Física 2 Uma Abordagem Estratégica Termodinamica, Optica Randall D. Knight (2009, Bookman)

Física 2 Uma Abordagem Estratégica Termodinamica, Optica Randall D. Knight (2009, Bookman)


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constante. A área transversal depende 
do quadrado do raio, então a área transversal do cano é 4 vezes 
maior nesta parte do que na anterior. Conseqüentemente, a veloci-
dade de fluxo deve ser 4 vezes menor, ou seja, igual a 0,41 m/s. 
PAREE PENSE 15.5 A figura mostra as vazões de 
volume (em cm3 Is) para todos os tubos da figu-
ra, menos um. Qual é a taxa de fluxo de volu-
me através do tubo sem indicação? A direção 
do fluxo é para dentro ou para fora? 
~~U t'~ 
10 \u2022 1 
fl,,,,=4 ,n ! ! 
462 Física: Uma Abordagem Estratégica 
/ 
A equação de Bernoulli 
A equação da continuidade é uma de duas relações importantes para fluidos ideais. A 
outra é um enunciado alternativo da conservação de energia. O enunciado geral da con-
servação de energia que você aprendeu no Capítulo 11 do Volume 1 é 
D..K+ D..U = Wext (15.21) 
onde wext é o trabalho total realizado por quaisquer forças externas exercidas. 
Vejamos como isso se aplica ao tubo de fluxo da FIGURA 15.31 . Nosso sistema para análi-
se é o volume do fluido contido no tubo de fluxo. O trabalho é realizado sobre este volume 
de fluido pelas forças de pressão do fluido circundante. No ponto 1, o fluido à esquerda do 
tubo de fluxo exerce uma força F1 sobre o sistema. Esta força aponta para a direita. Na outra 
extremidade do tubo de fluxo, no ponto 2, o fluido à direita do tubo de fluxo exerce uma 
força F2 para a esquerda. A pressão dentro do tubo de fluxo não é relevante porque essas 
forças são internas ao sistema. Somente forças externas podem alterar a energia total. 
F1 devida 
à pressão 
em 1 ' 
y 
········· ··/······'·· 
·\u2022\u2022\u2022\u2022\u2022\u2022\u2022·· \u2022\u2022 ·\u2022\u2022·\u2022·\u2022\u2022\u2022\u2022· 1' ,' 
Os volumes dos cilindros ·········· f ,' 
sombreados são iguais. / i 2 
h ----- -- --- -1- -r- · 
1 1 
1 1 
1 \ 
1 \ 
\ \ 
O fluido dentro do '--.. ' 
tubo de fluxo é o 
sistema. 
F2 devida 
à pressão 
em2 
--- - - - -------- y ·· ...... . Somente forças exterrias ao sistema 
realizam trabalho sobre ele. A pressão 
dentro do tubo de flu xo não realiza 
qualquer trabalho sobre o sistema. 
o 
FIGURA 15.31 Análise de energia para um tubo de fluxo. 
No ponto 1, a força F1 empurra o fluido ao longo do deslocamento D..r1. Os vetores F,1 
e D..r1 são paralelos, de modo que o trabalho realizado sobre o fluido neste ponto é 
(15.22) 
As grandezas A 1 e D..x1 entram na equação a partir de termos diferentes, mas conveniente-
mente se combinam para dar ao fluido volume V. 
A situação é a mesma no ,ponto 2, exceto pelo fato de que Ê'2 aponta em sentido opos-
to ao do deslocamento D..r2. Isso introduz um cos (180º) = - 1 no produto escalar para o 
trabalho, resultando em 
W2 = Ê'2 · D..r2 = -F2D..r2 = -(p2A2)D..x2 = - p2V (15.23) 
No ponto 1, a pressão a partir da esquerda empurra o fluido para a frente, realizando um 
trabalho positivo. A pressão a partir da direita, no ponto 2, tende a diminuir a velocidade 
do fluido, realizando um trabalho negativo. Conjuntamente, o trabalho realizado pelas 
forças externas é 
Wext = Wi + W2 = P1 V - P2 V (15.24) 
Agora vamos analisar como este trabalho altera a energia cinética e a energia po-
tencial do sistema. Um volume pequeno de fluido V= A 1D..x1 passa pelo ponto 1 e, em 
algum tempo posterior, chega ao ponto 2, onde o volume inalterado é V = A 2D..x2\u2022 A 
variação na energia potencial gravitacional deste volume de fluido é 
D..U = mgy2 - mgy1 = pVgy2 - pVgy1 (15.25) 
CAPÍTULO 15 \u2022 Fluidos e Elasticidade 463 
onde p é a densidade do fluido. Analogamente, a variação na energia cinética é 
1 1 1 1 6.K = -mv 2 - -mv 2 = -pVv 2 - -pVv 2 2 2 2 1 2 2 2 1 
. ·I 
(15.26) 
Combinando as Equações 15.24, 15.25 e 15.26, obtemos a equação de energia para o 
fluido no tubo de fluxo: 
(15.27) 
O volume V é cancelado em todos os termos. Rearranjando os termos, a equação de 
energia assume a forma 
(15.28) 
A Equação 15.28 é chamada de equação de Bernoulli. Ela recebeu o nome do cientista 
suíço do século XVIII, Daniel Bernoulli, que realizou alguns dos primeiros estudos so-
bre a dinâmica dos fluidos. 
A equação de Bernoulli, na verdade, nada mais é do que um enunciado sobre traba-
lho e energia. Às vezes, é útil expressar a equação de Bernoulli na forma alternativa 
1 
p + 2 pv2 + pgy = constante (15.29) 
Esta versão da equação de Bernoulli significa que a quantidade p + ~pv2 + pgy perma-
nece constante ao longo de linhas de fluxo. -
Uma aplicação importante da equação de Bernoulli pode ser facilmente demonstra-
da. Antes de ler o próximo parágrafo, tente fazer a simples experiência ilustrada na FfGU-
RA 15.32 . Sério, tente mesmo! 
O que aconteceu? Você provavelmente esperava que sua respiração pressionasse o peda-
ço de papel para baixo. Ao invés disso, o papel subiu. De fato, quanto mais forte você soprar, 
mais o papel se tomará paralelo ao chão. Este resultado contra-intuitivo é uma conseqüência 
da equação de Bernoulli. À medida que a velocida,de do ar acima da tira de papel aúmenta, 
a pressão tem-de diminuir à fim de manter constante a grandeza p + jpv2 + pgy-:êõns_e-
qüentemente, a pressão do ar acima ela tira é menor do que a pressão do ár abaixo da mesm.a, 
resultando em uma força resultªnte orientada para cima sobre o papel. 
NOTA ~ O uso da equação de Bernoulli é muito parecido com o uso do princípio de 
conservação <}e energia. Em vez de identificar um &quot;antes&quot; .e um &quot;depois&quot;, você deve: 
identificar dois pontos de uma mesma-linha de fl.µxo. Como QS exemJ?_los a seguir de-
monstram, a equação de Bernoulli é us~da muitas vezes em conj_unto com a equação 
da continuidade. ..,. 
EXEMPLO 15.11 Um sistema de irrigação 
A água flui pelos canos mostrados na FIGURA 15.33 . A velocidade da 
água pelo cano mais baixo é de 5,0·m/s, e um manômetro marca 75 
kPa. Qual é a leitura do manômetro no cano superior? 
MODELO Consiqere a água comó um fluido ideal que obedece à equa-
ção de Bernoulli. Considere uma linha de flux.o conectando o ponto 
1, na parte mais baixa do cano, com o ponto 2, na parte superior do 
cano. 
* 
Tira de papel de/ 
2,5 cm x 20cm 
1. Segure uma tira 
de papel na ponta 
.. ··· do lábio inferior, 
apenas tocando 
o lábio. 
2. Contraia os lábios 
e assopre com 
força sobre a parte 
superior da tira. 
FIGURA 15.32 Uma demonstração simples 
da equação de Bernoulli. 
\u2022 2 -+! 
4,0cm 
2,0m 
/ FIGURA 15.33 Os canos de água de um sistema de irrigação. 
Conrinua 
\u2022 1 
464 Física: Uma Abordagem Estratégica 
RESOLUÇÃO A equação de Bernoulli, a Equação 15.28, relaciona a 
pressão, a velocidade do fluido e as alturas dos pontos 1 e 2. É fácil 
resolvê-la isolando a pressão p 2 no ponto 2: 
- 1 2 1 2 P2 - P1 + lPV1 - lpvz + pgyl - pgyz 
1 2 2 
= P1 + 2p(v1 - Vz) + pg(y1 - Y2) 
Todas as grandezas à direita são conhecidas, exceto v2, e é justamente 
aí que a equação da continuidade será útil. As áreas transversais e as 
velocidades da água nos pontos 1 e 2 são relacionadas por 
v1A 1 = vzA2 
EXEMPLO 1s.12 Energia hidroelétrica 
Pequenas usinas hidroelétricas em montanhas às vezes trazem água dJ: 
um reservatório para a usina de energfa através de tubos embutidoj\. 
Em uma dessas usinas, o tubo de captaçã9 de 100 cm de diâmetro, na 
base da represa, localiza-se 50 J:!!llbaixo da supefftcie do resefVãtónü. 
A água desce' 200 m ªtravés do tubo antes de entrar na turbina por um 
bocal de 50 cm de diâmetro. 
a. Qual é a velocidade da água na turbina? 
b. Em quanto a pressão de entrada difere da pressão hidrostática 
àquela profundidade? 
MODELO Trate a água como um fluido ideal que obedece à equação 
de Bernoulli. Considere uma linha de fluxo que inicie na superficie 
do reservatório e termine na saída do bocal. A pressão na superfíçie 
é p 1 = Paim e v 1 = O mls. A descarga de água acontece no ar, então p3 
= Po1m na saída. 
VISUALIZAÇÃO A FIGURA 15.34 é uma representação pictórica da si-