Lista 3 - APS2

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Ana´lise Matema´tica 1 - MA67A
Licenciatura em Matema´tica - 1o semestre - prof. De´bora
3a Lista de exerc´ıcios
Sobre Sequeˆncias de nu´meros reais.
1) Livro Elon: Ana´lise Real volume 1, pa´gina 34 : Sec¸a˜o 1 Exerc´ıcio 3
2) Livro Elon: Ana´lise Real volume 1, pa´gina 34 : Sec¸a˜o 1 Exerc´ıcio 4
3) Livro Elon: Ana´lise Real volume 1, pa´gina 34: Sec¸a˜o 2 Exerc´ıcio 1
4) Livro Elon: Ana´lise Real volume 1, pa´gina 34: Sec¸a˜o 2 Exerc´ıcio 2
5) Prove que a soma de duas sequeˆncias limitadas e´ limitada.
6) Supondo {an} uma sequeˆncia de nu´meros reais tal que
a1 < a2 < · · · < an−1 < an < · · ·
e denotando bn =
1
an
, demonstre que a sequeˆncia {bn} e´ convergente.
7) Verifique se as seguintes afirmac¸o˜es sa˜o Verdadeiras ou Falsas. Se verdadeira,
demonstre. Se falsa, deˆ um contra-exemplo.
a) Qualquer sequeˆncia crescente em (−1, 1) e´ convergente.
b) Toda sequeˆncia limitada e´ convergente.
c) Se {xn} e {yn} sa˜o sequeˆncias limitadas, enta˜o a sequeˆncia {xn + yn} possui
ao menos uma subsequeˆncia que converge.
8) Sejam {xn} e {yn} sequeˆncias de nu´meros reais, com {xn} crescente e xn ≤ yn
para todo n ∈ N. Mostre que se {yn} converge, enta˜o {xn} tambe´m converge e
estabelec¸a uma relac¸a˜o entre lim
n→∞
xn e lim
n→∞
yn.
9) Sejam {xn} e {yn} sequeˆncias de nu´meros reais, com xn ≤ yn para todo n ∈ N.
Mostre que se lim
n→∞
xn =∞, enta˜o e lim
n→∞
yn =∞.
10) Seja xn e´ o termo geral de uma sequeˆncia mono´tona {xn} e yn o termo geral
de uma sequeˆncia limitada {yn}. Suponha que e´ va´lida a condic¸a˜o:
|xn − yn| < 1
n
∀n ∈ N,
Demonstre que xn e´ limitada e que as duas sequeˆncias ({xn} e {yn}) sa˜o convergentes
para o mesmo limite.
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