Prova de Cálculo - UFIta 2014

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Universidade Federal de Itajuba´
3a Prova de MAT010 - Prof. Lucas
7 de julho de 2014
Valor total: 100 pontos
Leia atentamente os enunciados. As respostas devem ser justificadas.
Escolha apenas QUATRO QUESTO˜ES para resolver. Indique sua escolha
na folha de respostas!
Questa˜o 1. Calcule as seguintes integrais pela fo´rmula de integrac¸a˜o por partes (25
pontos)
(a)
∫
x2e
x
3 dx (b)
∫
x5 ln(x)dx (c)
∫ √
x ln(x
1
2 )dx
Questa˜o 2. Calcule as seguintes integrais por substituic¸a˜o de varia´veis (25 pontos)
(a)
∫
xe5x
2
dx (b)
∫
e2x
ex + 16
dx (c)
∫
2t√
4t2 + 5
dt
Questa˜o 3. Calcule as seguintes integrais definidas (25 pontos)
(a)
∫ 1
0
x2
x2 + 1
dx (b)
∫ 3
−1
√
x+ 2 +
3√
x+ 5
dx (c)
∫ ln 5
0
pi(ex)6 +
4
ex
dx
Questa˜o 4. Calcule o comprimento de arco das curvas no intervalo indicado (25 pon-
tos).
(a)
{
x(t) = et cos(t)
y(t) = et sen(t)
1 ≤ t ≤ 12 (b) y = 1
2
(ex + e−x), 0 ≤ x ≤ 1
Questa˜o 5. Determine o volume do so´lido de revoluc¸a˜o gerado pela rotac¸a˜o, em torno
do eixo x, da regia˜o delimitada pelas curvas dadas. Esboce a regia˜o de interesse no plano
xy. (25 pontos):
(a)
{
y = x2
y = x3
(b)
{
y2 = 16x
y = 2x
d
dx
tan−1(x) =
1
x2 + 1∫
udv = uv −
∫
vdu ou
∫
u(x)v′(x)dx = u(x)v(x)−
∫
v(x)u′(x)dx
s =
∫ x1
x0
√
1 + f ′(x)2dx ou s =
∫ t1
t0
√
x′(t)2 + y′(t)2dt
V olume = pi
∫ x1
x0
f(x)2dx