Equação do Primeiro Grau

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Equação do Primeiro Grau
1. Introdução
Consideremos as três igualdades abaixo:
1ª) 2 + 3 = 5
2ª) 2 + 1 = 5
3ª) 2 + x = 5
Dizemos que as duas primeiras igualdades são sentenças matemáticas fechadas, pois são definitivamente falsas ou definitivamente verdadeiras. No caso, a primeira é sempre verdadeira e a segunda é sempre falsa.
Dizemos que a terceira igualdade é uma sentença matemática aberta, pois pode ser verdadeira ou falsa, dependendo do valor atribuído à letra x. No caso, é verdadeira quando atribuímos a x o valor 3 e falsa quando o valor atribuído a x é diferente de 3. Sentenças matemáticas desse tipo são chamadas de equações; a letra x é a variável da equação, o número 3 é a raiz ou solução da equação e o conjunto S = {3} é o conjunto solução da equação, também chamado de conjunto verdade.
Exemplos:
1º) 2x + 1 = 7
3 é a única raiz, então S = {3}
2º) 3x – 5 = –2
1 é a única raiz, então S = {1}
2. Resolução de uma Equação
Resolver uma equação é determinar todas as raízes da equação que pertencem a um conjunto previamente estabelecido, chamado conjunto universo.
1º) Resolver a equação:
x2 = 4 em R
As raízes reais da equação são –2 e +2, assim:
2º) Resolver a equação:
x2 = 4 em N
A única raiz natural da equação é 2, assim:
Na resolução das equações, podemos nos valer de algumas operações e transformá-las em equações equivalentes, isto é, que apresentam o mesmo conjunto solução, no mesmo universo.
Vejamos algumas destas propriedades:
P1) Quando adicionamos ou subtraímos um mesmo número aos dois membros de uma igualdade, esta permanece verdadeira.
Consequência:
Observemos a equação:
x + 2 = 3
Subtraindo 2 nos dois membros da igualdade, temos:
 
x + 2 = 3  x + 2 -2 = 3 - 2
Assim:
x + 2 = 3  x = 1
P2) Quando multiplicamos ou dividimos os dois membros de uma igualdade por um número diferente de zero, a igualdade permanece verdadeira.
Consequência:
Observemos a equação:
–2x = 6
Dividindo por –2 os dois membros da igualdade, temos:
Assim:
-2x = 6  x = -3
 
3. Equação do 1º Grau
Chamamos de equação do 1º grau as equações do tipo:
onde a e b são números conhecidos com a  0.
 
Exemplo:
3x – 5 = 0 (a = 3 e b = –5)
Para resolvermos uma equação do 1º grau, devemos isolar a incógnita em um dos membros da igualdade, usando as propriedades P1 e P2 do item anterior.
 
Exemplo:
3x – 5 = 0
3x - 5  3x - 5 + 5 = 0 + 5
3x - 5 = 0  3x = 5
3x = 5  
3x = 5  
Assim: 3x - 5 = 0  
De modo abreviado, fazemos:
3x - 5 = 0  3x = 5  
Assim:
Podemos estabelecer uma fórmula para resolver em R a equação:
Assim:
ax + b = 0  ax = -b  
Exemplo:
Resolver em R a equação:
2x + 5 = 0
 
4. Problemas do 1º Grau
Problema é uma proposição a resolver, na qual figuram elementos conhecidos ou supostamente conhecidos, chamadosdados, e elementos desconhecidos, chamados incógnitas.
Resolver um problema é determinar os valores das incógnitas que satisfazem às condições impostas pelo enunciado.
A resolução de um problema possui três fases:
1) Colocar o problema em equação;
2) Resolver a equação ou equações do problema;
3) Interpretar os resultados ou fazer uma discussão sobre eles.
Exercícios Resolvidos
Resolver as equações:
01. 3x – 5 = 2x + 6
Resolução
3x – 2x = 6 + 5
x = 11
S = {11}
02. 2 (x + 3) + 3 (x – 1) = 7 (x + 2)
Resolução
2x + 6 + 3x – 3 = 7x + 14
2x + 3x – 7x = 14 + 3 – 6
–2x = 11