Integral por partes - 2013_20130908223845

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Faculdade Pitágoras 
Cálculo II – 2013 Engenharia Prof. Júlio Corgozinho 
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Integração por partes. 
 A ideia básica é transformar uma integral que você não pode fazer em um simples produto 
menos a integral que você pode fazer. 
 Da fórmula da derivada do produto de duas funções obtemos um método de integração muito 
útil chamado integração por partes. Se f e g forem funções diferenciáveis, então: 
 
Integrando ambos os membros, iremos obter: 
 
Assim: 
 
Esta é a fórmula de integração por partes. Para propósitos de cálculo existe uma maneira mais 
conveniente de escrever essa fórmula. Tomando: 
u = f(x) e v = g(x), então du = f´(x) dx e dv = g´(x) dx. A fórmula acima se torna: 
 
Essa fórmula expressa a integral em termos de uma outra integral, Escolhendo 
adequadamente u e dv, pode ser mais fácil calcular a segunda integral do que a primeira. 
Para ajudar tudo ficar certinho, organize os problemas envolvendo a integração por partes com 
um quadrado como da figura abaixo. Desenhe um quadrado 2 por 2 vazio, depois coloque o seu u, no 
canto superior esquerdo, e o seu dv, no canto inferior direito. 
 
 
 
 
 
 
Assim, se observarmos as setas, o u será diferenciado e o dv será integrado. Ou seja, pensaremos na 
diferenciação – a coisa mais fácil – como indo para baixo, e a integração – a coisa mais difícil – como 
indo para cima. E assim completaremos o quadrado. 
 
 
 
 
 
Façamos alguns exemplos. Encontre a integral de 
 
 
 
 
 
 
Uma boa maneira de lembrar a fórmula da integração por partes é começar do quadrado superior 
esquerdo e desenhar um número 7 imaginário como segue abaixo: 
 
 
 
 u 
 dv 
Diferenciação Integração 
 u v 
 du dv 
Diferenciação Integração 
Diferenciação Integração 
 
 
 
 
 ln(x) 2/3x
3/2
 
 dx 
 
 
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Assim, pelo exemplo dado, teremos a seguinte situação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escolhendo o seu u. 
 Aqui está um ótimo mnemônico para escolher o u (uma vez selecionado o u, tudo o mais é 
automaticamente o dv). Kasube (American Mathematical Monthy, 1983) propôs o anagrama LIATE para 
ajudar você a escolher o u. 
 L  Logarítmicas (como log (x)) 
 I  Inversas de trigonométricas (como arctan (x)) 
 A  Algébricas (como 5x2 + 3) 
 T  Trigonométricas ( como cos (x)) 
 E  Exponenciais (como 10x) 
 
Façamos alguns exemplos: 
1) Encontre as integrais seguinte: 
 
 
 
 
Exercícios 
1) Calcule: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Trabalho – Integrais por parte. 
1) Calcule: