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Engenharia de Produção/Ambiental 
UNICEUMA – UNIVERSIDADE CEUMA 
 CURSO: Sistemas de Informação 
 Carga Horária: 60h 
 Profª. Msc. Elda Sena 
1 
Cálculo I 
Unidade IV – Derivadas 
“Não se consegue nada sem o devido esforço” 
3 
• Considere uma função f(x) e sejam x0 e x1 dois pontos 
de seu domínio 
• Sejam f(x0) e f(x1) as correspondente imagens 
 
x0 
Δx 
Δy 
x1 
f(x0) 
f(x1) 
● 
● 
Derivadas 
4 
• Chamamos de taxa média de variação de f, 
para x variando de x0 até x1, ao quociente 
 
01
01 )()(
xx
xfxf
x
f





Derivadas 
5 
• Seja a função f(x)=x2 , o ponto inicial de 
abscissa x0=1 e a variação Δx=2 (isto é, x varia 
de 1 a 3). A taxa média de variação de f para 
esses valores é: 
 
 
 
• Isso significa, que se x variar 2 unidades (a 
partir de x0 =1), a variação de f será 4 vezes 
maior(Δf=4.ΔxΔf=8). 
 
4
2
13
13
)1()3( 22







 ff
x
f
Exemplo1 
6 
 
1 3 
1 
9 
● 
● 
Gráfico da função f(x)=x2 
Exemplo1 
7 
• Seja f(x)=x2 e calculemos a taxa média de 
variação a partir de um ponto genérico de 
abscissa x0=x e um acréscimo também genérico 
Δx. 
 
Taxa Média de Variação=Derivada da Função 
xx
x
xxx
x
xxx
x
xfxxf
x
f












2
)(2)()()( 222
Exemplo2 
8 
• Assim, se quisermos a taxa média de variação 
a partir do ponto x=5 e com uma variação 
Δx=3, o resultado será 2.5+3=13. 
Exemplo2 
9 
• Suponhamos que um objeto seja abandonado a 
2.000 m de altura e que a função f(t)=2.000-10t2 
altura do objeto em relação ao solo, t segundos após 
ele ser abandonado. Temos: 
• f(0)=2.000 e f(5)=1.750 
 
 
• Δf1=-250. Logo, nos 5 primeiros segundos, o objeto 
caiu 250 m. 
• Δf2=f(10) - f(5) =1.000 – 1.750=-750. Nos 5 segundos 
seguintes o objeto caiu 750m. 
Exemplo3 )()( 01 xfxff 
10 
• Para uma mesma variação de t (5 segundos), a 
variação de altura é diferente. 
• A taxa média de variação da função representa 
a velocidade média do objeto a cada intervalo 
de tempo considerado. 
• 1º intervalo: Velocidade média: 
 
• 2º intervalo: Velocidade média: 
sm
f
/50
5
250
5
1 



sm
f
/150
5
750
5
2 



Exemplo3 
11 
Velocidade Instantânea 
• Muitas vezes estamos interessados na velocidade de 
um objeto num determinado instante (velocidade 
instantânea) 
• No exemplo considerado, calculemos a velocidade 
instantânea para t=5 segundos. 
• Para isso consideremos a velocidade média (taxa 
média de variação) para amplitudes de variação de 
tempo cada vez menores. Consideraremos o 
intervalo [5; 5+Δt]: 
12 
Velocidade Instantânea 
t
t
tt
t
f
t
t
t
f
x
fxf
t
f
















10100
)(10100
])5(102000[])5(102000[
)5()5(
2
22
f(t)=2.000-10t2 para t=5 segundos x
xfxxf
x
f




 )()(
13 
Velocidade Instantânea 
• Calculemos a velocidade média para valores de 
Δt cada vez menores: 
 
Intervalo Δt Δf/Δt 
[5;10] 5 -150 
[5;8] 3 -130 
[5;6] 1 -110 
[5;5,5] 0,5 -105 
[5;5,1] 0,1 -101 
[5;5,01] 0,01 -100,1 
14 
Velocidade Instantânea 
• Notamos que a velocidade média está se 
aproximando de -100 m/s. A velocidade 
instantânea é o limite para o qual tende a 
velocidade média quando o intervalo de tempo 
tende a 0. Isto é, a velocidade instantânea no 
ponto t=5 e dada por: 
 
 
• Esse limite da taxa média de variação quando Δt 
tende a zero é chamado de derivada da função 
f(t) no ponto t=5. 
 
 
.100)10100(limlim
00




t
t
f
tt
15 
Conceito de Derivada 
• Derivada de uma Função num Ponto 
– Seja f(x) uma função e x0 se existir e for finito, limite 
dado por: 
 
 
– Ex.: Qual a derivada de f(x)=x2 no ponto x0=3? 
 
 
.
)()(
limlim)()()( 00
00
000
x
xfxxf
x
f
xfx
dx
dy
x
dx
df
xx 






.6)6(lim
)(6
lim)3(
3)3(
lim
)3()3(
lim)3(
0
2
0
22
00












x
x
xx
f
x
x
x
fxf
f
xx
xx
16 
Conceito de Derivada 
• Isso significa que um pequeno acréscimo Δx 
dado a x, a partir de x0=3, acarretará um 
correspondente acréscimo Δf que é 
aproximadamente 6 vezes maior que o 
acréscimo Δx. 
17 
Função Derivada 
• É a derivada calculada num ponto genérico x. 
• Exemplo: Qual a função derivada de f(x)=x2? 
 Temos, 
 
xxx
x
xxx
x
xxxxx
x
xxx
x
xfxxf
xf
xx
x
xx
2)2(lim
)2(
lim
)(.2
lim
)(
lim
)()(
lim)(
00
222
0
22
00
















18 
Função Derivada 
• Assim, se quisermos a derivada no ponto x0=5, 
calculamos f´(5)=2.5=10. 
• Obs.: para Δx pequeno. 
• Para x=5 e Δx= 0,1 calculando temos 
 com f(x)=x2 
Δf = f(5,1) - f(5) = (5,1)2 - 52 = 1,01 
 
 
 Portanto 
,)(
x
f
xf



1,10
1,0
01,1



x
f
.)5(
x
f
f



)()( xfxxff 
19 
Exercícios 
1. Determine a função derivada para os itens a seguir. 
exercício a) f(x)=x2, x0=4. 
 b) f(x)= 2x+3, x0=3. 
 c) f(x)=-3x, x0=1. 
 d) f(x)= x2-3x, x0=2. 
 e) f(x)= 1/x, x0=2. 
 f) f(x)= x2 – 3x + 4, x0=6. 
2. Para cada função f(x), determine a derivada f´(x0) no ponto 
x0 indicado: 
 
20 
Derivada das Principais Funções Elementares 
• Derivada da Função Constante 
 Se f(x)=c (função constante), então f´(x)=0, para todo x. 
 Ex.: Se f(x)=5 então f´(x)=0. 
• Derivada da Função Potência 
 Se f(x)=xn, então f´(x)= nxn-1. 
 Exs.: 
x
xxfxxxf
x
xxfx
x
xf
xxfxxf
2
1
)´()(
3
3)´(
1
)(
8)()(
2
1
2
1
2
1
4
43
3
78






21 
• Derivada da Função Logarítmica 
 Se f(x)=ln x, então f´(x)=1/x , x>0. 
Ex: f(x)=ln 3, então f’(x)=1/3 
• Derivada das funções seno e cosseno 
 Se f(x)= sen x, então f´(x)= cos x para todo x real. 
Ex: f(x)=sen(30), então f’(x)=cos(30) =
3
2
 
 Se f(x)= cos x, então f´(x)= -sen x para todo x real. 
Ex: f(x)=cos(30), então f’(x)=-sen(30) =-
1
2
 
Derivada das Principais Funções Elementares 
22 
Propriedades Operatórias 
• Se f(x)=k.g(x) então f´(x)=k.g´(x). 
• Se f(x)=u(x)+v(x) então f´(x)=u´(x)+v´(x). 
• Se f(x)=u(x)-v(x) então f´(x)=u´(x)-v´(x). 
• Se f(x)=u(x).v(x) então 
 f´(x)=u´(x).v(x)+u(x).v´(x) 
• Se f(x)=u(x)/v(x) então 
 
2)]([
)´().()().´(
)´(
xv
xvxuxvxu
xf


23 
Exercícios 
 
3
2
)()5ln10)()
52
)()7625)()
2
1
)())()
)12)(532()()10)()
ln.)())()
.)()10)()
25
23
32
25
25
xxflxxff
xx
xfkxxxxfe
x
x
xfjxxxfd
xxxxfixxfc
xxxfhxxfb
xsenxxfgxfa








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