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31/01/2019
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Professor: Fernando Braga
AULA 2
� Vamos considerar incialmente uma placa
horizontal, e vamos dividir essa placa em n
pequenos elementos. As coordenadas do
primeiro elemento são denominadas (x1,y1), as
do segundo elemento (x2,y2) e etc.
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� As forças de corpo exercidas pela terra (peso)
sobre os elementos da placa são denominadas
∆��, ∆��, ... , e ∆��, respectivamente.
� A resultante é por consequência uma única força
na mesma direção. O módulo P dessa força é
obtido pela adição dos módulos dos pesos
elementares.
Σ�	: 			� � ∆�� 
 ∆�� 
⋯
	∆��
� Para obter as coordenadas �̅ e �� do ponto G,
onde a resultante P deve ser aplicada,
escrevemos que os momentos de P em
relação aos eixos x e y são iguais à soma dos
momentos correspondentes dos pesos
elementares:
Σ��: 				 �̅	� � ��∆�� 
 ��∆�� 
⋯
	��∆��Σ��: 				��	� � ��∆�� 
 ��∆�� 
⋯
	��∆��
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� Se, agora, aumentarmos o número de
elementos em que a placa é dividida e
diminuirmos simultaneamente o tamanho de
cada elemento, teremos no limite, as
seguintes expressões:
P � ���
�
�
							 �̅	� � ��d�
�
�
								��	� � ��d�
�
�
		
� Essas equações definem o peso P e as
coordenadas �̅ e �� do baricentro G da placa
plana.
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� As mesmas equações poderiam ser deduzidas
para um arame situado no plano xy. Neste
caso o baricentro G geralmente não estará
sobre o arame.
� No caso de uma placa homogênea de espessura
uniforme, o módulo Δ� do peso de um elemento
de placa pode ser expresso como:	
� � ��	�
onde:
� – é o peso específico (por unidade de volume)
t – é a espessura da placa
Δ� – área do elemento
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� Analogamente, podemos exprimir o módulo
peso da placa inteira de forma semelhante.
Substituindo os valores de P e Δ� na equação
dos momentos e dividindo por �� ,
escrevemos:
Σ��: 				 �̅	� � ��∆�� 
 ��∆�� 
⋯
	��∆��
							Σ��: 				��	� � ��∆�� 
 ��∆�� 
⋯
	��∆��
� Aumentamos o número de elementos em que
a superfície A é dividida e diminuirmos,
simultaneamente, o tamanho de cada
elemento, obteremos, no limite.
�̅� � ��d�
�
�
								��� � ��d�
�
�
		
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� Os pontos de coordenadas �̅ e �� é conhecido
como centroide C da superfície A da placa.
Para uma placa homogênea o centróide
coincide com o baricentro.
� A integral ��d��� 	é conhecida como momento
de primeira ordem da superfície A em relação
ao eixo y e será representado por � .
Analogamente, a integral ��d��� define o
momento de primeira ordem da superfície A
em relação ao eixo x e é representada por �.
 �=��d��� e �=��d���
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� O momento estático pode ser expresso também
pelas coordenadas do centroide:
 �=�̅� e �=���
� O cálculo de momentos de primeira ordem é útil
na determinação de forças cortantes devidas a
carregamentos transversais, em Resistência dos
Materiais.
� Dimensão do momento estático é (mm3; m3 ou
qualquer dimensão ao cubo).
� Considerações sobre simetria de superfícies
Uma superfície é considerada
simétrica em relação a um
eixo BB’ se a todo ponto P da
superfície corresponder um
ponto P’ da mesma
superfície, de tal modo que o
segmento PP’ seja
perpendicular a BB’ e dividido
em duas partes iguais por
aquele eixo.
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� Considerações sobre simetria de superfícies
Uma superfície é dita simétrica
em relação a um centro O se
cada elemento de superfície dA
com coordenadas x e y
corresponder um elemento de
superfície dA’ com
coordenadas –x e –y. Isto
resulta que os momentos
estáticos de primeira ordem em
relação a x e y, são iguais a
zero.
� Propriedades dos Centróides
Quando uma superfície
possuir um eixo de simetria
BB’ centroide da mesma deve
estar situado nesse eixo, e o
momento de primeira ordem
em relação ao eixo BB’ é
nulo.
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� Propriedades dos Centróides
Quando uma superfície ou
curva possui dois eixos de
simetria, seu centroide está
situado na interseção desses
eixos. Essa propriedade
permite determinar
imediatamente o centroide
de superfícies tais como
círculos, elipses, quadrados
e outra figuras simétricas.
� Os centroides de superfícies e curvas com
formas comuns já se encontram tabelados, e
são mostrados abaixo:
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� Continuação da tabela:
� Continuação da tabela:
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� Placas e Arames compostos
Em muitos casos, uma placa pode ser dividida
em retângulos, triângulos ou outras das
formas usuais mostradas.
As coordenadas do baricentro podem
determinadas da seguinte forma:
� Esquema da Placa Composta
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� A abscissa "� de seu baricentro pode ser
determinada:
��: 				"�	 �� 
 �� 
⋯
 �� � ���� 
 ���� 
⋯
	����	
� A ordenada Y$ de seu baricentro pode ser
determinada:
��: 				%�	 �� 
 �� 
⋯
 �� � ���� 
 ���� 
⋯
	����
� As coordenadas do centroide podem ser
determinadas da seguinte forma:
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� A abscissa "� de seu baricentro pode ser
determinada:
Σ �: 				"�	 �� 
 �� 
⋯
 �� � ���� 
 ���� 
⋯
	����	
� A ordenada Y$ de seu baricentro pode ser
determinada:
Σ �: 				%�	 �� 
 �� 
⋯
 �� � ���� 
 ���� 
⋯
	����
� Exercício 1:
Determine para a superfície plana da figura
abaixo os momentos estáticos com relação aos
eixos x e y e a posição do centróide.
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� Exercício 2:
Determine a posição do centróide:
� Determinação do Centroide por Integração
O centroide de uma superfície limitada por
curvas analíticas é determinado geralmente
pelo cálculo de integrais.
�̅� � ��d�
�
�
								��� � ��d�
�
�
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� Exemplo de Centroide por Integração
Determinar, por integração direta, o centroide
da superfície sob a parábola. Utilize k=(b/a2)
Resposta:
x=3a/4
y=3b/10
� Neste caso a única dificuldade é escolher o
elemento de integração.
Elemento na Vertical Elemento na Horizontal