pela segunda 
forma de pagamento? 
 
SOLUÇÃO : 
 
Vamos supor que o produto custe 100 dólares. Para quem pagar à vista ele 
custará 85 dólares (15 % de desconto). Para quem escolher o cheque pré-datado, 
estará, na realidade pagando 100 dólares por algo que custa 85 dólares. 
 
Logo o fator de correção inserido neste aumento é: 100 : 85 = 1,1765, o que 
corresponde ao pagamento de 17,65 % de juros em um mês. 
 
RESUMINDO OS CONCEITOS ESTUDADOS NA UNIDADE:
Exemplos: 
Fator de aumento Aumento gerado Percentual de aumento
1,45 1,45 – 1 = 0,45 45% 
1,953 1,953 – 1 = 0,953 95,3% 
1,065 1,065 – 1 = 0,065 6,5% 
2, 86 2,86 – 1 = 1,86 186% 
Exemplos: 
Fator de redução Redução gerada Percentual de redução 
0,45 1 – 0,45 = 0,55 55% 
0,95 1 – 0,95 = 0,05 5% 
0,76 1 – 0,76 = 0,24 24% 
0, 86 1 – 0,86 = 0,14 14% 
Você reparou que: 
� Todo fator de aumento é um número superior a 1? 
� O fator de aumento pode ser obtido pela soma (100% + taxa de 
aumento percentual) cujo resultado deve ser posto na forma decimal? 
Dado um fator de aumento, devemos subtrair 1 dele, para 
conhecer o aumento havido.
Dado um fator de redução, devemos subtraí-lo de 1 para 
conhecer a redução ou desconto havido. 
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Exemplo: fator de aumento para um acréscimo de 24% = 100% + 24% = 
124% = 124 /100 = 1,24. 
� Todo fator de redução é um número inferior a 1? 
� O fator de redução pode ser obtido pela subtração (100% - taxa de 
aumento percentual) cujo resultado deve ser posto na forma decimal? 
Exemplo: fator de redução para uma perda de 24% = 100% - 24% = 
76% = 76 /100 = 0,76. 
� Aumentos ou reduções (ou mistura dos dois) consecutivos, devem ser 
calculados pelo PRODUTO DOS FATORES DE CORREÇÃO, e não 
pela soma das taxas a eles correspondentes? 
Exercícios de Fixação: 
 
1) Qual o fator de correção correspondente a um aumento de 34,5 %? 
a) 3,45 b) 4,45 c) 1,345 d) 2,345 
 
2) Qual o aumento gerado pelo fator de 2,4567? 
a) 245,67% b) 345,67% c) 145% d) 145,67% e) 95,87% 
 
3) Um preço aumentou de 120 para 150 reais. Qual o percentual de aumento 
correspondente? 
a) 47% b) 25% c) 35% d) 45% e) 34% 
 
4) Um preço reduziu de 150 para 120 reais. Qual o fator de redução e qual o 
percentual de redução correspondente? 
a) 25% b) 15% c) 10% d) 40% e) 20% 
 
5) Qual o aumento acumulado, gerado por dois aumentos consecutivos de 30 %? 
a) 40% b) 60% c) 69% d) 65% e) 62% 
 
6) Qual a redução acumulada, gerada por dois descontos consecutivos de 30 %? 
a) 51% b) 60% c) 54% d) 69% e) 62% 
 
7) Num certo mês, a aumento das mensalidades escolares foi de 42,7%. Se em 
uma escola essa mensalidade passou a ser de R$ 92,76, qual era o valor antes 
do aumento? 
a)R$ 53,15 b)R$ 65,00 c) R$ 58,20 d) R$49,90 e) R$ 62,40 
 
8) O preço de uma mercadoria subiu 300 %. Calcule que porcentagem se deve 
reduzir do seu preço atual, de modo a retornar ao seu valor de antes do aumento? 
a) 25 % b) 75 % c) 300 % d) 400 % e) 20 % 
 
9) Um funcionário teve um reajuste de 34% num certo mês; no mês seguinte um 
novo reajuste de 38%, passando a receber R$ 221,90. Quanto recebia antes 
desses dois reajustes (aproximadamente)? 
a)R$120,00 b)R$90,80 c)R$118,00 d)R$124,80 e)R$ 132,00 
 
10) Uma mercadoria sofreu três reduções sucessivas de 12%; 14% e 24%. Qual a 
redução total acumulada? 
a) 50 % b) 48 % c) 52 % d) 42,48 % e) 43,89 % 
 
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11) Qual a inflação acumulada de um trimestre cujas taxas mensais foram: 34%: 
38 % e 40%? 
a) 112% b) 132,56% c) 158,88% d) 145,78% e) 122% 
 
12) (Telerj - 1994) 
Uma loja vende seus artigos com pagamento em duas prestações, "sem juros". A 
primeira prestação é paga no ato da compra e a segunda, um mês após. 
Entretanto, um desconto de 25 % é concedido se o cliente pagar à vista. Na 
realidade, essa loja cobra, nas vendas a prazo, juros mensais de taxa igual a: 
a) 100 % b) 75 % c) 50 % d) 25 % e) 12,5 % 
 
13) (TRT - 1993) Uma loja vende seus produtos com pagamentos em duas 
prestações mensais iguais, "sem juros". A primeira prestação é paga no ato da 
compra e a segunda, um mês após. Entretanto um desconto de 10 % é 
concedido se o cliente pagar à vista. Na realidade, essa loja cobra, nas vendas à 
prazo, juros mensais de : 
a) 10 % b) 20 % c) 25 % d) 30 % e) 50 % 
 
14) (TRT - 1993) 
Certa categoria de trabalhadores obteve em junho um reajuste salarial de 50 % 
sobre os salários de abril, descontadas as antecipações. Como ela havia recebido 
em maio uma antecipação de 20 % (sobre o salário de abril), a percentagem do 
aumento obtido em junho, sobre o salário de maio, é de: 
a) 20 % b) 25 % c) 30 % d) 35 % e) 40 % 
 
15) (Telerj - 1993) 
Aumentando-se o raio de uma esfera em 100 %, de quanto aumenta o seu 
volume? 
a) 100 % b) 300 % c) 500 % d)700 % e) 800 % 
 
16) (Telerj - 1993) 
Uma mercadoria teve seu preço aumentado em 20 %. Em seguida, o novo preço 
foi rebaixado em 20 %. O preço final da mercadoria, em relação ao preço inicial é: 
a) igual b) 4 % maior c) 4 % menor d) 8 % maior e) 8 % menor 
 
17) A inflação acumulada de um bimestre está em 13,5% e no mês seguinte 
acusou uma taxa de 5,6%. Qual a inflação acumulada no trimestre em questão? 
a) 19,856% b) 18,965% c) 21,4% d) 23,34% e) 19,65% 
 
18) Uma bondosa loja oferece um desconto à vista de 30%, ou então o preço 
normal, dividido em duas parcelas iguais, sendo a primeira no ato da compra e a 
segunda um mês após. Quanto está pagando de juros nesse mês, a pessoa que 
escolheu a segunda opção de pagamento? 
a) 120% b) 150% c) 135% d) 145% e) 200% 
 
19) Mostre que a taxa de ganho real (descontada a inflação) da caderneta de 
poupança, durante os oito anos do plano real (ver notícia na introdução da 
Unidade) foi de 30%. 
 
20) Mostre que a perda do dólar, nesse mesmo período citado na notícia, foi de 
7%. 
 
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����GABARITO: (PORCENTAGEM / FATORES DE CORREÇÃO) 
 
1) C 2) D 3) B 4) E 5) C 
6) A 7) B 8) B 9) A 10) D 
11) C 12) A 13) C 14) B 15) D 
16) C 17) A 18) B 
Para descontrair... 
 
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4) MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA: 
CONCEITOS BÁSICOS – JUROS E DESCONTOS 
 
4.1) Terminologias e Representações Iniciais 
 
Capital (C) ou Valor Presente (VP) – É o valor envolvido em uma transação, na 
data focal zero. No excel (versão portuguesa) o capital é representado por VP, na 
calculadora HP 12C ele é notado por PV (Presente Value). 
 
Montante ou Valor Futuro (VF) – Representa o valor resultante de uma 
transação financeira, sendo dessa forma referenciado a uma data futura. No Excel 
é representado por VF e na HP-12C, por FV (Future Value). 
 
Prazo ou número de períodos (n) - Uma operação financeira pode envolver um 
único período de tempo, como por exemplo o CDB (certificado de depósito 
bancário). Podemos ter ainda frações ou múltiplos desse período, que 
representaremos por n. O Excel usa a representação nper (number of periods). 
Juros (j) – É a remuneração exigida na utilização de capital de terceiros. Os juros 
recebidos representam um rendimento e os juros pagos representam um custo. 
OBS: O montante corresponde à soma do capital com os juros, ou seja, 
M = C + j ou ainda VF = VP + j 
 
Taxa de juros (i) – É a razão entre o valor do juro de um período e o capital 
emprestado ou aplicado. A taxa pode ser expressa em sua forma percentual ou 
unitária. Ex: 15 % (forma percentual) ou 0,15 (forma unitária). Nas fórmulas que 
estudaremos em nosso curso, a representação i estará significando a taxa 
unitária ou centesimal. 
Na planilha Excel, podemos usar um artifício para que a tabela apresente para 
nossa leitura a forma percentual (melhor de ser entendida por todos), mas que ela 
opere com a forma unitária em suas fórmulas. Basta proceder da seguinte 
maneira: 
 
Digamos que você queira representar a taxa 18%, na célula B2, da planilha: 
 
1) digite na célula o valor 0,18 (taxa unitária correspondente) na célula B2. 
2) clique no símbolo de % da barra de ferramentas do Excel. 
3) O Excel vai exibir 15% e vai operar 0,15 nas fórmulas que você utilizar. 
 
No exemplo abaixo estamos representando um capital de 100 reais, aumentado 
de 18%. Verifique que na célula B3 nós inserimos uma fórmula (isso é feito 
clicando-se primeiro no sinal de =). Fizemos a fórmula =B1*(1+B2). 
 
Engraçado, costumam dizer que eu tenho sorte. 
Só sei que quanto mais eu me preparo, mais sorte eu tenho 
(Anthony Robbins) 
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Note pelo resultado apresentado que na célula B3, o Excel multiplicou 100 por 
1,18 ou seja, a fórmula que usamos multiplicou 100 por (1 + 0,18), que nada mais 
é do que o fator de correção para um acréscimo de 18%. 
 
OBS: A planilha Excel utiliza os seguintes operadores aritméticos: 
 
+ para adição 
- para subtração 
* para multiplicação 
/ para divisão 
^ para potenciação. 
Na calculadora HP-12C, temos uma tecla específica para porcentagem e, 
poderíamos ter seguido a seguinte seqüência para este exemplo: 
 
100 ENTER 
 
15 % 15,00 (total do acréscimo) 
 
+ 115,00 (Montante ou Valor Futuro) 
 
A Matemática apresenta invenções tão sutis que poderão servir não só para 
satisfazer os curiosos como, também para auxiliar as artes e poupar trabalho aos 
homens. (Descartes) 
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4.2) INFLAÇÃO – CÁLCULO DE ÍNDICES 
 
Inflação é o processo de crescimento generalizado e contínuo 
dos preços e serviços de uma economia. 
Dentre os principais problemas que a inflação ocasiona a uma economia estão o 
crescimento diferenciado dos preços, o qual beneficia uns e prejudica a outros, e 
o aumento dos custos de transação determinado pelas distorções que o processo 
inflacionário ocasiona ao sistema de preços. 
4.2.1) Os números índices 
Mede-se a inflação através de indicadores ou índices que tentam refletir o 
aumento de preços de um setor em particular ou de um segmento de 
consumidores. Efetivamente, existem diversos índices que são calculados para o 
atendimento a várias finalidades. 
Os índices de preços ao ``consumidor" tentam medir a inflação média de um 
conjunto de produtos e serviços que se pressupõe sejam os adquiridos por um 
consumidor com determinadas características de renda. 
 
A) Introdução: 
 
Os números índices são um importante instrumento para sintetizar modificações 
em variáveis econômicas durante um período de tempo . Esses números indicam 
a variação relativa no preço, na quantidade , ou no valor (preço x quantidade) 
entre um ponto anterior no tempo (período-base) e, um período qualquer, 
normalmente o atual. Por exemplo, se uma pessoa percebe que o preço de um 
produto atualmente é o quíntuplo do que custava há dois anos, está fazendo uso 
de certo tipo de número índice comparativo. 
Quando um só produto está em jogo, o índice é dito índice simples, enquanto 
que uma comparação que envolva um grupo de artigos é chamada de índice 
composto. 
 
Nos índices compostos é necessário não só incluir as variações de preços, mas 
também as variações de quantidades, a fim de que possamos ter um quadro mais 
preciso da variação global. 
 
Em resumo, podemos destacar: 
 
Um número índice é usado para indicar variações relativas em quantidades, 
preços, ou valores de um artigo, durante um dado período de tempo. 
Um número índice é a razão usada para avaliar a variação entre dois períodos de 
tempo. 
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 B) Números Índices Simples: 
 
Um número índice simples avalia a variação relativa de um único item ou variável 
econômica entre dois períodos de tempo. 
Ele é calculado como a razão entre preço, quantidade ou valor num dado período 
para o correspondente preço, quantidade ou valor num período-base. 
Podem-se calcular números índices, chamados de relativos de preço, quantidade 
e valor, mediante as seguintes fórmulas: 
 
relativo de preço = 100.
0p
pn
relativo de quantidade = 100.
0q
qn
relativo de valor = 100..
.
00 qp
qp nn
� po é o preço de um item no ano-base. 
� qo é a quantidade de um item no ano-base. 
� pn é o preço de um item em determinado ano 
� qn é a quantidade de um item em determinado ano. 
 
Exemplo: 
 
A empresa Kobra Karo S.A, em 1992 vendeu 300 unidades do produto "X", 
cobrando 20 dólares por peça e, em 1993, vendeu 450 unidadesdo mesmo 
produto, cobrando 25 dólares por peça. Determinar os relativos de preço, 
quantidade e valor em 1993, tomando como base 1992. 
 
Solução: 
 
É usual a notação 1992 = 100, para denotar que 1992 é o ano base. 
� Relativo de preço - 125100.
20
259392 ==p
� Relativo de quantidade - 150100.
300
4509392 ==q
� Relativo de valor - 5,187100.
20.300
25.4509392 ==v
Obs: Devemos notar que houve um aumento de 25 % no preço, em relação ao 
ano base, uma aumento de 50 % na quantidade e um aumento de 87,5 % no 
valor. O aumento do valor é , portanto, o aumento acumulado do aumento de 
preço pelo aumento de quantidade, ou seja , o produto dos índices de preço e 
quantidade é o índice de valor: ( 1,25 x 1,5 = 1,875 ). 
 
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C) Relativos em Cadeia: 
 
O relativo em cadeia é o índice de base fixa, ou seja, todos os relativos são 
calculados tomando-se por base uma determinada época. 
Exemplo: 
Vamos supor um bem de consumo que apresentou no período 1990/1993 os 
seguintes preços (em dólares): 40 , 45, 50, 65. Os relativos em cadeia, tomando 
como base o ano de 1990, serão: 
 
5,112100.
40
459190 ==p
125100.
40
509290 ==p
5,162100.
40
659390 ==p
Poderíamos compor a seguinte tabela com os preços nos referidos anos e os 
relativos em cadeia, ano base 1990. 
ANOS 1990 1991 1992 1993 
PREÇOS 40 45 50 65 
RELATIVOS 100 112,5 125 162,5 
D) Elos de Relativos: 
 
Vários relativos formam elos quando cada um deles é calculado tomando por 
base o período anterior, é o que chamamos de base móvel. 
É usual, nesse caso, não representarmos o relativo do primeiro período, já que 
não existe anterior como referência. 
Exemplo: 
 Vejamos, com os mesmos dados do exemplo anterior, como ficariam os elos 
de relativos. 
 5,112100.
40
459190 ==p 11,111100.45
509291 ==p 130100.50
659392 ==p
Teremos agora a seguinte tabela de preços e elos de relativos: 
 
ANOS 1990 1991 1992 1993 
PREÇOS 40 45 50 65 
RELATIVOS l- 112,5 111,11 130 
E) Índices Agregativos: 
 
Os índices que estudamos até agora servem apenas para caracterizar a marcha 
de preços referentes a um único bem. No entanto a variação de preços 
normalmente exige a observação da variação de um conjunto de bens, como no 
caso do cálculo da variação da cesta básica. Para atingirmos esse objetivo, 
lançamos mão de um novo tipo de índice, denominado agregativo.
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O índice agregativo poderá ser simples: Médias de relativos (aritmética, 
geométrica ou harmônica) ou indice agregativo simples, se todos os bens 
tiverem a mesma importância no seu cálculo, ou ponderado: Médias 
Ponderadas de relativos (aritmética, geométrica ou harmônica) ou índices 
ponderados de Paasche, de Laspeyres ou Fischer, se os bens tiverem 
importância ou pesos diferenciados no cálculo do índice. 
 
O índice agregativo simples é a razão entre a soma dos preços ou 
quantidades numa época qualquer e a soma dos preços ou quantidades na 
época base. 
100ou100
00
x
q
q
x
p
p
I ttas �
�
�
�=
O índice agregativo simples e as médias simples apresentam a vantagem de um 
cálculo simplificado e a desvantagem de considerarem todos os bens com a 
mesma importância no cálculo do índice. 
 
Exemplo: 
Completar a tabela de preços abaixo com os relativos de preço, considerando o 
ano de 1993 como base, em seguida, calcular o índice agregativo simples, 
referentes aos preços dos bens da tabela, 1993,1994. 
Mercadoria (espécie) Preço em 1993 Preço em 1994 
A 40,00 50,00 
B 50,00 100,00 
C 120,00 200,00 
Total 210,00 350,00 
Solução: 
 Ias = 350 : 210 = 1,67 ou 167 %. 
 
Índices agregativos ponderados - Fórmulas de Laspeyres e de Paasche: 
 
No cálculo do índice agregativo simples, todos os itens são colocados com uma 
mesma importância ou peso. Sabemos, porém, que na prática isso não acontece; 
há bens de importância maior do que outros, no cálculo de um índice . Evitamos 
tais distorções atribuindo a cada item a importância que lhe cabe através de 
coeficientes de ponderação e as médias de índices passam a ser ponderadas. 
De acordo com o que consideramos como peso e com o tipo de média utilizada, 
temos também algumas variantes de fórmulas para o cálculo de tais índices 
agregativos. Iremos estudar , basicamente, duas dessas fórmulas (Laspeyres e 
Paasche). 
"O Índice de Laspeyres" ou Método da Época Básica 
É o índice ponderado dos relativos (preços ou quantidades), sendo os pesos da 
ponderação os valores (preço x quantidade) do ano base. Ou seja, é a média 
aritmética ponderada dos relativos de preços, ponderados aos valores do 
ano base. 
 
A fórmula para o índice de Laspeyres, referente aos preços será: 
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�
�
=
00
00
0
,0 qp
qxp
p
p
Lp
t
t
Ou então, simplificada, nos dá: 
�
�=
00
0
,0 qp
qp
L tt
Obs: Poderíamos obter também o índice de Laspeyres referente à quantidades, 
bastando permutar p por q na fórmula simplificada. 
 
Exemplo: 
Considere a tabela abaixo e calcule o índice ponderado de preços de Laspeyres, 
tomando 1991 como ano base. 
BENS 1991 1992 
preços quantidades preços quantidades 
A 200 4 280 3 
B 400 3 560 3 
C 150 8 300 12 
162,5ou625,1
12001200800
240016801120
8.1503.4004.200
8.3003.5604.2809291 =++
++
=
++
++
=Lp
"O Índice de Paasche" ou Método da Época Atual 
 
Este índice é calculado pela média harmônica ponderada dos relativos 
(preços ou quantidades), ponderados aos valores do ano dado. 
O índice de Paasche, referente aos preços, com as devidas simplificações, será: 
 
�
�=
t
tt
qp
qp
tPp
0
0
Vale a mesma observação que fizemos no caso anterior, ou seja, o índice de 
Paasche de quantidade seria obtido permutando-se p por q na fórmula anterior. 
 
Exemplo: 
Calcule o índice ponderado de preços de Paasche, ano base 1991, usando a 
mesma tabela do exemplo anterior: 
170ou70,1
18001200600
36001680840
12.1503.4003.200
12.3003.5603.2809291 =++
++
=
++
++
=Pp
Observação: Existe ainda o importante índice de Fischer que é a média 
geométrica dos dois índices anteriores: Laspeyres e Paasche. 
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Para o exemplo apresentado, o índice de Fischer seria: 
66,170,1.625,19291 ==Fp ou 166 
 
OBS: A existência de distintos índices, significa que a seleção do índice 
mais apropriado para medir a ``inflação'' relevante para uma pessoa ou 
empresa é em si um problema complicado pois não necessariamente os 
índices disponíveis refletem a variação de preços relevante para cada caso 
em particular. 
 
4.3) Valores nominais x valores reais 
 
Em estudos e aplicações práticas envolvendo análise e comparação de valores 
monetários em períodos de tempo distintos, é necessário que esses valores, 
antes da análise, sejam corrigidos do efeito da inflação. É o que costumamos 
denominar de transformação de valores nominais em reais. No cálculo desses 
valores reais de ganhos ou perdas, poderemos usar os fatores de correção que 
estudamos anteriormente, como mostraremos a seguir. 
Dessa forma, podemos dizer que uma taxa de correção nominal é a que tem 
inserida no seu cálculo a inflação do período. 
Uma taxa real de correção é aquela em que a inflação do período foi 
“desencaixada”, ou seja, representa a variação (ganho ou perda) sobre a inflação. 
Vejamos alguns exemplos: 
1) No ano de 2000 o salário de um trabalhador era de R$ 450,00 e em 2001 
passou a receber R$ 549,00. 
a) Qual a correção “nominal” que este salário recebeu? 
b) Qual a correção “real”, supondo que a inflação acumulada do períodotenha 
sido de 18%? 
 
SOLUÇÃO: 
 
a) Usando os fatores de correção, temos que a taxa nominal de correção foi de 
(549 : 450 – 1 = 0,22 ou 22%. 
b) O salário corrigido pela inflação seria de 450 x 1,18, ou seja, R$ 531,00. Logo, 
o ganho real foi o que transformou 531 reais em 549 reais, ou seja, o que se 
estabeleceu acima da inflação. Dessa forma, a taxa real de correção foi de 
(549 : 531) – 1 = 0,034 (aproximadamente) ou 3,4%. 
 
Verifique que tal taxa (ganho ou perda real) pode ser obtida diretamente dos 
fatores de correção (nominal e de inflação), mediante a seguinte relação: 
 
No nosso exemplo, teríamos: 
 
1
)1(
)11(
�
+
+
=
i
n
r i
i
034,01
18,1
22,1
��=ri
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2) Vimos, na introdução do capítulo (reportagem de Veja), que a inflação 
acumulada nos oito anos de plano real foi de 179%. Qual a taxa de perda salarial 
de um funcionário público, que não teve qualquer reajuste nesses oito anos? 
 
SOLUÇÃO 1: 
Imaginemos (para facilitar os cálculos) que esse funcionário ganhasse 100 reais, 
no início do plano. Para que seu salário “acompanhasse” a inflação (e sem 
qualquer ganho real), deveria estar recebendo agora 279 reais (100 + 179). Como 
ele continua recebendo os mesmos 100 reais, a sua perda está representada por 
179 reais, sobre os 279 que deveria estar recebendo (no mínimo), ou seja: 179 : 
279 = 0,642 ou 64,2%, aproximadamente. 
 
SOLUÇÃO 2: 
 
Aplicando a fórmula que apresentamos anteriormente, teríamos: 
 
ou 64,2%. 
 
É bom lembrar que o fator 1,00 significa que não houve correção salarial. 
O fator 2,79, representa um fator de aumento para 179% (fator de inflação) 
 
4.4) Juros Simples e Juros Compostos (Progressões Aritméticas 
e Progressões Geométricas) 
 
Nesta seção introduziremos alguns conceitos elementares de matemática 
financeira (e nem sempre aproveitados na escola básica), associados a 
processos de crescimento que utilizam progressão aritmética e geométrica. 
Na matemática financeira, uma série de valores pode ter a sua variação 
(crescimento ou decrescimento) associada a progressões aritméticas (juros 
simples) ou geométricas (juros compostos). 
Em qualquer um desses casos, esta série de valores tem como ponto de partida 
um valor inicial (período 0), que denominaremos C0.
4.4.1) Crescimento em PA (Juros Simples) 
 
Os juros simples se caracterizam pelo fato de que o valor que é acrescido ao 
valor inicial a cada período é sempre constante e determinado por i . C0. Dessa 
forma, fica caracterizada na seqüência dos montantes obtidos, uma Progressão 
Aritmética, de razão igual a i . C0.
Temos que i é a taxa unitária de juros simples (ou taxa de crescimento 
aritmético). Ou seja, ao final de n períodos, teremos um acréscimo de C0.ni 
Sendo assim, o montante final de uma aplicação a juros simples, pode ser 
representado por: 
 
Vejamos alguns exemplos: 
1) Qual o montante final de uma aplicação de R$ 5000,00, a juros simples 
contratados à 1,5% ao mês, por 10 meses? 
642,01
79,2
00,1
��=ri
)ni1.(Cni.CCM 000 +=+=
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Solução: 
i = 0,015 
n = 10 
 = 5000 
 
M = 5000 . (1 + 0,015 x 10) = 5000 x 1,15 = 5750 reais. 
 
Comentário: Como se trata de juros simples, poderíamos ter calculado o ganho 
fixo mensal, que é igual a 0,015 x 5000 = 75 reais, e multiplicar esse ganho pelo 
número de meses (10 x 75 = 750 reais de juros). Logo, teríamos que o montante 
será igual a 5000 + 750 = 5750 reais. 
Devemos incentivar a nossos alunos novas descobertas, para que eles não se 
sintam presos ao uso de fórmulas, poderíamos inclusive, mostrar, após as suas 
tentativas que o que ocorreu nada mais foi que um acréscimo de 15% (1,5% x 10) 
aos 5000 reais iniciais. Isso corresponde ao fator de correção, estudado 
anteriormente, que é igual a 1,15. 
 
2) Qual a taxa mensal de juros simples que, em uma aplicação por 8 meses, 
elevou um capital de R$ 3 000,00 para R$ 3 780,00? 
Solução: 
3000 x (1 + 8i) = 3780 
1 + 8i = 3780 : 3000 = 1,26 
8i = 0,26 ou i = 0,26 : 8 = 0,0325 ou ainda 3,25% ao mês. 
 
Na realidade, o que fizemos neste exemplo, foi a obtenção do fator de correção 
correspondente a um aumento de 3000 para 3780 reais, ou seja, 3780 : 3000 que 
é igual a 1,26. Esse fator corresponde a uma taxa de 26 % para os 8 meses da 
aplicação, logo, acarreta uma taxa de 3,25% ao mês. 
 
Uso da HP 12C para o cálculo de juros simples
• entre com o número de dias n
• entre com a taxa anual i 
• entre com o valor principal CHS PV 
• tecle f INT : obtém-se os juros 
• tecle + para obter o montante. 
Obs.: esta é uma regra geral para o uso da HP 12C para o cálculo de juros 
simples: o período deve ser expresso em dias, e a taxa de juros deve ser a taxa 
anual. 
Exemplo: 
Determine os juros produzidos e o montante ao final de 8 meses, de um capital de 
$1500,00 aplicados à taxa de juros simples de 40% a.a. 
Na HP:
240 n 
40 i 
1500 CHS PV 
0C
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f INT resultado no visor: 400 
+ resultado no visor: 1900 
Resp: Juros = $400,00 e Montante = $1900,00 
Juro Exato e Juro Comercial: 
 
Quando falamos que um juro é exato, estamos nos referindo ao cálculo efetuado 
considerando-se o número de dias exatos do calendário. Por outro lado, quando 
falamos em juro comercial, estamos supondo uma convenção do mercado que 
considera todos os meses com 30 dias e o ano com 360 dias. No contexto dos 
juros simples, normalmente o que se considera é o juro comercial. 
 
A calculadora HP-12C possui uma programação para o cálculo do número de dias 
ocorridos entre duas datas. Você deve verificar primeiro se no visor da máquina 
ela exibe o código D.MY, que significa que a data está programada para o formato 
dia/mês/ano. Caso este código não esteja apresentado no visor, você deve digitar 
g D.MY, para que ela apresente este formado (vai surgir no visor D.MY). Como 
esta calculadora apresenta várias memórias fixas (pilhas), o cálculo do número de 
dias é feito automaticamente das duas maneiras: o número exato de dias 
(memória X) e o número de dias na convenção do juro comercial (memória Y). 
Vejamos um exemplo de como é feito este cálculo. 
 
Vamos supor que você queira obter o número de dias decorridos de 12 de março 
de 2002 até 20 de abril de 2002. 
 
Na HP-12C, faríamos: 
 
12.032002 (digitação da data 12 de março de 2002) 
 
20.042002 (digitação da data 20 de abril de 2002) 
 
A máquina vai indicar no visor o número 39, que indica o número de dias entre as 
duas datas. Caso você queira o número de dias, de acordo com a convenção do 
ano comercial, deve calcar a tecla que passa a exibir o número existente 
na pilha Y. 
 
Nesse caso, teríamos 38 dias, contados na convenção do ano comercial. 
Na planilha EXCEL, temos uma forma de obter o número de dias na base do ano 
comercial, usando a função DIAS360, cuja sintaxe é: 
 
=DIAS360(“12/03/2002”;“20/04/2002”), vejamos o que apareceria numa célula se 
digitássemos esta função: 
 
"Só existe uma coisa melhor do que fazer novos amigos: conservar os velhos." 
Elmer G. Letterman 
 
ENTER
g ���� DYS 
YX><
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Exemplo: Uma aplicação de valor inicial de R$ 4000,00 foi feita de 12 de junho de 
2001, até 23 de agosto de 2001, regime de juros simples, sob taxa de 9% ao mês. 
Obtenha o valor do montante final, considerando: 
 
a) Juro Exato b) Juro Comercial 
 
Solução: 
Na HP-12C, teremos: 
 
a) Juro Exato 
 
12.062001 
 
23.082001 72 (dias, pelo calendário)4000 
 
9 360,00 (total de juros para um mês) 
 
30 : 12,00 (total de juros, por dia) 
 
72 864,00 (total de juros para os 72 dias) 
 
4864,00 (montante final) 
 
Número de dias decorridos entre 12 de 
março de 2002, até 20 de abril de 2002, 
pela convenção do ano comercial. 
ENTER
g ���� DYS 
%
ENTER
ENTER
X
+
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b) Juro Comercial 
 
12.062001 
 
23.082001 71 (dias, pelo ano comercial) 
 
4000 
 
10 360,00 (total de juros para um mês) 
 
30 : 12,00 (total de juros, por dia) 
 
71 852,00 (total de juros para os 72 dias) 
 
4852,00 (montante final) 
 
4.4.2) Crescimento em PG (Juros Compostos) 
Nos juros compostos (com taxa fixa i) iniciamos o processo de crescimento com o 
valor C0 . Ao final de um período esse valor é corrigido pela taxi i, ficando 
determinado por C0 . (1 + i). Assim, sucessivamente, cada valor é obtido pelo 
anterior multiplicado pelo fator de correção (1 + i), o que caracteriza uma 
progressão geométrica de razão (1 + i). Dessa forma, podemos generalizar para n 
períodos, dizendo que o montante M, de uma aplicação a juros compostos com 
taxa fixa i, ao período, durante n períodos, pode ser obtido por: 
 
De forma resumida, podemos dizer que um capital C está aplicado a juro 
composto, num prazo de n períodos, se, no final de cada período, o juro 
produzido é incorporado ao capital, passando também a render novos juros. 
Quando o juro é incorporado ao capital, no final de cada período, dizemos que 
ocorreu uma capitalização. Logo ... juros compostos = juros capitalizados. 
n
0 )i1.(CM +=
Reflita e tente responder: 
 
1) Você conhece, no mercado financeiro brasileiro, 
alguma aplicação que tenha o comportamento de 
juros simples? 
 
2) Por que será que os nossos livros da escola 
fundamental ou mesmo do ensino médio raramente 
mencionam os juros compostos, ficando com um 
enfoque superficial dos juros simples (que quase não 
estão presentes na vida dos brasileiros)? 
g ���� DYS 
%
ENTER
ENTER
X
+
YX><
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Exemplo: 
Suponhamos que uma pessoa tome emprestada, a juro composto, a importância 
de R$2000,00, pelo prazo de 4 meses, sob taxa de 15% ao mês. Qual será o 
valor a ser pago como juros, decorrido este prazo? 
 
SOLUÇÃO:
2000(15% 15% 15% 15% ) M=? 
M= 2000 . 1,15 . 1,15 . 1,15 . 1,15 = 2000. (1,15)
4
= 2000 . 1,749 = 3498,00. 
Juros pagos = 3498,00 - 2000,00 = R$1498,00 
 
Na calculadora científica, você poderia calcular a potência (1,15)
4
e, em seguida, 
multiplicar o resultado por 2000. 
 
Na HP-12C, ou numa máquina financeira qualquer, você pode usar diretamente o 
teclado financeiro, observando a simbologia que já comentamos anteriormente, 
bem como uma convenção de usar sinais contrários para entradas e saídas 
(troca-se o sinal de um valor, apertando a tecla CHS). 
 
No nosso exemplo faríamos: 
 
2000 CHS PV 
15 i 
4 n
FV ? 
 
Dessa forma, surgiria no visor o valor R$ 3498,00, que é o montante procurado. 
 
OBS: O valor (1,15)
4
poderia ser obtido de uma tabela financeira, na interseção 
da coluna relativa à taxa de 15%, com o prazo n=4. (Ver tabela 1 no final da 
apostila). Esse recurso das tabelas costuma ser explorado em concursos 
públicos. Podemos também usar a planilha Excel, como mostraremos mais 
adiante em nosso curso. 
 
Pelo MS-Excel, teríamos que usar a função correspondente (nesse caso, a função 
VF, de valor futuro). O símbolo fx, que aparece na barra de tarefas, indica as 
funções disponíveis. Vejamos como aparece no Excel. 
 
“Não há ramo da Matemática, por mais abstrato que seja, que não possa um dia 
vir a ser aplicado aos fenômenos do mundo real.” 
(Lobachevsky) 
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Lembre-se que primeiramente você deverá clicar no símbolo fx, de função, 
escolher a opção financeira e em nome de função, clicar em VF (Valor futuro). 
Obs: Se a taxa fosse variável, o montante deveria ser calculado multiplicando-se 
o capital inicial por todos os fatores de correção correspondentes às taxas 
periódicas (como acontece nas cadernetas de poupança). 
Exemplificando: Um investidor aplicou R$ 1000,00 em um Fundo de Renda Fixa, 
durante 4 meses, obtendo as seguintes rentabilidades mensais: 4,53%; 3,56%; 
5,62% e 4,85%. Qual o valor do saldo obtido por ele, ao final desse quadrimestre? 
 
SOLUÇÃO: 
Lembrando dos fatores de correção que estudamos no início de nosso curso, 
teremos a solução: 
 
M = 1000 . 1,0453 . 1,0356 . 1,0562. 1,0485 = 1198,80. 
 
Na HP-12C, poderíamos também usar a tecla %, procedendo da seguinte 
maneira: 
1000 ENTER 
4,53 % + 
3,56 % + 
5,62 % + 
4,85 % + 1198,80 
 
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Taxa Efetiva e Taxa Nominal 
 
a) Taxa Efetiva 
 
Uma taxa é denominada efetiva quando já está referida ao período de 
capitalização. Por exemplo 5% ao mês, capitalizados mensalmente é um exemplo 
de taxa efetiva. 1200% ao ano, com capitalização anual é outro exemplo de taxa 
efetiva. 
 
b) Taxa Nominal 
A taxa nominal está referida a um período distinto do período de capitalização, e 
a mudança necessária é feita através de uma proporção, como nos juros simples. 
 
Por exemplo, uma taxa nominal de 120% ao ano, com capitalização mensal, será 
transformada para efeito de cálculos em 120% : 12 = 10 % ao mês. 
 
IMPORTANTE: 
 
Nas situações de juros compostos, sempre que a taxa não estiver referida à 
mesma unidade que o período de capitalização, ela deve ser considerada como 
taxa nominal, e, todas as transformações necessárias devem ser feitas como em 
juros simples (proporcionalmente). 
Exemplo: 
Qual o montante produzido por R$5000,00, aplicado sob juros compostos 
trimestrais, taxa de 240% ao ano, durante 1 ano? 
SOLUÇÃO: 
Como 240% ao ano é taxa nominal pois a capitalização é trimestral, devemos 
dividi-la por 4 para transformar em trimestral. (240 : 4 = 60% a.t). Devemos 
também considerar n=4 pois 1 ano = 4 trimestres. 
 
M = 5000 . (1,6)
4
= 5000 . 6,5536 =32 768,00. 
RESPOSTA: O montante é de R$32 768,00 
 
Taxas Equivalentes:
São aquelas que, aplicadas ao mesmo principal, durante o mesmo prazo, no 
regime de juros compostos, produzem os mesmos montantes. Por exemplo 20% 
ao mês, sob juros compostos, é uma taxa equivalente a 44% ao bimestre. 
Verifiquemos o que acontece, quando aplicadas a um capital de 100 reais. 
 
100 20% 120 20% 144 (aplicando-se juros de 20% a m) 
 
100 44% 144 (juros de 44% ao bimestre) 
 
IMPORTANTE:
Como os capitais e os montantes serão iguais, poderemos obter as taxas 
equivalentes através de igualdades geradas pelos fatores de correção, elevados 
aos expoentes convenientes. Ou seja: 
 
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(Fa )1 = (Fm )12 = (Fd )360 = (Fs )2 = ...... 
 
Sendo : 
Fa = Fator de correção anual ; 
Fm = Fator de correção mensal; 
Fd = Fator de correção diário ; 
Fs = Fator de correção semestral 
Exemplos: 
A) Qual a taxa mensal, equivalente para juros compostos a 2% ao dia? 
 
SOLUÇÃO: 
 
Fm = (Fd)30 = (1,02)30 = 1,811361 (Ver tabela 1, na interseção da coluna 2% com 
n=30). Logo este fator corresponde a uma taxa de 81,1361% ao mês. 
 
Na calculadora, descobriríamos diretamente o valor da potência, subtraindo 1, do 
valorobtido. 
 
B) Qual a taxa trimestral, equivalente para juros compostos, a 242,102% ao ano? 
 
SOLUÇÃO: 
 
(Ft )4 = Fa , logo (Ft )4 = 3,42102 (lembra do “segredinho” dos fatores de 
correção?). 
 
Basta agora procurarmos na tabela 1, dos juros compostos, na linha do expoente 
n=4 o valor 3,42102, o que acontecerá na interseção da coluna referente à taxa 
de 36%. 
 
Resposta: 242,102% ao ano é equivalente a 36% ao trimestre. 
 
Na calculadora, obteríamos a raiz quarta de 3,42102, que será aproximadamente 
igual a 1,36, o que corresponde à taxa de 36%. É sempre bom lembrar que esse 
cálculo é feito transformando-se a relação (Ft )4 = 3,42102 em F = (3,42102)
0.25
.
Com base nas equações exponenciais que se formam na busca de taxas 
equivalentes, podemos estabelecer a seguinte regra geral, com auxílio da 
calculadora HP-12C: 
 
onde: Q = período de tempo que eu Quero, em dias. 
T = período de tempo que eu Tenho, em dias. 
 
Aplicação Prática da Fórmula, Com A Hp-12C 
 
1) Qual A Taxa Equivalente ao ano de 3,54% ao mês ? 
 
x100]1)1
100
taxa[( T
Q
�+
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 360/30 
{[(3,54 + 1) - 1] x 100}
100 
 
A seqüência na HP-12C é: 
 x
3,54 ENTER 100 : 1 + 360 ENTER 30 : Y 1 - 100 x ==> 51,8091% a.a. 
É óbvio que você não precisaria dessa fórmula, bastando observar que um ano 
corresponde a 12 meses. O uso da fórmula acima tem apenas a vantagem de ser 
geral, para todas as situações encontradas. 
 
Poderíamos, simplesmente, ter feito na HP-12C: 
 x
3,54 ENTER 100 : 1 + 12 Y 1 - 100 x ==> 51,8091% a.a. 
 
2) Qual a taxa ao mês equivalente a 45% ao ano ? 
 
30/360 
{[(45,00 + 1) - 1] x 100}
100 
 
A seqüência na HP-12C é: 
 x
45 ENTER 100 : 1 + 30 ENTER 360 : Y 1 - 100 x ==> 3,1448% a.m. 
Aqui podemos utilizar a tecla 1/x pois a divisão de 30/360 é igual a 1/12. 
Toda vez que o numerador for 1, podemos utilizar a tecla 1/x, que nos fornecerá o 
inverso do número que queremos. 
 
Fazemos, então, na HP-12C: 
 
x
45 ENTER 100 : 1 + 12 1/X Y 1 - 100 x ==> 3,1448% a.m. 
 
Para o cálculo de taxas equivalentes, você pode programar uma fórmula na 
planilha Excel, como mostraremos a seguir. 
 
Introduza: 
1. a taxa percentual de juros (dada) – digitar em A4 
2. prazo da taxa fornecida em número de dias – digitar em B4 
3. prazo da taxa desejada em número de dias – digitar em C4 
4. Em D4, inserir a fórmula (digitando o sinal de igual) = (1 + A4)^(C4/B4) – 1 
 
A taxa equivalente será calculada e inserida automaticamente na célula D4. Esta 
célula deve ser formatada para exibir porcentagem, indicando o número de casas 
decimais desejado. No exemplo a seguir, pedimos 4 casas decimais. 
 
Vamos verificar o exemplo 2, resolvido anteriormente, feito agora pela fórmula do 
Excel. 
Qual a taxa ao mês equivalente a 45% ao ano 
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Gráfico Comparativo: Juros Simples X Juros Compostos 
 
Vamos supor o crescimento dos juros (simples e compostos) relativos a um 
capital inicial (principal) de 100 reais, sob taxa de 10% ao mês. 
 
Normalmente as pessoas têm a impressão de que os juros compostos, por serem 
acumulativos, sempre superam aos valores calculados a juros simples. Se 
analisarmos com atenção o gráfico seguinte, veremos que nem sempre essa 
afirmação é verdadeira. 
No gráfico acima, percebe-se que, antes do primeiro período os juros simples têm 
valores superiores aos valores correspondentes dos juros compostos. 
Como confirmação, vejamos o cálculo dos juros obtidos pelos 100 reais de nosso 
gráfico, em 15 dias de aplicação (0,5 mês). 
 
a) Cálculo dos juros simples – j = 100 x 0,5 x 0,1 = 5 reais 
b) Cálculo dos juros compostos – j = 100 x (1,1)
0,5
 – 100 = 4,88 reais. 
 
Você pode verificar que, nesse caso, como o prazo foi inferior a 1 período de 
capitalização (no caso mês), o valor do juro simples foi maior que o valor obtido a 
juro composto. 
 
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EXERCÍCIOS: JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS 
 
1) O capital de R$ 360,00 foi colocado a juros simples durante 3 anos e 2 meses, 
sob taxa de 0,5 % ao mês. Qual o montante final? 
a) R$ 68,40 b)R$ 428,40 c)R$ 542,60 d) R$ 654,00 e) R$ 420,00 
 
2) Qual foi a taxa anual a que foi aplicado um capital de R$150,00, durante 60 
dias, para produzir, a juros simples, um montante de R$153,00? 
a) 8% b) 10% c) 12% d) 15% e) 20% 
 
3) Qual o montante produzido por R$2500,00, aplicados sob taxa efetiva de 12% 
ao trimestre, em 15 meses? 
a)R$ 4405,85 b)R$ 6403,24 c)R$ 5405,45 d)R$ 4000,00 e) R$ 4800,00 
 
4) Qual o tempo necessário para que um capital, aplicado a juros simples de 5% 
ao mês, triplique de valor? 
a) 3 anos 4 meses b) 2 anos c) 5 anos 4 meses 
d) 1ano 4 meses e) 3 anos 6 meses 
 
5) Dr. Fernandinho pagou R$1 728,00 por um empréstimo no Banco Tofer-Rado 
S.A. O prazo da operação foi de 3 meses e a taxa efetiva de juros compostos foi 
de 20% ao mês. Qual foi o valor do empréstimo? 
a) R$800,00 b) R$1 200,00 c)R$1 000,00 d) R$980,00 e) R$1 150 ,00 
6) O preço de uma mercadoria era R$ 2800,00, ou então, uma entrada de 20% e 
mais um pagamento de R$ 2688,00, após 40 dias. financiamento a juros simples. 
Qual a taxa anual de juros que está sendo cobrada pela loja? 
a) 120% b) 130% c) 140% d) 170% e) 180% 
 
7) Apliquei um capital a juros simples de 4% ao mês, durante 2 meses e, em 
seguida, reapliquei o montante por 6 meses, a juros simples de 5% ao mês. Qual 
o capital inicial, se o montante final foi de R$30 888,00? 
a) R$20 000,00 b) R$25 000,00 c) R$18 000,00 
d) R$ 20 800,00 e) R$22 000,00 
 
8) (TRT - 1990) 
Se uma pessoa deseja obter um rendimento de R$2700,00, dispondo de 
R$9000,00 de capital, a que taxa de juros simples quinzenal o dinheiro deverá ser 
aplicado no prazo de 5 meses? 
a) 10% b) 5% c) 3% d) 8% e) 5,5% 
 
9) Um investidor aplicou R$600 000,00 a juros compostos mensais, durante 2 
anos e recebeu um montante de R$3 804 708,60. Qual foi a taxa da operação? 
a) 8% a.m b) 9% a.m c) 10% a.m d) 5% a.m e) 6% a.m 
 
10) O juro e o montante em uma aplicação a juros simples estão entre si, como 4 
está para 20. O tempo de aplicação foi de 5 anos. Qual a taxa anual do 
investimento? 
a) 3 % b) 4 % c) 5 % d) 6 % e) 7 % 
 
11) Qual a taxa anual, equivalente para juros compostos, a 20% ao bimestre? 
a) 120% b) 150% c) 198,60 d) 180% e) 210,6% 
 
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12) Qual a taxa bimestral, equivalente para juros compostos, a 131,3060% ao 
ano? 
a) 12% b) 13% c) 14% d) 15% e) 20% 
 
13) Dada a taxa de juros de 9,2727% ao trimestre, determinar a taxa de juros 
compostos equivalente mensal. 
a) 3% b) 3,1% c) 3,01% d) 2,8% e) 3,5% 
 
14) Ao final de quanto tempo, aproximadamente, os juros compostos produzidos 
por certo capital são iguais à metade deste, se usarmos a taxa de 8% a.a, com 
capitalização anual? 
a) 6 anos b) 9 anos c) 7anos d) 8 anos e) 5 anos 
 
15) (Banco do Brasil) 
Certo capital, acrescido do juro simples resultante de sua aplicação durante 8 
meses, eleva-se a $ 231 000,00. O mesmo capital, acrescido dos juros simples 
resultantes de 13 meses de aplicação, à mesma taxa, eleva-se a $ 234 750,00. 
Qual a taxa anual da aplicação? 
a) 1 % a.a b) 2% a.a c) 2,5 % a.a d) 3 % a.a e) 4 % a.a 
 
16) O capital de R$ 37 500,00 é colocado ao regime de capitalização composta 
sob taxa efetiva de 9% ao trimestre. No fim de um certo tempo o montanteatingiu 
R$ 62 891,25. Calcular o número de meses que foram necessários. 
a) 12 b) 21 c) 15 d) 18 e) 19,5 
 
17) Um investimento obteve um ganho nominal de 34%, num período de inflação 
correspondente a 28%. Qual a taxa real dos juros recebidos por esse 
investimento? 
a) 6% b) 5,23% c) 4,69% d) 3,98% e) 4,5% 
 
A tabela a seguir, se refere às questões, de 18 a 20 e se refere a preços 
praticados e quantidades produzidas de três artigos, em 2005 e 2006. 
 
2005 2006 
Artigos Preço unitário 
(dólares) 
Quantidades 
(toneladas) 
Preço unitário 
(dólares) 
Quantidades 
(toneladas) 
A 3,00 2 4,00 4 
B 6,00 5 6,00 6 
C 4,00 7 5,00 3 
Fonte: Dados hipotéticos 
 
18) Calcular o índice de Laspeyres para os preços de 2006, tomando como base 
o ano de 2005. 
 a) 121,63 % b) 114,06 % c) 128,32 % d) 133,44 % e) 138,28 % 
 
19) O índice de Paasche para os preços de 2006, tomando como base o ano de 
2005. 
 a) 121,45 % b) 134,56 % c) 113,78 % d) 109,78 5 e) 111,67 % 
 
20) Calcular o índice agregativo simples para os preços de 2006, tomando como 
base o ano de 2005. 
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 a) 110,26 % b) 120,32 % c) 116,67 5 d) 115,38 % e) 121,67 % 
 
����GABARITO 
01) B 02) C 03) A 04) A 05) C 
06) E 07) E 08) C 09) A 10) C 
11) C 12) D 13) A 14) A 15) E 
16) D 17) C 18) B 19) E 20) D 
4.5) Desconto Simples 
Desconto é o valor a ser deduzido de um título, calculado a juros simples, por 
antecipação do resgate. O desconto poderá ser por fora, ou por dentro, conforme 
calculado sobre o valor nominal do título ou sobre o valor atual ( valor presente ou 
valor de resgate ). 
 
A) Desconto por Fora 
(Bancário ou Comercial) 
É a parcela a ser deduzida do título, calculada a juros simples sobre o valor 
nominal ( ou valor de face ) do papel. 
 
Podemos resolver os exercícios de desconto por fora de modo análogo ao 
procedimento que adotamos em operações comerciais de lucro sobre o preço de 
venda (Regra de Três) (Nominal = 100 %). 
 
B)Desconto por Dentro 
 (Racional ou Real) 
É a parcela a ser deduzida do título, calculada a juros simples sobre o valor atual ( 
ou valor de resgate ) do papel. Podemos resolver os exercícios de desconto por 
dentro de modo análogo ao procedimento que adotamos em operações 
comerciais de lucro sobre o preço de custo (Regra de Três) (Atual = 100 %). 
Exemplo 1: 
Um título de R$2 000,00 será descontado a 12 % ao mês, 2 meses antes do 
vencimento. Determinar o valor atual ( ou valor de resgate ), considerando: 
 
a) Desconto simples bancário. 
 Solução: 
 
N = 2 000 , taxa de desconto = 12 . 2% = 24% 
 
A(x) D N( 2 000) 
 (76%) (24%) (100%) 
 
( N - D = A )
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2 000..................... 100% 
x ........................76% 
 
x = 2000 76
100
x = 1520 reais 
 b) Desconto simples racional. 
 Solução: 
 A(x) d N( 2 000) 
(100%) (24%) (124%) 
( A + d = N )
2 000 124% 
x 100% 
x =
124
2000x100 = 1612,90 reais 
Observações: 
1. Na prática o que existe é o desconto por fora (bancário) (você pode imaginar o 
motivo, observando o exemplo anterior). 
 
Logo, se em uma situação-problema qualquer não for mencionado o tipo de 
desconto simples utilizado , você deve usar o desconto por fora. 
 
Equivalência de Capitais – Operação de Descontos Simples 
 
Dois capitais representados por papéis ou títulos financeiros serão equivalentes 
para uma determinada data, sujeitos a juros simples, se os valores atuais, nesta 
data (data zero ou focal) , forem iguais. 
 
Exemplo 2: 
Qual o valor nominal de um papel com vencimento para 45 dias, sob taxa de 30% 
ao mês, e que é equivalente a outro título de R$ 600,00, para 15 dias, sob taxa de 
40 % ao mês (descontos simples comerciais)? 
 
Solução: 
A) Título dado: N = 600 ; i = 40% ao mês, n = 15 dias, logo a taxa global do 
desconto será de 20%. 
 
A D N=600 
80% 20% 100% 
 
Logo, teremos A = 
100
80x600 = 480,00 
B) Título equivalente procurado: 
A = 480, i = 30 % ao mês, n = 45 dias, logo a taxa simples corresponde a 1 % ao 
dia e a uma taxa global de 45 %. 
 
"Não se pode ensinar tudo a alguém, 
pode-se apenas ajudá-lo a encontrar por si mesmo." 
Galileu Galilei, astrônomo italiano 
 
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A = 480 D N = ? 
55% 45% 100% 
 
Então, teremos: N = 
55
480x100 = 872,73 reais 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) (Fiscal de Posturas - RJ - 1992) 
Um título de valor nominal de $500 000,00 foi descontado 60 dias antes de seu 
vencimento, à taxa simples de desconto de 10% ao mês. O valor líquido do título 
é: 
a) $ 400 000,00 b) $ 50 000,00 c) $ 100 000,00 d) $30 000,00 e) $ 300 000,00 
 
2) (Banco do Brasil - 1992) 
Calcule o desconto por fora de um título de valor nominal igual a $550 000,00 
antecipado em 120 dias à taxa de 3,5 % ao mês. 
a) $ 60 000,00 b) $ 58 000,00 c)r$ 77 000,00 
d) $ 30 000,00 e) Cr$ 300 000,00 
 
3) Qual o valor atual de um título que, descontado por dentro a 8% ao mês, 
faltando 2 meses e 15 dias para vencer, produziu desconto simples de 
R$ 120 000,00? 
a) R$480 000,00 b)R$ 600 000,00 c) R$ 640 000,00 
d) R$ 720 000,00 e) R$ 580 000,00 
 
4) (Banco Central - 1990) 
Um título de valor nominal de $ 600 000,00 foi descontado à taxa de 18% ao 
mês, 15 dias antes do vencimento (desconto comercial simples). O banco cobrou 
uma comissão de 3 % sobre o valor nominal do título. Qual o valor líquido 
recebido? 
a)$ 565 000,00 b)$ 549 000,00 c)$ 537 000,00 
d) $ 528 000,00 e) Cr$ 465 000,00 
 
5) (Banco Central - 1990) 
Um título foi descontado à taxa de 20 % ao mês, um mês antes do vencimento, 
desconto simples racional ou por dentro. Se o valor líquido recebido foi de $ 
1200,00, qual era o valor nominal? 
a)$1970,00 b)$1800,00 c)$ 1400,00 d)$1440,00 e)$ 1600,00 
 
6) Um título, no valor de R$ 12 000,00, pago 5 meses antes do vencimento, ficou 
reduzido a R$ 9 000,00. Qual foi a taxa mensal aplicada nesta operação de 
desconto bancário? 
a) 6% b) 4% c) 5% d) 3% e) 10% 
 
7) Um título produziu desconto simples igual a 0,3 do valor nominal, faltando 2 
meses e 15 dias para o vencimento. Qual a taxa do desconto? 
a) 10 % a.m b) 12 % a.m c) 6 % a.m d) 8 % a.m e) 5 % a.m 
 
8) Uma promissória descontada por dentro a 3 meses do vencimento, à taxa de 
7% ao mês, sofreu redução de R$630,00. Qual o valor nominal? 
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a) R$3630,00 b) R$3500,00 R$ 6300,00 d) R$ 3640,00 e) R$ 5350,00 
 
9) Um título, de valor nominal de R$12 000,00, descontado racionalmente a 
36% ao mês, 20 dias antes do vencimento, será substituído por outro, para 45 
dias, sob taxa de 40 % ao mês, desconto também racional. Qual será o valor 
nominal desse novo título (desprezados os centavos)? 
a) R$ 15 483,00 b) R$ 16 000,00 c) R$ 18 200,00 
d) R$ 23 400,00 e) R$ 14 760,00 
 
10) (TTN - 1989) 
Utilizando o desconto racional (36% ao ano), o valor que devo pagar por um título 
com vencimento daqui a 6 meses, se o seu valor nominal for de $ 29 
500,00 , é de: 
a) $ 24 000,00 b) $ 25 000,00 c) $ 27 500,00 d) $ 18 880,00 e) $ 24 190,00 
 
11) Qual o valor nominal (aproximado) de um título, descontado a 15% ao mês, 
com 90 diasde antecipação, e que é equivalente a um outro título, de R$ 
4500,00, descontado a 18% ao mês, com 45 dias de antecipação? 
a)R$ 5973,00 b)R$ 6780,00 c)R$ 7340,00 d)R$ 5890,00 e)R$ 4900,00 
 
12) Qual o valor nominal de um título, descontado a 6% ao mês, com 10 dias de 
antecipação e que substituirá dois títulos de R$4800,00 e R$5400,00, 
descontados sob mesma taxa e com as respectivas antecipações de 30 dias e 45 
dias, considerando todos os descontos envolvidos na operação como racionais? 
a)R$8900,00 b)R$9672,00 c)R$7895,00 d)R$8566,00 e)R$6790,00 
 
����GABARITO 
01) A 02) C 03) A 04) D 
05) D 06) C 07) B 08) A 
09) A 10) B 11) A 12) B 
“O degrau da escada não foi inventado para repouso, mas apenas para sustentar o pé o 
tempo necessário para que o homem coloque o outro pé um pouco mais alto.” 
(Ruxley) 
 
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4.6) Descontos Compostos 
 
A) O Conceito: 
 
O desconto composto é o abatimento que obtemos ao saldar um compromisso 
financeiro antes de seu vencimento ou o valor que o banco recebe pela 
antecipação do resgate de um título, mas sob regime de juros compostos. 
Na prática o que temos é o montante ou valor nominal do papel e o que queremos 
é o capital inicial, ou valor atual, o que pode ser obtido pela própria fórmula do 
cálculo do montante a juros compostos. A tal tipo de desconto denominamos 
desconto composto racional, sendo que o desconto composto bancário 
praticamente só existe na teoria, já que o que é utilizado em nosso País é o 
desconto bancário simples. 
B) Valor atual de um papel sujeito a desconto composto (racional): 
 
Já sabemos que C . (1 + i)
n
= M , agora teremos: A . (1 + i)
n
= N
Ou seja: 
 
A = N ou 
 (1 + i)
n
OBS: Os valores de (1 + i)
-n
 você poderá encontrar diretamente na tabela 2 (final 
da apostila) e multiplicando-os por N, obter o valor atual A. Caso você queira pode 
também usar a própria tabela 1, dos juros compostos e, dividindo N por (1 + i)
n
obter de outra forma o valor atual A. 
 
Exemplo 1: 
Uma pessoa quer liquidar, 3 meses antes do vencimento, uma dívida 
representada por um título cujo valor nominal é de R$1000,00. Sabendo-se que o 
banco credor utiliza uma taxa de desconto composto de 3% ao mês, ache o valor 
do desconto. 
SOLUÇÃO:
A = N . (1 + i)
-n 
 ou A = 1000.(1,03)
-3
 . 
 
O fator poderá ser obtido na tabela 2, na interseção da coluna de 3% com a linha 
de n=3. 
Teremos então A= 1000.0,91514 = 915,14 , logo, o desconto será a diferença 
1000 - 915,14 = R$84,86. 
Na calculadora HP-12C, teríamos: 
1000 CHS FV 
3 n
3 i
PV = ? 915,14 (APARECE NO VISOR) 
CHS 1000 + 84,86 (APARECE NO VISOR) 
Na planilha Excel, optaríamos pela função financeira VP, após clicar no símbolo 
fx, indicativo de função, vejamos para esse exemplo, como ficaria a planilha, com 
a respectiva fórmula. 
A = N . (1 + i)
-n
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EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS – REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
 
Exemplo 2: 
Um investidor, devedor de um título de R$1000,00, para 6 meses, deseja 
substituí-lo por outro com vencimento para 10 meses, sendo que a taxa de juro 
composto é de 4% ao mês. Achar o valor nominal do novo título. 
 
SOLUÇÃO: 
Trata-se de um caso de equivalência de capitais, e, como vimos em descontos 
simples, os valores atuais devem ser iguais. No caso do desconto composto é 
mais simples ainda, pois não há necessidade de retroagirmos à data zero, 
bastando atualizar o capital, de acordo com o número de períodos entre as duas 
datas. 
 
1000 ? 
0 6 10 
Logo, teremos: N= 1000.(1,04)
4
= R$ 1169,86 
 
C) Fluxo de Caixa: 
 
Fluxo de caixa de uma empresa é o conjunto de entradas e saídas de dinheiro, 
previstas para um determinado período. O valor atual de um fluxo de caixa é a 
soma algébrica dos valores atuais das entradas (positivas) e das saídas 
(negativas). 
Numa análise de investimentos , compras à prazo, e na matemática financeira em 
geral, o conceito de fluxo de caixa é de grande importância, pois, atualizando as 
entradas e saídas de dinheiro, fica fácil estimar se é ou não compensador um 
determinado investimento. 
 
"Aprender é descobrir aquilo que você já sabe. 
Fazer é demonstrar que você o sabe. 
Ensinar é lembrar aos outros que eles sabem tanto quanto você". 
(Richard Bach) 
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Exemplo 2: 
A empresa Tar-Russo S.A tem a seguinte previsão orçamentária para um 
determinado período: 
PAGAMENTOS RECEBIMENTOS
1 / 4 2000 1 / 2 3000 
1 /10 5000 1 / 6 6000 
1 / 11 9 000 
Qual o valor do fluxo de caixa para 1 de janeiro, supondo a taxa de desconto 
composto de 5% ao mês? 
 
AF 
 
J F A J O N
1 3 5 9 10 
AF = Valor atual do fluxo = 3.(1,05)
-1
+6.(1,05)
-5
+ 9.(1,05)
-10
 - 2.(1,05)
-3
 - 5.(1,05)
-9
 
Mais uma vez, consultando a tabela 2, teremos: 
AF= 3.(0,952381) + 6.(0,783526) + 9.(0,613913) - 2.(0,863838) - 5.(0,644609) 
AF = 8,132795 . 1000 = R$ 8132,80. 
 
Na HP-12C, temos uma seqüência específica para fluxos de caixa, através 
das teclas azuis CF0, CFj, Nj, conforme veremos para o exemplo dado. 
 
Pela HP: 
Limpe as memórias: [F] [REG] 
Entre com o valor inicial: 0 [G] [CFo] 
Entre com as parcelas do fluxo: 
3 000 [G] [CFj] 
0 [G] [CFj] 
2 000 [CHS][G] [CFj] 
0 [G] [CFj] 
6 000 [G] [CFj] 
0 [G] [CFj] 3 [G] [Nj] 
5000 [CHS][G] [CFj] 
9000 [G] [CFj] 
5 i
Calcule o valor presente líquido:[F] [NPV] 
 
Visor: 
0,00 
0,00 
3 000.00 
0.00 
-2 000.00 
0.00 
6000.00 
3.00 
-5000 
9000.00 
5
8132,80 
 
Obs: Se todas as parcelas deste fluxo fossem iguais, o nosso cálculo seria 
bastante simplificado, pois poderíamos recorrer a tabelas financeiras prontas 
para amortizações e capitalizações compostas, conforme veremos nos capítulos 
seguintes. 
 
Exemplo 3: 
Uma pessoa compra um aparelho eletrodoméstico e paga 3 prestações mensais 
iguais e consecutivas de R$500,00, cada uma, sem entrada, vencendo a primeira, 
um mês após a compra. Supondo uma taxa efetiva de juro composto de 15% ao 
mês, ache o preço à vista do aparelho. 
 
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SOLUÇÃO: 
?
0 1 2 3
500 500 500 
 
A = 500.(1,15)
-1
+ 500.(1,15)
-2
 + 500.(1,15)
-3
 = R$1141,61 (Confira) 
 
Pela HP-12C, teríamos: 
 
Limpe as memórias: [F] [REG] 
Entre com o valor inicial: 0 [G] [CFo] 
Entre com as parcelas do fluxo: 
500 [G] [CFj] 3 [G] [Nj] 
15 i 
Calcule o valor presente líquido:[F] [NPV] 
 
Visor: 
0,00 
0,00 
3.00 
15 
1141,61 
 
Importante: 
 
• O que vimos no exemplo anterior é um caso de financiamento denominado 
sistema Francês ou Price, e que possui as características: 
- Primeiro pagamento um período após a compra. 
- Parcelas iguais. 
- Taxa efetiva mensal. 
- Pagamentos no final de cada período. 
 
Estudaremos mais detalhadamente este sistema , bem como outros, no capítulo