Resistência dos Materiais 2

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31/01/2019
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Professor: Fernando Braga
AULA 4
� Torque é um momento que tende a torcer um
elemento em torno de seu eixo longitudinal.
� O efeito do torque é uma preocupação primária
em projetos de eixos ou eixos de acionamento
utilizados em veículos e estruturas diversas.
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Hipóteses:
� Material Linear Elástico
� Uma seção inicialmente plana, perpendicular ao eixo da
seção circular, permanece plana após a aplicação dos
torques.
� As linhas radiais nessas seções continuam retas durante
a deformação.
� Por essas observações, podemos considerar que, se o
ângulo de rotação for pequeno, o comprimento e o raio
do eixo permanecerão inalterados.
� Se o eixo estiver preso em uma de suas
extremidades for aplicado um torque à sua outra
extremidade, o plano sombreado na figura abaixo
será distorcido até uma forma oblíqua.
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� Ao analisarmos a figura podemos perceber que
ângulo ���� que é denominado ângulo de torção,
depende da posição x e variará ao longo do eixo.
� Para entender como essa distorção deforma o
material. Vamos isolar um pequeno elemento
localizado a distância radial ���ô� da linha central
do eixo.
Eixo de raio CElemento em analise
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� Devido a deformação observada as faces AB e AD
do elemento sofrerão uma rotação de ���� e
� � � ∆�, respectivamente.
� A diferença entre estas rotações, ∆�, mostra que o
elemento está submetido a uma deformação de
cisalhamento. Está deformação é calculada da
seguinte forma.
� O ângulo, 
, é indicado no elemento e pode ser 
calculado, da seguinte forma: 
 �
�
��
�
���
��
Onde:
��� – comprimento do arco
∆� �� e ∆�						��,
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� Visto que dx e d� são os mesmos para todos os
elementos localizados em pontos da seção
transversal em x, então d�/dx é constante nesta
seção.
� Isto indica que o valor da deformação por
cisalhamento para qualquer um desses elementos
varia somente com sua distância radial � em
relação à linha central do eixo.
� Em outras palavras, a deformação por cisalhamento
no interior do eixo varia linearmente ao longo de
qualquer linha radial, de zero na linha central do
eixo até um valor máximo seu contorno externo.
- Lei de Hooke para Cisalhamento
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� Substituindo a equação anterior na expressão da
deformação de cisalhamento no interior de um
eixo, temos que:
Distribuição de tensões varia com a posição
radial, indo de mínima no centro para
máxima na extremidade
� Sabemos que cada elemento dA, localizado em �,
está sujeito a uma força dF, sendo que:
� O torque produzido por esta força pode ser
estimado por:
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� Integrando a equação do torque temos:
� Então temos que a tensão de cisalhamento máxima, é dada
por:
� Esta fórmula só válida para:
� Eixo circular 
� Material for homogêneo e linear elástico, visto que
� Onde:
����= a tensão de cisalhamento máxima no eixo, que ocorre na 
superfície externa;
T = torque interno resultante que age na seção transversal;
J = momento polar de inércia da área da seção
transversal;
c = raio externo do eixo
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� Para eixos maciços o momento polar de inércia é
dado por:
� Para eixos tubulares o momento polar de inércia é
dado por:
Exercício 1
A distribuição de tensão em um eixo maciço foi
representada em gráfico ao longo de três linhas
radiais arbitrárias, como mostra a figura abaixo.
Determine o torque interno resultante na seção.
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Exercício 2
O eixo mostrado na figura está apoiado em dois
mancais e sujeito a três torques. Determine a tensão
de cisalhamento desenvolvida nos pontos A e B
localizados na seção a-a do eixo.
Exercício 3
O tubo mostrado na Figura tem diâmetro interno de 80 mm e
diâmetro externo de 100 mm. Se sua extremidade for apertada
contra o apoio em A usando-se uma chave em B, determine a
tensão de cisalhamento desenvolvida no material nas paredes
interna e externa ao longo da porção central do tubo quando
são aplicadas forças de 80 N à chave.
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� Eixos e tubos de seções transversais circulares são
frequentemente usados para transmitir potência
desenvolvida por uma máquina.
� Quando usados para essa finalidade, estão sujeitos
a torques que dependem da potência gerada pela
máquina e da velocidade angular do eixo.
� Potência é definida como o trabalho realizado por
unidade de tempo. O trabalho transmitido por um
eixo rotativo é igual ao produto entre o torque
aplicado e o ângulo de rotação, então a pode ser
calculada da seguinte forma:
Onde:
� – é a velocidade angular do eixo
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� No SI (Sistema Internacional de Unidades de
Medida), a potência é expressa em watts
(1.W=1N.m/s) quando o torque é expresso em N.m
e � é expressa em radianos por segundo rad/s.
� Quando se trata de máquinas rotativas constuma-
se informar a frequência de rotação de um eixo,
sendo a potência calculada por:
� Quando a potência transmitida por meio de um
eixo e sua frequência de rotação são conhecidas, o
torque T desenvolvido no eixo pode ser calculado.
� Se o torque T e tensão admissível de
cisalhamento ���� para o material são conhecidos
podemos determinar as dimensões do eixo. O
parâmetro de projeto pode ser determinado por:
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Exercício 4
Um eixo maciço de aço AB mostrado na figura será
usado para transmitir 3.750 W do motor M ao qual
está acoplado. Se eixo girar 175 rpm e o aço tiver
uma tensão cisalhamento admissível 100 MPa
determine diâmetro exigido para o eixo com
precisão de mm.