Lista de Aplicações de Funções

Prévia do material em texto

Lista de Aplicações de Funções 
1) Uma pesquisa de mercado mostra que os consumidores comprarão x mil unidades de uma certa marca de 
cafeteira se o preço unitário for p(x) = -0,27 x + 51 reais. O custo para produzir as x mil unidades é C(x) = 2,23x² 
+ 3,5x + 85 mil reais. 
 
a) Determine as funções receita e lucro, R(x) e L(x), para este processo de produção 
b) Para que valores de x a produção das cafeteiras é lucrativa? 
 
2) O custo total em reais para fabricar n unidades de um certo produto é dado pela função C(n) = n³ + 500n + 
200. 
 
a) Determine o custo de fabricação de 10 unidades do produto. 
b) Determine o custo de fabricação da 10ª unidade do produto. 
 
3) Os ambientalistas estimam que em uma certa cidade a concentração média diária de monóxido de carbono 
no ar será c(p) = 0,5p + 1 parte por milhão quando a cidade tiver uma população de p mil habitantes. Um 
estudo demográfico indica que a população da cidade dentro de t ano será p(t) = 10 + 0,1t² mil habitantes. 
 
a) Determine a concentração média de monóxido de carbono no ar em função do tempo. 
b) Daqui a quanto tempo a concentração de monóxido de carbono atingirá o valor de 6,8 partes por milhão? 
 
4) Um fabricante determina que, quando x centenas de unidades de um certo produto são produzidas, podem 
ser vendidas por um preço unitário dado pela função demanda p(x) = 60 – x reais. Para que nível de produção 
a receita é máxima? Qual é esta receita máxima? 
 
5) O custo total de um fabricante consiste em um custo fixo de R$200,00 e um custo variável de R$50,00 por 
unidade produzida. Expresse o custo total em função do número de unidades produzidas e desenhe o gráfico 
associado. 
 
6) Desde o início do ano, o preço de uma lata de refrigerante nos supermercados vem subindo a uma taxa 
constante de 2 centavos por mês. No dia primeiro de novembro, o preço era R$1,6. Expresse o preço da lata 
de refrigerante em função do tempo e determine quanto custava a lata de refrigerante no início do ano. 
 
7) A tabela mostra o índice de desemprego nos Estados Unidos no período de 1991-2000. Faça um gráfico com 
tempo (medido em anos a partir de 1991) no eixo x e o índice de desemprego no eixo y. Os pontos seguem 
uma tendência clara? Com base nos dados disponíveis, qual você calcula que tenha sido o índice de 
desemprego no ano de 2005? 
Anos Número de anos 
após 1991 
Índice de 
Desemprego(%) 
1991 0 6,8 
1992 1 7,5 
1993 2 6,9 
1994 3 6,1 
1995 4 5,6 
1996 5 5,4 
1997 6 4,9 
1998 7 4,5 
1999 8 4,2 
2000 9 4,0 
 
 
 
 
8) O departamento de estradas de rodagem está planejando construir uma área de piquenique para 
motoristas à beira de uma rodovia movimentada. O terreno deve ser retangular, com uma área de 5.000 
metros quadrados, e deve ser cercado nos três lados que não dão para a rodovia. Expresse o comprimento da 
cerca, em metros, em função do comprimento do lado que dá para a rodovia. Faça o gráfico da função e o 
analise. 
 
9) Uma lata cilíndrica deve ter uma capacidade de 24π centímetros cúbicos. O preço do material usado para o 
fundo e a tampa da lata é 3 centavos por centímetro quadrado e o preço do material usado para o lado da lata 
é 2 centavos por centímetro quadrado. Expresse o custo do material necessário para construir uma lata em 
função do raio. Faça o gráfico da função encontrada e faça sua análise. 
 
10) Durante uma seca, os moradores do condado de Marin, na Califórnia, tiveram que enfrentar uma séria 
escassez de água. Para combater o desperdício, as autoridades aumentaram drasticamente as tarifas. O preço 
para um família de quatro pessoas passou a ser de 1,22 dólares por 100 pés cúbicos de água para os primeiros 
1.200 pés cúbicos, 10 dólares por 100 pés cúbicos para os 1.200 pés cúbicos seguintes e 50 dólares por 100 
pés cúbicos para consumos maiores. Expresse o valor da conta de água para uma família de quatro pessoas em 
função do consumo de água em centenas de pés cúbicos. Faça o gráfico da função e responda para que 
aspecto da situação se reflete na inclinação crescente dos segmentos de reta? 
 
11) Um fabricante produz papel para impressora a um custo de R$2,00 a resma. O papel vem sendo vendido a 
R$5,00 a resma; por este preço são vendidos 4.000 por mês. O fabricante pretende aumentar o preço do papel 
e calcula que para cada R$1,00 de aumento do preço, menos 400 resmas serão vendidas por mês. 
a) Expresse o lucro mensal do fabricante em função do preço de venda das resmas. 
b) Faça um gráfico da função que expresse o lucro mensal. Para que preço o lucro é máximo e qual é esse 
lucro? 
 
12) Uma pesquisa de mercado mostra que os fabricantes oferecerão x unidades de um certo produto ao 
mercado se o preço unitário for p=S(x) reais e que o mesmo número de unidades será demandado (comprado) 
pelos consumidores se o preço unitário for p = D(x), onde as funções oferta e demanda são dadas por, S(x) = x² 
+ 14 e D(x) = 174 – 6x, respectivamente. 
a) Para que nível de produção x e preço unitário p o equilíbrio é atingido? 
b) Faça o gráfico e construa as curvas de oferta e de demanda, p=S(x) e p=D(x) e discuta a forma dessas curvas. 
 
13) Um fabricante pretende vender um certo produto por R$110,00 a unidade. O custo total é constituído por 
um custo fixo de R$7.500,00 e um custo de produção de R$60,00 por unidade. 
a) Quantas unidades o fabricante deve vender para não ter prejuízo? 
b) Qual é o lucro ou prejuízo do fabricante quando 100 unidades são vendidas? 
c) Quantas unidades o fabricante deve vender para ter um lucro de R$1.250,00? 
 
14) Uma certa locadora de automóveis cobra R$25,00 mais R$0,60 por quilômetro. Outra locadora cobra 
R$30,00 mais R$50,00 por quilômetro. Qual das duas ofertas é a melhor? 
 
15) Populações de microorganismos, em geral, apresentam uma fase de crescimento exponencial. Suponha 
uma cultura de bactérias que na fase inicial do crescimento exponencial tem 4.000 microorganismos. Sabe-se 
que durante esta fase a população dobra a cada sete horas. Considere p(x) a população e x o tempo decorrido 
em horas após o início da fase exponencial. 
a) Determine a expressão da função crescimento populacional p(x). 
b) Represente graficamente a função p(x) obtida acima. 
c) Qual é a população 35 horas após o início da fase de crescimento exponencial? 
 
 
 
 
16) Suponha que o risco de um equipamento apresentar defeito aumente exponencialmente com o tempo de uso. Para 
um determinado dispositivo o risco de apresentar defeito dobra a cada quinze meses de uso e, quando novo, o risco é de 
4% (risco inicial). Se r(x) é o risco em porcentagem e x é o tempo de uso, em meses, faça o que se pede: 
 
a) Determine a expressão da função risco r(x). 
b) Represente graficamente a função risco r(x) obtida acima. 
c) Qual é o risco desse dispositivo apresentar defeito após cinco anos de uso? 
 
17) “As bactérias são os microorganismos com maior velocidade de crescimento, podendo certas espécies apresentar um 
tempo de geração de 15 minutos, o que quer dizer que cada célula originará duas outras células num tempo de 15 
minutos”[Altanir J. Gava, em: O princípio de tecnologia de alimentos]. Suponha uma cultura dessas bactérias em fase 
logarítmica de crescimento (fase e m que a velocidade de crescimento é máxima). Suponha ainda que a população inicial 
seja de 1.000 bactérias. 
 
a) Escreva a função que calcula a população com tempo de geração de 15 minutos. 
b) Qual será a população nessa cultura daqui a duas horas? 
c) Represente graficamente a função acima. 
 
18) A partir de uma pesquisa, obteve-se o gráfico abaixo que indica o crescimento de uma cultura de bactérias 
ao longo de seis meses. 
 
Com quantas bactérias se iniciou a pesquisa? 
Após 6 meses, qual a quantidade total de bactérias? 
Admitindo a lei de formação da função que representa essa situação como f(x) = k.ax, determine os valores de 
a e de k. 
Qual o númerode bactérias após 3 meses? 
 
19) Observe o gráfico da função y = ax que representa a radioatividade de y em determinado minério em 
função to tempo x: 
 
a) A radioatividade está aumentando ou diminuindo? Por quê? 
b) Esse minério deixará de ser radioativo em algum momento? Justifique. 
c) Quais são os possíveis valores de a? 
 
 
20) Uma pessoa aplicou a importância de R$ 500,00 numa instituição bancária que paga juros mensais de 
3,5%, no regime de juros compostos. Quanto tempo após a aplicação o montante será de R$ 3 500,00? 
 
21) Em uma determinada cidade, a taxa de crescimento populacional é de 3% ao ano, aproximadamente. Em 
quantos anos a população desta cidade irá dobrar, se a taxa de crescimento continuar a mesma? 
22) Determine o tempo que leva para que 1000 g de certa substância radioativa, que se desintegra a taxa de 
2% ao ano, se reduza a 200 g. Utilize a seguinte expressão: 
Q = Q0 * e–r, em que Q é a massa da substância, r é a taxa e t é o tempo em anos. 
 
22) Um corpo de massa m está preso à extremidade de uma mola, conforme o desenho a seguir,executando 
um movimento periódico em razão do peso do corpo e da reação que a mola produz. Você aprenderá que esse 
movimento se chama Movimento Harmônico Simples, cujo gráfico da altura h da partícula em relação ao solo 
em função do tempo t pode ser dado por ( ) ( )ctbsenadtf ++= .. onde 





=
=
=
defasagemc
ondadaamplitudea
médiaalturad
 
 
Pergunta-se: 
Qual é a altura média da partícula em relação ao solo? 
Qual é a amplitude do movimento da onda? 
Qual é o período da oscilação da partícula? 
Qual é a altura inicial da partícula? 
Em que instante a partícula atingiu sua menor altura pela primeira vez e qual foi essa altura? 
Qual e a equação do movimento ? 
Qual é a defasagem da onda, 
Qual é o valor de b, (t=1)? 
 
23) A equação ( ) 





++=
3
.
6
.424 pipi tsenty retrata a temperatura média mensal das águas superficiais do mar 
tomadas a 300 de latitude sul (próximas a Porto Alegre), durante os meses do ano, onde y é a temperatura em 
graus Celsius e t é o tempo em meses. 
Veja o gráfico: 
 
 
 
Pergunta-se: 
Qual é a temperatura média anual do mar a essa latitude? 
Qual é a temperatura do mês de março (t=3) ? 
De quanto foi ampliada a curva-padrão? 
Quais foram as temperaturas máximas e mínimas 
Em que mês do ano a temperatura foi mínima e em qual foi máxima? 
 
24) Nossa respiração normal é periódica e involuntária. O ritmo (período) da respiração é controlado pelo 
bulbo, localizado na parte inferior do cérebro. O controle desse ritmo pelo bulbo deve-se principalmente à 
percepção da concentração de gás carbônico CO2 no sangue. Para um adulto normal respirando sem esforço, o 
volume pulmonar V, em litros, para um ciclo inspiração/expiração em função do tempo t, em segundos, pode 
ser descrito simplificadamente pelo gráfico: 
 
Pergunta-se: 
Qual é o volume médio do pulmão desse adulto? 
Qual é o volume de ar inspirado (amplitude)? 
Quão é o período de um ciclo (inspiração/expiração) ? 
m 1 minuto, quantas vezes respiramos (ciclo inspiração/expiração)? 
Qual seria a equação, utilizando a função co-seno, que representa essa situação? 
 
25) No adestramento de cavalos, um adestrador em O faz o animal andar em círculos segurando uma corda 
tracionada. Suponha que, durante o movimento do animal, a corda seja mantida com uma tração constante T. 
Essa força de tração pode ser decomposta nas componentes Fx e Fy (conforme desenho abaixo), e o quociente 
q entre essas duas componentes é expresso pela função ( ) 





+=
2
pi
xtgxq , em que x é o arco, em radianos, 
formado pela posição do animal C em relação ao ponto inicial A. 
 
Para quais valores a função não é definida? Qual é o seu domínio? 
Qual é a fórmula do quociente entre as componentes? 
Qual o valor Fy, sabendo que Fx= 6
.73100 pi=xe ? 
Para quais valores os módulos de Fx e Fy são iguais?