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Apostila de Matrizes, Determinantes e Sistemas 1ª Edição 2008 Prof. Dr. Celso Eduardo Tuna � Capítulo 1 - Matrizes 1.1 Definição As matrizes são tabelas de números reais utilizadas em quase todos os ramos da ciência e da engenharia. Várias operações realizadas por computadores são através de matrizes. Vejamos um exemplo. Considere a tabela abaixo que apresenta o peso, a idade e a altura de 5 pessoas. Nome Peso(kg) Idade(anos) Altura(m) Ricardo 70 23 1,70 José 60 42 1,60 João 55 21 1,65 Pedro 50 18 1,72 Augusto 66 30 1,68 O conjunto ordenado dos números que formam a tabela é denominado matriz e cada número é chamado elemento da matriz. ou Neste exemplo temos uma matriz de ordem 5 x 3 (lê-se: cinco por três), isto é, uma matriz formada por 5 linhas e 3 colunas. Representa-se uma matriz colocando-se seus elementos entre parênteses ou entre colchetes. Exemplos: : matriz de ordem 2 x 3 (2 linhas e 3 colunas) : matriz de ordem 1 x 3 (1 linha e 3 colunas) : matriz de ordem 2 x 1 (2 linhas e 1 coluna) 1.2 Representação Algébrica Utilizamos letras maiúsculas para indicar matrizes genéricas e letras minúsculas correspondentes para os elementos. Algebricamente, uma matriz pode ser representada por: Pode-se abreviadamente representar a matriz acima por A = (aij)n x m aij = i – linha j – coluna a42 = 18 (lê-se: a quatro dois é igual a dezoito) (na tabela significa a idade de Pedro 18) Exemplo: Achar os elementos da matriz A = (aij)3 x 2 em que aij = 3i – j. Resolução: A representação genérica da matriz é: �� EMBED Equation.3 1.3 Matriz Quadrada Se o número de linhas de uma matriz for igual ao número de colunas, a matriz é dita quadrada. Exemplo: é uma matriz quadrada de ordem 2 Observações: 1ª) Quando todos os elementos de uma matriz forem iguais a zero, dizemos que é uma matriz nula. 2ª) Os elementos de uma matriz quadrada, em que i = j, formam uma diagonal denominada diagonal principal. A outra diagonal é chamada diagonal secundária. Resolva: 1) Ache os elementos da matriz A = (aij) de ordem 3, em que Resp.: 2) Escreva os elementos da matriz A = (aij) de ordem 3, definida por Resp.: 3) Escreva os elementos da matriz A = (aij)4x2 , definida por Resp.: 1.4 Matriz unidade ou matriz identidade A matriz quadrada de ordem n, em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos são iguais a 0, é denominada matriz unidade ou matriz identidade. Representa-se a matriz unidade por In. Exemplo: 1.5 Matriz tranposta Se A é uma matriz de ordem m x n, denominamos transposta de A a matriz de ordem n x m obtida pela troca ordenada das linhas pelas colunas. Representa-se a matriz transposta de A por At. Exemplo: a sua transposta é 1.6 Igualdade de Matrizes Sejam as matrizes A e B de mesma ordem. Se cada elemento de A for igual ao elemento correspondente de B, as matrizes A e B são ditas iguais. Exemplo: Dadas as matrizes , calcular x e y para que A =B. Resolução: Resolva: 1) Determine x e y, sabendo que Resp: x = 5 e y = -1 2) Determine a, b, x e y, sabendo que Resp: x = 1 , y = 2 , a = 2 e b = -5 3) Dada as matrizes , calcule x, y e z para que B = At. Resp: x = , y = 8 e z = 2 4) Sejam calcule a, b e c para que A=B. Resp: a = - 3 , b = c = - 4 1.7 Operações com matrizes Adição e Subtração: a adição e subtração de duas matrizes do mesmo tipo é efetuada somando-se ou subtraindo-se os seus elementos correspondentes. Exemplo: Matriz oposta: denomina-se matriz oposta de uma matriz A a matriz – A cujos elementos são os simétricos dos elementos correspondentes de A Exemplo: Propriedades da Adição: Comutativa: A + B = B + A Associativa: A + (B + C) = (A + B) +C Elemento Neutro: A + 0 = A Elemento Oposto: A + (-A) = 0 Exemplo: Dadas as matrizes , calcule: a) b) Exemplo: Dadas as matrizes , calcular a matriz X tal que O segundo membro da equação é uma matriz nula de ordem 3 x 1. Se Resolva: 1) Dada a matriz , obtenha a matriz X tal que Resp: 2) Sendo A = (aij)1x3 tal que e B = (bij)1x3 tal que , calcule A+B. Resp: 3) Ache m, n, p e q, de modo que: Resp: 4) Calcule a matriz X, sabendo que Resp: Multiplicação de um número real por uma matriz: Para multiplicar um número real por uma matriz multiplicamos o número por todos os elementos da matriz, e o resultado é uma matriz do mesmo tipo. A = (aij) K = número real K por A B = (bij), onde, bij = K.aij i {1, 2, ... , m} j {1, 2, ... , n} Exemplo: 1. a) b) Resolva: 1) Para Resolva Resp: 2) Para Resolva Resp: 3) Resolva o sistema , sendo . Resp: Multiplicação de Matrizes Não é uma operação tão simples como as anteriores; não basta multiplicar os elementos correspondentes. Vejamos a seguinte situação. Durante a 1ª fase da Copa do Mundo de 1998 (França), o grupo do Brasil era formado também pela escócia, Marrocos e Noruega. Os resultados estão registrados abaixo em uma matriz A, de ordem 4 x 3. País Vitória Empate Derrota Brasil 2 0 1 Escócia 0 1 2 Marrocos 1 1 1 Noruega 1 2 0 Então: A pontuação pode ser descrita pela matriz B, de ordem 3 x 1 Número de Pontos Vitória 3 Empate 1 Derrota 0 Então: Terminada a 1ª fase a pontuação é obtida com o total de pontos feitos por cada país. Essa pontuação pode ser registrada numa matriz que é representada por AB (produto de A por B).Veja como é obtida a classificação: Esse exemplo sugere como deve ser feita a multiplicação de matrizes. Observe a relação que existe entre as ordens das matrizes: Observe que definimos o produto AB de duas matrizes quando o número de colunas de A for igual ao de linhas de B; além disso, notamos que o produto AB possui o número de linhas de A e o número de colunas de B. Exemplo 1: e A matriz existe se n = p ( o número de coluna de A é igual o número de linha da B.) Exemplo 2: Dada as matrizes: Calcule: A.B = B.A = A.C = C.A = Observação: 1ªPropriedade Comutativa A.B=B.A, não é valida na multiplicação de matrizes. Exemplo 3: Calcule: A.B = Observação: Se A e B são matrizes tais que AB = 0 (matriz nula), não podemos garantir que uma delas (A ou B) seja nula. Exemplo 4: A.B = A.C = Observação: A.B = A.C , B C. – na álgebra a.b = a.c b = c 3ª Propriedade: o cancelamento do produto de matrizes não é válido. Propriedades: - Distributiva: A.(B + C) = A.B + A.C - Associativa: A.(B.C) = (A.B).C - Elemento neutro: A.In = A Resolva: 1) Efetue: a) Resp: b) Resp: [17] c) Resp: 2) Dada a matriz , calcule A2. Resp: 3) Sabendo que , calcule MN-NM. Resp: Matriz Transposta Seja A uma matriz m x n. Denomina-se matriz transposta de A (indica-se At) a matriz n x m cujas linhas são ordenadamente, as colunas de A. Exemplos Propriedades da Transposta: (K real) ( no produto de A.B, inverte a ordem) Resolva: 1) Sendo A = e B = , mostre que . Matriz simétrica Quando A = At dizemos que A é matriz simétrica. Exemplo: Matriz anti-simétrica Quando A = - At dizemos queA é matriz anti-simétrica. Exemplo: Matriz Inversa Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se X é uma matriz tal que AX = In e XA = In, então X é denominada matriz inversa de A e é indicada por A-1. Quando existe a matriz inversa de A, dizemos que A é uma matriz inversível ou não-singular. Exemplo: Verifique se existe e, em caso afirmativo, determine a matriz inversa de A = . Resolução: Pela definição temos, Pela igualdade de matrizes, temos os sistemas, Então X = , para AX = I2. A seguir verificamos se XA = I2. Então é a matriz inversa de . A-1 = 1) Determine a inversa das matrizes: a) Resp: b) Resp: Equações matriciais do tipo AX = B ou XA = B, para A inversível. Seja A uma matriz tal que exista A-1. Sabendo que AX = B, vamos demonstrar que X = A-1B. O mesmo também é válido para 1) Sabendo que a) verifique se b) determine X tal que AX = B Resp: a) sim b) Não deixe de resolver a lista de exercícios de matrizes!!! Lista de Exercícios de Matrizes Construa a matriz real quadrada A de ordem 3, definida por: Resposta: Sendo , e , calcule: N – P + M 2M – 3N – P N – 2(M – P) Resposta: a) b) c) Calcule a matriz X, sabendo que , e . Resposta: Dadas as matrizes e , determine a e b, de modo que AB = I, em que I é a matriz identidade. Resposta: a = 1 e b = 0 Dadas as matrizes e . Calcule: A² A³ A²B A² + 3B Resposta: a) b) c) d) Dadas as matrizes e , calcule AB + Resposta: Resolva a equação: Resposta: V = {(2,3),(2,-3)} Sendo , e , determine os valores de a e b, tais que . Resposta: a = 24 e b = -11 Determine os valores de x, y e z na igualdade abaixo, envolvendo matrizes reais 2 x 2: Resposta: x = 0, y = 0 e z = 0 ou x = 3, y = 6, z = 9 Dada a matriz , tal que , determine: A² Resposta: a) b) c) Testes: A é uma matriz m x n e B é uma matriz m x p. A afirmação falsa é: A + B existe se, e somente se, n = p. implica m = n A.B existe se, e somente se, n = p existe se, e somente se, n = p. sempre existe. Resposta: letra C Seja a matriz real quadrada de ordem 2, definida por . Então: b) c) d) e) n.d.a. Resposta: letra A Dadas as matrizes e , então a matriz -2AB é igual a: b) c) d) e) Resposta: letra E Considere as matrizes: , 4 x 7 onde , 7 x 9 onde , tal que C = AB. O elemento : a) é -112. b) é -18. c) é -9. d) é 112. e) não existe. Resposta: letra E Dadas as matrizes e , para A.B temos: b) c) d) e) Resposta: letra B O produto M.N da matriz pela matriz ; não se define. É a matriz identidade de ordem 3 É uma matriz de uma linha e uma coluna. É uma matriz quadrada de ordem 3. Não é uma matriz quadrada. Resposta: letra D A inversa da matriz é: b) c) Inexistente. d) e) Resposta: letra B Se , então: x = 5 e y = -7 x = -7 e y = -5 x = -5 e y = -7 x = -7 e y = 5 x = 7 e y = -5 Resposta: letra B Sendo e , então a matriz X, tal que , é igual a: b) c) d) e) Resposta: letra D Se A e B são matrizes tais que: e , então a matriz será nula para: x = 0 x = -1 x = -2 x = -3 x = -4 Resposta: letra E A Matriz , na qual x é um número real, é inversível se, e somente se: b) c) d) e) Resposta: letra E A solução da equação matricial é a matriz: b) c) d) e) Resposta: letra B Considere as seguintes matrizes: , , e . O valor de x para que se tenha: A + BC = D é: 1 -1 2 -2 Resposta: letra C As matrizes abaixo comutam, e . O valor de a é: 1 0 2 -1 3 Resposta: letra A � Capítulo 2 - Determinantes 2.1 Definição Determinante é um número real que se associa a uma matriz quadrada. 2.2 Determinate de uma matriz quadrada de 2ª ordem Dada a matriz de 2ª ordem , chama-se determinante associado a matriz A (ou determinante de 2ª ordem) o número real obtido pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Então, determinante de Indica-se Observação: Dada a matriz A de ordem 1, define-se como determinante de A o seu próprio elemento, isto é: Exemplo: Resolva: Resolva a equação: Resp: Resolva a equação: Resp: Resolva a inequação: Resp: 4) Sendo , calcule det(AB). Resp: -12 2.3 Menor Complementar O menor complementar do elemento da matriz quadrada A, é o determinante que se obtém de A, eliminando–se dela a linha “i” e a coluna “j”, ou seja, eliminando a linha e a coluna que contém o elemento considerado. Exemplo: Dada a matriz , calcular D11, D12, D13, D21, e D32. Resolução: 2.4 Cofator Consideremos a matriz quadrada de 3ª ordem A = . Chama-se Cofator do elemento da matriz quadrada o número real que se obtém multiplicando-se pelo menor complementar de e que é representado por . Exemplo: Dada a matriz , calcular: a) A11 b) A13 c) A32 Resolva: Dada a matriz determine A13 , A21 , A32 e A33. Resp: A13 = 29, A21 = 15, A32 = 6 e A33 = 3. 2.5 Definição de Laplace O determinante associado a uma matriz quadrada A de ordem é o número que se obtém pela soma dos produtos dos elementos de uma linha (ou de uma coluna) qualquer pelos respectivos cofatores. Exemplo: Sendo uma matriz de ordem 3, podemos calcular o det A a partir de determinantes de ordem 2 e da definição de Laplace. Escolhendo os elementos da primeira linha temos: Observação: Para se aplicar esse método é melhor escolher a linha ou coluna que tiver o maior número de zeros. Resolva: Calcule o determinante da matriz A utilizando a definição de Laplace: a) Resp: det A = 11 b) Resp: det A = -74 2.6 Regra de Sarrus (regra prática para calcular determinantes de ordem 3) Seja a matriz , repetimos as duas primeiras colunas à direita e efetuamos as seis multiplicações em diagonal. Os produtos obtidos na direção da diagonal principal permanecem com o mesmo sinal. Os produtos obtidos da diagonal secundária mudam de sinal. O determinante é a soma dos valores obtidos. Resolva: a) Calcule o determinante da matriz Resp: det A = 15 b) Resolva a equação Resp: c) Dada as matrizes , determine x para que det A = det B Resp: d) Resolva a equação Resp: e) Seja M = (mij) a matriz quadrada de ordem 3, em que: . Ache o valor do determinante de M. Resp: 48 f) Calcule o determinante da matriz P2 , em que P é a matriz Resp: 64 � 2.7 Determinante de uma matriz quadrada de ordem n>3 Seja a matriz quadrada de ordem 4 A = , vamos calcular o determinante de A. Para tanto, aplicaremos o teorema de Laplace, até chegarmos a um determinate de 3ª ordem, e depois empregaremos a regra de Sarrus. Assim, desenvolvendo o determinate acima, segundo os elementos da 1ª linha, temos: Substituindo em (1) temos: Resolva: Calcule o determinante a seguir, desenvolvendo-o segundo os elementos da 1ª linha. Resp: -180 2.8 Propriedade dosDeterminantes 1ª propriedade: Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada A forem iguais a zero, seu determinante será nulo, isto é, det A = 0. Exemplo: 2ª propriedade: Se os elementos correspondentes de duas linhas (ou de duas colunas) de uma matriz quadrada A forem iguais, seu determinante será nulo, isto é, det A = 0 Exemplo: 3ª propriedade: Se uma matriz quadrada A possui duas linhas (ou colunas) proporcionais, seu determinante será nulo, isto é , det A = 0 Exemplo: 4ª propriedade: Se todos os elementos de uma linha (ou de uma coluna) de uma matriz quadrada são multiplicados por um mesmo número real k, então seu determinante fica multiplicado por k. Exemplo: 5ª propriedade: Se uma matriz quadrada A de ordem n é multiplicada por um número real k, o seu determinante fica multiplicado por kn, isto é: Exemplo: 6ª propriedade: O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante de sua transposta, isto é, det A = det At. Exemplo: 7ª propriedade: Se trocarmos de posição entre si duas linhas (ou colunas) de uma matriz quadrada A, o determinante da nova matriz obtida é o oposto do determinante da matriz anterior. Exemplo: 8ª propriedade: O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Exemplo: 9ª propriedade: Sendo A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem e AB a matriz-produto, então (teorema de Binet) Exemplo: 10ª propriedade: Seja A uma matriz quadrada. Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha (ou coluna) pelo mesmo número e somarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha (ou coluna), formando uma matriz B, então det A=det B (Teorema de Jacobi). Exemplo: Multiplicando a 1ª linha por -2 e somando os resultados à 2ª linha obtemos: � Exercícios de Revisão: Dadas as matrizes e , calcule: det (A²) det (B²) det (A² + B²) resp: a) 1 b) 4 c) 18 (Faap – SP) Resolva a inequação . Resp: Determine a solução da equação Resp: {-2,2} Sendo e , dê o valor de: det (A). det(B) det (A.B) Resp: a) -10 b) -10 Seja a matriz A = (aij) de ordem 3, tal que: . Calcule k, de modo que o determinante da matriz A seja nulo. Resp: k = 0 (UFPR) Considere as matrizes e e . Sabendo que a matriz B é igual à matriz C. Calcule o determinante da matriz A. Resp: 72 Calcule o determinante da matriz M = (AB). C, sendo , e . Resp: zero � Teste: (UEL – PR) A soma dos determinantes é igual a zero. quaisquer que sejam os valores reais de a e de b. se e somente se a = b. se e somente se a = - b. se e somente se a = 0. se e somente se a = b = 1. Resp: a) (FMU – SP) O determinante da matriz é igual a: sen 2x b) 2 c) -2 d) 2 sen²x e) cos 2x Resp: b) (Mack – SP) A solução da equação 1 b) 58 c) -58 d) e) 2 Resp: d) (Mack – SP) Sendo A = (aij) uma matriz quadrada de ordem 2 e aij = j – i², o determinante da matriz A é: 0 b) 11 c) 2 d) 3 e) 4 Resp: d) (Fatec – SP) Determine x, de modo que . x < -3 ou x > 2 b) -3 < x < 2 c) Não existe d)Para todo e) N.D.A. Resp: b) (PUC – RS) A equação tem como conjunto verdade: {-6, 2} b) {-2, 6} c) {2, 6} d) {-6, 6} e) {-2, 2} Resp: b) (PUC – SP) O determinante da matriz vale: -3 b) 6 c) 0 d) 1 e) -1 Resp: a) (FGV – SP) Seja a a raiz da equação ; então o valor de a² é: 16 b) 4 c) 0 d) 1 e) 64 Resp: b) (PUC – RS) A solução da equação é: {-11, 5} b) {-6, 3} c) {0, 3} d) {0, 6} e) {5, 11} Resp: {0,3} � BIBLIOGRAFIA: DANTE, L. R. Matemática: Contexto e Aplicações. São Paulo: Editora Ática, 1999. GIOVANNI, J. R., BONJORNO, J. R., GIOVANNI Jr, J. R. Matemática Fundamental. São Paulo: Editora FTD Ltda, 1994. LEITHOLD, L. Matemática Aplicada à Economia e Administração. São Paulo: Editora Harbra Ltda, 1988. MEDEIROS, Matemática Básica para Cursos Superiores. São Paulo: Editora Atlas S.A., 2002. WEBER, J. E. Matemática para Economia e Administração. São Paulo: Editora Harbra Ltda, 2a ed. 1986. �PAGE �7� �PAGE �4� _1279026909.unknown _1279031475.unknown _1280844767.unknown _1283008250.unknown _1283337356.unknown _1283344653.unknown _1283345283.unknown _1283345634.unknown _1283346018.unknown _1283346912.unknown _1283346963.unknown _1283346064.unknown _1283345877.unknown _1283345472.unknown _1283344923.unknown _1283345197.unknown _1283344862.unknown _1283337651.unknown _1283337848.unknown _1283337476.unknown _1283008723.unknown _1283008910.unknown _1283009139.unknown _1283008813.unknown _1283008577.unknown _1283008673.unknown _1283008451.unknown _1280845571.unknown _1283005928.unknown _1283006096.unknown _1283006447.unknown _1283006859.unknown _1283005990.unknown _1281263909.unknown _1281264150.unknown _1281265208.unknown _1281266152.unknown _1281277323.unknown _1281265445.unknown _1281264268.unknown _1281264134.unknown _1280846097.unknown _1280846187.unknown _1280845865.unknown _1280845081.unknown _1280845524.unknown _1280845550.unknown _1280845125.unknown _1280844886.unknown _1280845059.unknown _1280844785.unknown _1280818523.unknown _1280821229.unknown _1280844512.unknown _1280844672.unknown _1280844717.unknown _1280844538.unknown _1280821441.unknown _1280821467.unknown _1280821288.unknown _1280820095.unknown _1280820588.unknown _1280821156.unknown _1280820432.unknown _1280819466.unknown _1280819893.unknown _1280819304.unknown _1279031775.unknown _1280817871.unknown _1280817935.unknown _1280818078.unknown _1280817881.unknown _1280817454.unknown _1280817642.unknown _1280817245.unknown _1279031615.unknown _1279031676.unknown _1279031755.unknown _1279031643.unknown _1279031488.unknown _1279031549.unknown _1279031481.unknown _1279030020.unknown _1279030834.unknown _1279031225.unknown _1279031288.unknown _1279031446.unknown _1279031468.unknown _1279031340.unknown _1279031254.unknown _1279031261.unknown _1279031248.unknown _1279030946.unknown _1279030982.unknown _1279031157.unknown _1279030961.unknown 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