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SUMÁRIO Caprtuio 11 . Introdução à 1Probabilic1~de 1.1 Modelos Matemáticos 1 1.2 Introdução aos Conjuntos 4 1.3 Exemplos de Experimentos Não-Determinísticos· 8 1.4 O ~spaço Amostral 11 1.5 Eventos 13 1.6 Freqüência Relativa 15 1.7 Noções Fundamentais de Probabilidade 17 1.8 Duas Observações 21 Cápftulo~ .;Espaços Amostrais Finitos \ ... 2.1 . Espaço Amostral Finito 26 2.2 Resultados Igualmente Verqssímeis 27 2.3 Métodos de Enumeração 29 -Ca~rtulo\\~ Probabilidade Condfcionada e Independência 3.1 Probabilidade .Condicionada 42 3.2 Teorema de Bayes 49 3.3 Eventos Independentes 52 Capftuio~ Variãveis Aleatórias Unidimensionais 4.1 Noção Geral de Variável Aleatória 66 4.2 Variáveis Aleatórias Discretas 72 4.3 A Distribuição Binomial 75 4.4 Variáveis Aleatórias Contínuas 80 4.5 Função de Distribuição Acumulada 85 4.6 Distribuições Mistas 89 4.7 Variáveis Aleatórias Uniformemente Distribuídas 89 4.8 Uma Observação 91 Caprtuil>~ funções de Variáveis Ale~tórias 5.1 Um Exemplo 97 5.2 Everitos Equivalentes 97 ., 5.3 ·Variáveis .Aleatórias Discretas 100 i 5.4 Variáveis Aieatórias Contínuas 101 ! . I ; ·1 r-t~;;~~-~;:·:-':'· -:"·.. ' _ XVI I SUMÁRIO ~ Caprtulo 6. ~ 6.1 r ~:~ lj 604 i' 6.5 r~ i' I 6.6 I f Capítulo 1. l' r t I 701 702 703 . 704 705 7.6 707 708 709 7010 7011 Capftulo 8. 801 802 8.3 8.4 805 8o6 807 808 Capftulo 9. 901 902 903 9.4 905 '. 906 907 9.8 Variáveis Aleatórias de Duas 0111 Mais Dimensões Variáv~is Aleatórias Bidimensionais Distribuições de Probabilidade Marginal e Condicionáda Variáveis Aleatórias Independentes · · ' ·. Funções de Variável Aleatória Distribuição do Produto e do Quociente de Variáveis Aleatórias Independentes · Variáveis Aleatórias n-Dimensionais o l. Caracterização Adlicio1111al das . · Variáveis Aleatórias O Valor Esperado de Uma Variável AleatóriiJ. Expectância de uma Função de uma Variável Aleatória Variáveis Aleatórias Bidimensionais Prupriedades do Valor Esperado A Variância de uma Variável Aleat6ria Propriedades da Variância de uma Variável Aleatória Expressões Aproximadas da Expectância e da Variância A Desigualdade 'de Tchebycheff O Coeficiente de Correlação Valor Esperado Condicionado Regressão da Média Variáveis Aleatórias Discretas: A de Poisson e Outras A Distribuição de .Poisson A Distribuição de Poisson como Aproximação da Distribuição Binomial O Processo de Poisson·. A Distribuição Geométrica A Distribuição de Pascal Relação entre as Distribuições Binomial e de Pascal A Distribuição Hipergeométrica A Distribuição Multinomial Algumas Variáveis Aleatórias Continuas !mpoll'ital!'ites Introdução A Distribuição Normal ~ Propriedades da Distribuição Normal Tabulação da Distribuição Nonrtal A Distribuição Exponencial Propriedades da Distribuição Exponencial A Distribuição Gama o Propriedades da Distribuição Gama 110 116 121 124 128 131 ' 137 144 149 150 ú6 159 162 165 167 172 175 187 194 . 200 . 203 205 206 208 214 214 215 219 223 223 227 228 ' ·. SUfViÃRIO I XVII I I 9.9 9.10 9.11 9.12 Caprtulo 10. A Distribuição de" Qu~-quadrado Comparações entre D1iversas Distribuições A Distribuição Normp Bidimensional Distribuições Truncadas I I A f11..mção Geratrõzi de Momentos ! 10 .1 Introdução 1 10.2 A Função Geratriz de Momentos 10.3 Exemplos de Funções Geratrizes de Momentos 10.4 Propriedades da FunÇão Geratriz de Momentos ~0.5 Propriedades Reprod~tivas 10.6 Seqüências de Variáveis Aleatórias 10.7 Observação ·Final ' Cap ótu !o 11. 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 Aplicações à Teori~ da Confiabi!idade I Conceitos Fundamenfis . A Lei de Falhas Normal A Lei de Falhas Expdnencial A Lei de Falhas Exponencial e a Distribuição de Poisson J A Lei de Falhas de Weibull Confiabilidade de Sistemas I Capftulo 12. ,Somas de Variáveis Aleatórias ~u,-J~~-G<--0 ...... ,, lv(l/12.1 InJ.odução . I f:Y J? ' 12_2 A Lei dos Grandes N~meros · ., - () 12.3 Aproximação Normal da Distribuição Binomial "ÇJ 'y• 12.4 O Teorema do Limit~ Central ÔJ~· 12.5 Outras Distribuições Aproximadas pela Distribuição ~ \f d Normal: a de Poisson ~ a de Pascal e a Gama l\ fv '\ C 12.6 A Distribuição da So~a de um Número ,'JJ c\ Finito de Variáveis Aleatórias Capftulo ~ A'mostras e Dist~rib~ ições Amostrais 13.1 13 .2 13.3 13.4 13.5 Cap_í~-~~~ f. 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 Introdução Amostras Aleatórias Estatísticas Algumas Estatísticas 'mportantes A Transformação Integral · !Estimação de Parâmetros I Introdução Critérios para Estima~ivas Alguns Exemplos Estimativas de Máxima Verossimilhança O Método dos Mínimbs Quadrados I 230 233 234 236 e 247 250 255 259 260 263 267 268 271 273 274 284 286 288 292 297 299 308 310 312 313 321 329 330 334 339 349 i ~ '' ,- ! ~ ··. ~ ' I· , _ L ,. ,. I. I I I ·I ~ H 1: li ~ ~ li li !I j! i' j! ,. li I• ~· !: li 11 "l i i I .1! l. . .J XVIII I SUMÁRIO 14.6 O Coeficiente de Correlação 14 .7 Intervalos de Confiança 1,4.8 A Distribuição de t de Student 14.9 Mais Sobre Intervalos de Confiança Capftulo 1!5. Testes de IHiõpóteses 354 355 357 360 15 .1. Introdução 370 15.2 Formulação Geral: Distribuição Non~al com V~riância Conhecida 376 15.3 Exemplos Adicionais 381 15.4 Testes de Aderência 385 APÊNDICE 397 RESPOSTAS A PROBLEMAS SELECIONA!)OS 412 INDICAÇÕES BIBLIOGRÁFICAS 420 fNDICE ALFABÉTICO 422 .i 1 ·i Introdução Probabilidade Capítulo 1 1 J" Modeios Matemáticos Neste capítulo examinaremos o tipo de fenômeno que estuda- remos por todo este livro. Além disso, formularemos um modelo matemático que nos ajudará a investigar, de maneira bastante pre- cisa, esse fenômeno. De início, é muito importante distinguir o próprio fenômeno e o modelo matemático para esse fenômeno. Naturalmente, não exercemos influência sobre aquilo que observamos. No entanto, ao escolher um modelo, podemos lançar mão de nosso julgamento crítico. Isto foi espec\almente bem expresso pelo Prof. J. Neyman, que escreveu:* "Todas as vezes que empregarmos Matemática a fim de estudar alguns fenômenos de observação, deveremos essencialmente começar por construir um modelo matemático (determinístico ou probabilístico) para esses fenô- menos. Inevitavelmente, o modelo deve simplificar as coisas e certos por- menores devem ser desprezados. O bom resultado do modelo depende de que os pormenores desprezados sejam ou não realmente sem import&ncia na elucidação do fenômeno estudado. A resolução do problema matemático pode estar correta e, não obstante, estar em grande discotdância com os dados ob- servados, simplesmente porque as hipóteses básicas feitas não sejam confirma- das. Geralmente é bastante difícil afirmar com certeza se um modelo mate- mático especüicado é ou não adequado, antes que alguns dados de observação sejam obtidos. A fim de verüicar a validade de um modelo, deveremos dedu- zir um certo número de conseqüências de nosso .modelo e, a seguir, comparar esses resultados previ:Jtos com observações." Deveremos nos lembrar das idéias aCima enquanto estivermos estudando alguns fenômenos de observação e modelos apropriados " University oj Calijornia Publications in Statistics, Vol. I, Uriiversity of California Press, 1954. ::! I PROBABILIDADE pax:a sua explicação. Vamos examinar, inicialmente, o que se pode adequadamente denominar modelo detenninistico.Por essa expres- são pretendemos nos referir a um modelo que estipule que as con- dições sob as quais um experimento seja executado determinem o resultado do experimento. Por exemplo, se introduzirmos uma bateria em um circuito simples, o modelo matemático que, presumi- velmente, descreveria o fluxo de corrente elétrica observável seria I = E/R, isto é, a J~i de Ohm. O modelo prognostica o valor de I tão logo os valore:; de E e R sejam fornecidos. Dizendo de outra mail-eira, se o experimento mencionado for repetido um certo número de vezes, toda vez utilizando-se o mesmo circuito (isto ~" conservan- do-se fixados E e R), poderemos presumivelmente esperar observar o mesmo valor para I. Quaisquer desvios que pudessem ocorrer seriam tão pequenos que, para a maioria _das finalidades, a descrição acima (isto é, o modelo) seria suficiente. O importante é que a ba- teria, fio, e amperômetro particulares utilizados para gerai: e obser- var a corrente elétrica, e a nossa capacidade de empregar o instru- mento de medição, determinam o resultado em cada repetição. (Exis- tem detenninados fatores que bem poderão ser diferentes de repeti- ção para repetição, que, no entanto, não influenciarão de modo dig- no de nota o resultado. Por exemplo, a temperatura e a umidade no laboratório, ou a estatura da pessoa que lê o. amperômetro, po- de-se razoàvelmente admitir, não terão influência no resultado.) Na natureza, existem muitos exemplos de "experimentos", para os quais modelos determinísticos são apropriados. Por exemplo, as leis da gravitação explicam bastante precisamente o que ~contece a um corpo que cai sob determinadas condições. As leis de Kepler nos dão o comportamento dos planetas. Em cada situação, o. mo- delo específica que as condições, sob as quais determinado fenômeno acontece, determinam o valor de algumas variáveiS observáveis: a grandeza da velocidade, a área varrida durante determinado pe- riodo de tempo etc. Esses números aparecem em muitas' das fõr:- mulas com as quais estamos familiarizados. Por exemplo, sa- bemos que, sob determinadas condições, a distância percorrida (verticalmente, acima do solo) por um objeto é dada por s = -16t2 + + v0t, onde vo é a velocidade inicial e t o tempo gasto na queda. O ponto, no qual desejamos fixar nossa atenção, não é a forma parti- cular da equação acima (que é quadrática), mas antes o fato de que existe uma .relação definida entre t e s, a qual determina univo- camente a quantidade no primeiro membro da equação, se aquelas no segundo membro forem fornecidas. i i i I ! ! i IN f RODUÇÃO À PROBABILIDADE I 3 - Para um grande número de I situações, ~ modelo matemático determinístico apresentado acima! é suficiente. Contudo, existem também muitos fenômenos que ~equerem um modelo matemático diferente para sua investigação. São os que denominaremos modelos não-deterministicos ou probabüístico~. (Outra expressão muito corou- mente empregada é modelo estocástico.) Mais adiante neste capitulo, estudaremos muito minuciosamente~ como tais modelos probabilísticos podem se~ apresentados. Por oraJ examinaremos alguns exemplos. SuponhaJilOS que se tenha uml fragmento de material radioativo que emita partículas alfa. Com o I auxílio de um dispositivo de con- tagem, poderemos . registrar o número dessas partfculas emitidas durante um intervalo de tempo especificado. É evidente que não poderemos. a,ntecipar precisamente lo nÚiílero de partículas emitidas, runda que se conheçam de modo exato a forma,! a dimensão, a compo- ' . I sição química e a massa do objeto 1 em estudo. Por isso, parece não existir modelo determinístico razoáf el que forneça o número de par- tículas emitidas, por . exemplo n, como uma função de várias carac- terísticas pertinentes ao material ~onte. Deveremos considerar, · em seu lugar, um modelo probabilístico. Como outro exemplo, considere-se a seguinte situação meteo- rológica. Deseja-se deterniinar qual · a precipitação de chuva que cairá · coino resultado de uma tempestade particular, que ocorra · em determinada localidade. Dispõe-s~ de instrumentos para registrar a precipitação. Observações metrorológicas podem nos fornecer considerável informação relativa à t~mpestade que se avizinhe: pressão barométrica em vários pontos, variações de pressão, velocidade do vento, origem e dir,eção da tormerlta, e várias leituras referentes a altitudes elevadas.. Contudo, quão !valiosas essas informações possam ser para o prognóstico da naturez~ geral da precipitação (digamos, fraca, média ou forte), simplesme:b.te não tomam possível dizer-se quanta chuva irá cair. Novament~ estaremos nos ocupando de um ,. I ·fenômeno que não se presta a um . tratamento determinístico. Um modelo prob~billstico explica a sitdação mais rigorosamente. · Em princípio, poderemos ser ! capazes de dizer quanta chuva caiu se uma teoria tiver sido desen~olvida (o que não foi). Por isso, empregaremos um modelo probabilÍstico. No exemplo que trata de I desintegração radioativa, deveremos empregar um modelo probabi- lístico invariavelmente em princípiol ' Arriscando-n.os a adiantarmos! demais na ap~esentação de um conceito que será definido. poster~ormelite, vamos apenas afirmar .que, em um modelo determinístico, 1 admite-se que o resultado efeti:Vo · i . 4 I PROBABIUDADE (numérico ou de outra espécie) seja determinado , pl:)l~ çq~dições sob as quais o experimento ou o procedimento seja executlj,~O, .. Em um modelo não-determinístico, no entanto, as . co~diçqes c!a "e:xpl:lri- rnentação determinam somente o comportamento prob~hÚí~tico (mais especificamente, a lei probabilística) do resuÍtad() : ()b~l:lFYáyeJ. Em outras palavras, em um modelo determinístico 'émpiegâmos "considerações físicas" para prever o resultado, enquantb em ·um modelo probabilístico ernpregfllllOS a mesma espécie de considerações para especificar uma distribuição de probabilidade. 1.2. ~ ntrodução aos Conjuntos A fim de expor os conceitos básicos do modelo probabilístico que desejamos desenvolver, será conveniente conhecer algurn~s idéiM e conceitos da teoria matemática dos conjuntos. Este é um assunto dos mais extensos e muito se tem escrito sobre ele. Contudo, neces- sitaremos apenas de algumas noções fundamentais. Um conjunto é urna coleção de objetos. Usualmente, conjuntos são representados por letras maiúsculas A, B etc. Existem três maneiras de descrever que objetos est~o contidos no ~·anjunto A: (a) Poderemos fazer uma lista dos elementos de A. Por exem- plo, A = { 1, 2, 3, 11 descreve o conjunto formado pelos inteiros positivos 1, 2, 3, 4. (b) Poderemos descrever o conjunto A por meio de palavras. Por exemplo, poderemos dizer que A é formado de todos os números reais entre O e 1, inclusive. (c) Para descrever o conjunto acima poderemos simplesmente escrever A = { x J O :<:::; x :<:::; 1 }; isto é, A é ó conjunto de todos os x, onde x é um número real entre O e 1, inclusive. Os objetos que individualmente formam a cole~ão ou conjunto A são denominados membros ou elementos de A. Quando "à" for um elemento de A, escreveremos a E A, e quando "a" não for um elemento de A, escreveremos a Et A. Existem dois conjuntos especiais que, freqüentemente, nos in- teressarão. Em muitos problemas nos dedicaremos a estudar um conjunto definido de objetos, e não outros. Por exemplo, poderemos interessar por todos os números. reais;· por todas as peças que uma linha de produção durante um período de 24 horas etc. o conjunto fundamental como o conjunto de todos os ·. ' INTRODUÇÃO À PROBABILIDAD!= I 5 objetos que estejam sendo estudados. Este conjunto é, geralmente representado pela letra U. O QUtro conjunto que deve ser destacado pode surgir da seguinte nrui.neira: Suponha-se que o conjtm~ A seja descrito como o con- I; juntode todos os números reais x, que satisfaçam ~ equação I'' x2 + 1 ==O. Naturalmente, sabemos que não existem tais números; i' isto é, o conjunt~ A não contém qualquer elemento. Esta situação ocorre tão freqüentemente que se justifica a introdução de um nome especial para esse conjunto. Por isso, definiremos o conjunto vazio ou. nulo como o conjunto que não contenha qualquer ele~ento. · Ge- ralmente se representa. esse conjunto por 0. ~ Pode acontecer que, quando dois conjuntos A e B sejam consi- ·derados, ser elemento de A implique ser elemento de B. Nesse caso, p;, diremos que A é um subconjunto .de B,.e escreveremos A C B. In- terpretação semelhante será dada para B C A. Diremos que · dois conjuntos constituem o mesmo conjunto, A = B, se, ·e somente se,- A C B e B C A. Desse modo, dois conjuntos serão iguais se, e so- mente se, eles contiverem os mesmos elementos. As duas seguintes propriedades do conjunto vazio e do conjunto funda.mental são imediatas: (a) Para todo conjunto A, temos que 0 C A. (b) Desde que se tenha definido o conjunto fundamental, então, para todo conjunto A, considerado na composição de U, teremos AC U. Exemplo 1.1. Suponha-se que U = todos os números reais, A = I x I x 2 + 2x ~ 3 = O}, B = I x I (x ~ 2) (x2 + 2x ~ 3) = O} e c = r X I X = ~ 3, 1, 2}. Então, A c B e B = c. A seguir, estudaremos a importante idéia de combinar conjun-· tos dados, a fim de formarmos. um novo conjunto. Há duas opera-_ ç.ões fundai):lentais, e essas operações se assemelham, em· certos as- pectos, à.s operações de adição e multiplicação de números. Sejam dois conjuntos A e B .. Definiremos C como a união de A e B (algumas vezes denomi- nada a soma de A e B), da seguinte maneira: C = lx Jx E ,A ou x E B (ou ambos) ). Escreveremos· a união de A e B, assim: C= A U B. Desse modo, C será formado de todos os elementos que estejam em A, ou em B, ou em ambos. 6 I PÀOBABILIDADE Definiremos D . como a interseção · d~ A e B (al~iiigs y~~es •. P,~no· minada o produto de A e B), da seguinte maneira: .: . , - ·. . . , ·. D = {xjx E A ex E B}. ·. · · . . . ·.. . . . . ~· ·::· ... J:;:.~~-: . L,j·,.~:~~·, ... :..' .... Escreveremos a jnterseção de A e 13, assi:q1: J) =c 4 0 i-:8.: :Rqi:t~ri~ó, D será formado de todos .os elementos queestão ,~~Ae e,mB. ;; .. · · Fiilaimente, ín troduziremos · a noção •· de complem;entc?:·d~ q~ : con...: junto 4., na forma seguinte: . O conhmto· denotado,J>or; i}:) ;cpnstf ... . tuido por todos os elementos que nào esteJam e!llA (mas que ~átej~m no conjunto fundamental U) é denominado ,éoinpletÍlen~o de A;· .. Is'to · é, A= {xjx EE A}. . . · .. Um recurso gráfico, conhecido como Diaura~a d(i fenn, - pód~rá ser vantajosamente empregado quando estivermos combW:and,<;> qon- jun,tos, na maneira indicada acima. Em cada diagrama na}?ig .. J), a região sombreadarenresenta o conjunto sob exame . . · CD AnB IFig. 1.1 :/~~~~' Exemplo 1.2.. Suponha-se que U = { 1, 2, 3, 4, 5; 6, 7, 8/9, io}, A = { 1, . 2, 3, 4}, B = { 3, 4, 5, 6} . Então, encontraremos · que A= {5,.6,7,8,9,10}, AUB= {1,2,3,4,5,6} e A ()B= {3;4}~ Observe-se que, ao descrever um .conjunto (tal como A U B), cada . elemento é relacionado apenas uma vez. As operações de união e interseção, definidas acima para doiS conjuntos, podem ser estendidas, intuitivamente, para qualquer número finito de conjuntos. Assim, defhüremos .A U "B U C como A U (B U C) 0'\1 (A U B) U C, o que é equivalente, como se poderá verificar facilmente .. De modo ànálogo, definiremos A () B n C como . sendo A (l (B () C) ou (A () B) () C, o que também se pode ver'fficar serem · equi~alent~s. É evidente que poderemo~ continuar essas composiçõe!; · de ·conjuntos para qualquer número finito de con- juntos dados. i .J:.!'' i - . . INTRODUÇAO A PROBABILIDADE I 7 I ~ . . Afirmamos que alguns conjqntos são equivalente!'!, por exemplo, A n (B ()C) e (A () B) () c.i Conclui-se que existe Ul)l certo número de tai& conjuntos equivalentes, alguns ·dos quais estão rela- cionados abaixo. Se nos lembrÚmos de que dois conjuntos são o mesmo conjunto sempre que ele:s contenham os mesmos elementos, será fácil mostrar que as afirmaÇões feitas são verdadeiras. O leitor poderá se convencer disso, com a :ajuda dos Diagramas ide Vemi'. 1 (a) A U B = B U A, I (b} A() B = B ()IA, (1.1) (c) A U (B U C)=(A U B) U C) (d) A() (B ()C)= (A() B) ()C. I • ! . ~~~~üp{;)-s.,~li)t·e:c(li}wii~~f~fiU$Uff®1;;:~~-r~Y!v:~~r@.:i:f.í~~~~Ç;t~tf&~?·:,;; , Há- outras identidades de coAjuntos encerrando união, interseção e complementação. As mais irhportantes delas estão enumeradas I a ooguir. A validade de cada uma delas poderá ser verificada com . d d D' d V .I 1 ' s aJU a e um . 1agrama e enn. (e) A U (B ()~C)= (A U lJ) h-(A U C), V U) A() (B.U C)= (ªJnB) k«~. C), (g) .A () 0 = 0, (h) 4.U 0 ~A; ('J) (A() B) =A ÜB, à ~ 0 :: (A u-131 Observe-se que (g) e (h) mo·stram (1.2) I (i) (A u B) = A () B, (k) A= A. I , Uma o~tra"màneira de form~ conjuntos, quando forem dados dois (ou mais) conjuntos, será necessá~a a seguir. i I . . Definição. Sejam dois conjuntos A e B. Denominaremos produto cartesiano de A e B, denotando-o por A X B, o conjunto { (a, b ), a E A, b E B l, isto é, o conjunto de . tod:os os pares ordenados n..os quais o pri- meifo elemento é tirado de A e o ~gundo, de B. \ Exemplo 1.3. Suponha-se queA = {1, 2, 3};B = {1, 2, 3, 4}. Então, A X B = { (1, 1), (1, 2), .. l , (1, 4), (2, 1) . .'., (2, 4), (3, 1), ... , (3, 4)}. I i Observação. Em geral, A X si=F B X A. 8 I PROBABILIDADE A noção acima pode ser estendida da seguinte :maneira: Se.A1 , ••• , A n forem conjuntos, então, A 1 X A 2 X ... X An = {(a! ; a2 , ·;· •• an ), ai E Ai], ou seja, o conjunto de todas as ênuplas ordenadas ~ ·: · Um caso especial importante surge quando cons.ideram<;)S!O produto cartesiano--~~ um conjunto por ele próprio, isto é,AiXA,:o114 •X).l )Ç-A. ···~?f.~my1~§:cit1~~E;~~~~~JJL.,q;g.~,g~~twõs!é}~t~~!~ll~~~~~J}~.$";".,~, onde R é d~coríjunto de todos os números reais, e do espaço eudideano tridimensional, representado por R X R X R. · O número de elementos de um conjunto terá .grandeiiD,portância para nós. Se existir um número finito de elementos no conjunto A, digamos ar, a2,_ ... , an, diremos que A éJinito: Q~~tie.liÍJifli.Pmer0 --~~~J~;~j~~i~:;~- . :§~~~~~;=~~·é!f!;Sk!:f!~?!:;' ou·"injinito numerável. (Pode-se :m:ostrar, por exemplo, ·que\ () c-on- junto de todos os números racionais é numeráveL) :.Finalmente, deveremos considerar o caso de um conjuntoinfinito:não~númerável; este tipo de conjunto possui um número infinito de elementos qUe não podem. ser enumerados. Pode-se mostrar, por exemplo, __ que para quaisquer dois números reais b > ~~ o conjunto · A = J x I a :::; .x :::; b} contém um número não-numerável de elementos, J ~ que pÇ>dererjws associar um ponto da reta dos números reais a cada m)mero .real, o que dissemos acima afirma que qualquer interv'~lo (não deg~nerado) contém mais do que um número contável de pontos. Os conceitos apresentados acima, muito embora representem apenas um rápido exame da teoria dos corijuritds, são sufic'iehtes ·para nossos objetivos: expor, com razoável rigor e pr~ci.são, ·~ idéias fundamentais da teoria da probabilidade. 1.3. Exemplos de Experimentos Não-DeterminísÜcos Estamos agora em condições de examinar o q1,1e enténdemos por um experimento '-'aleatório" ou "não-determinístico". '· {~ais ,'preci- samente, daremos exemplos de fenômenos, para os · qmtis .: rriôdelos não-determinísticos são apropriados. Esta é uma distinção .·que o leitor deverá guardar. Portanto, nos referiremos freS!üêntemen'te a experimentos não-determinísticos ou aleatórios, quando de fato estaremos falando de um modelo não-detefminísticopara um experi- mento.) Kão nos esforçaremos em dar uma definição preCisa _desté ~onceito. E.m vez disso, citaremos um grande ~úmer~ de exemplos. que ilustrarão o que temos em mente. 6NTRODUÇÃO À PROBABIUDADE I 9 E 1: Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima. E,: Jogue· uma moeda quatro vezes e observe o número de caras obtido. E 3: Jogue uma moeda quatro vezes e observe a seqüência obtida de caras-e coroas. E 4: Em uma linha de produção, fabrique peças em série e conte o número de peças defeituosas produzidas em um período de 24 horas. Eó: Uma asa de avião é fixada por um grande número de rebi- tes. Conte o número de rebites defeituosos. Es: Uma lâmpada é fabricada. Em seguida é ensaiada quanto à duração da vida, pela colocação em um soquete e ano- tação do tempo decorrido (em horas) até queimar. E1: Um lote de 10 peças contém 3 defeituosas. As peças são retiradas uma a uma (sem reposição da peça retirada) até que a última ·peça defeituosa seja encontrada. O núme- ro total de peças retiradas do lote é contado. E'il: Peças são fabricadas até que 10 peças perfeitas sejam pro- duzidas. O número total de peças fabricadas é contado. Es: Um míssil é lançado. Em um momento especificado t, suas três velocidades coq~.ponentes, v .. , v11 e v. são observadas. E 1o: Um míssil récem-lançado é observado nos instantes tb t2, ••• , t,. Em cada um desses instantes, a altura do míssil acima do solo é re~strada. E 11: A resistência à tração de uma barra metálica é medida. Eu: De uma urna, que só contém bolas pretas, tira-se uma bola e verüica-se sua cor. E 13 : Um termógrafo registra a temperatura continuamente, num período de 24 horas. Em determinada locálidade e em uma data especificada, esse termógrafo é lido. Eu: Na situação descrita em E18, x e y, 118 temperâturas núnima e máxima, no período de 24 horas considerado, são regis- tra,das. O que os experimentos acima têm em comum? (a) Cada experimento poderá ser sob condições essencialmente inalteradas. 10 I PROBABILIDADE (c) Quando o experimento for executado re~t~(l.amente, os resultados :individuais parecerão ocorrer de u:ffia , J~rma .aCidental. Contudo,· quando o experimento for repetÚlo º:tri ·g:~~~I[~3~~m:~-to . de vezes, uma configuração definida ou regulátidade ' surgirá. : É esta regularidade que toma possível construir um íri6cie'13' inatêltáÍico preciso, com o qual se analisará o expetimentCi. l\lhili brde, teremos muito que dizer sobre a natureza e a irnpqrtândade~ia}ágwaridade. Por- ora, o leitor necessita apenas pensar nas repetidas ~ogadas de uma moeda equilibrada. Muito embora caras e cordas- apareçam sucessivamente, em uma maneira quase arbttrária, é f~to . empírico bem conhecido que , depois de uni grande número d~. jogadas, a pro- porção de caras e a de coroas serão aproximadamente Ígu'aiS. . Deve-se salientar que todos os experimentos . . descritos acima satisfazem a essas características gerais. (Evidentemente, a última característica mencionada somente pode ser · verificada . pela experi- mentação; deixaremos para a intuição do leitor '. acreditar que · se o experimento fosse repetido um grande número de . vezes, a regulari- dade referida seria evidente. Por exemplo, se um · g~~nde nÚmero de lâmpadas, de um mesmo fabricante, fosse ensaiado, . presumivel- mente o número de lâmpadas que se queimaria após iOO horas poderia ser previsto com precisão considerável.) Note-sé que o experimento E 12 apresenta o traço peculiar de que somente umres11ltado. é possível. Em geral, tais experimentos não nos :interessarão, porque, realinente, o fato de não sabermos qual particular resultado virá Íl ocorrer, quando um experimento for realizado , é que torna um experimento intere'S8ante para nós. Comentário: Ao descrever os diversos experimentos, nós especificamos não somente o procedimento que tem que ser realizado, mas também aquilo que estaremos interessados em observar (veja, por exemplo, a diferença imtre E z e E 3 , citados anteriormente). Este .é um ponto rrmito importante, ao qual novamente nos referiremos mais tarde, quando explicarmos variáveis aleatórias. Por ora, vamos apenas comentar que, em conseqüência de um procedimento experimental isolado ou a ocorrência de um fenômeno único, muitos valores numéricos diferen- tes poderiam ser calculados. Por exemplo, se uma pessoa for escolliida de um grupo grande de pessoas (e a escoTha real seria o procedimento e:X:perimental previamente mencionado), poderíamos estar interessados na altura daquela pessoa, . no seu peso, na sua renda anual, no número de fillios dela etc. Naturalmente, na ·maioria dos ca~s. nós saberemos, antes de iniciar nossa experimentação, quais serão as características numéricas em que iremos estar interessados. · , 11\!TRODUCÃO À PROBABiLIDADE I 11 1A.~· Definição. -Para cada êxf>eDmêhto ·e do tipo que estamos con- siderando, definiremos o úpâ:Ço amCist;az como <i cÓnjurito de tó:Jõs 'os resultados possíveis de e. Geraltnente representaremos esse conjunto por S. (Neste contexto, S repre,senta o conjwlto fundamental, expli- cado anteriormente.) r· I . ' Vamos considerar cada um dos experimentos acima e descrever um espaço amostral para cada um deles. O espaço amostral S; se referirá ao experimento E;. S6: S1: Ss: S9: S10: Su: s12: Su: 11, 2, 3, 4, 5, 6}. I lo, 1, 2, 3, 4}. {todas as seqüências p6ssíveis da forma a11 a2, aa, a4 }, onde I cada a; = H ou T, conforme apareça ca~a ou coroa na i-ésima jogada. ~ : , {0, 1, 2, ... , N}, onde 1 N é o número máximo q:ue pode ser produzido em '24 hora.S . . I {0, 1, 2,-... , .M}, ond~ M é o número de ·rebites empre- gado. ltlt ~ 0}. . I 13, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }. I 110, 11, 12, ... },. i ' I v.,, Vy, Vz I v.,, Vy, v, números reais}.·. {hh· .. , hn jh;;:::: O, i =11, 2, .. . , n}. ITIT~O}. i' I bola preta}. Este espaço amostral éj o mais complexo de todos os co!lsi- derados aqui. Podemos admitir, com realismo, que a tem- . , I . . . . . peratura em determin!1-da localidade nunca possa ocorrer acima ou abaixo de ce*os valores 11! e m. Afora esta .rei- trição, poderemos aceitar a possibilidade de que qualquer I . . gráfico apareça com /determinadas restrições. Presumi- velmente, o gráfico não terá saltos (isto é, el~Ç representará uma função contínua).! Além ~isso, o gráfi~o terá certas características de ,regu\arização, que podem ser resumidllS matematicamente di~eddo-se que o gráfico representa uma , I . . função derivável. Deste modo, poderemos finalmente afirmar que o espaço a~ostral será: IJIJ uma função perivável, que satisfaça a m . .::::; . .::::; j(t) .::::; M, para ltodo t} .. I~ 12 I PROBABH.HDADIE {(x, y)lm:::;; x:::;; y:::;; M}. Isto é, §aéfo11J1acio p0rtodos os pontos dentro e sobre um. triâJ1gulo: no:;~Ia,po . x; ybicli- mensional. · · · .. . · · · ... · ... ,, .-.c-;•. ; ·,-, .> (Neste livro não cuidaremos de espaços amostrais di :•cdfnpl~xi'dade . encontrada em 81a- Ko entanto, tais espaços ariÍ6slrais'''p8dem ' súi:~ gir, mas exigem para seu estudo mais ~Íatemática âvànÇ~dâ>do qúe estamos admitindo aqui.) . e~~;.!~ii:f7~~]~~9r~~x;:~;;:mE:::;s;g;~@.8?::;;~. · estamos '' · .. ·· .. ·.··: . : d@ii::•"'"" Por isso, de ;,~;.·;'~~~~~;~ amostral associado a um experimerito, e P:ão de "o" espaço' amostraL A esse respeito, note-se a dif~re~ça· entre 82 e 8a. Saliente~se, 'tambein~ 'qu~ o r~sul t-~do de ' urri '. ê},~·~~Q}~rho não é necessariamente, um número. Por exemplo, em E i, cada resultado é uma seqüência de caras (H) e coroas (T). Em É9 e E.1o cada re- sultado e formado por um vetor, enquanto em E; 3 , e~d~ resultado constitui uma função . lativamente aos exemplos acima, observamos que 8], 82;. 8a, 84, 8s, .• 81 e 812 são finitos,8s é infinito numerável, e 8s, 89, 810r 8u, 813 e 814 são infinitos não-numeráveis. :~~=::~~~;:;!~·:::,~~~~~t· :rimento ·Ê6 e seu e~paço amostral associado 81. É eVidente que, quando estivermos realmente registrando o tempo . tot~l t, •durante o qual uma lâmpada funcione, seremos "Vitimas" da precis[b de nosso instrumento de medir. Suponha-se que temos um instruínerrto que seja capaz de registrar o tempo com duas casas decir11ais, por exem.: . pio, 16,43 horas. Com esta restrição imposta, nosso esjlàço amos- t ral se tomará infinito numerdvel: { 0,00, 0,01, 0,02; •: : : }. Além disso, é bastante próximo da realidade admitir quenenhíun8,Jâinpada possa durar 'mais do que H horas, onde H pode ser uín fiúinero muito grande. ConseqÜentemente, parece que se f()i:inos ·completamente realistas na descrição deste espaço amostral, estaremos realmente tratando com um espaço amostral finito: { 0,00, 0,01, 0,02, .. . , H}. O número total . de resultados seria (H/0,01) + 1, que poderá ser um número muito grande; mesmo que H seja moderadamente grande, .r j \ iNTRODUÇÃO À PROBABiii..IDADE I 13 por exemplo se H = 100. Torna-se bem mail:l simples e, matemati- camente, conveniente, admitir que todos os valores de t ~ O sejam .re- sultados possíveis e, portanto, tratar o espaço amostral Ss tal como foi originalmente definido . . Diante desses comentários, alguns dos espaços amostrais des- critos são idealizados. Em todas as situações subseqüentes, oespaço amostral ·considerado será aquele que for matematicamente mais conveniente. Na maioria dos problemas, pouca dúvida ~.urge quanto à escolha adeQuada ·d9 :êsPáçO·· amosti-al. :; ·.-..· .. :. : ··.. . · . -: .. ,.., : .... ·,.:: · .. 1._5. · .:;. : :~:- ·.- ... Eventos Outra noção fundamental é o conceito de evento. <R-~~~ (relativo a um particular espaço amostral S, associado a" Upl expe- rimento e ) < e<:smrp:):es~~At!P.~ti'tfi:C0nlj;un;,t~cl:~§lresu1t~dbsi-'#~~~t;~~-~·· . Na tenninologia. dos conjuntos, um evento é·;;~ ;~bconju~to d~· Ü;·<es paço amostral S. Considerando nossa exposição anterior, isto sig~ nifica que o próprio S constitui um-evento, bem como o é o conjunto vazio 0. Qualquer resultado individual pode também ser to~ado como um evento . . Al~s exe~plos d~ ey~nt()S s~- ~ados ~ - ~~~ir. N.?,yªqí~~te, . nos referimos aos . experimentos 'relacionados aCima: A; sé teféÍ{rií. ao evento asso~iad~ ao . éxpedrh~~tÓ EZ · -· ' · -_ ;· . \ '"· · Al: ul!l número par OCQrre, .isto é, Al = {2, 4, 6}. A2: {2} ;isto é, duas caras ocorrem. A3 : {HHHH, HHHT; HHTH, HTHH.; THHH); isto é, mais caras do que coroas ocorréfam.' - . . . A4: {O}; isto é, todas as peças são perfeitas. {' A6: {3, 4, ..• , M}; isto é, mais do que dois rebites eram defei- tuosos. ·As: { t I t < 3}; isto é, a lâmpada queima em menos de. 3 horas. Au: { (x, y) I y = x + 20}; isto é, a temper~tura máxima é 20° maior do que a mínima. " Quando o espaçó amostral S for finito ou infinito numerável, todo subconjunto poderá ser considerado um evento. [Constitui um I • exercício fácil de provar, e o faremos resumidamente, que se S cdn- tiver n elementos, existirão exatamente 2n subconjuntos (eventos).] Contudo, se S for infinito não'-numerável, surgirá uma dificuldade teórica. Verifica-se que nem todo subconjunto imaginável poderá 14 I PROBABDLIDAIDE ._ ,.:;.;e~~:;:~:~;!~~~;~;;~!;d~~:!;::::;=:=~:~=:~~·~~ .. d.I:J.§t:a;~~J.Cp:lil.~'Wál:ç'ão. Felizmente, . tais subconjuntos>'iiã~:::adffiis~tveis -~·ã;;'~-~~rgem nas aplicações e, por isso, nãO ·'cU:idii.reÍxios:r dê)es . aqui. Na exposição subseqüente, será admitido : tacit~fn~ri't~ ~'que $empre que nos referirmos a um evento, ele .será da espécié :.4u'ê' j~ ~éljriitimos considerar. · · · , ~ · · · Agora, poderemos empregar as várias téGnicas .·de combirtar con- juntos (isto é, eventos) ~ obter novos ·. conhintô~·~· {istó ê, ·eventos), os quais já apresentamos anteriormente. · · . (a) Se A e B forem eventos, A U B será o evento que ocorrerá se, e somente se, A ou B (ou ambos) ocorrêreri\: (b) Se A e B forem eventos, A nB será .o .evel).to que ocorrerá se, e somente se, A e B ocorrerem. (c) Se A for um evento, A será o evento que ocorrehí se, e so- mente se, não ocorrer A. (d) Se A~> . : . , An for qUalquer coléção Íinita deeve~tos, então, U~-1 A; será o evento que ocorrerá se, e somente·se, ao menos um· dos eventos A; ocorrer. ···, (e) · Se A 1, ... , An for qualquer coleção finita de eventos, então n~-1 A; será o evento que ocorrerá se, e somente s~, todos os eventos A; ocorrerem. . . . U) Se A~> ... , An, . .. · for qualquer coleção infini~a (numerável) de eventos, então, Ui-- 1 A; será o evento que ocorre~~ se, e somente se, ao menos um dos eventos A; ocorrer. (g) Se A 11 •• • , An, ... for qualquer coleção infinita (numerável) ' • (Q .. . .:.. . • - .•. :.. . - · : . de eventos, então, ();=1 A; será o evento que ocon.'erá se1 e soinente se, todos os eventos A; ocorrerem. (h) Suponha.se que S represente o espaço amo~f:.L~L~sociado a ~;~~~~~;:;::~~:i~:i::~~~f!~~:;:::::::~;:~;:· ·~~~::;!=~~::· (i) o exemplo contido em (h) pode, obviamente, ser generalizado. Considerem~se n repetições de um experimento & cujo espaço amostràl sejaS: S X S X . .'.X S = {(s 1 , s2 , ••• , sn), si ES, i= 1, •.. , n} :'lr., INf RODUÇÃO À PROBABILfDADE I 15 I representa o conjunto de todos o~ possíveis resultados, quando & for executado n vezes. De certo modd, S X S X ..• X S é ele próprio um . espaço amostral, a saber, o espaçb amostral associado a n repetições . I . . de 8,. I Definição. Dois eventos, A le B, são den~~~Ê_g~,~"t:.@?.tr!mie -ez~ludentes, se eles não puderem 'ocorrer juntos. E~ri;mremos isso escrevendo.,~~t~"'B~rt~~J!lf'''isto é, a 1 interseção de A e B é o conjunto vaziO. I Exemplo 1.4. Um dispositivb eletrônico é ensaiado e o tempo - I . ! total de servjço t é registrado. Admitiremos, que o espaço amostral seja { t it 2:: O). Sejam A, B e cl 1 três eventos definidos da seguinte maneira: A = ·{tjt < 100}; B = {t J.50 '~ t ~ 200i; C.= (tit > 150}. Conseqüentemente, 1 A U B = (tlt ~ 200}; A jn B = {t J50 ~ t < 100}; BUC=(tJt2::50}; BnC={tJ150<t~200}; AnC=O; A u c = {tI t < 100 ou t > 150 J; ~ = {tI t ;::: 100 J; c = (tI t ~ 150 J. I Uma das características fundamentais do conceito de "experi- mento", como foi apresentado n~ seção anterior, é que nÓs 11~0 sa- bemos qual resultado particular Ócorrerá quando o experimento· for . . I realizado. Por ~;mtras palavras, Sf A for um 'evento associado a um experimento, então, não poderembs afirmar com certeza que A irá ocorrer ou não. Por isso, torna-s,e muito importante tentar associar um número ao· evento A, o qual medirá de alguma maneira quão verossírnil é que o evento A venll.a a ocorrer; Essa tarefa nos leva à teoria da prob.abilidade. I i 1.~~efliii&lê~~~a;tiva-), A fim de · motivar a o seguinte procedimento: I Definição. ]A =· nA/n é denominada freqüência relativa do evento A nas n repetições de 8. A f;eqü~ncia relativa f A ap.rese~ta as seguin- tes propriedades, de fácil verificaÇão: . (1) o ~ f A ~ 1. . . I (2) j A = 1 se, e somente se, h. OCOrrer em todas aS n repetições . . I .,, : 16 I IP'ROISAIS8UDAiiJIE (3) !A. :=O se, e somente se, A nunca ocorrer nas;nrepetiçpes. (4) Se A e B forem eventos mutuamerité' ex2ludé#tes;e ~sef~ u B · for a freqüênci!l relativa associada ao ~vento~ ~y ,s, :~B.tio-;]~ •li. fi ·= . = fA + fB. . ... . ···:. ,,_ ,; _ ,_ .. ·. . . (5) fA, .com base em n repétiçõe"s dó ex.periment() 'e' :66nsideiada como uma função de n; "converge" em ceitó "senfído ''prohábilísti_ço paraP (A), quando n -7 oo . · .· · · · ' ' ' • · · Conientárw: A Propriedade (5) está evidentementeexpressada um tanto vagamente, nesta seção. Somente mais tarde (Seç.l2.2), estaremos aptos a tornar esta idéia mais precisa. Por enquanto, podemos a~enas afirmar q_{iê ;a-Propriedade (5) envolve a nÕção nitidamente intuitiva de que a freq üêricia ·relativa, ba5eada em um número crescente de observações, tende a se "estabilizar" próximo. de algum •; valor definido . Este não é o mesmo conceito usual de convergência encontrado em alguma parte da Matemática. De fato, tal co.inó af'rrmamos aqui, esta riãó é, de modo algum, uma conclusão matemática, mas apenas um fato e~pírico. A maioria de nós está intuitivamente a par deste fenômeno de estabilização, muito embora nunca o tenhamos verificado. Fazê-lo exige considerável porção de tempo e de paciência, porque inclui um grande número de repetições de um experimento. Contudo, algumas vezes, poderemos ser ingênuos observadores deste fenômenô, como ilustra o seguinte exemplo: Exemplo 1.5. Admitamos que estejamos postados na calçada e fixemos nossa atenção em dois blocos de meio-fio adjacentes. Suponha-se · que comece a chover de tal maneira que sejamos realmente capazes de distinguir pingos isolados de chuvà e registrar se esses pingos caem num . meio-fio ou noutro. Ficamos a observar os pingos e a anotar seu ponto de impacto. Denotando o i-ésimo pingo por Xi, onde Xi = 1 se o pingo cair no primeiro meio-fio, e igual a O se . cair no outro, poderemos observar uma seqüência como, por exemp1o, 1, 1, O, 1, O; 0,0, 1, O, O, 1. É evidente que não seremos capazes de prever onde um particular pingo irá cair. (Nosso experimento consta de alguma espécie de situação me- teorológica que causa a queda dos pingos de chuva.) Se calcularmos a freqüência relativa do evento A ·= { ci pingo cai no meio-fio 1}, então, a seqüência de resultados acima dará origem às Seguintes freqüências relativas (baseadas na observação de 1, 2, 3, ... pingos): 1, 1; 2/3, 3/4, 3/5, 3/6, 3/7, 4/8, 4/9, 4/ 10, 5/11, ... Esses números e .. videnciam um elevado grau de variação, especialmente no início. É intuitivamente evidente que, se o experimento acima continuasse indefmidamente, essas freqüências relativas iriam se estabilizar próximas do valor 1/2. Canse- . _qüentemente, teríamos toda razão em acreditar que, depois de algum tempo decorrido, os dois meios-fios estariam igualmente molhados. ~ ' .·, ·i Oi\!TRODUÇÃO À IP'IROBABIUDADE I H Esta propriedade de estabilidade da. freqüência relaJ;j.va é, por enquanto, uma noção inteiramente intuitiva, porém mais tarde es- taremos aptos a torná-la matematicamente precisa. -~êl:lêí:ã ~§ÍI!i"1fproprieda<!?.:ê';_g,ile'{-Se"~experimentó:ri'er--execntad&"uitr::gr.ande o· , n~~l!o~1le-ve~~S'Fa-frequên:'êÍa-tei!tti~"ª:idaii".éeórtên,Ç!ií.~c.:-álgum.;evento . .q..i4iii~~'hde~a""'i''~:ar.'º-~-.::ovez,"'mêíiõ,ili:;:rn.edi~que,.O""-nYmero~d,~:,re~·- . : ... ·t~~~r?allli!.~-P~~d"ã:- Esta caracterfstica é também conhecida como regularidade estatística. N 6s fomos um tanto vagos em nossa definição de experimento. Quando um procedimento ou mecanismo constituirá, em nossa acep- ção, um experimento capaz de ser estudado matematicani:ente por meio de um modelo não-determinístico ? Já afirmamos, anteriormente, que um experimento deve ser capaz de ser realizado repetid;unente, sob condiçQes essencialmente inalteradas. Agora, podemos acres- centar outra. condição. Quando o experimento for repetidamente realizado, ele deverá apresentar a regularidade estatistica mencio- nada acima. Mais adiante, estudaremos um teorema (denominado Lei dos Grandes Nú:meros) que mostrará que a regularidade .estatís- tica é, de fato, uma conseqüência da primeira .condição: reprodutibi- lidade. .. .. ·~ .. .. 1.7. ·· ~~~~lr:nif~nià~i~~~cfl!~Ni~í1ffi;dade Voltemos agora ao problema proposto acima: atri~uir um número a cada evento A, o qual avaliará quão verossírnil será a ocorrência de A quando' ·o experimento for realizado. Uma possivel maneira de tratar a questão seria a seguinte:--repetir o experimento um grande número de vezes, calcular a freqüência relativa fA e utilizar esse nú- mero. Quando record;nnos as propriedades de j A, torna-se evidente que este número fornece uma informação muito precisa de quão ve- rossímil é a ocorrência de A. Além disso, sabemos que à medida que o experimento se repetir mais e mais vezes, a freqüência relativa f A se estabilizará próxima de algum número, suponhamos · p. ,···Há, con- tudo, duas sérias objeções a esta maneira de tratar a questão: (a) Não está esclarecido ·quão grande deva ser n, antes que se cenheça o n~ mero: 1.000 .? 2.000? 10.000? (b) Uma vez que o experimento tenha sitio c~mpletaÍnente · descrito e o evento A especificado, o número · que estamos. procurando não deverá depender .do experimentador ou da particular veia de sortE) que ele possua. (Por exemplo, é pos- sível que uma moeda perfeitamente equilibrada, , .quando jogada 10 vezes, venha a apresentar 9 caras e 1 coroa. A freqüência rela- tiva do evento A = {ocorrer cara} seria, nesse caso, igual a 9/10 • . 18 I PROBABILIOADE !\o entanto, é evidente que nas próximas 10 jogadas o padrão de caras e coroas possa se inverter.) O que desejamos é um meio de obter tal número, sem recorrer à experimentação. Naturalmente, para. que o número que convencionarmos tenha significado, qualquer experimentação subseqüente deverá produzir uma freqüência rela- tiva que seja "próxima" do valor convencionado, particularmente se o número de repetições, no qual a freqüência relativa calculada se tenha. baseado, for muito grande. Nós procederemos, formalmente, da seguinte maneira: Definição. Seja e um experimento. Seja S um espaço amostral associado a e. A cada evento A associaremos um número real re- presentado por P(A) e denominado probabilidade de A, que satisfaça à.s seguintes propriedades: (1) O ~ P(A) ~ 1. (2) P(S) = 1. (1.3) (3) Se A e B Corem eventos mutuamente excludentes, P(AUB)= = P(A) + P(B). (4) Se A 11 At,. .. , An,. . . forem, dois a dois, eventos mutua- mente excludentes, então, Observe-se que da Propriedade 3, decorre imectiatamente que, para qualquer n finito, A Propriedade 4 não se seguirá; no entanto, quando considerarmos o espaço amostral idealizado, esta propriedade será imposta e, por isso, foi incluida aqui. A escolha das propriedades da probabilidade acima relacionadas é, obviamente, sugerida pelas correspondentes cara.ctcnsticas da frcqüência relativa. A propriedade, antes mencionada como regu- laridade estatística, será mais adiante vinculada a esta definição de probabilidade. Por enquanto, nós apenas afirmamos que se pode mostrar que os números P(A) e f A são "próximos" um do outro (em determinado sentido), se }A for baseado em um grande número de repetições. ~ este fato que nos dá a justificativa da utilização de P(A) para avaliarmos quão verossímil é a ocorrência de A. Por enquanto não sabemos como calcular P(A). Nós apenas arrolamos algumas propriedades gerais que P(A) possui. O leitor INTRODUÇÃO À PROBABILIOAOE I 19 terá que ser um pouco mais paciente (atê o próximo capitulo), antes quE' aprenda como avaliar P(A). Antes de voltarmos a esta questão, vamos enunciar e demonstrar várias conseqüências relacionadas a P(A), que decorrem das condições acima e que não dependem da ma- neira pela qual nós realmente calculamos P(A). Teorema 1.1. Se 0 for o conjunto vazio, então P(0) =O. Demonstração: Para qualquer evento A, podemos escrever A = A U 0. Uma vez que A e 0 são mutuamente excludentes, decorre da Propriedade 3, que P(A) = P(A U 0) = P(A) + P(0). Daqui, a conclusão do teorema é imediata. Comentário: Mais tarde, teremos oeasiAo de ver q11e a reciproca do teorelllA acima nAo é verdadeira. lst.o é, se P(A) • O, nlo poderemos, em geral, concluir que A - 1!, porque existem situações nasquais atribuú:nos probabilidade zero a um evento que pode ocorrer. Teorema 1.2. Se à for o evento complementar de A, então P(A) = 1 - P(Ã). (1.4) Demonstração: Podemos escrever S = A U à e, empregando ~ Propriedades 2 e 3, obteremos 1 = P(A) + P(Ã). Ccmwmtório: Este é um resultado puticulannente útil, porque ele significa que sempre que desejarmos avaliar P(A), poderemos cs.lculu P(Ã) e, depois, obtermos o resultado desejado por subtração. Veremos mais tarde que, em mui- Ws problemas, é muito mais fácil calculu P(ii) do que P(A). Teorema 1.3. Se A e B forem dois eventos quaisquer, então P(A U B) = P(A) + P(B)- P(A () B). (1.5) Demonstração: A idéia desta. demonstração é decompor A U B e B em dois eventos mutuamente excludentes e, em seguida, aplicar a Propriedade 3. (Veja o Diagrama de Venn na Fig. 1.2.) Desse modo escreveremos A U B = A U (B () A), B = (A () B) U (B () A). Conseqüentemente, PfA U B) = P(A) + P(B () Ã), P(B) = P(A (J B) + P(B () A). .~ · ' r i.;•' i .r~ ,. { ,, .. .... ' I r I I i .! I. ' l : ~ . 20 I PROBABOUDADE Subtraindo a segunda igualdade da primeira, . obtém~se .. P(A U B) - P(B) = P(A) ----: P(A íi B) e daí chega-se ao resultado. Fig. 1.2 Comentário: Este teorema representa uma extensão imediata da Proprie-_ .dade. 3, porque se A n B = 0, obteremos do enunciado acima .a. Propriedade 3. Teorema 1.4. Se A, B e C forem três eventos· quaisquer, então P(A U B U C)=P(A) + P(B)+P(C)-P(A íi B)-P(A (')C)- - P(B íi C) + P(A íi B n t:). . (1.6) Demonstração: A demonstração consiste em. escrever A U B U C na forma (A U B) U C e aplicar o resultado do teorema anterior. Deixa-se ao leitor completar a demonstração. Comentário: Uma extensão óbvia do teorema é sugerida. Sejam A ii ... ,· Ak, quaisquer k eventos. Então, k k P(Ar u A2 u ... u Ak) = L P(A;) - L P(A; nA;) + 1=1' i<j=2 k + ·E P{AinA;nAr) + ... +(-I)1HP(ArnA2n .. . nAk). i<j<r=a (1.7) Este resultado pode ser facilmente estabelecido porr indução matemática~ Teorema 1.5. Se A CB, então P(A):::;; P(B). Demonstração: Podemos decompor B em dois eventos mutua- mente excludentes, na seguinte forma: B = A U (B nA). Conse- i:. :; 1: INTRODUÇÃO À PROBABiliDADE I 21 qüentemente, P(B) = P(A.) + P(B nA) ;:::: P(A), porque P(B (I Ã) ;:::: ;;:: O, pela Propriedade 1. . Comentário: Este resultado é, certamente, de conhecimento intuitivo, poill ele afirma que se B deve ocorrer sempre que A ocorra, conseqüentemente, · B é mu.Íll pl'ovável do que A. 1.8. .Aig11.1mas Observações (a) Cabe aqui uma palavra de advertência. Da exposição an- terior poderia ser (incorretamente) inferido que quando escolhermos mp modelo probabilístico para a descrição de algum fenômeno de observação, estaremos abandonando todas as relações determinís- ticas. Nada poderia estar ~ais distante da verdade. Nós ainda utilizãm~; o fato de que, por exemplo, a Lei de Ohm I = E/R vale em determinadas circunstâncias. A diferença seria uma diferença de interpretação. Em vez de afirmar que a relação .acima determina I para E e R dados, admitiremos que E ou R (ou ambos) possam variar de alguma maneira aleatória imprevisível e que,· em conse- qüência, I variará ta'Inbém de alguma forma aleatória. Para E e 'R dados, I será ainda determinado pela relação acima. O impor- tante é que, quando se adotar um modelo probabilístico para a des- crição de um circuito, considera-se a possibilidade de que E e R pos- sam variar de alguma maneira imprevisível, a qual somente pode ser descrita probabilisticamente. . Portanto, desde que tenha sen- . tido considerar somente a probabilidade de que E e R tomem certos valores, torna-se significativo . falar somente · da probabilidade de que I venha a tomar certos valores. -- ~- ·7~~::~=~~iflj[~l~!:~;;~~!f;~~~!~~· depenaercnrcomplicação de nossa técnica de mensuração e da exatidão associada a. ela. Por exemplo, se medidas exatas foremJlfo difíceis de obter que leituras repetidas da mesma quantidade condÚzam a resulta- dos variados, um modelo probabilístico será sem dúvida mais adequado para descrever a situação. (c) Indicaremo~ resumidamente que, sob certas circunstâncias, teremos condições de fazer hipóteses adicionais sobre o comportamento probabilístico de nossos resultados experimentais, as quais nos conduzi- rão a um método de avaliação das probabilidades básicas. A escollia dessas hipóteses adicionais pode ser baseada em 'considerações físicas do experimento (por exemplo, propriedades de simetria), evidência empí- .,. ; - - ·. ~' ~:" . . 22 I PROBABILIDADE rica ou, em alguns casos, apenas julgamento :<pesspãl,>bàseado em experiência anterior de uma situação similar! A IreqJ.iêl1ciâ relativa fA pode desempenhar um importante papel em nossa 'deliberação sobre a atribuição numérica de P(A). Contudo,~ imponànte''·'coriÍ~ieender que qualquer suposição que façamos sobre P(A) deve '''s~r 'fajY:qú'~ " ~êjam satisfeitos os axiomas básicos desde (1) até (4)daDefuiiç'ãô·{1.3): · · · (d) No curso do desenvolvimento da5 idéias bâsicãs datêoria 'da probabilidade, faremos algumas referências a det~rriúnadas. analogias mecânicas. A primeira delas pode ser apropriada a.qili. Etii M~tânica, atribuímos a cada corpo B sua massa, digamos m(.B)~ ''Effi .§~guút"a'~ fa- remos diversos cálculos e obteremos várias condüsÕÚ sobre o compor- tamento de B e suas relações com outros coipos, iÍxirita(P,as -qliais envolvem sua massa m (B). O fato de que · nós podere·fu.os' ter que recorrer a alguma aproximação para obter reâlméntt m(B) pâra uin . corpo especificado não diminui a utilidade do coritéitó ' de hiassa~ Semelhantemente, estipularemos para cada evento A assocüid.() aoespaÇo amostral de um experimento um número P(A ), denominado 'probabili- dade de A, e satisfazendo nossos axiomas básicos. Ao calci.ílar reallliente P (A) para um evento específico, nós teremos que fazer hipÓteses adicionais ou que obter uma aproximação base ada em evidência. empírica. (e") . 1!; muíto importante compreender que nós tenhamos pos- tulado a existência do número P(A), e que tenhamos postulado de- terminadas propriedades que esse número possui. A validade das várias conseqüências {teoremàs), decorrentes desses postulados, 'de modo algum depende da maneira pela qual iremos obter um valor numérico para P(A). 1!; essencial que este ponto fique claro. Por exemplo, admitimos que P(A U B) = P(A) + P(B). A fim de em- pregar esta relação para a avaliação concreta de P(A U B), deveiemo~ conhecer os valores de ·P(A) e de· P(B). Explicaremos, i-esuffiida- mente, que sob certas circunstâncias, nós poderemos fazer suposiçõês adicionais que conduzam a um método de avaliação dessas probabi- lidades. Se essas (ou outras) suposições não forem fundamentadas, poderemos ter de recorrer à experi~entação a fim de alcançar o valor de P(A) a partir de dados reais. A freqüência relativa fA desempe~ nhará nisso um importante papel e será, de fato, utilizada para apro- ximar P(A). Contudo, é importante saber que j A ,o P(A) ní'ío slto o. rncHllll\ coisn.; que nó11 ~~ponaH ni.iliznrom01-1 j A Jl l~l'l~ t\proJ<iouu• /'(A) ., qt11, li!llllpl'l q111 11011 rt •ft'IÍI'Illll ll 1L /'(ti), 1'1\I ,HIIIIIIIHI 111111 111r11 11tlo IIII Vn loll' \lllll l,llltlclo t 1 1101 11 1fl1nllll11111111111" J~ 1'11111 /'( ,1) , clt 111'1111 1'11111 -~---- ------- -- --- - INT;RODUÇÃO À PROBABILIDADE I 23 [ preender que estaremos tão-somenie substituindo um valor postulado por urna aproximação obtida exp~rirnentalrnente. Quão boa ou má essa aproximação possa ser, de. ~odo algum influencia a estrutura lógica de nosso modelo. Muito ~mbora o fenômeno que o modelo tente representar tenha sido levadÓ em conta na construção do mode- lo, nós nos teremos distanciado dobróprio fenôrnen~ (ao menos tempo- :rariarnente), quando entrarmos no i-eino do modelo. I Problemas I I I I 1.1. Suponha que o conjuntO funqamental seja ÍQI'Ill8do pelos- inteiros. po- mtivos de 1 a. 10. Sejam A= (2, 3, 4) 1, B = (3, 4, 51, e C= (5, 6, 7). Enu- mere os elementos dos seguintes conjuntós: - ·- . - .. I I (a) A n B. (b) A U B. (c) A n ~· (d) A n (B n C). (e) A n (B U C)· 1.2. _ Suponha. que o conjunto ~undamental U seja dado por U = (x!O s; x ~ 2). Sejam os conjunto8 A e B definidos da forma. seguinte: A= (xll/2 < x~ 1) e B = {xll/4~ x < 3/2). Descreva os seguintes con- juntos: I r (a) A U B. (b) A U B. (c) A n IJ, Cd> :A n B. I 1.3. Quais das seguintes relações si\.o verdadeiras? I -(a) (A U B) n (A U C) = A U (~ n C). (b) (A U B) = (A n B) U B. (c) A C\ B = A U B. (d) (A Li B) n c-= A n B n C. (e) (A n B) n (B n C) = e. I i 1.4. Suponha que o conjunto fund~ental seja. formado por todos os pontos (x, y) de coordenadas ambas inteiras, e que estejam dentro ou sobre a fronteira do quadrado limitado pelas retas x = O, jy = O, x = 6 'e y = 6. Eriuroere .os ele- mento,s dos seguintes conjuntoo: ! I (a) A= ((x,y)jx2 + y2 ~ 6). (~) B = ((x,y)Jy~ x~l. _ (c) C = {(x, y)jx ~ y2}. (d) B q1 C. (e) (B U A) n Ç· ! 1.5. Empregue diagramas de Vem\. para estabelecer as seguintes relly;õoa: (a) A C B e B C C implica quk A C C. " (b) A C B implica q\10 A - A n B. (c) A c B I implica que- ·:B c A. (d) A c B ilnpliCII quo A u c c IJ u c. (lll A n B I.; 0 e c c A implicam quo B () c - 0. 1 ,0, I'OI)I 'IIli\ HIU\111 rlr t 1\IHII lill (ll\ dr (HIIf)IIÇ O tlflO 11\1\r()!l,l\iUI 1(1 foi(tullm (/J) '"' 11 o r(tl(ll 1,11111111 (N), ~~~ I)IIIJifl \ ll 1Uijll111l01UIIlrl/1 I! 1111" < llllldl~Jtll l'IIV, Hl.l'l\r),., I , l1rl•t l11 III 11 1 lj\11 tlllr I prl~ll' l tlr1l11 1.111111111 1'111111!111111 '/ll~ ~~~],.lu (u(ll l•tt<llf ti I •(1111 l(llllilo 111 V''~ lt ulttuu llhlu 111~(1111 ' 1111111hlk llltlllo 1(111• '"'"III ""' I" 11111 111 l1111111 r I h riU VI' IIII I IIM~II Ulljllll(l 111(1111' I I '""' ""'" ' '' 2<l I PROBABILIDADE . · · -::-. frj). (a) Uma caixa coi:n N lâmpad!IS contém: r lâmpa<;llj.S ~- (r < ;:?'!) , com fila-: mento partido. Essas lâmpadas são verificadas \l!Íia a urnii, at.é .9ue .l,l!P-11 1~1!! pada défeituosa seja encontrada. Descreva um espaÇ0, ~kÇ;if~i :par~ : este e~ rimento.. .,.... · ' ·· · · ·· '· · ... , .. ,_·_ .. ·"·· ·/· ·-'' · '· . /' ' . • . . . _. , --~ _. <·: ... , __ :,~~ ... ,~ -._.' . (b) Suponha que as lâmpadas ·acima sejam verlficaâili uiriâ' à. •·uma; até que todas as defeituosas tenham sido encontradà.s. Déscreva: fe~p~Çi;: ~m6St~al para este experimento . -~~ '.~ · '. :. . 1.8. Considere ' quatro objetos, á'f-õl:t;ticiiiif;td'!J' . Suponha que a . or~m em que tais objetos sejam :listados represente o resultado de um experilp.ento. Sejam os eventos A e B definidos assim: A. = -fâ"êSf~lll!.~priméha:.-'-Posi~o); . B ~ lb"·el!t:t''ria":se-gnndB."-posição l . · (a) Enumere todos os elementos do ·'es~~m0st1>~J;h- (b) Enumere todos os elemtmtos dos ey~entos<4 n B e A U iJ: 1.9. Um lote contém pe~as pesando 5, 10, 15, .. . , 5Q gr11mas. : Admitamós que ao menos1 duas pe~as de cada peso sejam_ ensontradas no, !<;>te~ Duas ~as sãoretí;adas dà~ I0;te .. Sejam X o peso da pri~eita peça escolhid,a;}l .Y o pe'so q~ segunda. Portanto, o par de números (X, Y) rep_resentá : um .. resultl),do _simples do experii:ne\lto. Empregando o plano XY, marque o espaç.o amostral~ os segtün- tes eventos: · (a) [X= Y). (b) !Y> XI. (c) A ·segunda pe~a é duas vezes mais pesada que a primeira. (d) A primeira peÇa pesa menos 10 ~ama$ que a segtmda -p~a. (e) O peso médio de duâs p~ças é meno~ do ~ue 30 gramas.·· Q;;) burante-:m ;~~rodo de 2~--horas, ein algum moment:O X, uma chave é posta na posição "ligada". Depois, em algum momento futuro Y (ainda du- rante o mesmo período .de 24 horas), a chave é virada para a posi~ão "desligada". Suponha que X e Y sejam medidas em horas, no eixo dos tempos, com o início do período na origem da escala. O resultado do experimento é constituído pelo par de números (X, Y). (a) Descreva o espaço amostral. (b) Descreva e marque no plano XY os seguintes eventos; (i) O circuito está ligado por uma. _hora ou ~enos. I (Ü) O circuito está ligado no tempo z, onde zé algum instante no período dado de 24 horas. . (iii) O circuito é ligado antes do tempo lt e desligado depois do tempd 12 (onde também 11 < t2 são dois instantes durante o período de 24 -hora.S· especificado). (iv) O circuito permanece ligado duas vezes mais tempo do· que desligado. /f:11'1 Sejam A, É e C três eventos associados a um experimento. Exprima em ~~ões de conjuntos, as _segtüntes afirmações verbais: Ao menos um dos eventos ocorre. Exatamente um dos eventos ocorre. INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE I 25 (r) Exatamente dois dos eventos ocorrem. (d) Não pais de dois dos eventos ocorrem simultaneamente. 1.12. Demonstre o Teor 1.4. l ' 1.13. (a) Verifique que para dois eventos quaisquer, Ar e A2, temos que P(Ar U A2) S P(Ar) + P(A2) .. (b) Verifique que para quaisquer n eventos Ar, . . . , An, temos que P(Ar U . .. U An) S P(Ar) + ... + P(An). (Swestdo: Empregue a indução matemática. O resultado enunciado em (b) é denominado desigualdade de Boole.] . ~.14. O Teor. 1.3 trata da probabilidade de que ao menos um de dois eventos A ou"B ·o~rra. O seguinte enunciado se refere à probabilidade de que exalmMnte um deis eventos A ou B ocorra. Verifique que P[(A () B) U (B () A)] ·= P(A) + P(B) - 2P(A () B) . . @ J ~;n certo tipo de motor _ elé~ri~ falha se ocorrer uma das seguindteass srtuàçoes: emperramento dos :r,nancars, querma dos enrolamentos, desgaste escovas. Süponha que o emperr~tnén);o seja· dua.s vezes ma i~ pr.ováyel do que 1\ queima, esta ·sendo quàtro -..:e~es mais pro~ável 'do 'que ' o 'fles~alite, dàs es~ovas: . ' Q;at,será. ·a;' ProBabilidàde de 'que-a--fàlba · seja~flevida' a _c.ada um~· dessas\ circun 1 s- tânçill.ll? . ,, ,. ~-,.. / • ·'.<! ")~':1"6.) Suponha que_ A .e B sejam eventos tais que P(.Á) = x, P(B) = y, e P(~~) = i. · Exprima cada uma das seguintes probabilidades em termos de x, y e z. (~) P(à U B). (b) P(à () B). (c) P(A U B). (d) P(A n Ii). 1.17. Suponha que A, B e C sejam eventos tais que P(A) = P(B) = P(C) = = 1/4, P(A n· B) = P(C () B) = o e P(A () C) = 1/8. Calcule a probabilidade de. que ao menos um. dos eventos A, B ou C ocorra . .r;?:~·· . '-r.1-8. Uma instalação é constituída de duas caldeiras e umamáquina.Admita que o evento A seja qqe a _!TI~quina esteja em boas condições de funcionamento, enquanto. ,os ~veritos Bk (k := 1, :n são os eventos-de que a k-ésima caldeira esteja em boas condições. O evento C é que a instalação possa funcionar. Se--a instalação puder funcionar sempre que a máquina e pelo menos urria.das caldt;jras funcionar, expresse os eventos C e C, em termos de A e dos Bk. ' .~"'"',;~_...;., )~ ('.....t.ts~· Um mecanismo tem dois tipos de unidades: I e · II_. Suponha que .se disponha de duas unidades do tipo I e três unidades do tipo I( Defina os eventos Ak, k= 1, 2eBj,j= 1, 2, 3 daseguintemaneiía:Ak:ak-ésimaunidade do tipo I está funcionando adequadamente; Bj= aj-ésima unidade do tipo II está funcionan- do adequadamente. Finalmente,· admita que C represente o evento: o mecanismo funciona. Admita que o mecan1smo .funcione se ao menos uma unidade do tipo I e ao menos duas unidades do tipo II funcionarem; expressé o evento C em termos dosAk e dosBj. I , · 1 ·.;' . . ' ... , '~ Espaços Amostrais Finitos Capí.tulo 2 2.1. Espaço Amostral Finito Neste capítulo nos ocuparemos unicamente de experimentos para os quais o espaço amostral S seja formado de um número finito de elementos. Isto S A fim de caracterizarP(A) para este modelo, deveremos ini..: 'cialmente considerar o evento formado por um resultado simples, algumas vezes denominado evento simples ou elementar, A ~ {a;}. Procederemos da seguinte maneira: A cada evento simples {a;} associaremos um número p;, deno- minado probabilidade de {a;} 1 que satisfaça às seguintes condições': (a) p;;,:::o, i= 1,2, ... ,k, (b) P1 + P2 + ... + Pk = 1. [Porque {a;) é um evento, essas condições devem ser coerentes com aquelas postuladas para as probabilidades dos eventos em geral, como foi feito nas Eq. (1.3). É fácil verificar que isso se dá.] Em segu_ida, suponha-se ,que um evento A seja constituído por r resultados, 1 :::; r:::; k, a saber · · onde j;, j~,;· ., ;};representam mn qualquer'<'.Q§~;fq,~tfêsj de 1 até k. Conseqüentemente, conclui-se da Eq. (1.3), Propriedade 4, que i 1 I I ESPAÇOS AMOSTRAiS fiNiTOS 1 27 • "?>~~.'õ'.':..~~~~~-- --~- - • • - ! • I ~~~!~t~~~'f"!'·a atnbmçao dr probabilidades Pi a cada evento elementar {ad, sujtjto às condições (a) e (b) citadas anteriormente, determina ~,.:~~~~nte P(A) para lcada evento A C S, onde P(A) é dado pelãE~f~'t} 1 . , . Para avaliarmos os p; individuais, algllina hipqtese referente aos resultados individuais de_ve seJ feita. . · Exemplo 2.11.. Suponha-se que somente • tres resultados sejam possiveis em um experimento, a saber, ah .<li e a3• Aléni .disso, su- ponha-se _que. a1 seja duas vezes Fis provável de o.correr que a2, o qual por sua vez é duas vezes mai~ provável de ocorrer que a3• Portanto, P1 = 2p2 e P2 = 2p3. Já que P1 + P:l + P3 = I, te- remos 4pa + 2pa + pg = 1, o qul finalmente dá 1 I 2 4 Pa = 7• P2l 7 e P1 = T· Comentdrio: Ns exposição que se .. $egue, empregaremos a expressão "igual-i . mente verossúneis" para signüicar "igu~lmeote prová'\éis". A hipótese mais co~um~nte I feita para ;espaços amostrais fini- tos é a de que todos os . sejam igualmente verossímeis. • \ I • Esta · hipótese nãO pode ser, · tomada como segura; ela deve ser cuidadosamente justificada. ;Existem muitos experimentos para os quais tal hipótese é assegurad11, mas existem também muitas si- . tuações experimentais nas quais i seria · absolutamente errôneo acei- tar-se essa suposição. Por exeJ?~lo, seria b~~;Sta.nte irreal supor que seja igualmente verossímil não ocorrerem chamadas telefônicas em um centro entre 1 e 2 horas da ~adrugada e entre 17 e 18 horas da tarde. I "'~~==~~· l-~·rução P1 + ... + p~c =:= 1 torna-se kp• = 1· para todo, i. t Disto de- , formado de r resultados, teremos 1t muito importante ··C· om.onleii.der que a expressão de P(A) acima é apenas uma cons~qüên~i~ qa de,, que todos, os resultados o"::\ 28 I PROBABILIDADE sejam igualmente verossimeis, e ela é aplicável somente . quandO essa suposição for atendida. Ela certamente não serve como .· uma · defi- nição geral de probabilidade. ·- Exemplo 2.2. Um dado é lançado e . todos os r~sriliados se su- põem igualmente verossimeis. O evento A ·-~c~r~er'á. se, e. somente se, um número maior do que 4 aparecer, isto é, A =:: { 5, ' 6}: Con- seqüentemente, P(A) = 1/6 + 1/6 . == 2/6. r-:>\ ~ v Exemplo 2.3. Uma moeda equilibrada é · at_irada .. çluas vezes. f_ W Seja A. o evento: {aparece uma cara). Na avaliação _de P(A), a ~ ~ análise do . . problema poderia ser a seguinte: O espaço amostral é -~ 3 S ={O, 1, 2} onde cada resultado representa o número _ de ~aras ~ que ocorre. Portanto, seria encontrada P(A) ;, 1/3! Esta análise ~ é obviamente incorreta, porque no espaço amostral.cónsiderado aci~a; ' =r todos os resultados não são igualmente verossímeis. A fim de aplicar · !f os . métodos expostos, deveremos considerar. em s .eú lugar o espaÇo t amostral '= IHH, HT, TH, TT}, onde H ·i:épresenta cara, e ·T -. oroa. Neste espaço amostral todos os resultados são _ igualJ!lente verossimeis e, . por isso, obteremos como soluçãó cbrreta de · nosso problema: P(A) = 2/4 = 1/2. Poderíamos empregar corretamente o· · espaço S da seguinte maneira: Os resultados O e 2 ··são igualmente verossímeis, enquanto o resultado 1 é du~s vezes mais provável que qualquer um · dos outros. Portanto, P(A) =: 1/2, o que concorda com a resposta anterior. Este exemplo ilustra dois aspectos. Primeiro, deveremos estar bastante I SegUrOS de que tod~S OS resultados pOSSam SUpOr-Se igual.:_ mente verossíme\s, .antes de empregar o procedimento 'acima. Se- gundo, poderemos freqüentemente, por uma escolha apropriada do espaço· amostral, reduzir o problema a outro, em que todos os resul- tados seja,;_ igualmente verossímeis. Se~pre 'qne possível, isto deve . ser feito r porque g~ralmente· , torna o cálculo . máis si.rhples. Este aspectQ.será-de novo mencionado em exemplos subseqüentes. Muito freqüentemente, a maneira pela qual o experimento -é executado determina se os result!tdos possíveis são igualmente ve- rossímeis ou iíão. Por exémplo, suponha-se que retiremos um para- fuso de uma caixa /que ·coiitenh~ tr~s parafusos de tamanhos dife~n tes. Se simplesmente escolhermos o parafuso este:rrdendo a mão dentro da caixa e apanhando aquele que tocarmos primeiro, é óbvio que o parafuso maior terá maior probabilidade de ser escolhido que os outros dois. No entanto, etiquetando cuidadosamente cada para.:. fuso com um número, escrevendo o número em um ·cartão, é esco- ~ . IESI?AÇOS AMOSTIRA~S .fiNDTOS I 29 lhendo um cartão, tentaremos garantir que cada parafuso tenha de fato a mesma probabilidade de ser escolhido. Assim, poderemos nos meter em enorme trabalho a fim de assegurarmos que a suposição matemática de resultados igualmente verossímeis seja de fato apro- priada. ' Nos exemplos já vistos e em muitos que se seguirão, trataremos d:a escolha ao aeliso de um ou mais objetos de uma dada coleção de ~:.~;~::::::;~~,::=:!::!~~:~~~~::foe';:/:ion'hamQ~. (a) Escolher ao acaso.um obJeto, dentre N objetos, significa qiUle cada objeto tem ã mesrn.a: Pl)Obabilidade de ser esc,o!hido, isto é, · · -b ~ ). r · . ~ "· ,.~~·), Pro (escolher a;= lN, t = 1, 2, ... ,N. o l'!.'J.,<;~':?Gi':J/"i,::fc, . .-1, ~..11"1 í((j de·:;, ~ ' ""r/Z (b) Escolher ao acaso dois obJetos, dentre N objetos, significa que cada par de objetos (deixada a'ordem à partertem a mesma pro- babilidade de ser escolhido que qualquer outro par. Por exemplo, se devemos escolher ao acaso dois objetos dentre (ai; a2, as, a4), obter a1 e a2 é então tão .provávêl quanto obter a2 e as etc. '·Esta for~ula ·r;ão'"levanta-imediatamente a questão de quantos pares diferentes existem. Admita-se que existam K desses pares. Então, a proba- bilid~-;!,~~~R~/K. Logo,, Vft~~:m;,ç§~i~2:S~l~~iS~?). /,..........(~) Escolher ao acaso n objetos (n ::; N) dentre N objetos signi- / fica que cada ~nupla, a saber a;,, a;,, . .. , a;n é tão provável de ser / escolhida quarito qualquer outra ~nupla. ,. / i Comentário: Já sugerimos acima que se deve tomarextremo cuidado durante ., o procedimento experimental, para assegurarmos ,que a suposição matemática q~ ~ / , ..... . ) . • • I 1 .:-~ t• =-+ ~ .• 4 .tl .P~-<J ~"'Y) \ "escolher. ao acaso" seJa atendtda.. .t ,, r1• .1 ; ... r , i li ·, ,<'= "'\ C ÇJ L-.· jlt,1 '-·· '"" \ .. . 1 . -~''{_ t:· " ~ ~e.. ' ·~ r. t.,.,.,. . ..,.. - or:';;....-r- .., . \~.--·'if'> €;--~/t.NiVJ;Dt. ?ki de . v , . 2.3. Métodos de Enumeração Deveremos fazer uma digressão, a esta. altura, para aprendero mos como enumerar. Considere-se novamente a forma já vista de P(A) a saber P(A) = r/k, :'Onflfu~Ji~O'inlffil:ero"'io:t·a:l;;€hle:matt:eir.a:s..--. -~;~:::~!!1:~=:~~;:~;~~~t~~;~!!!~~~;:~:;:~~:~~:" . aqui;-pequena difi~uld~de-foi ençontrada para calcular r e k. · Mas nós precisamos estudar sit~ações apenas um poupo mais complica- das, para percebermos a necessidade de alguns procedimentos siste- máticos de contagem ou enumerâção.I li I ,, 30 I PROBABIUDADIE / lp _,. / ,:;ljl~~~{~~~r,·.~ Uma partida de cem peças ,é ,comppsta ,de ~O . peçM-defeituosas e 80 peças perfeitas. n ·ez dessas .. peçás 'são esco- lhidas ao acaso, sem reposição de qualqu~r peça· escolhida antes que a seguinte seja escolhida. Qual é a probabilidade de que exatarnente metade das peças escolhidas seja defeituosa? · · Para analisarmos este problema, consideremos ·o seguinte ·espa- ço amostral S. Cada elemento de S é. constituÚ:lo deqez possíveis peças da partida, (i,, i2, . . . , i,o). Quantos resultádos des~es existem? E dentre esses resultados, quantos têm a característica de que exa- tamente a metade das peças seja defeituosa? Nós, evidentemente, precisamos ter condições de responder a tais questões a fim de resol- vermos o problema em estudo. Muitos problemas semelhantes dão origem a questões análogas. N'nST"puucmí:::i)eç~egumte~...,a.p.re~ tãiêffio'S'::~àlgumas=téeni:cas~si1fteiji4Hj~.as,,;dg~êriDttmY.a~aeo Suponha-se que ·um procedimento possa ser de n 1 ma~eiras. Admita'-se que um- segundo procedimento, designado por 2, possa ser executado de n2 maneiras. Suponha-se, também, que cada maneira de e~ecutâ.r 1 possa ser· seguida por qualquer daquelas para executar 2. Então, o procedimento formado por 1 seguido de 2 poderá ser executado de n 1 • n 2 maneiras. Para indicar a validade deste priiJ.cipio, é ~ais fácil considerar o seguinte tratamento sistemático; p i"íg. 2.1 COnsiderem-se um ponto P e duas retas L 1 e L2. Admita-se que o procedimento 1 consista em ir de P até L1, enquanto o procedimento 2 consista em ir de L 1 até L2• A Fig. 2.1 indica como o resultado final é obtido. Comentário: Obviamente, esta regra pode ·ser estendida a qualquer número de procedimentos. Se existirem k procedimentos e o i-ésimo procedimento puder · set executado de n,; maneiras, i = 1, 2, .. ; , k, então o proc.edimento formado por 1, seguido por 2, .. . , se'guido pelo procedimento k, poderá ·ser executàdo de l'l1ll:! • • • nk rrumeiras. ESPAÇOS AMOSTRAIS FINITOS I 31 Exemplo 2.5. UDll). peça manufaturada deve passar por três estações de controle. Em cada estação, a peça é inspecionada para determinada característica e marcada adequadamente. ~a primeira estação, três classificaçõe..> ~il.o possiveis, enquanto nas duas últimas, quatro classificaçõe!l são po!~!l{veis. Conseqüentemente, exilitem 3 - 4 - 4 = 48 maneiras pela:; quais uma peça pode ser marcada. B. Regra da Adição. Suponha-se que um procedimento, de- signado por 1, possa ser realizado de n1 maneiras. Admita-se que um segundo procedimento, designado por 2, possa ser realizado de n2 maneiras. Além disso, suponha-se que não seja possível que ambos os procedimentos l e 2 sejam realizados em conjunto. Então, o número de maneiras pelas quais poderemos realizar ou I ou 2 será n1 + n2. Novamente, empregaremos um tratamento esquemático para nos convencermos da validade da regra da adição, como a Fig. 2.2 indtca. p L,~l, Fig. 2.2 Comenúirio: Esta regra também pode ser generalizada da seguinte maneira: Se existirem k procedimentos e o i-ésimo procedimento puder ser realizado de n; manein.s, i ~ 1, 2, ... , k, entAo, o número de m&neiras pelas quais poderemos realizar ou o procedimento 1, ou o procedimento 2, ou ... , ou o procedimento k, é dado por n1 + n2 + _ . + nA:. supond<H!e que dois quaisquer deles nlo se pos- sam realizar co llJltament.e. Exemplo 2.6. Suponha-se que estejamos planejando uma via- gem e devamos escolher entre o transporte por ônibus ou por trem. Se existirem três rodovias e duas ferrovi~, então existirão 3 + 2 = 5 caminhos disponíveis para a viagem. C. Permutações e Arranjos. (a) Suponha-se que nós temos n objetos diferentes. De quantas maneiras "p" poderemos dispor (per- mutar) esses objetos 'l Por exemplo, se tivermos os objetos a, b e c, P<>deremos considerar as seguintes permutações: abc, ccb, bac, bca, cab e cba. Portanto, a resposta é 6. Considere-se, em geral, o se- ... ._ __________________________ __ ·'I . 32 I I"ROBAB!UOADIE O primeiro comparti,mento pode ser ocupado por qualquer uma das n maneiras, o segundo compartimento por qualquer u~a. das (n - 1) maneiras, .. . , e o último comparÜmentO apenas por uma maneira. Portanto, aplicando-se a regra da multiplicação, vista acima, verifica-se que a caixa poderá ser carregada de n(n-1) (n- 2) . .. 1 maneiras. Este número aparece tão freqüentemente em Matemática que se adotam um nome e um símbolo especiais para ele. Definição. Sendo n um inteiro positivo, definimos n! = · (n)(n- I) (n- 2) ... 1 e o denominamos fatorial de n. Também definimos O!= 1. Dessa maneira, o número de permutações de n objetos diferen- tes é dado por (b) Considerem-se novamente n objetos diferentes. cA<gQp§t9:~- .• ~~~::;~fi!!~~~~~~:;~!e~v:!~:!~~~-~:;;r-~~~~~~]1!~3~~~~: , por ::11Jf;. ··Recorremos novamente ao esquema acima, de encher uma caixa de n compartimentos; desta vez simplesmente paramos depois que o compartimento de ordem r tenha sido ocupado. Assim, o pri- meiro compartimento pode ser preenchido de n maneiras, o segundo de (n- 1) maneiras, ... e o de ordem -r de n- (r- I) maneiras. Portanto,- o procedimento completo poderá ser executado, novamente aplicando-se a regra da multiplicação, de n(n -'- 1) (n - 2) ... (n- r + 1) maneiras. Empregando a notação · de fatorial, introduzida acima, poderemos escrever D. Combinações. C.on8iderem-se, novamente, n objetos dife- rentes. Agora, trataremos da cont&g<em do número de mweiras de ESPA'ÇOS AMOSTRAIS FINITOS I 33 escolher r dentre esses n objetos sem. considerarmos a ordem. Por exemplo, temós os obj~tos a, -b, ~ ';':Z/ ~ :; =: 2; desejainQ~· contar ab, ac, ad, bc 1 bd e cd; por outras palavras, não contaremos ab e ba, por- que os mesmos objetos estão incluídos e somente a ordem é diversa. Para obtermos o resultado geral, recordaremos . a· fórmula dedu- zida acima: o número de maneiras de escolher r objetos dentre n, e permutar os r escolhidos é n!/(n- r)! Seja C o número de maneiras . de escolher r denl;re os n, não considerada a ordem. (Isto· é, C é o número procurado.) Observe-se que, uma vez que r objetos tenham sido escÓlhidos, existirão r! maneiras de permutá-l~s. Conseqüen-:- temente, aplicando~se novamente a regra da multiplicação, junta- mente com esse resultado, obteremos C 1 __ n! r.- (n- r)! Portanto, o número de maneiras de escolher r dentre n objetos dife- rentes, não se considerando. a ordem, é dado por. C= . n! . r!{fl.- r)! Este número surge em muitas passagens da Matemática e, por isso, um símbolo especial é empregado pará éle. Escreveremos rl(n~ r)! = ( ~) Para nossos objetivos atuais, ( ~) somente fica definido para n in- teiro positivo e r um inteiro tal que O :5_ r :5_ n. Contudo, pode- remos definir (~) · de modo mais geral, para qualquer número real n e para qual<Iuer inteiro não negativo r, na forma seguinte: ( n) = n(n-l)(n-2) ··· (n- r+ 1). r r! . Os números ( ~) são freqüentemente denominados coeficientes bino- miclis, porque eles. aparecem como co!)ficientes no desenvolyimento da <e;lq)ressio binomial (a+ b)n. I Se n for um inteiro positivo, (a+ w = = (a+ b) (ar+ b) ..• (a + b). Q~ando a multiplicação tiver sido eKecutada, cada termo será formado de k elementos a, e de (n - k) elementos b, k =O, 1, 2, .. . ,n. Quàntos te~osda forma akbn-k 34 I PROBABiLIDADE existir~? Simplesmente contaremos o númeci ,iJ.e>lniuiei.ráB posSf .. veis de escolher k déntre os n elemen~s a, ·débiandó deiãdó a'otdém. Mas isw é justamente dado por ( ~) ~· Dai ob~rtridso "~Jeé collhe- cido como o reorema birwmial: (a+ b)" ~ ± (n)a~bn-k_ . ·. . •-o k . . (2.2) Os números (;)apresentam muitas propriedades in~~ess;mtes, ape- nas duas das quais mencionaremos
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