GRANDEZAS FÍSICAS MEDIDAS ERROS

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Introdução a Física
Grandezas Físicas, Medidas 
e Erros 
Crisógono Rodrigues da Silva
Grandezas Físicas, Medidas e Erros
Introdução
n A Física é a ciência que estuda a Natureza.
n Antes de começar o estudo de qualquer ciência, é
importante saber registrar e apresentar os dados
científicos (grandezas físicas) medidos na
natureza e/ou laboratórios de pesquisa.
n Na natureza as grandezas físicas (vetoriais ou
escalares) podem ser medidas como, por
exemplo, o comprimento de um objeto, a massa
de um corpo, o tempo de ocorrência de um
evento, etc.
Unidades Fundamentais de Medidas
n As grandezas físicas podem ser expressas em
termos das unidades fundamentais.
n Na representação das grandezas físicas o sistema
métrico ou sistema internacional (SI) é o mais
utilizado, principalmente na área científica.
n O sistema métrico é baseado no sistema decimal e é
formado por sete unidades básicas que são:
comprimento, massa, tempo, corrente elétrica,
temperatura, intensidade luminosa e quantidade
de substância (mol) das quais outras unidades
podem ser derivadas.
Grandezas Físicas, Medidas e Erros
n Na mecânica as unidades fundamentais são:
comprimento, massa e tempo.
n O sistema acima é também chamado de sistema
MKS (m de metro, k de kilograma e s de segundo).
n Se um dado comprimento vale 10 m, estamos
dizendo que este comprimento corresponde a dez
vezes o comprimento da unidade padrão, o metro.
Grandeza Unidade Símbolo
Comprimento metro m
Massa quilograma kg
Tempo segundo s
Grandezas Físicas, Medidas e Erros
n Por razões históricas, o tempo foi a primeira
quantidade a ser mensurada. Este conceito
surge a partir da duração do dia, da presença
da luminosidade do Sol e a sua ausência, a
noite.
n Com a evolução e com a necessidade dos
deslocamentos surge o conceito de distância,
de comprimento, de temperatura, etc.
n A partir da necessidade de quantificar as
mercadorias para troca surge o conceito de
peso, e posteriormente a noção de massa.
Grandezas Físicas, Medidas e Erros
n As unidades de outras grandezas, como velocidade,
energia, força, torque, são derivadas destas três
unidades. Na tabela abaixo estão listadas algumas
destas grandezas.
Grandezas Físicas, Medidas e Erros
Grandeza Unidade Símbolo
Velocidade m/s
Aceleração m/s2
Densidade Kg/m3
Força Kg m/s2 Newton (N) 
Trabalho, Energia N.m Joule (J)
Potência J/s Watt (W)
n Outras grandezas surgem com o avanço da
tecnologia: pressão, carga elétrica, corrente elétrica,
campo eletromagnético, calor específico, etc.
n De certo modo, cada cultura tecnológica autônoma
desenvolveu seu próprio sistema de unidades.
Porem, a interação entre as sociedades impôs que
existisse uma uniformização para que as trocas
acontecessem de modo transparente e inteligível
para as partes.
n A Inglaterra medieval era praticamente isolada
comercialmente do resto da Europa e isso contribuiu
para que lá se estabelecesse um sistema de
unidades diferente do restante: polegada, pé, milha,
libra, etc.
n Hoje, nossos padrões são mais precisos e agora
podemos obter resultados científicos mais exatos.
Grandezas Físicas, Medidas e Erros
n No quadro abaixo listamos os prefixos dos múltiplos
e submúltiplos base de potências de 10 que podem
ser aplicados a qualquer unidade.
Grandezas Físicas, Medidas e Erros
Múltiplos Prefixo Símbolo
1012 Tera T
109 Giga G
106 Mega M
103 kilo k
10-2 centi c
10-3 mili m
10-6 micro µ
10-9 nano n
103 s é 1 milisegundo (1 ms), 
106 Watts é 1 megawatt (1Mw).
Notação Científica
n A notação científica é uma forma concisa de representar
números muito grandes (100000000000) ou muito pequenos
(0,00000000001) e é baseado no uso de potências de 10.
Exemplo: Observe os números abaixo
600 000
30 000 000
500 000 000 000 000
7 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
0,0004
0,00000001
0,0000000000000006
0,0000000000000000000000000000000000000000000000008
n A representação desses números na forma convencional
torna-se difícil, em especial no quarto e oitavo exemplos.
Grandezas Físicas, Medidas e Erros
n O principal fator de dificuldade é a quantidade de zeros
extremamente alta para a velocidade normal de leitura
dos números.
n Pode-se pensar que esses valores são pouco relevantes
e de uso quase inexistente na vida cotidiana.
n Este pensamento é incorreto e em áreas como a Física
e a Química esses valores são freqüentes.
Por exemplo:
A maior distância observável do universo mede cerca de
740000000000000000000000000 metros
A massa de um próton é aproximadamente
0,00000000000000000000000000167 gramas. 
Grandezas Físicas, Medidas e Erros
n Um número escrito em notação científica segue o
seguinte modelo:
m . 10 e ,
onde o número m é denominado mantissa e e a
ordem de grandeza.
n A definição básica da notação científica
padronizada inclui uma restrição:
A mantissa deve ser maior ou igual a 1 
e menor que 10
n Para transformar um número qualquer para a notação
científica padronizada devemos deslocar a vírgula
obedecendo ao princípio de equilíbrio.
Grandezas Físicas, Medidas e Erros
Vejamos o exemplo abaixo:
253 756,42
n A notação científica padronizada exige que a
mantissa esteja entre 1 e 10.
n O valor adequado seria 2,5375642 (observe que a
seqüência de algarismos é a mesma, somente foi
alterada a posição da vírgula). Nesse caso, o
expoente é 5.
n Para o expoente, vale o princípio de equilíbrio:
Cada casa decimal que diminui o valor da mantissa 
aumenta o expoente em uma unidade, e vice-
versa.
Grandezas Físicas, Medidas e Erros
Exemplo 1: Observe a transformação passo a passo
253 756,42 = 25 375,642 · 101 = 2 537,5642 · 10² = 
253,75642 · 10³ = 25,375642 · 104 = 2,5375642 · 105
Exemplo 2: Com valor menor que 1
0,0000000475 = 0,000000475 · 10-1 = 0,00000475 · 10-2 
= 0,0000475 · 10-3 = 0,000475 · 10-4 = 0,00475 · 10-5
= 0,0475 · 10-6 = 0,475 · 10-7 = 4,75 · 10-8
Grandezas Físicas, Medidas e Erros
R
es
po
st
a 
ex
em
pl
os
 
an
te
rio
re
s:
 
6 
· 1
05
3 
· 1
07
5 
· 1
01
4
7 
· 1
03
3
4 
· 1
0-
4
1 
· 1
0-
8
6 
· 1
0-
16
8 
· 1
0-
49
Grandezas Físicas, Medidas e Erros
Operações com notação científica
Adição e subtração
n Para somar ou subtrair dois números em notação
científica é necessário que a ordem de grandeza dos
números sejam iguais.
Exemplos:
(4,20 · 107 + 3,50 · 105) = (4,20 + 0,0350) · 107
= 4,235 · 107 (padronizado)
(6,32 - 6,25) · 109 = 0,07 · 109 (não padronizado) 
= 7,0 · 107 (padronizado)
Grandezas Físicas, Medidas e Erros
Operações com notação científica
Multiplicação
n Multiplica-se as mantissas e soma-se os expoentes
(ordem da grandeza) de cada termo na base dez.
Exemplos:
(6,50 · 108) . (3,20 · 105) = (6,50 · 3,20) · 108+5 = 20,80 · 1013
= 2,08 · 1014 (padronizada)
(4,0 · 106) · (1,6 · 10-15) = (4,0 · 1,6) · 106+(-15) = 2,4 · 10-9
(já padronizado)
Grandezas Físicas, Medidas e Erros
Operações com notação científica
Divisão
n Na divisão, dividimos as mantissas e subtraímos os
expoentes de cada termo da base dez.
Exemplos:
(8,0 · 1017) / (2,0 · 109) = (8,0 /2,0) . 1017-9 = 4,0 · 108
(padronizado)
(2,4 · 10-7) / (6,2 · 10-11) = (2,4 /6,2) · 10-7-(-11)
≈ 0,3871 · 104 (não padronizado) 
= 3,871 · 10³ (padronizado)
Grandezas Físicas, Medidas e Erros
Operações com notação científica
Exponenciação
n A mantissa é elevada ao expoente externo e o
expoente da base dez é multiplicado pelo expoente
externo.
Exemplo:
(2,0 · 106)4 = (2,0)4 · (10)6 · 4 = 16,0 · 1024 = 1,60 · 1025
(padronizado)
Grandezas Físicas, Medidas e Erros
Operações com notação científica
Radiciação
n Na radiciação é preciso transformar o expoente para um
valormúltiplo do índice. Após feito isso, o resultado é a
radiciação da mantissa multiplicada por 10 elevado à
razão entre o expoente e o índice do radical.
Exemplos:
132262627 10.0,4)10( .0,1610.0,1610.6,1 ===
351555 155 17 10 . 674,3)10( .0,67010.0,67010.7,6 »==
Grandezas Físicas, Medidas e Erros
Medidas Físicas
Qual a distância entre Maceió e Recife? 
Qual o intervalo de tempo que um corpo leva 
para cair de uma altura de 20 metros 
estando inicialmente parado? 
Qual a massa do seu corpo?
Grandezas Físicas, Medidas e Erros
Medidas Físicas
n Medidas de grandezas físicas podem ser classificadas em
duas categorias: medidas diretas e indiretas.
n A medida direta de uma grandeza é o resultado da leitura
mediante o uso de instrumento de medida.
Exemplo: um comprimento (régua), a corrente elétrica
(amperímetro), a massa de um corpo (balança) ou um
intervalo de tempo (cronômetro).
n A medida indireta é a que resulta da aplicação de equações
matemáticas entre grandezas físicas obtidas através de
medidas diretas.
Exemplo: a velocidade média v de um carro (medida
indireta) pode ser obtida através do deslocamento Δx e o
tempo Δt (ambos, medidas diretas);
v = Δx/Δt.
Grandezas Físicas, Medidas e Erros
Medidas Físicas
DOGMA (Princípio Fundamental):
Por mais preciso que seja o instrumento de medida 
e por mais habilidoso que seja o operador sempre 
existirá erro quando se compara o valor medido da 
grandeza com o seu valor verdadeiro.
Em outras palavras, é impossível realizar 
uma medida com 100% de precisão.
Grandezas Físicas, Medidas e Erros
Erros: 
Os erros são geralmente classificados em três 
categorias: 
n Erros Grosseiros: Falta de prática ou distração do
operador, instrumento de medida inapropriado.
Também devem ser evitados erros de cálculo, erros
de leitura, etc.
n Erros Sistemáticos: Causados por fontes previsíveis
e podem ser eliminados.
Exemplos: podemos citar calibração errada dos
instrumento de medida, efeitos ambientais,
simplificações e arredondamentos, observação feita
inadequadamente, etc.
Grandezas Físicas, Medidas e Erros
Erros 
n Erros Aleatórios ou Acidentais: Causas
imprevisíveis durante as observações.
Exemplos: Podem ter várias origens como a
imprecisão dos instrumentos de medidas, a
imperfeição do observador, pequenas variações nas
condições ambientais, etc.
n Podemos dizer que uma medida é exata quando os
erros grosseiros e sistemáticos são nulos ou
desprezíveis.
n Por outro lado, podemos dizer que uma medida é
precisa quando os erros acidentais são pequenos.
Grandezas Físicas, Medidas e Erros
Erros, Desvios e Incertezas
n Como vimos, o erro é inerente ao próprio processo de
medida e nunca será completamente eliminado. Ele
poderá ser minimizado procurando-se abolir o máximo
possível às fontes de erros.
n Numa única medida direta do valor de uma grandeza,
três situações são possíveis:
n 1o Caso: A grandeza já é conhecida com exatidão (Ex:
soma dos ângulos internos de um triângulo)
n 2o Caso: O valor da grandeza não é conhecido
exatamente, mas há um valor adotado como melhor
(Ex: aceleração da gravidade; velocidade da luz, etc)
n 3o Caso: O valor da grandeza não é conhecido (Ex: o
comprimento de uma mesa qualquer)
Grandezas Físicas, Medidas e Erros
Erros, Desvios e Incertezas
n 1o Caso:
Quando o valor medido difere do valor verdadeiro,
dizemos está afetado por um ERRO. Matematicamente
definimos:
ERRO = | Valor medido – Valor verdadeiro |
n 2o Caso:
Quando o valor medido difere do valor adotado como
melhor, dizemos está afetado por um DESVIO.
Matematicamente definimos:
DESVIO = | Valor medido – Valor adotado |
Embora conceitualmente haja diferença entre as
definições, matematicamente são equivalentes.
Grandezas Físicas, Medidas e Erros
Erros, Desvios e Incertezas
n Podemos definir ERRO (DESVIO) relativo e percentual:
ERRO RELATIVO = ERRO / Valor verdadeiro
ERRO PERCENTUAL = ERRO RELATIVO x 100%
DESVIO RELATIVO = DESVIO / Valor adotado
DESVIO PERCENTUAL = DESVIO RELATIVO x 100%
n O ERRO PERCENTUAL e/ou DESVIO PERCENTUAL
permite avaliar melhor o resultado do experimento e é
um número puro, independente da unidade utilizada.
Grandezas Físicas, Medidas e Erros
Erros, Desvios e Incertezas
Exemplo: Numa única medida da aceleração da
gravidade, um operador registrou g = 10,04 m/s2, e o
valor adotado como melhor foi g = 9,81 m/s2. Calcular
o desvio, desvio relativo e percentual.
DESVIO = | Valor medido – Valor adotado | 
= | 9,81 -10,04 | = 0,23
DESVIO RELATIVO = DESVIO / Valor adotado
= 0,23 / 9,81 = 0,023445
DESVIO PERCENTUAL = DESVIO RELATIVO x 100% 
= 0,0023445 x 100% ≈ 2,34 %
n O desvio percentual mostra que o valor medido da
aceleração da gravidade difere percentualmente de
2,34 com relação ao valor adotado como melhor.
Grandezas Físicas, Medidas e Erros
Erros, Desvios e Incertezas
n 3o Caso:
n Neste caso não temos nada para comparar, ou seja,
não conhecemos nada da grandeza a ser medida.
n Então, como estimar corretamente a grandeza?
n Para uma única medida, o valor mais provável será a
própria medida e a incerteza estimada depende do
instrumento de medida que esta sendo utilizado.
Grandezas Físicas, Medidas e Erros
Medidas
n Duas situações são possíveis para uma única medida:
Situação 1: Se o aparelho de medida não permite
estimar o algarismo duvidoso, a incerteza será a
menor divisão na escala do instrumento.
Exemplo: Um cronômetro digital.
O cronômetro marca 22 milisegundos
(ms) e não existe dúvida sobre esse
número já que o cronômetro marca
números inteiros. Assim, a menor divisão
desse instrumento é 1 milisegundo e a
leitura deste instrumento será:
22 ± 1 ms
Grandezas Físicas, Medidas e Erros
Medidas
n Situação 2: Se o aparelho de medida permite avaliar o algarismo
duvidoso, a incerteza será a metade da menor divisão na escala
do instrumento.
Exemplo: Uma régua centimetrada.
O lápis mede com certeza 19 centímetro e o algarismo duvidoso é 
estimado como sendo 4. Neste caso, a incerteza da medida será a 
metade da menor divisão. 
19,4 ± 0,5 cm
Um outro operador poderia estimar o algarismo duvidoso como 
sendo 3 e um outro como sendo 5. Contudo, a dúvida neste algarismo 
sempre permanecerá.
cm
Grandezas Físicas, Medidas e Erros
Medidas
n A experiência mostra que a confiabilidade de uma única
medida é muito limitada e que medidas repetidas várias
vezes, com o mesmo operador ou operadores diferentes, os
resultados em geral não são iguais.
n De acordo com o postulado de Gauss, a maneira mais
eficiente quando se quer medir alguma grandeza é realizar
várias medidas da mesma grandeza e expressar a grandeza
através do valor médio das medidas.
n Dessa forma, a incerteza associada ao valor mais provável
da medida, já que nenhuma medida pode ser considerada
absolutamente correta, pode ser obtido por um tratamento
matemático simples.
”O valor mais provável que uma série de medidas de igual 
confiança nos permite atribuir a uma grandeza é a média 
aritmética dos valores individuais da série de medidas”
Grandezas Físicas, Medidas e Erros
Medidas
n O resultado da medida é expresso da seguinte forma:
XXX D±=
n O primeiro termo é o valor médio da grandeza que
está sendo medida e o segundo é a incerteza
associada a essa medida, expressos na forma:
å
=
=
N
i
iXN
X
1
1
å
=
-=D
N
i
i XXN
X
1
1
Grandezas Físicas, Medidas e Erros
Medidas
Exemplo 1: Para saber o comprimento de uma bancada 10
medidas foram feitas utilizando um instrumento com escala em
centímetro, conforme quadro abaixo.
L1 = 256,6 cm L2 = 256,8 cm L3 = 256,4 cm L4 = 255,9 cm L5 = 257,1 cm
L6 = 256,7 cm L7 = 256,2 cm L8 = 256,0 cm L9 = 257,0 cm L10 = 256,5 cm
Para calcular a média e a incertezadas medidas vamos utilizar as 
equações anteriores.
å
=
=
N
1i
iXN
1X = (256,6+256,8+256,4+255,9+257,1+256,7+256,2+256,0+257,0+256,5)/10
= 256,52
å
=
-=D
N
1i
i XXN
1X = (0,08+0,28+0,12+0,62+0,58+0,18+0,32+0,52+0,48+0,02)/10 
= 0,32
Grandezas Físicas, Medidas e Erros
Medidas
n Podemos expressar o valor da medida como sendo:
L = 256,52 ± 0,32
n Note que no resultado da média e da incerteza temos duas casas
decimais, enquanto que na tabela acima só foi possível estimar as
medidas com uma casa decimal.
n Nesse caso, o bom censo nos diz que devemos aproximar
(arredondamento) o resultado para somente uma casa decimal:
L = 256,5 ± 0,3
n Essa representação assegura que o valor mais provável da
medida é o valor médio L = 256,5 cm e que o valor verdadeiro
está contido no intervalo:
[256,2 ≤ L ≤ 256,8]
Grandezas Físicas, Medidas e Erros
Medidas
n Exemplo 2: Um pequeno objeto foi medido por cinco
operadores diferentes utilizando uma régua milimetrada
(a menor divisão é 1 mm). As medidas estão listadas na
tabela abaixo.
N S (cm) ΔS (cm)
1 5,82 0,014
2 5,83 0,004
3 5,85 0,016
4 5,81 0,024
5 5,86 0,026
N=5 ∑S = 29,17 ∑ΔS = 0,084
Grandezas Físicas, Medidas e Erros
Medidas
n Fazendo a média aritmética dos valores encontrados
temos o valor médio, ou seja, o valor mais provável de
S como sendo:
S = (5,82 + 5,83 + 5,85 + 5,81 + 5,86) / 5 = 5,834 cm.
n O desvio médio de S será dado pela média aritmética
dos desvios:
ΔS = (0.014 + 0,004 + 0,016 + 0,024 + 0,026) / 5 = 0,0168
n O valor medido de S mais provável, já realizando o
arredondamento para duas casas decimais, será dado
como:
S = 5,83 ± 0,02
Grandezas Físicas, Medidas e Erros
Algarismos Significativos (AS)
n A medida de uma grandeza física é sempre aproximada e
esta limitação reflete-se no número de algarismos que
usamos para representar as medidas.
n Ou seja, só utilizamos os algarismos que temos certeza de
estarem corretos, admitindo-se apenas o uso de um
algarismo duvidoso.
3,24 cm
n Para a medida acima estamos afirmando que os algarismos
3 e 2 são corretos e que o algarismo 4 é duvidoso (não
temos certeza sobre ele).
algarismos corretos algarismo duvidoso
Grandezas Físicas, Medidas e Erros
Algarismos Significativos (AS)
Algumas observações importantes:
n Não é algarismo significativo o zero à esquerda do primeiro
algarismo significativo diferente de zero. Assim, tanto L=32,5 cm
como L=0,325 m representam a mesma medida e tem 3
algarismos significativos.
Outros exemplos:
5=0,5x10 = 0,05x102 = 0,005x103 (1 AS )
26= 2,6x10 = 0,26x102 = 0,026x103 (2 AS)
0,00034606 = 0,34606x10-3 = 3,4606x10-4 (5 AS)
162,32x106 = 1623,2x105 = 16232x104 (5 AS)
n Zero à direita de algarismo significativo também é algarismo
significativo. Portanto, L=32,5 cm e L=32,50 cm são diferentes: o
primeiro termo tem 3 AS enquanto o segunda tem 4 AS.
Grandezas Físicas, Medidas e Erros
Algarismos Significativos
n É significativo o zero situado entre algarismos significativos
Exemplo: L=3,25 m tem 3 AS enquanto que L=3,025 m tem 4 AS
n Ao lidarmos com medidas devemos sempre lembrar que 5 cm ≠ 5,0
cm ≠ 5,00 cm ≠ 5,000 cm, já que estas medidas tem 1 AS, 2 AS, 3
AS e 4AS, respectivamente. Em outras palavras, a precisão de cada
uma delas é diferente.
n Potência de dez: Toda quantidade pode ser expressa como um
número decimal, multiplicado por uma potência de dez.
Exemplo: Raio da Terra é da ordem de 6.370.000 metros
6,37 x 106 metros (3 AS)
Desta forma mostramos a limitada precisão de nosso conhecimento,
omitindo todos os algarismos sobre os quais não temos informação.
Estamos dizendo que estamos razoavelmente seguros sobre o
terceiro algarismo, mas não fazemos idéia do valor do quarto.
Grandezas Físicas, Medidas e Erros
Algarismos Significativos
nArredondamento: No arredondamento de um número utilizaremos a
seguinte regra: quando o último algarismo significativo for menor ou
igual a 5 este é abandonado; quando o último algarismo significativo for
maior que 5, somamos 1 unidade ao algarismo anterior.
Exemplos: Arredondamento com duas casas decimais:
8,234 cm ® 8,23 cm; 8,235 cm ® 8,23 cm; 8,238 cm ® 8,24 cm
nQuando as medidas e seus respectivos desvios são dados sem
nenhum critério, arredondamos o desvio para um único algarismo
significativo e as medidas devem acompanhar de modo a escrever os
resultados corretamente em termos de algarismos significativos
Exemplos: Arredondamento do desvio e da medida:
(32,75 ± 0,25) = (32,8 ± 0,3) ; (72,19 ± 2,3) = (72 ± 2) 
(4,189 ± 0,0219) = (4,19 ± 0,02) ; (12314 ± 276) = (123 ± 3) x 102
(82372 ± 28) = (8237 ± 3) x 10
Grandezas Físicas, Medidas e Erros
Operações com algarismos significativos
Soma e subtração:
nPrimeiro devemos reduzir todas as parcelas á mesma unidade.
Após realizar a soma, o resultado deve apresentar apenas um
algarismo duvidoso, observando a mesma quantidade de casas
decimais da parcela com o menor número de casas decimais.
Exemplo:
2,653 m + 53,8 cm +375 cm + 3,782 m = 2,653 m + 0,538 m + 
3,75 m +3,782 m = 10,723 = 10,72 m. 
3,765 cm + 2,8 cm + 3,21 cm = 9,775 cm = 9,8 cm.
133,35 cm - 46,7 cm = 86,65 cm = 86,6 cm.
Note que as contas são feitas mantendo todos os algarismos 
significativos e os arredondamentos são realizados no resultado da 
operação
Grandezas Físicas, Medidas e Erros
Operações com Algarismos Significativos
Mutiplicação e divisão:
nA regra é dar ao resultado da operação o mesmo
número de algarismos significativos do fator que tiver
o menor número de algarismos significativos.
Exemplos:
32,74 cm x 25,2 cm = 825,048 cm2 = 825 cm2.
32,74 cm2 x 3,8 cm = 124,412 cm3 = 1,2 x 102 cm3.
37,32 m/ 7,45 s = 5,00940 m/s = 5,01 m/s. 
Grandezas Físicas, Medidas e Erros
Operações com algarismos significativos
Medidas com desvio:
nPara um conjunto de medidas do comprimento de uma barra L
obteve-se os seguintes resultados para o valor médio e o desvio
respectivamente em centímetro:
L = 82,7390cm ; ΔL = 0,538cm
nComo o erro está nos décimos de 0,5 cm, não faz sentido os
algarismos correspondentes aos centésimos e milésimos. Logo, o erro
estimado deve conter apenas o seu algarismo mais significativo.
nOs algarismos 8 e 2 do valor médio são exatos, porém o algarismo 7
já é duvidoso porque o erro estimado afeta a casa que lhe corresponde.
Os algarismos não significativos são utilizados apenas para efetuar
arredondamento ou são desprezados O modo correto de escrever o
resultado final desta medida será então:
L = (82,7 ± 0, 5) cm
Grandezas Físicas, Medidas e Erros
Operações com algarismos significativos:
Soma e Subtração com Propagação dos Desvios
nNa soma ou na subtração os desvios sempre de somam.
ΔL = ΔL1+ ΔL2 + ΔL3 +.... + ΔLN
nConsiderando as medidas L1 = L1 ± ΔL1 e L2 = L2 ± ΔL2. 
Exemplo: L = L1 + L2
L = (L1 ± ΔL1) + (L2 ± ΔL2) = (L1 + L2 ) ± (ΔL1 + ΔL2 )
L = (L1 + L2 ) ± ΔL
Exemplo: L = L1 - L2
L = (L1 ± ΔL1) - (L2 ± ΔL2) = (L1 - L2 ) ± (ΔL1 + ΔL2 )
L = (L1 - L2 ) ± ΔL
Logo, na soma ou na subtração os desvios sempre se somam e segue 
a regra observando o menor número de casas decimais. 
Grandezas Físicas, Medidas e Erros
Operações com algarismos significativos:
Soma e Subtração com Propagação dos Desvios
Exemplo:
nEfetuar a seguinte operação L = L1 - L2 :
L1 = (231,03 ± 0,02) m e L2 = (12,8 ± 0,5) m
L = L1 - L2 = (231,03 ± 0,02) – (12,8 ± 0,5) 
L = (231,3 – 12,8) ± (0,02 + 0,5)
L = 218,23 ± 0,52
nObservando o menor número de casas decimais e
realizando o arredondamento correto obtém-se:
L = (218,2 ± 0,5) m
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Operações com algarismos significativos:
Multiplicação e Divisão com Propagação dos Desvios
nNa multiplicação e divisão são os desvios relativas que se
somam de modo queΔL/L = ΔL1/L1 + ΔL2/L2 + ..... + ΔLN/LN ,
nConsiderando as medidas L1 = L1 ± ΔL1 e L2 = L2 ± ΔL2.
nFazendo a multiplicação L = L1 . L2 obtém-se:
L = (L1 ± ΔL1 ). (L2 ± ΔL2 ) = L1. L2 ± L2 ΔL1 ± L1ΔL2 + ΔL1ΔL2
nDesprezando o produto ΔL1ΔL2 (que é um número muito
pequeno) teremos:
L = L1. L2 ± L1. L2 ( ΔL1/L1 + ΔL2/L2)
L = L1. L2 ± L1. L2 (ΔL/L)
Grandezas Físicas, Medidas e Erros
Operações com algarismos significativos:
Multiplicação e Divisão com Propagação dos Desvios
nConsiderando as medidas L1 = L1 ± ΔL1 e L2 = L2 ± ΔL2.
nFazendo a divisão L = L1 / L2 obtém-se:
L = (L1 ± ΔL1 )/(L2 ± ΔL2 ) = L1 (1 ± ΔL1/ L1 )/ L2 (1 ± ΔL2/ L2 ) =
L = L1/ L2 [(1 ± ΔL1/ L1 ) . (1 ± ΔL2/ L2 )-1]
L = L1/ L2 [(1 ± ΔL1/ L1 ) . (1 ± (-1)ΔL2/ L2 )] 
L = L1/ L2 [1 ± (ΔL1/ L1 +ΔL2/ L2 + ΔL1/L1 . ΔL2/ L2)] .
nDesprezando o produto ΔL1/L1.ΔL2/L2 no termo acima (muito
pequeno) obtém-se:
L = L1/ L2 ± L1/ L2 (ΔL1/ L1 +ΔL2/ L2)
Portanto na multiplicação ou divisão os desvios relativos 
se somam e segue a regra observando o menor número de 
algarismo significativo.
Grandezas Físicas, Medidas e Erros
Operações com algarismos significativos:
Multiplicação e Divisão com Propagação dos Desvios
Exemplo: Efetuar a seguinte operação L = L1 / L2
L1 = (2,14 ± 0,03) kg e L2 = (1,4 ± 0,1) m3
L = L1 / L2 = L1 / L2 ± L1 / L2 ( ΔL1/L1 + ΔL2/L2)
L = [(2,14 ± 0,03) kg/(1,4 ± 0,1) m3] 
L = 2,14/1,4 ±2,14/1,4 (0,03/2,14 + 0,1/1,4) 
L = 1,52857 ± 0,130612 kg/m3
Observando o menor número de algarismo significativo e 
realizando o arredondamento correto,
L = (1,5 ± 0,1) kg/m3
Grandezas Físicas, Medidas e Erros
REFERÊNCIAS
1 - Fundamentos de Física – 1, Halliday – Resnick, (Editora
Livros Técnicos e Científicos)
2 - Física para Cientistas e Engenheiros, Vol I, Paul A.
Tipler, (Editora Guanabara Koogan S.A)
3 - Apostilha de teoria de erros: UFPE, UFPB, USP
4 - http://pt.wikipedia.org/wiki/Método_científico
5 - http://educar.sc.usp.br/fisica/erro.html
Grandezas Físicas, Medidas e Erros
Como resolver problemas de Física
n1ª ETAPA: LER O PROBLEMA: É preciso saber ler, quer dizer, ser capaz de imaginar a cena
que o enunciado descreve. Nem sempre entendemos tudo o que está escrito, mas podemos
estar atentos aos detalhes para "visualizar" corretamente o que se está dizendo.
n2ª ETAPA: FAZER UM ESQUEMA: Fazer um esquema ou desenho simples da situação
ajuda a visualizá-la e a resolvê-la. Procure indicar em seus esquemas informações básicas
como o sentido e os valores envolvidos. Preste atenção que uma frase como "dar ré" indica o
sentido do movimento do objeto em questão.
n3ª ETAPA: MONTE AS EQUAÇÕES E FAÇA AS CONTAS: Uma equação só faz sentido se
você sabe o que ela significa. Sabemos que é possível resolver a nossa questão porque há a
conservação da quantidade movimento total de um sistema. Quer dizer, a soma das
quantidades de movimento antes e depois do choque deverá ter o mesmo valor. Com isso,
você consegue montar as contas.
n4ª ETAPA: INTERPRETE OS VALORES. (A ETAPA MAIS IMPORTANTE!) Muito bem, você
achou um número! Mas ainda não resolveu o problema. Não queremos saber somente o
número, mas também o que aconteceu. O número deve nos dizer isso. Olhando para ele você
deve ser capaz de chegar a alguma conclusão. DESCONFIE DOS NÚMEROS!!! Existe uma
coisa que se chama erro nas contas, que pode nos levar a resultados errados. Pense bem no
que o número está lhe dizendo e avalie se é uma coisa razoável. Se achar que há um erro,
confira suas contas e o seu raciocínio. Se o número insistir em lhe dizer coisas absurdas,
considere a possibilidade de que aquilo que você esperava não ser realmente o que acontece
na prática.
Grandezas Físicas, Medidas e Erros
Exercícios: Introdução a Física
1- Explique com as suas palavras o que são erros grosseiros, erros
sistemáticos e erros acidentais (ou aleatórios).
2- Indicaremos a seguir algumas grandezas físicas mensuráveis.
Verifique quais que poderão estar afetadas de erro ou desvio:
(Assinale com um ´ a alternativa correta)
n medida da soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer;
-  erro -  desvio
n medida da temperatura do corpo humano; -  erro -  desvio
n medida de um determinado intervalo de tempo; -  erro -  desvio
n medida da temperatura de fusão do gelo sob pressão normal;
-  erro -  desvio
n medida do diâmetro de uma esfera -  erro -  desvio
3- Verifique quantos algarismos significativos apresentam os números
abaixo:
a) 0,003055 ; b) 1,0003436 ; c) 0,0069000 ; d) 2,3269x106
Grandezas Físicas, Medidas e Erros
Exercícios: Introdução a Física
4- Aproxime os números do problema anterior para 3 algarismos
significativos.
5- Efetue as seguintes operações, levando em conta os algarismos
significativos:
a) 2,3462cm + 1,4mm + 0,05m ; 
b) 0,052cm /1,112s ; 
c) 10,56m - 36cm
6- Efetue as seguintes operações, levando em conta os algarismos
significativos:
a) (2,5 ± 0,6)cm + (7,06 ± 0,07)cm 
b) (0,42 ± 0,04)g/(0,7 ± 0,3)cm
c) (0,7381 ± 0,0004)cm x (1,82 ± 0,07)cm
d) (4,450 ± 0,003)m - (0,456 ± 0,006)m
Grandezas Físicas, Medidas e Erros
Exercícios: Introdução a Física
7- Imaginem uma folha de papel A4 cujas medidas da massa,
comprimento e largura foram realizadas 8 vezes e os resultados
estão colocados na tabela abaixo. Usando estes dados e levando
em conta os algarismos significativos, determine:
a) os valores médios da massa, comprimento e largura da folha.
b) os desvios das medidas da massa, comprimento e largura da folha.
c) o desvio relativo das medidas da massa, comprimento e largura da
folha.
massa (g) comprimento (cm) largura (cm)
4,51 4,43
4,46 4,56
4,41 4,61
4,56 4,61
30,2 29,8
29,8 30,1
29,9 29,9
30,1 29,9
21,0 21,1
21,2 20,9
20,8 20,8
21,1 20,7
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Exercícios: Introdução a Física
8- Utilizando os resultados do exercício 7 e a teoria de
propagação de erros, determine:
a) a área da folha e sua incerteza
b) densidade superficial da folha e sua incerteza (densidade =
massa/área).
9- Compare o valor obtido no item 8b com a densidade
superficial do papel adotada como mais provável e calcule o
desvio percentual. (densidade = 75 g/m2)