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Processamento de Sinais
2015-1
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Processamento de Sinais
Engenharia Elétrica - 7o período
Hélio Marques Sobrinho
hmarx@linuxtech.com.br
http://linuxtech.com.br/downloads
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Horários das aulas
● Quarta
– 19:00 às 20:40
● Sexta
– 19:00 às 20:40
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Bibliografia
● Referências
Sinais e Sistemas
● Simon Haykin e Barry Van Veen
Sinais e Sistemas Lineares
● Bhagawandas P. Lathi
Sinais e Sistemas
● Alan V. Oppenheim & Adam S. Willsky
Introdução ao Processamento Digital de Sinais
● José Alexandre Nalon
● A Internet !
E muito mais !
Vejam:
 http://bookboon.com
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Programa
● Introdução
● Sinais e sistemas de tempo discreto
● Representação em em frequência
● Transformada de Fourier
– Resposta em frequência e Aplicações de DFT
– Sistemas FIR e IIR
● Analise espectral de sinais
● Transformada Z
● Filtros digitais 
– Projetos de filtros digitais FIR e IIR
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Introdução e revisão
● Definições
● Sistema
– Entidade que manipula um ou 
mais sinais consequentemente 
gerando novos sinais.
● Sinal
– Uma função de uma ou mais 
variáveis veiculando informações 
sobre a natureza de um fenômeno 
físico.
Sinal de entrada
Sistema
Sinal de saída
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Exemplos
● Sistemas ?
● Sinais ?
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Aplicações de processamento de sinais
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Aplicações de processamento de sinais
● Controle
– Controle e automação industrial
● Comunicações
– Transmissão de informações
● Analógica e Digital
● Processameno de sinais
– Extração e alteração de sinais
● Modulação, Filtros, Melhoramento
– Transmissão, Armazenamento, Exibição
● Eficiencia e Confiabilidade !
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Análise de sinais biológicos
● Sinais cerebrais : EEG : Eletroencefalografia
● Sinais cardiacos : ECG : Eletrocargiografia
● Imagens médicas: Raio X, PET, MRI)
– PET : Positron EmitionTomography
– MRI : Magnetic Ressonance Imaging
● Detecção de atividades anormais
● Auxílio aos diagnósticos
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PET SCAN
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Ondas cerebrais
com ruidos difícieis de interpretar
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Exemplo: Imagem jpeg
 43K 13K 3.5K
– Jpeg usa transfomada de cosseno discreta
 (Similar à Transformada de Fourier)
JPEG: Joint Photografic Experts
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Biometria
• Identificação de uma pessoa usando 
caracteristicas fisiológicas
– Exemplos 
● Identificação digital
● Reconhecimento facial
● Reconhecimento de voz
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Processamento de sinal de áudio
● Cancelamento de ruidos
– Filtro adaptativo de ruídos
● Fones utilizados em cockpits
● Efeitos em áudio digital
● Adiçao de efeitos musicais 
– Atraso, eco e reverberação
● Separação de sinal de áudio
– Separar falas de interferência
– Separar som do vento da música em carros
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Sistema de Comunicação
Transmissor Canal Receptor
Sinal da 
mensagen
Sinal 
transmitido 
Sinal 
recebido 
Estimativa 
do sinal da 
mensagem 
recebido 
Atenuação de sinal
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Sinal e Ruído
SNR = Signal Noise Ratio SNR=
P signal
P noise
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Algumas distorções de sinais
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Revisão matemática - 1
Números e Quantidades
Representação Numérica : Bases numéricas
Conjuntos
Discretos (       )
 ℕ :  0 .. + ∞
 ℤ : ­∞ .. + ∞
Contínuos(     )
 ℝ : ­∞ .. + ∞
 ℂ : x + j y
    x e y      ∈ ℝ
Δ=+/-1
Δ→0
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Trigonometria
● Seno, Cosseno, Tangente, ...
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Círculo e Senoide
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Gráficos trigonométricos
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Relações Trigonométricas - 1
sin2 x + cos2 x=1
cotg (x)= 1
tan (x)
sin (−x)=−sin (x)
cos(−x) = cos(x)
cosec(x)= 1
sen(x)
tan (x) = sin( x)
cos( x)
tan (−x) =−tan ( x)
tan (x+ y) = tan (x)+ tan ( y)
1−tan ( x) tan ( y)
tan (x− y) = tan (x)−tan ( y)
1+ tan ( x) tan ( y)
sec(x)= 1
cos(x)
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Relações Trigonométricas - 2
sin (x± y)=sin (x)cos( y)±cos(x)sin ( y)
cos(x± y)=cos(x)cos( y)∓sin (x)sin ( y)
sin (x)cos(x) = 1
2
sin (2x)
tan ( x
2
) =
1−cos(x)
sin (x)
=sin (x)
1+cos( x)
E muito mais !
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Viagem de uma onda senoidal
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Comprimento de onda
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Dependência de x e t
y = sin (kx − ωt)
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Revisão matemática - 2
Vetores Fasores
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Tangente
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Revisão : Números Complexos
∣Z∣=√x2+ y2 ∣Z∣<θZ=x+ j y
AB=cos(θ)
BC=sin (θ)
Z1=a+ j b Z2=c+ j d
Z1+Z2=(a+c)+ j(b+d)
Z1∗Z2=(ac−bd)+ j(ad+bc)
Z=x− j yConjugado:
Z1+Z1=2a
Z1∗Z1=a
2+b2
1
Z
= Z
∣Z2∣
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Revisão - Fasores
Senoide :
Z=∣Z∣<ϕ
Z=∣Z∣cos(ϕ)+ j sin(ϕ)
ϕ=tan−1[
(X L−XC)
R
]
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Matrizes
Soma de matrizes
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Matrizes
Multiplicação de matrizes
Por constante
Por matriz
Multiplicação de matrizes
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Limites
● Seja S uma sequência de números reais
– x1, x2, x3, x4, …
● lim(xi) = L quanto maior for o valor de I
● Para uma função f(x) real
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Cálculo Integral
● Seja
y = f (x)
● a integral
● representa a área delimitada pela curva do 
ponto a até b e a reta real.
 F(x) = = F(b) - F(a)
F(x) =
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Integral indefinida
Integral imprópria
∫ f (x)dx
∫
−∞
∞
f (x)dx
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Derivativo ou derivada
Notação de Leibinitz : 
Notação de Lagrange : f'(x)
f ' ( x) ou df
dx
( x)
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Derivativa geométrica
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Algumas regras de derivadas
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Regras de derivadas (1/4)
(cf )'=cf '
( f +g)'= f '+g '
( fg )'= f ' g+ fg '
( f
g
)'= f ' g− fg '
g2
( f ο g) '=( f ' ο g)g '
d (c)
dx
=0
d (x)
dx
=1
d (cx)
dx
=c
d (xc)
dxc
=cxc−1
onde ( f ο g)= f (g (x))
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Regras de derivada (2/4)
d ( 1
x
)
dx
=d ( x
−1)
dx
=−x−2=− 1
x2
d ( 1
xc
)
dx
=d ( x
−c)
dx
= −c
xc+1
d (√ x)
dx
= d x
1
2
dx
=1
2
x
−1
2= 1
2
x
−1
2= 1
2√ x
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Regras de derivada (3/4)
d (sen(x))
dx
=cos(x)
d (cos(x))
dx
=−sen( x)
d ( tan (x))
dx
=sec2(x)= 1
cos2 x
d (sec(x))
dx
=tg (x) sec(x)
d (cotg (x))
dx
=−cosec2(x)= −1
sen2 x
d (cosec(x))
dx
=−cosec( x)cotg (x)
d (arcsen (x))
dx
= 1
√1−x2
d (arccos( x))
dx
= −1
√1−x2
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Regras de derivada (4/4)
d (arctg (x))dx
= 1
1+ x2
d (arcsec (x))
dx
= 1
∣x∣√(x2−1)
d (arccotg ( x))
dx
= −1
1+x2
d (arccosec (x))
dx
= −1
∣x∣√(x2−1)
d (senh( x))
dx
=cosh (x)=(e
x+e−x)
2
d (cosh (x))
dx
=senh(x)=(e
x+e−x)
2
d ( tanh( x))
dx
=sech2(x)
d (sech(x))
dx
=−tanh (x)sech( x)
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Sinais
● Frequências
● Amplitudes
● Fases
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Frequências e Harmônicas
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Harmônicas acumuladas
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Modulação de sinais
Processamento de Sinais
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Modulações básicas
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Modulação PSK – Phase Shift Keying
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Modulação FSK – Frequency Shift Keying
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Fator de qualidade de sinal
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Superposição positiva
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Reflexão fixa e livre
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Incidência, Superposição e Reflexão
μ = massa/comprimento da linha
 = densidade da linha
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μ crescente
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μ decrescente
Processamento de Sinais
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Potência
P (t)=dW
dt
= F.ds
dt
=F.v
P (t)=vμω2 A2 cos2(kx−ω t)
Paverage=
1
2
vμω2 A2
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Intensidade
I= P
4π r2
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Radiação de som
Vídeo: radiation.mpeg
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Radiação de luz
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Dispersão da luz
Processamento de Sinais
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Ressonância
Processamento de Sinais
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Soma, subtração de sinais
y1 = sin (k1x1 − ω1t)
y2 = sin (k2x2 − ω2t)
y = y1 +/- y2
Processamento de Sinais
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Exemplo
Processamento de Sinais
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Multiplicação de de sinais
y1 = sin (k1x1 − ω1t)
y2 = sin (k2x2 − ω2t)
y = y1 * y2
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Algumas ferramentas
● Matlab
 $3000 a $4000
 http://www.mathworks.com/
● Scilab
 opensource
 http://scilab.org
● Sage
 opensource
 http://www.sagemath.org/
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Senoidal pura
Y = sin(x) -->x=[0:0.1:6*%pi];
 
-->plot(sin(x));
Processamento de Sinais
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Senoidal e harmônicas pares
Y = sin(x)+sin(2*x) Y = sin(x)+sin(2*x)+sin(4*x)
Processamento de Sinais
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Senoidal e harmônicas pares
Y = sin(x)+sin(2*x)+sin(4*x)+sin(6*x)+sin(8*x)+sin(10*x)+sin(12*x)+sin(14*x)
Processamento de Sinais
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Senoidais e harmônicas pares subtrativas
Y = sin(x)-sin(2*x)-sin(4*x)-sin(6*x)-sin(8*x)-sin(10*x)-sin(12*x)-sin(14*x)
Processamento de Sinais
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Senoidal pura
Y = sin(x) -->x=[0:0.1:6*%pi]';
 
-->plot(sin(x));
Processamento de Sinais
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Senoidal e harmônicas ímpares
Y = sin(x)+sin(3*x) Y = sin(x)+sin(3*x)+sin(5*x)
Processamento de Sinais
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Y = sin(x)+sin(3*x)+sin(5*x) + … + sin(13*x)
Senoidal e harmônicas ímpares
Processamento de Sinais
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Onda quadrada
Real :
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Aproximações da onda quadrada
1
2
3
4
1
Senoide pura
Quarta aproximação
Processamento de Sinais
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Série de Fourier
● Seja a onda quadrada f(x) de comprimento 2L
f (x)= 4π ∑
n=1,3,5,. ..
∞ 1
n
sin( nπ x
L
)
Processamento de Sinais
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Séries de Fourier básicas
Processamento de Sinais
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Série simples
Onda dente de serra
Processamento de Sinais
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Onda dente de serra
Processamento de Sinais
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Onda triangular
Processamento de Sinais
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Domínio no tempo x frequência
Processamento de Sinais
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Exemplo com 3 frequências
Processamento de Sinais
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Transformada de Fourier
● Definição:
Seja a Função integrável f : ℝ→ ℂ
Relaciona as funções
no domínio do tempo
com as funções no
domínio da frequência
Processamento de Sinais
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Domínios em frequência e tempo
Processamento de Sinais
2015-1
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Análise de FFT no Scilab 1/2
-->// FFT Transform
-->N = 100; // número de elementos do sinal
-->n = 0:N - 1; 
-->w1 = %pi/5; // 1a frequência
-->w2 = %pi/10; // 2a frequência
-->s1 = cos(w1*n); // 1o componente do sinal
-->s2 = cos(w2*n); // 2o componente do sinal
-->f = s1 + s2; // signal
-->plot(n, f);
Processamento de Sinais
2015-1
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// A Transformada de Fourier do sinal
F = fft(f); // Calcula a Transformada de Fourier
F_abs = abs(F); // F_abs é o valor absoluto de cada elemento de F
-->plot(n, F_abs(F);
Análise de FFT no Scilab 2/2
Processamento de Sinais
2015-1
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FFT com ruídos
Processamento de Sinais
2015-1
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DFT: Transformada de Fourier Discreta
Lista finita de amostragens igualmente espaçadas
↓
Lista de coeficientes de uma combinação finita de senoides
Processamento de Sinais
2015-1
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DFT do sinal f
-->// FFT Transform
-->N = 100; // número de elementos do sinal
-->n = 0:N - 1; 
-->w1 = %pi/5; // 1a frequência
-->w2 = %pi/10; // 2a frequência
-->s1 = cos(w1*n); // 1o componente do sinal
-->s2 = cos(w2*n); // 2o componente do sinal
-->f = s1 + s2; // signal
-->plot(n, f); -->plot(dft(f, 1));
Processamento de Sinais
2015-1
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Ondas estacionárias
Processamento de Sinais
2015-1
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Sinais, corrente e campo magnético
Processamento de Sinais
2015-1
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Energia e Potência de um sinal
P (t)=v (t)i (t)= 1
R
v2(t)
No intervalo de tempo t1 a t2 :
∫ p(t)dt=∫
t1
t2 1
R
v2(t)dt
Potência média no intervalo de t1 a t2 :
1
(t2−t1)∫t1
t2
p(t)dt= 1
(t2−t1)∫t1
t2 1
R
v2(t)dt
Processamento de Sinais
2015-1
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Energia total
● Tempo contínuo
● Tempo discreto
E∞≃lim T→∞∫
−τ
τ
∣x(t )∣2dt=∫
−∞
+∞
∣x (t)2∣dt
E∞≃lim N→∞ ∑
n=−N
+N
∣x [n]2∣= ∑
N=−∞
+∞
∣x [n]∣2
Processamento de Sinais
2015-1
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Potência média
● Tempo contínuo
● Tempo discreto
P∞≃lim T→∞
1
2T∫−τ
τ
∣x(t)∣2dt
P∞≃lim N→∞
1
2N+1 ∑n=−N
+N
∣x [n]∣2
Processamento de Sinais
2015-1
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Transformações
● Variável independente
– Ajuste de controles
– Melhoria dos sinais
– Eliminação de ruídos
– Equalização
– ...
Processamento de Sinais
2015-1
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Exemplos de transformações
Processamento de Sinais
2015-1
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Deslocamento no tempo
● Sinais
– x(n) e x(n – t0)
● Idênticos na forma
● Deslocados um em relação ao outro
● x(n – t0)
– Atrasado se t0 é positivo
– Adiantado se t0 é negativo
● Exemplos
– Radar, sonar, sinais sísmicos, ...
Processamento de Sinais
2015-1
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Reflexão no tempo
● Sinais
– x(n) e x(-n)
● Espelhado em relação a n=0
Processamento de Sinais
2015-1
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Escala do tempo
x (t)
x (n t )
x (t /n)
Processamento de Sinais
2015-1
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Escala do tempo e deslocamento
x (t) x (α t+β)
Processamento de Sinais
2015-1
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Sinais não periódicos
Processamento de Sinais
2015-1
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Simetria
● Simetria par
Contínuo Discreto
– x(-t) = x(t) x[-n] = x[n]
● Simetria ímpar
ContínuoDiscreto
– x(-t) = -x(t) x[-n] = -x[n]
Deve ser 0 em t = 0 ou n = 0 !
Processamento de Sinais
2015-1
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Sinais senoidais e exponenciais
● Sinal exponencial complexo
x(t) = Ceat 
C e a são complexos
Sinal exponencial Real
Se C e a são reais
x(t) é exponencial real
A > 0 A < 0
Processamento de Sinais
2015-1
104 / 281
Sinais senoidais e exponenciais
complexas periódicas
● Periódica com período T
– x(t) = x(t + T)
● Senoidal
– x(t) = A cos(ω0-t + φ)
e jw 0 t=e jw0 ( t + T)
Processamento de Sinais
2015-1
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A cos(ω0-t + φ) = 
ω1 > ω2 > ω3
T1 < T2 < T3
Frequência fundamental e Período
Processamento de Sinais
2015-1
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Potência Média
E período=∫
0
t0
∣e jω0 t∣2dt=∫
0
t0
1.dt=T 0
P período=
1
T 0
E período=1
Processamento de Sinais
2015-1
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Soma de 2 sinais
x (t)=e j2t+e j3t
Soma de 2 sinais exponenciais complexos, por exemplo:
Colocando a exponecial em evidência:
x (t)=e j2.5t (e− j0.5+e j0.5t)
Reescrevendo, utilizando a equação de Euler:
x (t)=2e j2.5t cos(0.5t)
∣x (t )∣=2∣cos(0.5t)∣
Obtendo o módulo de x(t) :
eix=cos(x)+i sin (x)
Processamento de Sinais
2015-1
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Soma de 2 sinais
∣x (t )∣=2∣cos(0.5t)∣Forma de onda do sinal 
Processamento de Sinais
2015-1
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Soma de 2 sinais
∣x (t )∣=2∣cos(0.5t)∣Forma de onda do sinal 
Processamento de Sinais
2015-1
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Senoide pura e sua FFT
Processamento de Sinais
2015-1
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-->x=[0:0.2:8*%pi]
-->f1=sin(x)
-->f2=sin(x + %pi/3)
-->plot(f1, “blue”)
-->plot(f2, “green”)
-->plot(f1+f2, “red”)
Análise senoides deslocadas π/3
Processamento de Sinais
2015-1
112 / 281
-->plot(fft(f1+f2), “magenta” )
Transformada de Fourier
Processamento de Sinais
2015-1
113 / 281
Transformada de Laplace
● Seja uma função f(t)
– F(s) é a transformada de Laplace de f(t)
● S é um número complexo : 
Outra notação:
s=σ+iω
Processamento de Sinais
2015-1
114 / 281
-->x=[0:0.2:8*%pi]
-->f1=sin(x)
-->f2=sin(x + %pi/5)
-->plot(f1, “blue”)
-->plot(f2, “green”)
-->plot(f1+f2, “red”)
-->plot(fft(f1+f2), “magenta” )
Análise senoides deslocadas π/5
Processamento de Sinais
2015-1
115 / 281
-->x=[0:0.2:8*%pi]
-->f1=sin(x)
-->f2=cos(x)
-->plot(f1, “blue”)
-->plot(f2, “green”)
-->plot(f1+f2, “red”)
-->plot(fft(f1+f2), “magenta )
Análise de seno e cosseno
Processamento de Sinais
2015-1
116 / 281
Sinais exponeciais complexos gerais
● Considerando exponencial complexa Ceat
– C expresso na forma polar
– a expresso na forma retangular
– Expandindo usando Euler:
C=∣C∣e j θ
a=r+ jw0
Ceat=∣C∣e j θe(r+ jω0)t=∣C∣ert e j (ω0t+θ)
Ceat=∣C∣ert cos(ω0 t+θ)+ j∣C∣e
rt sin (ω0t+θ)
Processamento de Sinais
2015-1
117 / 281
Formas de onda
Para r > 0
Para r < 0
Processamento de Sinais
2015-1
118 / 281
Sinais discretos
Processamento de Sinais
2015-1
119 / 281
Sinais senoidais discretos 
Processamento de Sinais
2015-1
120 / 281
Sinais crescentes ou decrescentes
Processamento de Sinais
2015-1
121 / 281
Função impulso unitário- discreto
0,n≠0
1,n=0
δ={
u [n]=∑
k=∞
0
δ[n−k ] u [n]=∑
k=0
∞
δ[n−k ]ou
Intervalo do somatório Intervalo do somatório
Processamento de Sinais
2015-1
122 / 281
Degrau unitário – tempo discreto
0, n<0
1, n≥0
u [n]={
δ[n]=u [n]−u [n−1]
Soma cumulativa: u [n]= ∑
m=−∞
n
δ[m]
u [n]=∑
k=0
∞
δ[n−k ]equivalente a u [n]=∑
k=∞
0
δ[n−k ]
Processamento de Sinais
2015-1
123 / 281
Degrau unitário – tempo contínuo
1, t>0
0, t<0
u(t)= { Discontínua se t = 0 !
u(t)=∫
−∞
t
δ(τ)d τ Integral cumulativa do impulso unitário !
δ(t)=du (t)
dt
Primeira derivada do degrau unitário !
1
0
u( t )
Processamento de Sinais
2015-1
124 / 281
Aproximação do degrau unitário
Aproximação contínua do degrau unitário, u∆(t )
1
0 Δ
 
uΔ(t)
Pulso curto de duração Δ com área unitária independente de Δ 
Processamento de Sinais
2015-1
125 / 281
Impulso unitário – tempo contínuo
Quandoδ→0,δΔ (t) torna−se mais estreito emais alto
mantento sua área unitária .
δ(t)
1
0 t
δ(t)=lim
Δ→0
δΔ(t) Em geral, um Impulso k δ(t) é:
∫
−∞
t
k δ(τ)d τ=ku(t)
k δ(t)
k
0 t
Processamento de Sinais
2015-1
126 / 281
Sistemas de tempo contínuo 
e de tempo discreto
Sistema de tempo contínuo
x(t) y(t)
Sistema de tempo discreto
x[t]
y[t]
Processamento de Sinais
2015-1
127 / 281
Exemplo de sistema contínuo
+
- Vc
Vs
R
i
C
i(t)=
(V s(t )−V c(t))
R
i(t)=C
dvc(t )
dt
Processamento de Sinais
2015-1
128 / 281
Exemplo de sistema contínuo
f
pv
dv (t)
dt
= 1
m
f (t)− pv (t)
dv (t)
dt
+ p
m
v (t)= 1
m
f (t )
Processamento de Sinais
2015-1
129 / 281
Interconexões de sistemas
Sistema 1 Sistema 2
Entrada Saída
Entrada
Sistema 1
Sistema 2
+ Saída
Processamento de Sinais
2015-1
130 / 281
Interconexões de sistemas
Entrada
Sistema 1
Sistema 3
+
'
Saída
Sistema 2
Sistema 4
Processamento de Sinais
2015-1
131 / 281
Aplicações
● Comunicações
– Codificadores
● Transmissão de dados codificados
● Privacidade
– Transmissão de códigos de verificação
● Integridade
● Confiabilidade
Processamento de Sinais
2015-1
132 / 281
Segurança da Informação
● "Esta é uma informação importante.”
– Codificação
ASCII, Binário,EBCDIC, etc.
– ASCII : American Standard Code for Information Interchange
– Adição de código de verificação
Exemplos: 
– Check sum, Message Digest, Secure Hash Algorithim
● MD5
 e6db7ca7a76cbd5d94773b82f506439d
● SHA1
 9a079ca77b8f4aad0cef878a26555b9fa600b03a
● SHA256
 14f980026610d39a54072ca1527cb704ad7d805ea3bdeede9b01ce32a764449d
Processamento de Sinais
2015-1
133 / 281
Codificação de símbolos/caracteres
Processamento de Sinais
2015-1
134 / 281
Tabela ASCII
Processamento de Sinais
2015-1
135 / 281
Critérios de Segurança
Integridade
Disponibilidade
Confiabilidade
Privacidade
} Significados 
Processamento de Sinais
2015-1
136 / 281
Criptografia
● Acesso a informação ou serviço
– Usuário: Jose
– Senha: MinhaSenha
● O que é armazenado
$6$ydVIN1KPliKJ$QMka05LO./284rCRTNlpxl1znyspZ93ZjbBDYWI
ZBUbEr1JaT0pXfdERuc9ubWuxI2WioWszZ93MS/Zpoa/c51
● Se recadastrar a senha (mesmo que idêntica)
$6$wyv1VOBZvvm4$STo.9s0FMWHv88TtWtcfNmkDxpxVrOZDpC/
U2GakMcDU/GPaqSoqhsX5E4EjrmIvMMtHBtO2WrKLJzT8jBSOj
Enigma
Processamento de Sinais
2015-1
137 / 281
Compressão
● Algorítmo que reduz o tamanho de um arquivo
● Arquivo : conjunto de símbolos
Exemplos
bzip2
cab
gzip
zip
7-zip
compress
ark
rar
lha/lhz
...
Processamento de Sinais
2015-1
138 / 281
Técnicas simples
● Símbolos repetidos
– “aaaaaaaaaaaaaaa” => “δ15a”
– “ “ => “δ12 ”
● δ indica que o texto original foi comprimido
● Textos repetidos
– “qualquer texto” => “δτ1”
● τ indica que o texto original foi substituído
Processamento de Sinais
2015-1
139 / 281
Codficação Huffman
“this is an example of a huffman tree“ Char    Freq   Code
 space   7      111
   a     4      010
   e     4      000
   f     3     1101
   h     2     1010
   i     2     1000
   m     2     0111
   n     2     0010
   s     2     1011
   t     2     0110
   l     1    11001
   o     1    00110
   p     1    10011
   r     1    11000
   u     1    00111
   x     1    10010
Processamento de Sinais
2015-1
140 / 281
Exemplo
O Processamentode Sinais consiste na análise e/ou modificação de 
sinais de forma a extrair informações dos mesmos e/ou torná-los mais 
apropriados para alguma aplicação específica. O processamento de 
sinais pode ser feito de forma analógica ou digital. Os objeto de 
interesse do processamento de sinais podem incluir sons, imagens, 
séries temporais, sinais de telecomunicações, como sinais de rádio e 
muitos outros.
Tamanho dos arquivos para alguns aplicativos:
Arquivo original: 431 bytes
Lz4 : 370 bytes
bzip2 : 287 bytes
gzip : 278 bytes
Processamento de Sinais
2015-1
141 / 281
Transmissão e Recepção de Rádio
Processamento de Sinais
2015-1
142 / 281
Sinal de TV
Processamento de Sinais
2015-1
143 / 281
Crominâcia
Processamento de Sinais
2015-1
144 / 281
Luminância
Processamento de Sinais
2015-1
145 / 281
Equivalência das equações nos vários sistemas
Processamento de Sinais
2015-1
146 / 281
Propriedades de sistemas
● Sem memória
–
● Com memória
–
–
–
y (t)=x (t )
y (n)=∑
k=−∞
n
x (k )
y (n)=x (n−1)
y (n)= 1
C∫ x (t )dt
Processamento de Sinais
2015-1
147 / 281
Sistema inverso
x(n) Sistema
Sistema 
inverso
y(n)
w(n) = x(n)
Sistema inversível => Existe sistema inverso
Processamento de Sinais
2015-1
148 / 281
Exemplos
x(t) Sistema
Sistema 
inverso
y(t)
w(t) = x(t)
2)
1) y (t)=2x (t ) w (t)=1
2
y (t)
y [n]=∑ x (k ) w [n]= y [n]−y [n−1]
Processamento de Sinais
2015-1
149 / 281
Sistemas não inversíveis
1)
2)
y [n]=0
y (t)=x2(t )
Processamento de Sinais
2015-1
150 / 281
Causalidade
● A saída em qualquer tempo depende dos 
valores de entrada somente nos instantes 
presentes e passado.
– Sistema não anticipativo
● Exemplo
+
- Vc
Vs
R
i
C
Processamento de Sinais
2015-1
151 / 281
Sistemas causais
1)
2)
3)
y (n)=∑ x (k )
y (n)=∑ x (n−1)
y (t)= 1
C∫ i (t)dt
Processamento de Sinais
2015-1
152 / 281
Estabilidade
Sistemas estáveis:
Pequenas entradas produzem respostas que não são divergentes.
x(t)
y(t)y(t)
y(t)
x(t)
Pêndulo estável Pêndulo invertido instável
Processamento de Sinais
2015-1
153 / 281
Estabilidade
Se a entrada para um sistema estável é limitada 
a saída também deve ser limitada.
f
ρv
Limite da velocidade: aumento da força de atrito !
ρv
m
= F
m V=
F
ρ
Processamento de Sinais
2015-1
154 / 281
Linearidade
Sistema com a importante propriedade de superposição
Entrada é soma ponderada de sinais
Saída também é uma soma ponderada de sinais 
-2 2
x
1
(t) y
1
(t)
-1 1
0 4
x
2
(t) = x1(t-2)
y2(t)
0 2
1 1
Linear
Não linear
Processamento de Sinais
2015-1
155 / 281
Invariância no tempo
O comportamento e as características do 
sistema são fixos ao longo do tempo.
Exemplo:
 Circuito RC com R e C constantes
Um sistema é invariante no tempo se um deslocamento no 
tempo do sinal de entrada resulta um deslocamento 
idêntico no sinal de saída.
x[n] → y[n]
 então 
x[n - t] → y[n - t]
Exemplo: sin(x(t))
Processamento de Sinais
2015-1
156 / 281
Verificação de linearidade
Seja y(t) = x2(t)
E x
1
(t), x
2
(t) e x
3
(t)
 Então
 x
1
(t)-> y
1
(t) = x2
1
(t)
 x
2
(t)-> y
2
(t) = x2
2
(t)
 x
3
(t)-> y
3
(t) = x2
3
(t)
= (ax
1
(t) + bx
2
(t))2
= a2x
1
2(t)+b2x
2
2(t) + 2abx
1
(t)x
2
(t)
= a2y
1
(t)+b2y
2
(t) + 2abx
1
(t)x
2
(t)
Especificando x
1
(t), x
2
(t), a e b de tal forma que 
 y
3
(t) ≠ ay
1
(t)+by
2
(t)
Exemplo: x
1
(t) = 1 , x
2
(t) = 0, a = 2 e b = 0
y
3
(t) = [2x
1
(t)]2 = 4
Mas 2y
1
(t) = 2[x
1
(t)]2 = 2 logo o sistema não é linear
Processamento de Sinais
2015-1
157 / 281
Transformações - 1
(a) x(t)
1
0 1 2 -1
(b) x(t+1)
1
0 1 2
(c) x(-t+1)
1
0 -1 1
t t
t
Processamento de Sinais
2015-1
158 / 281
Transformações - 2
(d)
1
0 2/3 4/3
(e)
1
-2/3
t
x (32 t)
2/30
x (3
2
t+1)
t
Processamento de Sinais
2015-1
159 / 281
Exercício
Seja o sinal x(t) de tempo contínuo abaixo:
Esboce os sinais:
 a) x(t – 1)
 b) X(2 – t)
 c) x(2t + 1)
 d) x(4 - t/2) 
Problema 1.21 do livro Sistemas e Sinais - Oppenheim
Processamento de Sinais
2015-1
160 / 281
Sistemas lineares discretos
invariante no tempo
Seja o sinal x[n] representado em (a) 
E uma sequência de 5 impulsos unitários de (b) a (f).
O fator de escala do impulso é igual o valor de x[n] no instante da amostra.
Processamento de Sinais
2015-1
161 / 281
Impulsos 
Processamento de Sinais
2015-1
162 / 281
Impulsos 
A soma das 5 sequências é igual a x[n] para -2 <= n <= 2
Siplificando:
Combinação linear de dos impulsos unitários deslocados δ[n - k]
Combinação linear de dois impulsos unitários deslocados δ[n - k]
x [n ]=∑
k=−∞
+∞
x [k ]σ [n− j ]
Processamento de Sinais
2015-1
163 / 281
Degrau unitário
x[n] = u[n]
u[k] = 0 para k < 0 
u[k] = 1 para k >= 0
Propriedade seletiva do impulso unitário de tempo discreto.
u [n]=∑
0
∞
δ[n−k ]
Processamento de Sinais
2015-1
164 / 281
Representação por soma de convoluções
Entrada arbitrária:
Resposta:
Saída:
Sistema Linear Invariante no Tempo ( L I T )
 Deslocado no tempo
 h
k
[n] = h
0
[n-k]
Soma de convolução
 ou
Soma de superposição
y [n]=∑
k=−∞
+∞
x [k ]hk [n]
x [n ]
hk [n]
y [n]=∑
k=−∞
+∞
x [k ]h [n−k ]
y [n]=∑
k=−∞
+∞
x [k ]hk [n]
Processamento de Sinais
2015-1
165 / 281
Calcule a convolução y[n] = x[n]*h[n] para os seguintes pares de sinais
Problema 2.21 do livro Sistemas e Sinais - Oppenheim
Exercício
x [n ]=αnu [n]
h [n ]=βnu [n ]
x [n ]=αnu [n]
h [n ]=αn u [n]
a)
b)
c) x [n ]=−12
n
u [n−4]
h [n ]=4nu [2−n]
Processamento de Sinais
2015-1
166 / 281
Integral de convolução
Sistema de tempo discreto
 => Sistema que responde a uma sequência de inpulsos
Aproximação em degraus Para um sinal de tempo contínuo
Se ∆ se aproxima de 0 : 
e o somatório se aproxima da integral
x̂ (t)=∑ x (k Δ)σδ(t−k Δ)Δ
x (t)=lim∑ x (k Δ)σΔ(t−k Δ)Δ
Δ→0
x (t)=∫ x (τ)σ (t−τ)dt
Processamento de Sinais
2015-1
167 / 281
Representação gráfica
Processamento de Sinais
2015-1
168 / 281
Propriedades de sistemas LIT
● Comutativa
Ou seja, em tempo discreto:
x [n ]∗h [n]=h [n]∗x [n ]=∑
k=−∞
+∞
h [k ] x [n−k ]
E em tempo contínuo:
x (t)∗h(t )=h (t)∗x (t)=∫
−∞
+∞
h (τ) x (t−τ)d τ
Processamento de Sinais
2015-1
169 / 281
Propriedades de sistemas LIT
● Distributiva
x [n ]∗(h1[n]+h2[n])
= x [n ]∗h1[n]+ x [n ]∗h2[n]
Processamento de Sinais
2015-1
170 / 281
Propriedades de sistemas LIT
● Inversíveis
Processamento de Sinais
2015-1
171 / 281
Propriedades de sistemas LIT
● Causalidade
y[n] não deve depender de x[k] para k > n
h[n] = 0 para n < 0
Processamento de Sinais
2015-1
172 / 281
Propriedades de sistemas LIT
● Estabilidade
∑|h [k ]|<∞
|x [n ]| <B , para todo n
Processamento de Sinais
2015-1
173 / 281
Sistemas LIT 
descrita em equações diferenciais
Com entrada x(t) = Ke3tu(t)
Solução particular, equação diferencial homogênea
Determinando Y 
dy (t)
dt
+2y (t )=x (t)
y (t)= y p(t )+ yh(t )
dy (t)
dt
+2y(t)=0 y p(t )=Ye
3t
3Y+2Y=K Y= K
5 y p(t )=
Ke3t
5
Processamento de Sinais
2015-1
174 / 281
Diagrama de blocos
A equação
y[n]= -ay[n-1] + bx[n]
Pode ser representada pelo diagrama:
-a
+x[n]
b
y[n]
D
y[n-1]
Sistema discreto
com memória!
Processamento de Sinais
2015-1
175 / 281
Diagrama de blocos
Sistema contínuo
dy (t)
dt
+ay (t)=bx (t)
y (t)=−1
a
dy (t)
dt
+ b
a
+x (t)Reescrita :
Processamento de Sinais
2015-1
176 / 281
Diagrama de blocos
Representação dos elementos básicos
+
x2(t)
x1(t)
a)
b)
c)
x(t)
x(t) D
dx (t )
dt
x1(t)+ x2(t)
a ax (t)
Processamento de Sinais
2015-1
177 / 281
Resolução
dy (t)
dt
+ay (t)=bx (t)
dy (t)
dt
=bx (t)−ay (t)
Integrando
y (t)=∫
−∞
t
[bx (τ)−ay (τ)]d τ
-1/a
+x(t) y(t)
D
b/a
dy (t)
dt
Processamento de Sinais
2015-1
178 / 281
Representação como integrador
∫ ∫
−∞
t
x (τ)d τ
∫+
-a
b
x(t) y(t)
y (t)= y (t0)+∫
t0
t
[bx (τ)−ay (τ)]d τ
y(t0) é o valor inicial: memória do integrador.
Processamento de Sinais
2015-1
179 / 281
Exercício
Represente o diagrama de blocos para os seguintes sistemas
a)
Processamento de Sinais
2015-1
180 / 281
Exercício
b)
Represente o diagrama de blocos para os seguintes sistemas
Processamento de Sinais
2015-1
181 / 281
Exercício
Represente o diagrama de blocos para os seguintes sistemas
c)
Processamento de Sinais
2015-1
182 / 281
Funções de singularidade
● Impulso unitario de tempo contínuo
● δ(t) e a resposta ao impulso identidade
x (t)=x (t)∗δ(t)
δ(t)=δ(t)∗δ(t)
Para qualquer sinal δ(t)
Então: 
Pulso retangular:
rΔ(t)=δΔ(t)∗δΔ(t)
Quandoδ→0⇒ impulso unitario.
Processamento de Sinais
2015-1
183 / 281
Interpretações
Processamento de Sinais
2015-1
184 / 281
Interpretações
Processamento de Sinais
2015-1
185 / 281
Interpretações
Processamento de Sinais
2015-1
186 / 281
Impulso unitário e convolução
Para Δ suficientemente pequeno, os sinais
δΔ (t) , rΔ (t) , rΔ (t)∗δΔ (t) , e rΔ (t )∗rΔ (t)
agem todos como impulsos quando aplicados a um sistema LIT.
δ(t) pode ser definido como o sinal para o qual :
x (t)=x (t )∗δ(t) (comoΔ→0)
Processamento de Sinais
2015-1
187 / 281
Exemplo
Se x(t) = 1, para todo t
1=x (t)=x (t)∗δ(t )δ(t)∗x (t)
∫
−∞
+∞
δ(τ) x (t−τ)d τ=
= ∫
−∞
+∞
δ(τ)d τ → área unitária
Processamento de Sinais
2015-1
188 / 281
Outra definição
Sinal arbitrário
g (t)
Espelhado
g (−t)
g (−t)=g (−t )∗δ(t)=∫
−∞
+∞
g (τ−t)δ(τ)d τ
Convolução com δ(t)
Para t = 0
g (0)=∫
−∞
+∞
g (τ)δ(τ)d τ
Processamento de Sinais
2015-1
189 / 281
Outro exemplo
Considere um sistema LIT onde a saída é a derivada da entrada
y (t)= dx (t )
dt
A resposta é a derivada do impulso unitário
dx (t)
dt
=x (t )∗u1(t) para qualquer sinal x (t )
Segunda derivada de δ(t)
d 2x (t )
dt2
=x (t)∗u2(t)→u2(t)=u1(t)∗u1(t)
A k-ésima derivada
uk=u1(t)∗...∗u1(t )
Processamento de Sinais
2015-1
190 / 281
Exemplo
Sinal constante
x (t)=1
Temos
0=dx (t)
dt
=x (t)∗u1(t) ∫
−∞
+∞
u1(τ) x (t−τ)d τ=
∫
−∞
+∞
u1(τ)d τ=
Convolução de g (−t)comu1(t)
∫
−∞
+∞
g (τ−t )u1(τ)d τ=g (−t)∗u1(t )=
dg (−t)
dt
=−g ' (−t)= Cont.
Processamento de Sinais
2015-1
191 / 281
Exemplo (continuação)
Para t = 0
−g ' (0)=∫
−∞
+∞
g (τ)u1(τ)d τ =
Processamento de Sinais
2015-1
192 / 281
Exercício
Sendo:
x(t) a força aplicada a massa
y(t) o deslocamento da massa
Determine a equação diferencial que relaciona 
x(t) com y(t)
Processamento de Sinais
2015-1
193 / 281
Exercício
K = Coeficiente de elasticidade = 2 N/m
M = Massa = 1 kg
B = Constante de amortecimento = 2 N – s/m
Sendo:
x(t) a força aplicada a massa
y(t) o deslocamento da massa
Determine a equação diferencial que relaciona 
x(t) com y(t)
resolvido
Processamento de Sinais
2015-1
194 / 281
Solução
M d
2 x (t)
dt2
+Bdx (t)dt +K x (t)=F (t)
Processamento de Sinais
2015-1
195 / 281
Circuitos e diagrama de blocos
Circuito
Processamento de Sinais
2015-1
196 / 281
Diagrama de blocos 
Processamento de Sinais
2015-1
197 / 281
Outro sistema
Ri (t)+v0=vi (t) 1
C∫ i(t)dt=v0(t)
RC
dv0(t)
dt
+v0(t )=vi (t)
Condiçao inicial: Vc = 0 resolvido
Processamento de Sinais
2015-1
198 / 281
Como resolver ?
Processamento de Sinais
2015-1
199 / 281
Resolvendo a equação diferencial
vo(t)=A(1−e
−t /RC)
Valor de regime considerando t→∞
v0(∞)=lim t→∞ v0(t)=A
Aplicando a transformada de Laplace
R.I (s)+v0(s)=vi (s)
I (s)
sC
=v0(s)
v0(s)
v i (s)
= 1
RCs+1
=
1
(RC )
s+( 1
RC
)
Processamento de Sinais
2015-1
200 / 281
Diagrama de blocos
Processamento de Sinais
2015-1
201 / 281
Revisão : Energia
Ex=∫
−∞
+∞
x (t )2dt
Energia para um sinal convencional
Energia para um sinal complexo
Ex=∫
−∞
+∞
|x (t )|2dt
Processamento de Sinais
2015-1
202 / 281
Exemplos
0
2
1 0 1
1
a)
b)
Processamento de Sinais
2015-1
203 / 281
Revisão : Potência
Potência para um sinal convencional
Potência para um sinal complexo
Px=lim
T
∞ 1
T ∫−T
2
T
2
(x2(t ))dt
Px=lim
T
∞ 1
T ∫−T
2
T
2
|(x2(t ))|dt
Processamento de Sinais
2015-1
204 / 281
Sinal periódico
Px=lim
T
∞ 1
T ∫−T
2
T
2
(x2(t ))dt
T = 1
Processamento de Sinais
2015-1
205 / 281
Valores RMS
Processamento de Sinais
2015-1
206 / 281
Serie de Fourier
● Soma de um conjunto de senos e cosenos
– Exponenciais complexas
Ver fourier.mpeg
Processamento de Sinais
2015-1
207 / 281
Resposta dos sistemas LIT as 
exponenciais complexas
est
Tempo contÍnuo
Tempo discreto
zn
H (s)est
H ( z) zn
Apenas mudança de amplitude.
Processamento de Sinais
2015-1
208 / 281
Exemplo
● Sistema LIT de tempo contínuo com resposta 
ao impulso h(t)
y (t)=∫
−∞
+∞
h(τ) x (t−τ)d τ ∫
−∞
+∞
h(τ)es (t−τ)d τ=
Fazendo e s(t−τ) e st e−s τcomo
y (t)=est∫
−∞
+∞
h(τ)e−s τ d τTemos
y (t)=H (s)est
Convergindo, resulta
H (s)=∫
−∞
+∞
h(τ)e−s τd τonde 
Processamento de Sinais
2015-1
209 / 281
Filtros de tempo contínuo em equações 
diferenciais
RC
dv c(t )
dt
+vc(t)=v s(t )
Resposta em frequência:
H ( jω)
Entrada
Saída
v s(t )=e
jω t
vc(t)=H ( jw)e
jω t
Filtro passa baixas
Processamento de Sinais
2015-1
210 / 281
Substituindo v
s
 e v
t 
...
RC
dv c(t )
dt
+vc(t)=v s(t )
RC d
dt
[H ( jω)e jω t ]+H ( jω)e jω t=e jω t
RC jωH ( jω)e jω t+H ( jω)e jω t=e jω t
H ( jω)e jω t= 1
1+RCjω
e jω t
ou H ( jω)= 1
1+RCjω
Processamento de Sinais
2015-1
211 / 281
Filtro passa alta simples
RC
dv r(t)
dt
=V r(t)=RC
dvs(t)
dt
Sendo a entrada: v s(t )=e
jω t
E a saída: v r(t)=G ( jω)e
jω t
Então: G( jω)= jω RC
1+ jω RC
Processamento de Sinais
2015-1
212 / 281
Processamento de Sinais
2015-1
213 / 281
Gráfico de magnitude
Processamento de Sinais
2015-1
214 / 281
Fase da resposta em frequência
Processamento de Sinais
2015-1
215 / 281
Outros filtros
Processamento de Sinais
2015-1
216 / 281
Outros filtros - 1
∣He jω∣ He jω<
Processamento de Sinais
2015-1
217 / 281
Outros filtros - 2
∣He jω∣ He jω<
Processamento de Sinais
2015-1
218 / 281
Filtro passa alta
Processamento de Sinais
2015-1
219 / 281
Filtro passa banda
Processamento de Sinais
2015-1
220 / 281
Características de filtros
● Frequência de corte
● Potência de saída é metade da potência de entrada
● Constantede carga em regime transitório
● Frequência angular de ressonância
● Fator de qualdade de um par de polos ou zeros
Processamento de Sinais
2015-1
221 / 281
Filtro T(s) – frequência angular ω
Processamento de Sinais
2015-1
222 / 281
Função de transferência
Circuito do Filtro
T(s)v i(s) vo(s)
T (S )=
V 0
V 1
(S )=A
(S−z1) .(S−z2)...(S−zm)
(S− p1) .(S− p2)...(S− pn)
Processamento de Sinais
2015-1
223 / 281
Polos e Zeros
T (S )=
V 0
V 1
(S )=A
(S−z1) .(S−z2)...(S−zm)
(S− p1) .(S− p2)...(S− pn)
Os zeros de um filtro correspondem aos valores de S que 
anulam o numerador da função de transferência
Os pólos do filtro correspondem aos os valores de S que 
anulam o denominador de T(S)
Processamento de Sinais
2015-1
224 / 281
Transformada Z
● Generalização da DTFT
– Sinais para as quais não existem a DTFT
● Estabilidade e Causalidade
– Contraparte discreta da transformada de Laplace
Processamento de Sinais
2015-1
225 / 281
Transformada Z
x( z)=∑ x [n ] z−n
z ⊂ ℂ
x(e jω)=x( z)∣ z= jω
e jω
|(z)|=1
Notação: λ [n]⇔ x (z)
Processamento de Sinais
2015-1
226 / 281
Transformada Z - Definições
x (z) é definido no plano z
x (e jw) é definido somente nocírculo unitário
|z|=1
z=e jw
−π < ω < π
Periodicidade de 2π
Processamento de Sinais
2015-1
227 / 281
Exemplos
Processamento de Sinais
2015-1
228 / 281
Filtro rejeita banda
Processamento de Sinais
2015-1
229 / 281
Circuitos básicos
Processamento de Sinais
2015-1
230 / 281
Equaçõesç
Processamento de Sinais
2015-1
231 / 281
Equação resumida
TS= 1
S τ+1
onde τ=RC= L
R
Um único polo para S=−t−1
Plano de Argand
Processamento de Sinais
2015-1
232 / 281
Análise do circuito
ic(t)=C
∂ vc(t )
∂ t
=
v i(t )−vc(t )
R
→v0(t )+RC
∂ v0(t )
∂ t
=v i(t)
Solução : v0(t)=A.l
− t
RC
Solução particular para degrau unitário : v0(t)=u(t )
Processamento de Sinais
2015-1
233 / 281
Representação
A. l
− t
RC+1
v0(t)={ para t≥00 para t<0
Resposta ao degrau unitário de um filtro passa baixas
Processamento de Sinais
2015-1
234 / 281
Filtro passa altas
Processamento de Sinais
2015-1
235 / 281
Representação
Resposta ao degrau unitário de um filtro passa altas
Processamento de Sinais
2015-1
236 / 281
Filtro passivo de 2a ordem
V 0
V 1
(s)=
1
SC
R+SL+ 1
C
= 1
S 2 LC+SRC+1
=
1
LC
S 2+S R
L
+ 1
LC
Processamento de Sinais
2015-1
237 / 281
Forma geral
T (S )=A.
ω0
2
S 2+S
ω0
Q
+ω0
2
onde ω0=
1
√(LC ) e Q=
1
R √ LC
Resolvendo o denominador
S 2+S
ω0
Q
+ω0
2=0 S=−
ω0
Q
±√ω0
2
Q2
−4ω0
2
2
dependente de Q
Processamento de Sinais
2015-1
238 / 281
Calculando o fator de qualidade
S=−
ω0
Q
±√ω0
2
Q2
−4ω0
2
2
ω0
2
Q2
−4ω0
2=0 ω0
2
Q2
=4ω0
2 Q2= 1
4 Q=
1
2
=0.5
Processamento de Sinais
2015-1
239 / 281
No plano de Argand
Processamento de Sinais
2015-1
240 / 281
Singularidades do filtro
Processamento de Sinais
2015-1
241 / 281
Resposta do filtro
Processamento de Sinais
2015-1
242 / 281
Filtros e Transformada de Fourier - 1
Filtro passa-baixas
Processamento de Sinais
2015-1
243 / 281
Filtro passa-altas
Filtros e Transformada de Fourier - 2
Processamento de Sinais
2015-1
244 / 281
Filtros ativos
● Filtragem e Amplificação
● Ganhos > 1 ( maiores que 0 dB)
● Componentes usados:
– Amplificadores operacionais
– Transistores
– FETs, 
– Válvulas
– …
Processamento de Sinais
2015-1
245 / 281
Filtro ativo passa baixas de primeira ordem
V i−V −
R1
 = V −−V o
R 2 //
1
SC
 ⇒ V i
R1
 = 
−V o⋅(R 2+ 1SC )
R2⋅
1
SC
 ⇒ V o
V i
 =− R2
R1
⋅ 1
SR 2C+1
Plando de Argand
Processamento de Sinais
2015-1
246 / 281
Análise do filtro ativo de 1a ordem
vi( t )
R1
= −C⋅
∂ vo( t )
∂ t
−
v o( t )
R2
= ⇒ vo( t ) + R2C⋅
∂ vo( t )
∂ t
= −
R2
R1
vi( t )
v o( t )=−v c( t )Dado que 
Solução vo( t )=A⋅ℓ
−
t
R2C vo( t )=−
R2
R1
⋅u ( t )
e
Resposta ao degrau vo( t )={A⋅ℓ−
t
R2C−
R2
R1
⇐ t≥0
0 ⇐ t<0
Condição inicial v c(0)=−vo(0 )= 0 ⇒ 0=A⋅ℓ
0−
R2
R1
 ⇒ A=
R2
R1
vo( t )=( ℓ
−
t
R2C−1)⋅R2R1 A⋅u ( t )Tensão de saída 
Processamento de Sinais
2015-1
247 / 281
Representação
Processamento de Sinais
2015-1
248 / 281
Filtro ativo passa altas de primeira ordem - 1
V i−V−
R1+
1
SC
 = 
V−−V o
R2
 ⇒ 
V i
R1+
1
SC
 = 
−V o
R2
 ⇒ 
V o
V i
 =−
R2
R1
A⋅
SR1C
SR1C+1
Função de transferência T (S ) = A⋅ S τ
S τ+1
onde τ=R1C A=−
R2
R1
e
No plano de Argand
Processamento de Sinais
2015-1
249 / 281
Ganho estático quando S → ∞
T (S=0) = −
R2
R1
⋅ S τ
S τ+1
 = 0 T (S→∞) = −
R2
R1
A⋅ S τ
S τ+1
 = −
R2
R1
Diagrama de Bode
Filtro ativo passa altas de primeira ordem - 2
Processamento de Sinais
2015-1
250 / 281
Resposta ao degrau unitário
vi( t )−v c( t )
R1
= C⋅
∂ vc( t )
∂ t
 ⇒ v c( t ) + R1C⋅
∂ vc ( t )
∂ t
= vi( t )
vo( t )= −R2C⋅
∂v c( t )
∂ t v c( t )=A⋅ℓ
−
t
R1C v c( t )=u ( t )e
v c( t )={A⋅ℓ− tR1C+1 ⇐ t≥00 ⇐ t<0Tensão nos terminais do capacitor :
v c(0 )= 0 ⇒ 0=A⋅ℓ
0+1 ⇒ A=−1Condição inicial
v c( t )=(1−ℓ
−
t
R1C )⋅u ( t )Evolução da tensão no capacitor :
Processamento de Sinais
2015-1
251 / 281
Resposta ao degrau unitário
Processamento de Sinais
2015-1
252 / 281
Filtro passa faixa ativo de 2a ordem
● Exemplo : configuração Sallen-Key
Frequência de ressonãncia
fr= 12π √ R f +R1C1C 2 R1 R2 R f
Ganho na frequência de ressonãncia
G (dB)=20 log (1+
R2
R1
)
C1=C 2 e R2=2R1
Parâmetros aconselhados
Processamento de Sinais
2015-1
253 / 281
Filtro Chebyshev
● Filtro com atenuação mais íngreme e maior ripple
Gn(ω)=∣H n( jω)∣=
1
√1+ϵ2T 2( ωω0 )
Processamento de Sinais
2015-1
254 / 281
Filtro Butterworth
● Filtro com resposta mais plana possivel
Processamento de Sinais
2015-1
255 / 281
Uma implementação
passa baixa de 2a ordem
Para a ordem n :
Gn (ω)=∣H n( jω)∣=
1
√(1+ ωωc)2n
Gn(ω)=∣H n( jω)∣=
1
√(1+ω2n)
Frequencia de corte: -3dB de ganho 
Normalizando (fazendo ω
c
= 1) :
Processamento de Sinais
2015-1
256 / 281
Processamento de Sinais
2015-1
257 / 281
Filtro elíptico
Gn(ω)=∣H n( jω)∣=
1
√1+ϵ2
Rn
2(ω)
Processamento de Sinais
2015-1
258 / 281
Comparação com outros filtros
Processamento de Sinais
2015-1
259 / 281
Usando o Matlab
http://www.mathworks.com/help/dsp/examples/designing-low-pass-fir-filters.html
Processamento de Sinais
2015-1
260 / 281
Projeto de filtro em Matlab
Filtro chebychev simples passa baixas
Fc = 0.4;
N = 100; % FIR filter order
Hf = fdesign.lowpass('N,Fc',N,Fc);
Hd1 = design(Hf,'window','window',@hamming,
 'SystemObject',true);
Hd2 = design(Hf,'window','window',
 {@chebwin,50},'SystemObject',true);
hfvt = fvtool(Hd1,Hd2,'Color','White');
legend(hfvt,'Hamming window design',
 'Dolph-Chebyshev window design')
Processamento de Sinais
2015-1
261 / 281
Processamento de Sinais
2015-1
262 / 281
Aumentando a ordem do filtro
Hf.FilterOrder = 200;
Hd3 = design(Hf,'window','window',
 {@chebwin,50},'SystemObject',true);
hfvt = fvtool(Hd2,Hd3,'Color','White');
legend(hfvt,'Dolph-Chebyshev window design.Order = 100',
 ...'Dolph-Chebyshev window design. Order = 200')
Processamento de Sinais2015-1
263 / 281
Processamento de Sinais
2015-1
264 / 281
Controlando a ordem do filtro
ripple e atenuação
N = 100; % Order = 100 -> 101 coefficients
setspecs(Hf,'N,Fc,Ap,Ast',N,Fc,Ap,Ast);
Hd6 = design(Hf,'equiripple','SystemObject',true);
measure(Hd6)
hfvt = fvtool(Hd5,Hd6,'Color','White');
legend(hfvt,...
 'Equiripple design, 146 coefficients',...
 'Equiripple design, 101 coefficients')
Processamento de Sinais
2015-1
265 / 281
Processamento de Sinais
2015-1
266 / 281
Controlando a região de transição
setspecs(Hf,'N,Fp,Fst',N,Fp,Fst);
Hd7 = design(Hf,'equiripple','SystemObject',true);
measure(Hd7)
hfvt = fvtool(Hd5,Hd7,'Color','White');
legend(hfvt,...
 'Equiripple design, 146 coefficients',...
 'Equiripple design, 101 coefficients')
Processamento de Sinais
2015-1
267 / 281
Processamento de Sinais
2015-1
268 / 281
Filtro passa baixas de fase mínima
setspecs(Hf,'Fp,Fst,Ap,Ast',Fp,Fst,Ap,Ast);
Hd13 = 
design(Hf,'equiripple','minphase',true,'SystemObject',true);
hfvt = fvtool(Hd5,Hd13,'Color','White');
legend(hfvt,...
 'Linear-phase equiripple design',...
 'Minimum-phase equiripple design')
Processamento de Sinais
2015-1
269 / 281
Processamento de Sinais
2015-1
270 / 281
Filtro de Kalman
Rudolf E. Kálmán
● Filtro LQE (Linear Quadratic Estimation)
– Algoritimo usando estimativas baseada em amostras.
– Operação recursiva em um fluxo ruidoso de dados .
Processamento de Sinais
2015-1
271 / 281
Algoritmo
Processamento de Sinais
2015-1
272 / 281
Diagrama de blocos
Processamento de Sinais
2015-1
273 / 281
Exemplos de Aplicação
Processamento de Sinais
2015-1
274 / 281
Processamento de imagens
Filtro de Kalman
Processamento de Sinais
2015-1
275 / 281
Processamento de imagens
Filtro de Kalman
Processamento de Sinais
2015-1
276 / 281
Processamento de Sinais
2015-1
277 / 281
Usando MATLAB
kalman
Kalman filter design, Kalman estimator
Syntax
[kest,L,P] = kalman(sys,Qn,Rn,Nn)
[kest,L,P] = kalman(sys,Qn,Rn,Nn,sensors,known)
[kest,L,P,M,Z] = kalman(sys,Qn,Rn,...,type)
Description
kalman designs a Kalman filter or Kalman state estimator given a state-
space model of the plant and the process and measurement noise 
covariance data. The Kalman estimator provides the optimal solution to 
the following continuous or discrete estimation problems.
Processamento de Sinais
2015-1
278 / 281
Implementação em C
/*
 * KFilter.c
 *
 * Created: 16-03-2012 19:18:41
 * Author: Anyone :) :P
 */
#include <avr/io.h>
typedef struct {
 float x[2]; // initial state (location and velocity)
 float P[2][2]; // initial uncertainty
 float u[2]; // external motion // For Prediction
 float F[2][2]; // next state function // For Prediction
 float H[2]; // measurement function
 float R[1]; // measurement uncertainty
 float I[2][2]; // identity matrix
} kalman_state;
Processamento de Sinais
2015-1
279 / 281
kalman_state kalman_init()
{
 kalman_state result;
 // First is position and another is velocity
 // Consider [0.0f
 // 0.0f]; 
 result.x[0] = 0.0f;
 result.x[1] = 0.0f;
 // Consider [[1000.0f 0.0f]
 // [ 0.0f 1000.0f]];
 result.P[0][0] = 1000.0f; result.P[0][1] = 0.0f;
 result.P[1][0] = 0.0f; result.P[1][1] = 1000.0f;
 // Consider [0.0f
 // 0.0f];
 result.u[0] = 0.0f;
 result.u[1] = 0.0f;
 // Consider [[1.0f, 1.0f]
 // [0.0f, 1.0f]]; 
 result.F[0][0] = 1.0f; result.F[0][1] = 1.0f;
 result.F[1][0] = 0.0f; result.F[1][1] = 1.0f;
 // Consider [1.0f, 0.0f];
 result.H[0] = 1.0f; result.H[1] = 0.0f;
 result.R[0] = 1.0f; //The RAW value is always flickering by? // Consider [1.0f];
 // Consider [[1.0f, 0.0f]
 // [0.0f, 1.0f]];
 result.I[0][0] = 1.0f; result.I[0][1] = 0.0f;
 result.I[1][0] = 0.0f; result.I[1][1] = 1.0f;
 return result;
}
Processamento de Sinais
2015-1
280 / 281
void kalman_update(kalman_state* state, float measurement)
{
 // y = Z - ( H * x );
 // Z - (H0*x0 + H1*x1)
 float y = (float)measurement - ( state->H[0]*state->x[0] + state->H[1]*state->x[1] ) ;
 //S = H * P * ( H' ) + R;
 // ( [H0 H1] * [P00 P01 * [H0 ) + R
 // P10 P11] H1]
 float S = state->H[0]*state->H[0]*state->P[0][0] + state->H[0]*state->H[1]*(state->P[0]
[1]+state->P[1][0]) + state->P[1][1] * state->H[1]*state->H[1] + state->R[0];
 //K = P * ( H' ) / S; // or P* H'*inv(S) 
 float K[2]; 
 //Consider [K0 K1]
 // ([P00 P01 * [H0 ) / S
 // P10 P11] H1]
 K[0] = state->P[0][0]*state->H[0]/S+state->P[0][1]*state->H[1]/S;
 K[1] = state->P[1][0]*state->H[1]/S+state->P[1][1]*state->H[1]/S;
 //x = x + ( K * y );
 // ([x0 + [K0 ) * y x1] K1]
 state->x[0] = state->x[0] + K[0] * y;
 state->x[1] = state->x[1] + K[1] * y;
 //P = ( I - ( K * H ) ) * P;
 // [I00 I01 - [K0 * [H0 H1] * [P00 P01
 // I10 I11] K1] P10 P11]
 state->P[0][0]=((state->I[0][0]-K[0]*state->H[0])*state->P[0][0])+((state->I[0][1]-K[0] *
 state->H[1]) * state->P[1][0]);
 state->P[0][1]=((state->I[0][0]-K[0]*state->H[0])*state->P[0][1])+((state->I[0][1]-K[0] *
 state->H[1]) * state->P[1][1]);
 state->P[1][0]=((state->I[1][0]-K[1]*state->H[0])*state->P[0][0])+((state->I[1][1]-K[1] *
 state->H[1]) * state->P[1][0]);
 state->P[1][1]=((state->I[1][1]-K[1]*state->H[1])*state->P[0][1])+((state->I[1][1]-K[1] *
 state->H[1]) * state->P[1][1] );
}
Processamento de Sinais
2015-1
281 / 281
void kalman_predict(kalman_state* state)
{
 //state->x = state->F*state->x + state->u ;
 // [F00 F01 * [x0 + [u0
 // F10 F11] x1] u1]
 state->x[0] = state->F[0][0]*state->x[0] + state->F[0][1]*state->x[1] + state->u[0];
 state->x[1] = state->F[1][0]*state->x[0] + state->F[1][1]*state->x[1] + state->u[1];
 //state->P = state->F*state->P*state->F'
 // [F00 F01 * [P00 P01 * [F00 F10 F10 F11] P10 P11] F01 F11]
 state->P[0][0]=state->F[0][0]*(state->F[0][0]*state->P[0][0]+
 state->F[0][1]*state->P[1][0])+state->F[0][1] *
 (state->F[0][0]*state->P[0][1]+state->F[0][1]*state->P[1][1]);
 state->P[0][1]=state->F[1][0]*(state->F[0][0]*state->P[0][0]+
 state->F[0][1]*state->P[1][0])+state->F[1][1]*(state->F[0][0]*
 state->P[0][1]+state->F[0][1]*state->P[1][1]);
 state->P[1][0]=state->F[0][0]*(state->F[1][0]*state->P[0][0]+state->F[1][1]*
 state->P[1][0])+state->F[0][1]*(state->F[1][0]*
 state->P[0][1]+state->F[1][1]*state->P[1][1]);
 state->P[1][1]=state->F[1][0]*(state->F[1][0]*state->P[0][0]+
 state->F[1][1]*state->P[1][0])+state->F[1][1]*
 (state->F[1][0]*state->P[0][1]+state->F[1][1]*state->P[1][1]);
}
Processamento de Sinais
2015-1
282 / 281
int main(void)
{
 unsigned int SensorRAWValue = 0;
 kalman_state Kalman = kalman_init();
 while(1)
 {
 // sensor value retrieval
 kalman_update(&Kalman,SensorRAWValue);
 kalman_predict(&Kalman);
 //TODO:: Please write your application code to use Kalman.x[0] 
and/or Kalman.x[1]
 }
}
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