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• ' .. · ' :::. :;:. · . 1- ,/.' Íl: ' \ I": l l · L IPROBABIUDADE CONDiCIONADA E INDEPENDÊNCIA I 47 I (b) P(A I .8) = P(A í1 B)/P(B) I= [P(A)/P(p)l ~ P(A), já que O~ P(B) ~ 1. i (c) P(A IB) = P(A í1 B)/P(B) \= P(B)/P(B) = 1 ~ P(A). . (d) Neste caso nada poderem4s afirmar spbre a grandeza rela- tiva de P(A IB) e P(A). 1 . · · · I Observe-se que em dois dos casos acima, P(A) ~ 1 P(A I B); em~ um caso, P(A) ;:::: P(A !B); e no qu~rto caso: não podemos fazer qual- quer comparação~ I . · · Até aqui, empregamos o conceito de probabilidade condicionada . a fim de avaliar a p~obabilidade de [ocorrência conjunt~ de dois even- ;tos. Poderemos aphcar esse conce1to em outra manem• rle calcular • a: ·.probabilidade de um evento suhples A. Necessitaremos ·da se- ·•. g\J'in:te 'definição: f I . Definição. Dizemos que os e~entos B 11 B 2, ••• , Bk representam :uma partição do espaço amostral S, f uando (a) B ; íl Bi . = 0, para todo i ~ j. . I . /c (b) U B; =S. (c9 P(B;) > O para todo i. Explicando: Quando o experimento E é realizado um, e somente I I .· . um, dos {'V~ntos Bi ocorre. I·, · · · (P?r exemplo: na jogada de um dado, B1 ~ 111,_21; B2 = •{3, 4, 5) e B3 = {6} representariam uma partição do espaço amo~trhl, enquanto C 1 = I i, 2, 3, 4) ~ c2 = 't j4, 5, 6) não o representariam.) Fig.·3.3 Consideremos A um evento qual- quer referente aS, e B 1, B2, .. .', B~c uma partição de S. O Diagrama de Venn na Fi~. 3.3 ilusira isso para k = 8. · Portan~o, . poderem~s escrever . I A = A íl B1 U A n B2 U ... U A íl Bk. . . I . . . I . Natura.lmcntc, alguns dos conjunto~ A n Bi poderãó ser vazios, mas . , I . . isso não invalidá essa decomposição de A. O ponto importante é que todos os ~ven.tos A n B11 •• • ,)A í1 B~r, são dois a ,dois mutua- mente excludentes. Por isso, poderemos aplicar a propriedade da . ' I ;•. : '! · I I I I I 48 I IPROBABIUDADIE . , __ ,: adição de eventos mutuamente éxcludentes"[Eq." '(t3)k !e-es~rever P(A) = P(A n B1) + P(A (1 B2) + ~ -.. -+;rDí. :n ~k). ·. ·· :l · · · ;t ... _:: _ _..._!::-· /-.~!- ~ - r,.:f ':. ·' • .. _ Contudo, c'ada termo P(A () B;) pode ser expresso na forma P(iq B;): ·P(B;) c, daí, obteremos o que se denomi;1a o teoremà -'d3: J;;·obaliili- dade total: · ' P(A) = P(AIB1)P(B1,) + P(AjB2)P(B2)+ ... +P(AIBk)~(nS (3.4) - Este resultado representa ~ma relação extré;n~~e,ite .útil, - porque freqüentemeqte, quando P(A) é pedida, p~dc_ ser difícii ,calculá-la diretamcnte. No entanto, com a informação adicional de qÚe B; tenha ocorrido, seremos capa~es de calcula~ P(A.IB;) ~. e~ - seguida, empregar a fórmula acima. · -· - Exemplo 3.4. Consideremos (pela última vez) o lote de 20 peças defeituosas c 80 não-defeituosas, do qual extrairemos duas peças, sem 1·eposição. Novamente definindo-se A e B como iguais lJ. _A = I a primeira peça extraída é defeituosa J, B = I a _segunda peça extraída é defeituosa}, poderemos, agora, calcular P(B), assim: P(B) = P(BIA)P(A) + P(BjA)P(A} Empregando alguns dos "cálculos realizados no Ex:. 3.3, ~ncontramo~ q ue 19 1 20 4 l P(B) = -·-+- ·- = - -99 ' 5 99 5 5 Este resultado pode ser um tanto surpreendente, especialmente se o leitor se recordar de que no início da Seç. 3.1 encontramo!:! que _!(I!) = 1/5, quando extraímos- as peças com reposição. Exemplo 3.5. Uma determinada peça é manufaturada por três _ fábricas, digamos _1, 2 e 3. Sabe-se que 1 produz· o dobro de peças que 2, e 2 e 3 produziram o mesmo número de peças (durante um período de produção especificado). Sabe-se também que 2 por cento - das peças produzidas por l e por 2 são defeituosas, enquanto 4 por · . . 4 ' cento daquelas produzidas por 3 são defeituosas. Todas as peças . produzidas são colocadas em um dep6sito, e dep,ois . uma peça é- ex- traída ao acaso. Qual é a probabilidade de que ess; peça seja de- "ÍE)ituosa? .. , - ·;;<Vamos introduZir os seguintes , eventos: A = I a peça é defei- tuº~~ }-, ~~ = , I a peça provém de 1}, B2 = I a peça provém de 2}, - B.:~ :;::""')~~pe~a provém de 3 J. ::.:; PROBABiUDADIE CONDICIONADA IE iNDEPENDÊNCIA I 49 Pede-se P(A), e empregando-se o resultado acima, poderemos escrever: P(A) = P(A JB1)P(B1 ~ + P(A JB2)P(B,) + P(A IB3)P(B3). Ora,-P(B1)=1/2, enquantó P(B 2)=P(B3)= 1/4. Também, P(AIB1) = = P(A I B2) = 0,02, enquanto P(A I B3) = 0,04. Levando-se esses vm~ lores à expressão acima, encontraremol;l P(A) = 1!},025. Comentário: A seguinte analogia com o teorema da probabilidade total é · observada em Quí~ica:· Sup~nha-se que ternos k frascos contendo diferentes soluções de um mesmo sal totalizando, digamos, um litro. Seja P(Bi) o volume do i-ésirno frasco e seja P(A IBi) a concentração da solução no i-ésirno frasco. Se reunirmos todas as soluções em um só frasco e seP(A) denotar a concentração· da sq~tição resultante, teremos: P(A) = P(A JB1)P(BI)+ ·=·+PIA IBJ,)P(B~~:). Poderemos empregar o Ex. 3.5 para sugerir outro importante resultado. Suponha-se que uma peça seja retirada do depósito e se verifique ser ela d~feituosà~ Qual é a probabilidade de que tenha sido produzida na fábriCa 1? Empregando a notação já introduzida, pede-se P(BdA). Pode- remos calc~lar esta probabilidade como uma conseqüência da seguinte exposição: ·Seja B 1, B2, .. . , Bk uma partição .do espaço amostral S e seja A um evento associado a S. Aplicando-se a definição de pro- babilidade . condicionada, poderemos escrever P(BdA) = ~(A JB,)P(B;) :L j = 1 P(A I B;)P(B;) 1: =: 1, 2,. o., k. ~3.5) Este resultado é conhecido como Teorema de Bayes. É também denominado fórmula da probabilidade das ;,causas" (ou dos "antece- dentes"). Desde que os B.; constituam uma partição do êspaço amos- . trai um, e somente um, dos eventos B; ocorrerá. (Isto ' é, um dos eventos B; deverá ocorrer e somente um poderá ocorrer.) Portanto, a expressão acima nos dá a probabilidade de um particular B; (isto·· é, uma "causa"), dado que o evento A tenha ocorrido~ A .fim de aplicar esse teorema, deveremos conhecer os valores das P(B;). Muito freqüentemente, esses valores são desconhecidos, e isso limita a apli- cabilidade do teorema. ,Tem havido considerável controvérsia sobre o Teorema de Bayes; ele é perfeitamente. correto matemati- . camcnte; somente a escolha imprópria dos P(B;) pode tornar o . resul- tado discutível. ~':'·. -, .. 50 I PRQBABIUDAD!: Voltando ao problema proposto a~ima, , ~ agqra, apltca114o a Eq. (3.5), obtemos: P(B IA) = (0,02)(1/2) . .. . _; - 'o .4··· 0· 1 . . (0,02)(1 /2) + (0,02)(1/4)+JQ;p4)(JL~) ·.:~ ,.' ~. ~ ' Comentário: De novo, podemos encontrar para :ó· Tê:or~inâ ~e . Baye~, uma analogia da Química. Em k frascos, temos soluções docmesino saCporém de concentrações diferentes. Admita-se que o ·volume totaL das ·soluções seja um litro. Denotando por P(Bi) o volume da s~lU:çio do i~êsiino frasco, e a concentra- ção do sal nesse· i-ésimo frasco por P(A lEi), verificaremos que a Eq. (3.5) forneee a proporção da quantidade total do sal que é encontrada; no·i-ésimo frasco. O seguinte exemplo do Teorema de Bayes nos ·dará uma oportuni- dade para introduzir a idéia do diagrama de árvore, um esquema bas- tante útil para analisar determinados problemas. Suponha-se que um grande número de caixas de bombons sejam compostas de dois tipos, A e B. O tipo A · contém 70 por cento de · bombons doces e 30 por cento de bombons .amargos, enquanto no ti- po B ·essas percentagens de sabor são inversas. Além disso, suponha-se que 60 por cento de todas as caixas de bombons sejam do tipo A, en- quanto as restantes sejam do tipo B. Você agora se defronta com ó. seguinte problema de decisão: uma caixa do tipo desconhecido lhe é oferecida. Você terá. per:inissão paratirar uma amostra de bombom (uma situação reconhecidamente irrea- lística, mas que nos permitirá introduzir idéias importantes, sem ficar muito complicado), e com esta informação você deve .decidir se adivi- nha que a caixa que lhe foi oferecida é do tipq A ou se do tipo B. O seguinte "diagrama de árvore" (assim denominado por causa dos vários passos ou ramos que aparecem) nos ajudará a analisar o problema. (Sa e sa correspondem, respectivamente, a escouier um bombom de ·saJ:>or doce ou um bombom de sabor amargo.) I"IROBAB!UDADIE CONDiCIONADA E INDEPENDÊNCiA I 51 i I Façamos alguns cálculos: I I P(A) = 0,6;P(B) = 0,4;P(Sa IJi) = 0,7; . P(Sa I:A) = 0,3;P(Sa IB) = 0,3;1P(Sa IB) = 0,7 . . Desejamos realmente saber: I . I P(A ISa), P(AIS0 ), IP(BISa) e, P(BlSa). · I . I . Suponha-se que realmente ret~remos um bombom de sabor doce. Qual decisão seríamos mais tentados a tomar?· Vamos comparar I P(A lSa) ~ P(BiSa). Empregando a fórmula de Bayes, teremos , . I . · · _ P(Sa IA)P(A) P(A IS a)- P($a iA)P€A) + P(Sa IB)P(B) I (0,7)(0,6) 7 (0,7)(0,6) +(0,3)(0,4) =9. i . . . I Cálculo semelhante dará. . j . P(BISai) = 2/9 . . Dessa maneira, baseados na evidência que tivemos (isto é, a tirada de urh bombom de sabor doce) é ~i vezes mais provável que nós este- jamos _diante de uma caixa do tipojA, em vez de uma do tipo B. Con- seqüentemente, podéríamos presurhlvelmente decidir que uma caixa do tipo A foi apresentada. (Naturalmbnte, nós poderíamos estar errados. A sugestão desta análise é que esta~errios escolhendo aquela alternativa que pareça ·a mais provável, com base na evidência liffiitada que ti- vermos.) . I Em termos do diagrama da ánrore, o que era realme~te necessário (e foi ·feito) era uma análise parai o pas~~do. I Assim, dado. o que f?i observado Sa, neste caso iqual a probabilidade de que o tlpo A seJa o envolvido? I . , , . I . . . . . Uma situação mais interessante surge, se nos for permitido tirar dois bombons antes de decidir sci se trata do tipo A ou do tipo_ B. Neste casó, o diagrama de árvore aparece ássim: ' · ' · ·. -. I . . . I i' ' J 'i t: I, ; li I [.' 52 I PROBABHUDADE A B · No problema 3.26, você será chamado a decidir de qual dos dois ti- pos, A ou B, você tirou ·a amostra, na dependência de · qual seja Óbser- vado dentre três resultados experimentais possíveis . . 3.3. Eventos Independentes Ja·consideramos eventos A e B que não podem ocorrer conjun- tamente, ü1to é, A (I B = 0. Tais eventos são denominados mutua- mente excludentes, ou eventos incomi>atíveis. Observamos anterior-· mente que se A e B forem mutuamente excludentes, então P(A IB) =: O, porque a ocorrência dada de B impede a ocorrência de A. No outro extremo, temos a situação já estudada, na qual B :,) A e, conse- qÜentemente, P(B I A) = L . Em cada uma· das sitúações mencionadas, saber que B já ocorreu nos da · algumà "nforinação bastante definida referente à probabili- dade . de ocorrência de A. Existem, porém, muitas situações nas quàis saber que algum evento B ocorreu não tem qualquer interesse quanto à ocorrênciaou não ocorrência de A. Exemplo. 3.6. Suponhamos que um dado equilibrado seja jogado duas vezes. Definamos os eventos A e B, da seguinte forma: A = {o primeiro dado mostra um número par}, .~ B =<= I o segundo dàdo mostra um 5 ou nm 6}. · ~ inttrltivamente compreensível que os evento~ A e B são intei- ramente não . relacionados. Saber que B ocorreu não . fornece qual- qUer illformação sobre a ocorrência de A. De fato, o seguinte cál- culo mostra isso. Tomando como nosso espaço amostral os 36 resul- .. . . . IPIROBAIBU.DDlADIE COI\!DiC~OI\!AIDIA ~ H\IDEIPIENIJIÊNCiA I 53- tados igualmente prováveis, considerados no Ex. 3.1, encontraremos que P(A) = 18/36 = 1/2, P(B) = 12/36 = 1/3, enquanto P(A () B) = = 6/36= 1/6~ Conseqüentemente, P(A IB) = P(A () B) f P(B) = = (1/6)/Ü/3) = 1/2. Deste modo encontramos, como seria de se esperar, que a proba- ~ . bilidade absoluta (ou não condicionada) é igual à probabilidade coli- dicionada P(A I B). Semelhantemente, . P(lUI A) (t) 1 . P(BjA) = P(A) - = (f) = 3 = P(B). Daí, pod~rlamos ser tentados a dizer que A e B serão indepen- dentes se, e somente se, P(A IB) = P(A) e P(BIA) = P(B). l\fuito embora isso~pudesse ser essencialmente apropriado, existe outra forma de colocar a questão que contorna a dificuldade encontrada aqui, a saber, que tanto P(A) como P(B) devem ser não-nulos para que as igualdades . acima tenham significado. Consideremos P(A () B), supondo que· as probabilidades condi- cionadas sejam iguais às correspondentes probabilidades absolutas. Teremos: P(A () B)= P(AjB)P(B) = :P(A)P(B), P(A () B) = ['(B I A)P(A) = P(B)P(A). . . Desse modo, desde quienem P(A) nem P(B) sejam iguais a zero, veri- ficamos que as probabilidades absolutas serão iguais às probabili.- da.des condicionadas se, e somente se, .,e(A () 1J) = P(A) P(B). Em . : :r-- . c~mseqüência, formulamos a segú.inte definição, a qual sell.'á tàmbém válida quer P(A) óu P(B) seja nulo: · . . I . . . . . Definição: A e B ser.ão eventos independentes se, ·e somente. se, P(A () B) ~ P(A)P(B). (3.6) Comenlário:· EsW. definiçil.o é, essencialmente, equivalente àqQ.ei& I!Ugerida !!.Cima, a Sa.ber, que A e B são independentes quando P(B!A) = P(B) e. P(A IB) = = P(A). . Esta. última for!IU!I ·é ligeiramente mais intuitiva, porque diz precisa- mente o que se t).nha. tentado dizer antes: que A e B ileril.o indePendentes se o co- nhecimento da. ocorrência de A de nenhum modo infltienciar. a probabilidS.de da . ocorrência. de B. Peio exame do seguinte exemplo, vê-se que a definição formal acima adotadm. apresenta também uma oerta1atra.çio intuitiva. Exemplo 3t7 .. Consideremos novamente ' o Ex. 3.2. Inicial~ mente examillaremos apenas a tabela abaixo, em que sii.Q forneddÇ>s . 54 I PROBABiLIDADE somente os valores marginais. Isto ·· é; existem 60 ináqúiiias · elétri- cas e 40 manuais, e delas 70 são novas enquanto ao.;sãd usadas. E M Nu I I· 7o 30 ~--------~--~ 60 íoo Existem muitas maneiras de preencher as· .casas da tabela; con- cordantes com os totais marginais dados. · A seguir apresentaremob algumas dessas possibilidades. E llf E M E llf N 16: 10 I 70 N 130 40 I 70 N I:: 281 70 u 30 30 u 30 .o 30 . u 12 30 60 40 100 60 40 100 60 40 100 (a) (b) (c) Consideremos a Tab. (.a). Aqui todas as máquirias elétrica8 são novas e todas as ·máquinas usadas são manuais. Desse modo, existe uma conexão óbvia (não necessariâmente causal) entre a ca- racterística de . ser elétrica e a de ser nova. Semelhántemente, na Tab. (b), todas as máquinas manuais são novas e todas as· máquina9 usadas são elétricas. Também, uma conexão definida existe entre essas características. No entanto, quando chegamos à Tab. (c), a situaçãO fica bem diferente: aqui, nenhuma relação evidente existe. Por exemplo, 60 . por cento de todas as máquinas são el~tricas, e exatame~te 60 por cento das máquinas usadas são . eÍétricas. Se- nielhantemen; e, 70 por cento de todas as máquinas são novas, · enquanto exatamente 70 por cento das · máquinas man1,1ais são novas etc; Portanto; nenh)lma indicação está evidente .de que a carac- terística de "ser nova" e de "ser elétrica" tenham qualquer cone- xão uma com a outra. Naturalmente, esta tabela foi construída justamente de modo a apresentar essa propriedade. Como foram obtidos os valores. das casas da· tabela? ·Apenas com o . emprego da . Eq~ (3.6); isto é, porque P(E) = 60/100 e P(N) = 70/100, deveremos ter, para independêp.cia, P(E () N) = P(E) P(N) :/42/100. Daí, a . riasa' na tàbela que indique o número de m:áquina~ elétricas novas deverá conter o número 42. As outras casas seriam obtidas de ma- Jlei~aanáloga. mai?ria das aplicações, teremos que adotar a hzpôtese de ín,- . .,,...,ii;;>~ a-. de' dois eventos A e B, e depois empregar essa suposição . .. .P(A () B) como igual a P(A) P(B). Geralmente, PROBABILIDADE CQNDICIONADA E INDEPENDÊNCIA I 55 i condições físicas sob as quais q experiment~ seja realizado tornarão possível decidir se tal suposição será justificada ou ao menos apro- ximadamente justificada. I I Exemplo 3.8. Consideremés um lote grande de .peças, digamos 10.000. Admitamos que 10 pof cento dessas p~ças sejam defeituosas e 90 por cento perfeitas. Duas peças são extraídas. Qual é a pro- babilidade de que ambas. sejarJ perfeitas? . I Definamos os eventos A e B,, assim: I . A = I a primeira peça -é perfeita}, I . B = I a segunçla peça é perfeita}. ''<:t. Se adill.itirmos que a primeira Jeça seja reposta, antes que a segunda seja escolhida, então o~ eventoJ A e B podem ser consideràdos inde- pendentes e, portanto, P(A. h B) = (0,9) (0,9) = 0,81. Na prá- tica, contudo, ·a ~egunda peça éj escolhida sem a reposição da prim~ira peça; neste caso, .1 P(A n B) = P(E I A)P(A) = 1 ~999 (O 9) . ! . 9999 ' I que é aproximadamente igual a 0,81. Assim, muito embora A e B não sejam independentes no sebdo caso, a hipótese de independên- cia (que siinplifi~a considerav~lmente os · ~ cálculos) . acarreta apenas um erro desprezível. (Recorde~se o objetivo de um .mod.elo matemá- tico, tal como foi apresentado i na Seç. 1.1.) Se existissem somente poucas peças no lote; cligÍlmos j30, a hipótese de independência teria acarretado um erro grande. . Por isso, torna-se importante · verificar cui~adosamente as condiçõ~s s?b as quais o e~:rimen~q é realizad?, a f1m de estabelecer a validade de uma -supos1çao de mdependênCia . entre os vários eventos. i · . · .. · E,xemplo 3.9. Admitamos) que ,um mecanismo, seja constituído por dois componentes montados em série, como indicado na Fig." 3.4. I . Cada componente tem uma probabilidade p de não 'funcionar. Qual será a probabilidade de ·que o: mecanismo funcione ? . i -~ . .,Fig, 3.4 I 1!; evidente que o mecanis~o funcionará s'e, e somente se, ambos às componentes estiverem funcionando. Por isso, 1 · Prob (o mecanismo funcione) [= Prob (C1 funcione e C2 funcio11e). ._., .. -.'; .. I I I I . I I · I . 'j . • ' I ·. " .. L 56./ PROBABIUDADE :·.,! A informação fornecida não nos permite continuiJ.r · sem, que, se saiba (ou se suponha) que os dois mecanismos trabalhem mdeperidénteJnimte um do outro. Isto pode, ou não, ser uma sup~siÇão:' r~àlista, depen- dendo. de como as duas partes sejam engatadas. . Se admitirmos que . ru3 duas partes trabalhem independe~terh~~te, 9l:ite~e~~~ .·· pár,a a · · probabilidade pedida o valor (1- p)2, · . · · · · · · Será importante para nós, estendermos a noção dejndependên- cia para mais de dois eventos. Consideremos, iriicialm~nte, três eventos associados a um experimento, digam~s A, B e C. · Se A e B, A e C, B e C forem independentes doiS a dois (no sentido acima), então não se concluirá, em geral, que não exista dependência entre os três eventos. O exemplo seguinte (um tanto artificial) ilustra esse ponto. Exemplo 3.10. Suponha-se que joguemos dois dados. Definam- se os eventos A, B e C da seguinte forma: A = {o primeiro dado mostra um número par}, B = I o segundo dado mostra um número ímpar ), c = I ambos os dados mostram números ímpares ou ambos mostram números pares} . Temos P(A) = P(B) = P(C) = 1/2. Além disso, P(A () B) = = P(A rt C) = P(B rt C) = 1/4. Portanto, os três eventos são todos independentes dois a dois. Contudo, P(A n B n C) = = O ;é P(A) P(B) P(C). Este exemplo sugere a seguinte definição. Definição . . Diremos que os três eventos A, B e C são mu.tUOr mente independentes ~e, e somente se, todas ru3 condições seguintes fo- rem válidas: P(A n B) = P(A)P(B), P(B rt C) = P(B)P(C), P(A rt C)= P(A)P(C), (3.7) P(A rt B rt C) = P(A)P(B)P(C). Finalmente, generalizaremos esta noção para n eventos, na se~te definição: Definição. Os n eventos Ah A2 , •• • , An serão mutu9:,mente inde- pendentes se, e somente se, tivermos para k = 2, 3, . .. , n: P(A;1 rt A;2 rt · · · rt A;k) = P(A;1)P(A;2) • • • P(A;t)· (3.8) (Existem . ao todo 2n - :n· - 1 condições aí arroladas; veja o Probl. 3.18.) PROBABILIDADE COI\IDiC~ONADA E iNDEPENDÊNCUA / 57 Comentário: Na maioria das aplicações, não precisaremos verificar todas essas condições, porque nós geralmente admitimos a independência (baseada na- quilo que conhecermos do experimento). Depois, empregaremos essa suposição para calcular, digamos P(A,, (I A;, (I · · · (I A;k) como P(À;,)P(A;,) · · · P(A;k). Exemplo 3.11. A probabilidade de fechamento de cada relé do circuito apresentado na Fig. a:s é dada por p. Se todos os relés fun- cionarem independentemente, qual será a probabilidade de que haja corrente entre os terminais L e R?. f--l~· 1 2 _ R 3 4 f--j Fig. 3.5 Represente-se por A; o evento {o relé i está fechado J, i = 1, 2, 3, 4. Represente-se por E o evento {a corrente passa de L para R). Em consequenCia, E = (A1 (J A2) U (A3 (J A4). (Observe-se . que AI n A2 e A3 n A4 não são mutuamente excludentes.) Portanto, P(E) = P(A1 (J A2) + P(A3 (J A,) - P(A1 () A2. n A3 ri A,) = p2 + p2- p4 = 2p2- p'. o (' . . Ex~:mplo 3.12. Suponhamos novamente que, para o circuito da Fig. 3.6, a probabilidade de que cada relé esteja fechado é p, e que todos os relés fúncionem independentemente. Qual será a proba- bilidade de que exista corrente entre os terminais L e R? Empregando a mesma notação do Ex. 3.11, teremos que P(E) ~ P(A1 (J A2) + P(A6) + P(A3 n A4)- P(A1 (J A2 (J As) - P(Al (J A2 ri AJ ri A4) - P(A6 (J A3 () A4). + P(At (J A2 Íl As n A4 () A6) == p2 + p + p2 - p3- p'- p3 + p5 = p + 2p2- 2p3- p' + p~. Vamos encerrar este capitulo com a indicação de uma bastante comum, mas errônea, resolução de um problema. I ~ . I ~ '. 1 ! , 11 d : i .. 58 I PROBABiLIDADE Exemplo 3,13 .. Admita-se que dentre seis:pârafusosf 'dois ·sejam menores do que um comprimento ei!pecificado)< ·Se':'d9is'::doi(parafU:7 sós forem escolhidos ~ '.• acaso, qual 's~rá a 'Pióoàb\úa:i<Ié: ~e . que os dois parafusos mais curtos sejam extraídos? . Seja Ai o êveiíto {o i-ési~ mo parafuSo escolhido é curto J, i = 1, 2. Portanto, desejamos calcular P(Al nA%), . A sohição 'correta é obtida, naturalmente, escrevendo A solução comum, mas incorreta, é obtida escrevendo-se Naturalmente, o importante é que, muito embora a respost.a esteja numericamente correta, a identificação de 1/5 com P(A 2) é incorreta~ 1/5 representa P(A2IA 1). Para calcular P(A 2) corretamente, escre- veremos 3.4. Considerações Esquemáticas; Probabilidade Condicionada e Independência A abordagem esquemática seguinte poderá se.r útil para compreen- der a probabilidade condicionada. Stiponhamos que A e B Sejam dois eventos associados a um espaço amostral ·para o q]Jal as várias probabi- lidades estão indicadf s no Diagrama de Venn, dado :ila Fig. 3 .7. 0,2 !Fig. 3.7 Tem-se P(A n B) = 0,1; P(A) = 0,1 + 0,3 = 0,4 eP(B) =;= 0,1 + 0,4 = . . = 0,5. ' PROBABILIDADE CONDICIONADA E INDEPENDÊNCIA I 59 I I . Em seguida, representaremos asl várias probabilidades pelas áre(ls dos retângulos, como na Fig. 3.8. Exti cada caso, as regiões somhreadas indicam o evento B: no retângulo cti esquerda, estamos representando A í1 B e, no da direita, A' í1 B. I ' · 0,2 · B' 0,4 B Agora, admitamos que se deseje balcular P (B I A). Por isso, neces- sitamos somente considerar A, isto él A' pode ser ignorado no cálculo. Observamos que a prop.orção de B A é 1/4. (Poderemo~ também ve-.' rificar isso pela aplicaçãb da Eq. (3. :P(B I A) = P(A í1,B) ! P(A) = = 0,1ÍÔ,4 = 1/4.) Portanto, P(B' I ) = 3/4, e nosso diagrama repre-. . . , I . . , , . sentando essa probabilidade . seria dado pela Ffg. 3.9. . 1,0 B' 0,75 B . i fig. ~.9 o A' j / Observe-se, também, que se A fqr dado como tendo ocorrido, toda a probabilidade (isto é, I) deverá se~ associada ao evento A, enquanto nenhuma probabilidade (isto é, O) e:stará associada a A'. Além disso, observe-se que, no retângulo d~ esqu~rda, representando AI somente os v;uores individullis mudaram na Fig. 3.8 para a Fig. 3.9 (cuja soma é 1, , em lugar de 0,4). Contudo, as propor~ões dentro do retângulo permane- ceram as mesmas (isto é, 3 :1). · ' ,i I \ 60 I PROBABIUDADIE V amos também ilustrar a noção de independência; empregap.do a abordagem esquemática introduzida· anterionilente. Supàiiljaljlcis ~;qüe A .. e B sejam como indicado na Fig. 3.1 O. Nesse caso; as 'prÇi (e:·,:~qe,s nos dois retângulos, represéntando A e A', são as mesmas: 3:1 fiõ,dois casos. Por isso, teremos P(B) = 0,1 + 0,15 ~ 0,25 e P(B n 'A}~ = 0,1/0,4 = 0,25. . . o B 1 0,3 B A !Fig. 3.10 0,45 A' ~ ~ B' o r ~?'~ j B Finalmente, observe-se que, simplesmente olhando a FÍg . .3.8, poderemos também calcular as outras probabilidades condicionadas; : P (A I B) = l/5 (desde que 1/5 da área total retangular representando \festeja ocupada por A'); P (~' I B) = 4/5 . . \.problemas ~ . 3.1 ;'\ A urna r' contém x· bolas brancas e y bolas ve~:melhas. A ur.n.a. ·2. con.- tém z bol~{>ranca.s e v bolas vermelhas. Uma bola é escolhida ao acaso da 'ur.na ~ e posta na ur"na 2. A seguir, uma. bola é escolhida ao aca,so da urna 2. Qual será a probabilidade de que esta bola seja branca? 3.2. Duas válvulas defeituosas se misturam com duas válvulas pedeita.s. As. válvulas são epsaiarlBs, UillA a uma, até.que amb&S as defeitu~as sejam encontradas. · (a). Ql.lal ~á a -prbbabilidade de que a últirrui. vs.!~l:i. defeiru0S& seia encon- trada.no segundo ensaiO?- . ' (b) Qual será a prpbabilidade de que a última válvula defeituosa seja encon- trada no terceiro. e"D.Sai@ ? · · (c) .. Qual 9erá a probabilid8.de de !lUe a úl.ltãma vá.!vuia defeitu~sa sejae~coa- tr.ad.a n.o qu.o.rto ensaio? ' . . . .. . ·. ·'.(d) Some os 11úmeros obtidos em (a), (b) e (c) aciina. O tesultado é surJ?re- eO:dente? .·-· - - --· _ __:_ ____________ ~ . !~ . I . J , j :I .. \ _) PROBABULIOADE CONDICIONADA E INDEPIENDÊNCDA I 61 3.3. Um_a caixa contém 4 válvulas defeituosas e 6 perleitl).S. Duas vil.lvul,as são extr11ída8 juntas: Uffil!. delas é em;aiada e -se verüic~~< ser perfeita. · .QW1l a · idarde de que a outra válvula também seja perfeita? No' problema anterior, as válvulas são verificadas e;xtrai.ndo-se uma v v a ao acaso,, énsaiandoca e repetindo-se o procedimento até q_ue todaS as 4 vá.lvulas defeituosas s_ejam encontradas. Qual .será a probabilidade de que a quarta vá.lvula defeituosa.,seja encontrada: (a) No quinto ensaio,? (b) No décimo ensaio? 3.5. Suponha que A e B sejarn-eventos independentes l).Ssociados a um ex- > ;..perimento. Se a probabilidade de A ou ·s ocorrerem fm: igual a 0,6, eJ;Jquanto a. • probabilidade da ocorrência de A fOJ; igual a. 0,4, determine a probabilidade da ocorrência de B. 3.6. Vinte peças, 12 das quais são defeituosas e 8 perfeitas, são inspecio- nadas uma a pó~ .a outra. Se essas peças forem extraídas ao. acaso, qual será a. probabilidade de que: (a) As duas primeiras peças sejam defeituosas? (b) As duas primeiras peças sejam perfeitas? • (c) Das .duas primeiras peças inspecionadas, uma seja. perfeita e a outra defeituosa? r . 3.7. Suponha que temos duas urnas. 1 e 2, _cada uma· corri duas gavetas. A urna 1 contérn uma moeda de ouro. em uma gaxeta e uma moeda de prata na outra gaveta; enquanto a urna 2 contém uma moed.a de ouro em cada gaveta .. Uma urna é escolhida ao acaso; · a seguir uma _de .=s ·gavetas é aberta ao ~caso .. Verifica-se que a moeda encontrada nessa gaveta ,é de ouro. Qu11l a probabili- dade de que a moeda provenha da urna . 2? . 3.8. Um saco contém três' moedas, uma das quais foi cunhada cm;n 'duas caras, enquanto as duas outras moedas são normais e não viciadas. Uma mpeda é tirada ao acaso do saco e jogada quatro vezes, em seqüência. Se sàir cara toda vez, qual se~.á a probabilidade de que essa seja a moeda de duas caras? . · 3.9. Em uma fábrica .de parafusos, as máquinas A, B e C produzem 25, 35 lll 40 por cento do total produzido, respectivamente. Da produção de cada. máqUi- na, 5, . 4 e 2 por cento, respectivamente, silo parafusos defeituosos. Es.colhe-se ao . acaso um parafuso e se verifica. Sf1t defeituoso. Qual será a probabilidade de que o parafuso venha da máquina-A? Da B? Da C? - .1. . ( ' ·3.10. Sejam A e B dois eve,ntos associados a- úrll experimento. Su:p.onha que P(A) = 0,4, enquanto P(~ u,.~,~ =;~0,7, . Seja ,P(B)·_:= t :· .. ..____ [ (a) Para que valor de '?• A e .B -serão ~utuai,Dente · excludentes? (b) Para que valor de p, A e B serão mdependentes? 3.11. Três componentes C1, C2 e C3, de um mecanismo são postos em série (em li9!;Ja_reta). Suponha que esses C?JHPOÍ1~ntes sejam dispostos em ordem alea- tória. Seja R o evento ( C2 est4 à direhil>d;~ . C1l. e seja S o evento ( C3 está à di- ~- reita de Cd .. Os eventos R e-S são indep~ndentes? Por ,.qilê? ~ 3.12. Um dado é l ançado e, independentemente, uma carta é extrafda de um bara.lho completo (52 cartas). Qual será a probabilidade de que: III' li !j ' . ! • · i! !! !I ~ 1 ,, q: 'I ~i l !! " i' li ,, :• !1 :I ' I 1: li 11. ii :j li _.) ,J I! ! I ! l I i I i ,. !.;. r I I I 62 I PROBABiLIDADE ···. _ (a) O dado mostre um número par . e a , c~t~ta ~~ja A~ ,Uffi-, ·Jil~ip~;\Y,em:Ellbo? ;,: 3~ ~~o n:::: :::::e:::s::t:í:~â~::11sà:t:.~jgii~fj~t~f\l;:~oo: exemplo, 1011, 1100 etc.) Esses núrn~rós têrri i!1J:p,~r~~~WP.ll~~i! ~~ .~~t4[i~~o de computadores eletrônicos. Suponha que um iilíxn~ró'';})iriário.'<sei~~:!?izrtil(lO' de n dígitos. Suponha que a probabilidade de úrli -dígito ilrtotrêtdi'ii:li'â:r~cet 'seja P e que os erros em diferentes dígitos sejam independentes i.im\ .'âo~ · Ói.itros. ''Qual será a probabilidade de formar-,se um nú171:ero incorr.eto? . · . . : . ·. :' .. 3.14. Um dado é atirado n vezes. Qual é a probabilidad~ de que "6" apa- . reça ao ID.eno~ uma. vez em n jogadas! ··,.· ·· 3.15. Cada uma de duas pessoas j~ga três rnoe~as eq~liÚbr;das. · Qual é a probabilidade de que elas obtenham o mesmo número de carS:.S ?. . " . .. 3.16. Jogam-se dois dados. Desde que as faces mostrem números dife- rentes, qual é a probabilidade de que urna face seja 4? 3.17. Sabe-se que na fabricação de um certo 11rtigo, defeitos. de um ' tipo .ocorrem com JJiobabilidade 0,1 e defeitos de outro Úp(; com probabilida'de · Õ,Ó5. Qual'l' será a probabilidade de que: i . (a) Um a.rtig~ ~o tenha .a~b<)s os tii>os de defeitos? (b) Um ãrtigo 'aéja defeituos'o? - · · -- .' . - (c) u~ artigo' ~e"nha ~~nas· ,irn.c~q--~a'rJefcl~o: sabido que"é defeituoso? _,_ ______ __ 3:18. Ve.rifique que o núm.ero de condições impostas· pela Eq, (3.8) é dado por 2n- n- 1. 3.19. Demonstre que, se A e B forem eventos independentes, também o serão, A e Ii, A e B, A e Ii. . . . . 3,20. Na Fig. 3.ll(a) e (b), suponha que a probabilidade ~e que cada relé esteja fechado seja p, e que cada relé seja aberto ou fechado independentemente um do outro. Em cad~ CMo, determine a probabilidade de· que a corrente pas.se de L para R. · · · (a) (b) fig. 3.11 3.21. DuM ·máquinas A e B,· sendo operadas independentemente, podem ter alguns desarranjos cada dia. A Tab. 3.2 dá a distribuição deprobabilidades dos desarranjos· para cada máquina. Calcule M segUinte!) probabilidades: (a) A e B tenham o mesmo número de desarranjos. , (b). O nli.rooro total de dsstln':IDjos seja menor que 4; me~~.or que 5 .. ..· 1- . , , , i ·f ! • ·f:'ROBABIUDADE CONDICIONADA IE iNDEPENDENCIA I 63 . I I (c) A tenhà mais desarranjos que B. f· (d) B tenha duas vezes mais desarranjos que · A . . (e) B tenha 4\!iesarranjos, quando se li saiba. que B ,iá tenha tido 2 desar- ranjos. U) o número mínimo de desarranjos ~as - duas máquinas . seja 3; seja menor do que 3. (g) O JILúmero má.ximo de desarranjos das máquinaS seja 3; seja maior que 3. Número de desa.rranjós A B o 0,1 0,3 1 0,2 0,1 2 I Tab. 3.2 I 0,3 I 0,1 4 5 6 0,09 0,07· 0,04· 0,1 0,15 0,15t 3.22. Verifique pelas Eqs. (3.2) que, se~do A flxo, P(~ IA) satisfaz aos váriO!! post~os da probabilidade. I . . 3.23.. Se cada eleinento de um determinante d~ segunda. ordem for zero ou um, qusJ será a probabilidade de que o jvaior do detenrunante seja positivo? . (Admita que· os elementos do dete_rminante j sejam escolhidos independentemente, a cad_a valor se atri,buindo a probabilidade ~/2.) . 3.24. Verifique que o teorema da multiplicação P(A n B) = P(A I B)P(B), estabelecido para dois eventos, pode ser estkndido para três eventos, da seguinte maneira:. . I , . . "- _, P(A (JB n C)= P(AIB n C)P(BIC)P(C). \ ... . ) . · . 3.2~ Uma montagem eletr.ônica é fonilada de dois subsistemas A e B. De \iiro~meQ.tos de ensaio anteri9re8, as· seg1uintes probabilidades . ser admitem co- nhecidaS~ j · P(A falhe) = 0,20, P(A e B falhem) i= 0,15, P(B falhe 8o::inho) := 0,15. • . /" I. ·' ·' Cllllcule as seguintes probâbilidades: I . . (a) P(4. falhe I B teiilia falhado). (b) I P(A falhe sozinho). . .. , . . . ·, , . I . .. 3.26. Conclua à análise do exemplo djldo na Seção 3 .2, pela decisão de qual dos dois tipos de caixa de bombons, A ou B, foi apresentada, ba~eando-5e na evidêncià·dos dois bombons que foram tiradÓs na amostra.· " I , · 3.27. Sempre que um experimento é! realizado, a ocorrência de um parti- cu1ar evento A é igual a 0,2. O experimento é repetido independentemente, até que A ocorra. Calcule a proba~ilidade de qu~ seja necessário levar a cabo o experi- mento até a quarta vez. : · · 3.28. Suponha que .um equipamento 1 possua N v.ílvulas, todas necessárias para seu funcionamento. A fim de localizar uma válvula com mau funcionamento, faz-se a substituição de cada válvula: sucessi~amente, por U)Ila '?Ílvula nova. Calcule a probabilidade de que seja necessário trocar N válvulas, se a probabilidade (cons- tante) de uma válvula estar desarranjada por lp. · I . ! 3.29. Demonstre:SeP (A I B) >P (A), então,P (B I A) >P (B) . . I I I 64 I IPROBABHUDADE 3.30. Uma válvula a vácuo pode provir de três fabricantes, com probabili- dades p, = 0,25, P2 =. 0,50 e p 3 = 0,25. As probabilidades de que, ·durante determinado período de tempo, a válvula funcione bem são, respectivamente, 0,1; 0,2 e 0,4 para cada um dos fabricantes. Calcule a probabilidade de que uma válvula escolhida ao acaso funcione bem durante o período de· tempo especifiiido. . . . : 3.31. Um sistema elétrico é composto de dois comutadores do tipo A, um do tipo B, e quatro do tipo C, ligados como indica a Fig. 3.12. Calcule a probabi- lidade de que uma pane no circuito não possa ser eliminada co~ a chave K, se os comutadores A, B e C estiverem abertos (isto é, desligados) com probabilidades 0,3; 0,4 e 0,2, respectivamente, e se eles operarem independentemente. Fig. 3.12 3.32. A probabilidade de que um sistema fique sobrecarregado é 0,4 duran- te cada etapa de um experimento. Calcule a probabilidade de que o sistema deixe de funcionar em -três tentativas independentes do experimento, se as proba- bilidades de falhas em 1, 2 ou 3 tentativas forem iguais, respectivamente, a 0,2; 0,5 e 0,8. ··.~ 3.33. Quatro sinais de rádio são emitidos sucessivàmente._Se a recepção de cada uni for 'independente'·d~ recepção de outí:o, e se .essas probabilidades forem 0,1; 'b,2;0.,3 e o,4;respectivamente, .calcule a probabilidadé de que k sinais venham a ser recebidos pàia: k;,; 0', 1; 2, 3, 4. ' 3.34. A seguinte (de algum modo simplória) previsão de tempo é empregada por um amador. :0 tempo, diariamente, é classificado como "seco" ou "úmido", e supõe-se que a probabilidade de que qualquer dia dado seja igual ao dia anterior seja uma constante p (0 < p < 1). Com base em registras passados, admite-se que 1? de janeiro tenha probabilidade {3 de ser dia "seco". Fazendo f3n = probabilida- de (de que o 1 n-ésimo dia do ano seja "seco"), pede-se obter uma expressão para 13n em termos de {3 e de.p. Calcule também limn..., "" f3n. e interprete o seu resulta- do [Sugestão: Exprima f3n em termos de 13n _ 1-J · 3.35 .. Três jornais A, B e C são publicados em uma cidade e uma recente pesquisa entre-_9'S leitores indica o segufute: 2Q por cento ~êem ;i; 2Q., PO! CeJ:lt<2_ -lêem B; 14 por cento lê~m ,C; 8 por ce!ltO lêem A e\8._;_5,. pot.cento lêem A ·-e Ç; .2 porceflt? lêem A, f1 e. Ç; ~ 4p_:por .cento lêe~B,~ ~f]ara um adulto .esco!hiêlo' ao acaso; calcule a probabilidade de que: (a) ele não leia qualquer dos jornais; \ ' i 1 I I ·I I I .J, I'ROBAIBDUDADE CONDICIONADA E iNDEPENDÊNCIA I 65 (b) ele leia exatamente um dos jornais; (c) ele leia ao menos A e B, se se souber· que ele lê ao. menos um dos jornais publicados. 3.36. Uma moeda equilibrada é jogada 2n vezes. (a) Obtenha a probabi- lidade de que ocorrerá um igual número de caras e coroas; ( b) Mostre que a probabilidade calculada em (q_) __ ,,uma função decrescente de n. 3.37. Cada uma das n umas: Urna 1, Urna 2, ... , Urna n, contém a bolas brancas e fi bolas pretas. Uma bola é retirada da Urna 1 e posta na Urna 2; em se- guida, uma bola é retirada da Urna 2 e posta na Urna 3, e assim por diante. Final- mente, uma bola é retirada da Urna n. Se a primeira bola transferida for branca, qual será a probabilidade de que a última bola escolhida seja branca? Que acon- tece, se n _, co? [Sugestão: Façapn = Prob (a n-ésima bola transferida seja branca) e exprima Pn em termos de Pn _ 1·l 3.38. A Urna 1 contém a boias brancas e fi bolas pretas, enquanto a Urna.2 contém fi bolas brancas e a pretas. Uma bola é extraída (de ·uma das umas) e é em seguida reposta naquela uma. Se a bola extraída for branca, escolha a próxima bola da Urna 1; se a bola extraída for preta, escolha a próxima bola da Uma 2. Continue a operar dessa maneira. Dado que a primeira bola escolhida venha da Urna 1, calcule Prob (n-ésima bola escolhida seja· branca) e também o limite dessa probabilidade, quando n _,. oo. 3.39. Uma máquina impressora pode imprimir n letras, digamos a 1, ci 2·, ••• , "'n- Ela é acionada por impulsos elétricos, cada letra sendo produzida por um impulso diferente. Suponha que exista uma probabilidade constante p de imprimir a letra correta e também suponha independência. Um dos n impulsos, escolhido . ao acaso, foi alimentado na máquiria duas vezes e, em ambas, a letra a 1 foi im- pressa. Calcule a probabilidade de que o impulso escolhido tenha. sido para impri- mira1 . 1l I I i ! I 1 I· i ! ; ' Variáveis Aleãtórias Unidimensionais · Capítulo 4 4.1. Noção Geral de Variável Aleatória Ao descrever o espaço amostral de üm experimento, ·não especi- ficamos que um resultado individual necessariamente seja um nú:.. mero. De fato, apresentamos alguns exemplos nos quais os resul- tados do experimento· não eram uma quantidade numérica. Por exemplo, ao ·descrever uma peça manufaturada, podemos empregar apenas as categorias "defeituosa" e "não defeituosa". Também, ao observara temperatura durante o periodo de 24 horas, podemos simplesmente registrar a cwva traçada pelo termógrafo. .Contudo, em muitas situações experimentais, estaremos interessados na men- suração de alguma-coisa e no seu registro como l.iin número. Mesmo nos casos menci.onados acima, poderemos atribuir um número a cada resultado (não numérico) do experimento. Por exemplo, podererp.os atribuir o valor um às peças perfeitas e o valor zero · às defeituosas. Poderemos registrar a temperatura máxima do ·dia, ou a temperatuTa mínima, ou a média das temperaturas máxima e mínima. Os exemplos acima são bastante típicos, de uma classe muito geral de problemas: em muitas situações experimentais, desejamos atribuir um nú-mero real x a todo elemento 8 do espaço amostral B. Isto é, x = X(8) é o valor di) uma função X do espaço amostral no espaço dos números reais. Com isto em mente, formulamos a seguinte definição. Definição. Sejam S um experimento e S um espaço amostral associado ao experimento. Uma junção X, que associe a cada ele- mento 8 E 8 um número real, X(8), é denominada vari.ável aleat6ria. Comentários: (a) A terminologia acima é um tanto infeliz, mas é tão uni- versalmente aceita·, que não nos afastaremos dela. Tornamos tão claro quanto . possível que X é uma funçao, e contudo, a denominamos uma variável (aleatória)! VARIÁVEIS AlEATÓRIAS UNI DIMENSIONAIS I 67 (b) E evidente que nem toda funçãt imaginável pod~ ser considerada uma variável aleatória. Um requisito (embora_ hão seja o mais geral) é que, para todo · número real x, o evento [X(s) = x] e,p-~a t.odo intervalo/, o evento [X(s)E/] têm probabilidades bem definidas, con~stentes com os axiomas básicos. Na maioria das aplicações, essa dificuldade não surge e nós não voltaremos a ·nos referir a ela. I I . (c) Em a.lgunias situações, o resultado \1: do espaço amostral já eonstitui ,a .caracterlatics num~ca . que desejamos li reíiistrar. \ Simplesmente tomaremoa X(s) = s, a função 1dentJ.dade. _ (d) Na maior parte de nOSBI!. sub5eqii:ente exposição sobre vo.riáveis alea- tórias, não necessitaremos indicar a natur~za funcional de X. · Geralmente, esta- remos interessados 'tios valores po~veis d~ X, mais do que de onde el~ se origi- nam. Por exemplo, suponha-se que atiremos duas moedas e considéremos o es~ paço associado a este experimento. · Isto! é, S = {HH, HTi TH, TTI. - · . I Definamos a variável aleatória da seguintfi maneira: X é o número de caras (H) obtidas nas duas moedas. Daí, X(HH) = 12, _ X(IIT) = X(TH) = 1 e X(TT) =O. S = espaço amostral de ·& llx = valores possívei~ de X ! . i I -Fig. 4 1 .1 I (e) 11: muito importante . compreende~ uma. exigência fundamental de uma função (unívoca) : A cada sES coi:respohderá exatamente um valor X(s). Isto I. . I está apresentado esquematicamente na Fig. 4.1. Diferentes valore 1 s de s podem levar ao mesmo valor de X. Por exempJolr na ilustração acima, verificamos que X(HT) = X(TH) = 1. . , -I - . ·o espaço Rx, conjunto de tod~ os valores possíveis de X, é algumas vezes denominado contradc'minio. De certo modo, podere- mos considerar Rx como um outro ~aço amostral. O espaço amos- tral (original) S corresponde ao reshltado (possiv~l:m:!mte não-l'lumé- rico) do experimento, enquanto Rx lé o espaço amostral·, IJSSOCiado à variável aleatória X, . representand4 a característica numérica que nos poderá interessar. Se for X(s), = s, tererrl.os S ::= Rx. . Muito embora estejamos prevezUdos do perigo didático inerente a dar muitas explicações para umÁ mesma coisa, 'vamos salientar que püderemos pensar em u:ma.. variá.t el aleatótia :X, de du~ maneiras: (a) Realizamos o ·experimento 1E que dá um regultado sES; a seg;,.ir cal~ulamos o número X(s). ! 68 / PROBABIUDADE (b) Realizamos 8, obtemos o resultado ~.e (imediatamente) calculamos X(s). Neste caso, o número X(s) é~;>ensado éo~o ovr6- prio resultado do experimento e Rx se toma o . espli,ÇO amost~al do experimento. ·. . ·· - -' A diferença entre as interpretações (a) e (b) é percebida com · dific1,1ldade; é relativamente secundária, mas me1;ecedora de, atl~nção. Em (a), o experimento essencialmente. termina com a obs~rvação de s. · · A avaliação de X(s) é considerada alguma coisa qile é feita poste- .· 'riormente, e que não é influenciada pela aleatoriedade de 8. Em · (b), o experimento não é considerado concluídO ·até que o ni1mero X (s) tenha sido realmente calculado, desse modo se originando o e.S- paço amostral Rx. l\iuito embora a primeir~ interpretação, (a), seja aquela ·geralmente pretendida, a segunda interpreta'ção, (b), pode- rá ser muito útil e o leitor deverá lembrar-se dela. Aquilo que estamos dizendo, e isso ficará cada vez inais claro nas seções posteriores, é que no estudo das variáveis. _ aleatórias estaremos mais interessados nos valores que X toma do qlle em sua forma funcio- nal. Conseqüentemente, em muitos casos, ignoramos completamente o espaço amostral subjacente no qual X pode ser definido. Exemplo 4.1. Suponha-se que uma lâmpada tenha sido posta em um soquete. O experiment,o será. considerado terminado quando a lâmpada se queimar. Qual será um possível resultado, s? Uma das maneiras de descrever s seria apenas registrar o di'a e a ho_ra em que ' a lâmpada se queimou, por exemplo: 19 de maio, 16 h e 32 min. Em conseqüência, o - espaço am~stral poderia ser rep~e~entado por S = { (d, t) I d = dia, t = momento do dia). Presu~iyelmente, a variável alpat6ria que interessa é X, a duração até queimar. Ob~er ve-se que, uma vez que s = (d, t) tenha sido observado, o cálculo · de X(s) não inçlui qualquer aleatoriedade. Quando s é especificado, X (s) fica completamente determinado. As du~. interpretações explicadas acima -podem ser aplicadas a este exemplo, como se segue. Em -(a), consideramos o experimento terminado Cdm a observação S = (d, t), O dia e a hora. 0 cálculo de X(s) é realizado -depois, abrangendo um& operação aritmética simples. Em (b),_ consideramos que o experimento somente estará terminado depois que X(s) tenha sido calculado · e um,... número; por exemplo, X(s) = 107 horas seja então considerado o resultado do exi>erimento. Pode-se salientar . que análise semelhante se aplicaria a qual- quer outra variável que interessMSe, por exemplo, Y(s), a tempe- ratura da sala no momento em que a lâmpada se tenh& queimado. VARiÁVIEUS ALEATó,~ IAS UNiDRMENSiONAiS I 69 ( ' Exemplo 4.2. Três moedas são atiradas sobre a mesa. Tão ·iogo as moedas repousem, !!), !fase / 1aleat6ria" do experimento tenni- _lllOU. Um resultado simplea 8 poderia consistir ~a descrição deta: lhada de como e onde as moedas pousaram. · Presumivelmente, estaremos oomente intereesados em certas características numéricas. · •ciadas a este experimente. Por exemplo, poden2.mos avaliu: X(s) número de caras que apareceram, Y(s) distância máxima entre duas moedas quaisquer, Z(s) distância mínima das moedas a um bordo qualquer da mesa. Se for a variável X que interesse, poderemos, como se explicou no exemplo anterior, Íncluir a avaliação de X(s) na descrição de nosso experimento ·e, depois, simplesmente afirmar que o espaço amostral associado· ao experimento é {0, 1, 2, 3), correspondendo aos valores de X. Conquanto muito freqüentemente venhamos. a adotar esta interpretação, é importante compreender que a contagem do número de caras é feita depois que os aspectos aleat6rios do experimento te- nham terminado. · Comentário: Referindo-nos a variáveis aleatórias, empregamos quase sem exceção ~etras maiúsculas, como X, Y, Z etc. Contudo, quando falamos do valor que essas variáveis. aleatórias tomam, usaremos, em geral, letras minúsculas, como x, y, z etc. Esta é uma distinção muito importante a ser feita e o estudante pode bem parar para considerá-la. Por ·exemplo, quandonós falamos em escolher uma pessoa ao acaso, de alguma população designada, e medimos sua altura (em centí- metros, por exemplo), poderemos nos referir aos resultados possíveis como uma variável aleatória X. Poderemos então formular várias questões sobre X, como indagar se P (X;;, 60). No entanto, uma vez que tenhamos escolhido uma pessoa e medido sua altura, obteremos um valor específico de X, digamos x. Por isso, não teria sentido indagar se P (x;;, 60), uma vez que x é ou não é ;;, 60 . Esta distinção entre uma variável aleatória e seu valor é importante e nós voltaremos a fazer referência a ela. Quando estivermos interessados nos eventos associados a um espaço amostral S, verificaremos a necessidade de examin~r os eventos relativamente à variável aleatória X, isto é, subespaços do contra- domínio Rx. Bastante freqüentemente, certos . eventos associados a S são "relacionados" (em um sentido a ser explicado) a eventos associados com Rx, na seguinte forma: I Definição. Sejam um experimento 8 e seu espaço amostral S. Seja X uma variável aleat6ria definida em Se seja Rx seu contrado- mínio. Seja Bum evento definido em relação a Rx, isto é, B C Rx. 70 I PROBABILIDADE Então, A será definido assim: A= {8 E SjX(s) E B) . (4.1) Explicando: A será constituído por todos os resultados em S, para os quais X(s) E B (veia Fig. 4.2). NesÍe c~o, direnios que A e B são event08 ~qu.ivalenle8. Fig. 4.2 Coment6,rios: (a) Dizendo a mesma coisll, com :inenos rigor: A Ei B serão equi- valentes sempre que ocorram juntos. Isto é, quando A ocorre, B ocorre; é inver- samente. Porque se A tiver ocorrido, então um resultado 8 :terá ocorrido, para o qual X(li) E B ~~ portanto, B ocorreu. Reciprocamente, se B ocorreu, um valor X(s) terA sido observa<;lo, para .o qual 8 EA e, portanto, A, ocorreu. . . . {b) É impÓrtante ·compreender que, -'em ·l1~ssa defuriçA~ ·de ·evcmtoS equiva- lentes, A ·e B sãCI associados .a espaços amostrais diferentes. . . Exemplo 4.3. Considere-se a jogada ·de duas moedas. Dai, S = •I HH, HT, TH, TT}. Seja X ·o número de carp.s ob'tidC>-. Por- ·tanto, Rx = {O, 1, 2}. Seja B = {1}. Já que X'(IIT) = X('I'Il) =··.11 se, e somente se, X(s) = 1; temos que A= IIIT, THj é·equiva:lenteaB. Agora, daremos a seguinte importante definição. Definição. Seja B 1im evento no ·contra:dO'l'IlÍnio Rx. Nesse caso, definimos P(B) da seguinte maneira P(B) = P(A), onde A= Is E SJX(s) EB}. (4;2) Explicando: Definimos P(B) igtl.al à pro·babilida:de do evento A C S, ;o q\~al é equivalente a B, no sentido ·da Eq. (4.1). Ccnnentár (qs : (a) Estamos ·admitindo que probabilidaacs possam ser asso- ciadas a. eventos ·em S. Portanto, a. definição acima. torna possível atribuir .pro- babilidades a ev-entos associados a Rx em termos·de probabilidades·definidas sobreS. (b) É realmente possível demonstrar ·que P(B) deve ser definida tal como . e fizemos. Contudo, isto envolveria algumas dificuldades teóricas que desejamos evitar e, por isso, procedemos ·como acima. (c) Desde que na formulação ·da Eq. (4.2) .os eventos A e B se referem a. espaços amostrais diferentes, deveríamos realmente empregar notaÇão diferente ·qJ:ando. nos ·referíssemos a probabilidades definidas sobre S ·e àquelas ·aefinidaa .s9bie Rx, digamos alguma. coisa tal como P(A) e Px(B). No entanto, .não .fare- VARIÁVEiS ALEATÓRIAS UNDIOIMENSIONABS I 71 I mos isso, mas continuaremos simplesmeJep•escrever .P(A.) e P(B). ·o contexto em que tais expressões apar"'çam tornará lcÍara a interpretação. · (d) As probabilidades associadas a eventos ~o .espaço amostrai (original) S são, de 'certo modo, determinadas por "{orças .fora de nosso controle", ou como às vezes se diz :•pela. Natureza". A comppsição de uma fonte radio~iiva •que erniW. partfculas, a dmpos1ção de um grande numero de pessoas ·que façam éhamaàa!l telefónicas durante certa hora, e a agit~ção térmica que aê ·origem a 'Um fluxo ·ou as condições atmosféricas que dêein ofigem a urna tempe5tade, ilustram esse as- pecto. Quando introduzimos. uma variável aleatólia X e seu··contradomfnio Rx estl!,rnos induzindo probabilidades nos ev~ntos associados a ·'Rx, as quais serão es- tritamente determinadas se as probabiliclades associadas a ·e~entos em S forem especificadas. I ' Exemplo 4.4. Se as moedas I consideradas 'llQ Ex . . 4:3 -forem "equilibradas", teremos P(HT) = P(TH) = 1/4. Poft;a'Il'OO, P(HI', TH) = 1/4 + 1/4 = 1/2. (Os cálculos acima são m:ria. lt!onsequência direta de nossa suposição fundaxrlental referente à :propriedade ·de equilíbrio ou simetria das moedas. ii Visto que ·o evento ·I X = 1}' é equivalente ao evento {HT, TH}, empregando a Eq. (4.1); teremos. que P(X = 1) == P(HT, .TH) = l/2J [Na realida:de não 'e:lciste escolha I . para o valor de P(X = 1) .. coeren~e com a Eq .. (4.2), uma ·vez que P(HT~ ·Til) tenha sido determinada. 1l': neste sentido que probabi- . !idades associadas a eventos de Rxj são induzida.'l.l 1 Comentário: Agora qúe jil. -esta:belecebos a existência de ·uma funl,li!.o ·de pro- babilidade indozida. sobre o contradomiJio de X- Eqs. (4.1 ·e 4.2)- achamos . . I , . . . conveniente . l!Jlprimir a natureza. 'funcional de X. Por isso, escreverein!ls ·(como fizemos no ·e~plo ·acima) P(X = 1) = 142. O que se quer dizer é que, um certo evento no ·espsço amostral S, a saber ·(HT, THI = (s}!X(s) = 11 •ocbrre com pro- babilidade 1/2. Da.! atribuirmos ·essa m~sma probabilidade, ao ·evento (X = 11 no contradom!U:ió. · Continuaremos a escr~ver expressões sernelha.n~s a P(X = 1), . I . P(X ~ 5) etc. t muitc imporlánle para o I,eitor compreender o que essas expressões reslm:ente representam. I . I I Uma v.ez que as probabilidad~s associadas aos vááos resultadoe (ou eventos) :no contradomin:io R~ tenham sido determinadas (mais precisamente, induzida.S), ignor.arbmos freqüentemente o espaço amostral original S, que deu orige~ a 'essas probabilidades. Assim, bo exemplo anterior, ·• simplesmepte estaremos inter~ssados em Rx =' {O, 1, 2} e as probabilidaqes assCJciad'as (1/4, 1/'i, 1/4). O fato, de que ·essas probabilidades s~jam determinadas por uma função . de probabilidade definida ~obre o! espaço amostral original s, não nos interessa, quando estamos ap:enas interessados em estudar os valores da v~riável aleatória X. I Ao apresentar, em minúcias, lrmito~ dos 1importantes con:tieitos ·referentes a variáveis aleatórias, J julgamos conveniente distinguir 72 I I'ROBAB!UDADE dois casos importantes: as variáveis aleatórias discretas e as variá- veis aleatórias contínuas. 'De}z"-nição. Seja X uma variável aleatória. Se o número de va- l ores possíveis de X (isto é, Rx, o. contrado:riúnio) for finito ou infi- nito numerável, denolninaremos X de variável aleat6rja discreta. Isto é, os valores possíveis· de X, podem ser postos em lista como x11 · x2, . ... , Xn. No caso finito, a lista acaba, e no caso infinito ntiínerá- vel, a lista continua indefinidamente. Exemplo 4.5. Uma fonte radioativa está eMitindo partículas a. A. emissão dessa.s partículas é observada em um dispositivo contador, durante um período de tempo especificado. A variável aleatória seguinte é a que intere3sa: X = número de partículas observada{~. Quais são os valores possíveis de X? Admitiremos que esses valores são todos os inteiros não negativos, isto é, R.Tt: = (O, 1, 2 . .. , ·n, . .. }. Uma obje~ão com que j ~ nos defrontamos uma vez pode, novamente, ser levantada neste ponto. Pode-se argumentar que durante um es- , pecificado intervalo (finito) de tempo, é impossível observai· mais. :. do que, digamos N partículas, onde N pode ser um inteiro positivo muito grand~. Conseqüentemente, os valores possíveis para X real- mente seriam: O, 1, 2, . .. , N. Contudo, torna-:se matematicamente ·mais simples considerar a descriÇãO idealizadafeita .acima. De fa- to, sempre que adniitirmos que os valores possíveis de unta variá- vel aleatória X sejam infinito numerável, estaremos realmente consi- derando uma: representação idealizada de X. À yista de nossas explicações anteriores da descrição prob~bi lística de eventos com um ,número finito ou infinito numerável de elementos, a descrição prol?abilística d~; uma variável aleatória dis- creta não apresentà.rá quakruer dificuldade. Procederemos da se- guinte maneira: Definição. Seja X uma, variável aleatória discreta. "Portando, Rz, o contradomínio de X, será formado no máximo por Um número in- finito numerável de valores x1, x2,. • • A calla poss[vel resultado x' associaremos um número p(xi) = P (X = x;), denominado probabi- lidade de . x;. ·Os . números p(x;), .i = 1, 2, . . . devem satisfazer às .. VAR!ÃVIEOS ALIEAlJ"Ó~QAS UI\IIDiilfiiEI\ISOONA!S I 73 seguintes condições: (a) p(x;) ~ O para todo i, "' (b) L p(x;) = 1. (4.3) oi=l A função p, definida acima, é denominadajun;ão de probabilidade (ou função de probabilidade no ponto) dá.'V!i.riável aleatória X. A coleção de pares [.r;, p(.ri)], i= 1, 2, ... , é. algumas vezes denominada distribuição de probabilidade de X. Comentários: (a) A escolha. particular dos números p(x;) é presum!Velmente- determinn.da a partir. do. função de probabilidade associada. aos eventos no espaço Fig. 4.3 amostral S, no qual X. seja definida. Isto é, p(x;) = P[s IX(s) = :r;]. [Veja as Eqs. (4.1 e 4.2).] Contudo, já que es tamos interessados apenas nos valores de X, isto é, Rx, e as probabilidades IISSociadas a. . estes valores, estaremoS novamente suprimir,c:lo _a. natnre~a fun.cional de X. · . . (Veja a Fig. 4.3.) Muito embora, tia. maio- ria dos casos, os números sejam de fato determinados a partir da distribuição de probabilidiules em algum espaço amostral subjacente s, qualquer conjunto de números p(:í:i), que satisfaçam às Eqs. (4.3), pode servir comi:> descrição proba.bi- llstica apropriada de uma variável aleatória discreta. (b) Se X tomà.r apenas um número finito de : valores, digamos XlJ ••. ,xN, então p(x;) = O para i > N, e1 portanto, a série infinita na Eq. (4.3) se transforma em uma soma finita. (c) Podemos salientar, novamente, uma análogia com a Mecânica, ao con- siderarmos a massa total de uma. unidade distribuída sobre a reta real, com a massa total concentrada nos pontos x11 X2, . . . Os ·números p(x;) representam a quan- tidade de massa localizada. no ponto x;. (d) A interpretação geométrica (Fig. 4.4) de uma. distribuição de probabi- lidade é freqüeritemente útil. p(x) 111 I ii J ~x Fig. 4.oll 74 I PROBABIUDADIE Seja Bum evento associado i variável aleatória X; isto é, B C Rx (Fig. 4.5). Suponha-se, especificamente, que B = I x,;1, x;w .. }. Daf, P(B) = ..f'[s!X(s) E B] (porque esses eventos são equivalentes) :::, P[s!X(s) = x;i'j = 1, 2, ... ] = f:p(r;1). . . i=l .... (4. 4) Explicando: A probabilidade de um evento B é igual à iíoma das probabilidades dos resultados individuais aSsociados com . B. Comentários: (a) Suponhamos qué a variável aleatpria disereta X possa tomar somente um número finito de vàlores, X 1 , ... : ; Xfif. Se os resultados forem igualmente prováveis, então teremos obviamente p(x,) == ... = p(xN) = 1/N. (b) Se X tomar um número infinito numerável de vàlores, então é impossível ter todos os valores igualmente prováveis; porque · não poderemos satisfazer à condição . :E oo p (xi) = 1, se tivermos p (xi) = c para todo i. z= 1 , (c) Em todo intervalo finito, existirá no máxi:Íno um número finito de valores possíveis de X. Se algum desses intervalos não contiver qualquer desses valores possíveis, nós atribuiremos a ele probabilidade zero. Assim, se Rx = = [x,, x2 , ••• , Xnl e se nenhum xiE [a, b],entãoP [a"" X"" b] =O. ExemjJlo 4.6. Suponhamos que urna vái~Ià' eletrônica . seja posta em um saquete e ensaiada. Admitiunos que a ·p:robabilidàde de que o teste seja positivo seja 3/4; daí, á p~ob~bilid~e _dé que s~2 ja negativo é igual a 1/4. Admitamos também que estej~os ensai:. ando uma partida grande dessas válvulas. Os ensaios : ~ontinuam até que a primeira vál~la positiva apareça. Definàmqs a variá- vel aleatória, assim: X é o n,úmero de testes · neÚss.ârios para con- . cluil' o experimento. O espaço amostral associado ·a este experi- mento é: s ==: I+, - +, - - +, - +, ... }. Para determinarmos a dist~il:>uição. de probabilidáde de X, racioCl- p.aremos da seguinte forma: os valores possíveisde X são 1, 2, . .. n, •..• (estamos, obviamente, tratando com um espaço amostral idealizado). E será X = n se, e somente se, as pri:!neiras (n - l), válvulas forem negatjvas e a. '(.1.-ésima válvula for positiva. Se aceitarmos que a condição ·de 1Uill1 váLvula não influencie a condição de 'outra, pode- remos escrever ( 1 )n-l.( 3) p(n) == P(X = n) = 4 4 , n = 1, 2, .. •; VARIÁVEIS ALEATÓRIAS UNIDIMENSIONABS 1 75. I I - - Para verificarmos que esses valores de p(n) satisfazem à Eq. (4.3) observaremos que \ ' · .. 3 ( \ 1 1: ) L p(n) = - 1 + - + - + · · · n=l 4 1 4 16 . 3 i 1 =--~ -- = 4 1\-_!_ . I. 4 1. , -I ' I Comenl.árw: Estamos empregand6 aqui o resultado de que a. série gpomélrica 1 +r+ r+ ... çonv~rge para _1.'(1 t- ~) sempre q~e· \r I < 1. ~ste é lUD re- sultado que será menciOnado mu1las vezes. Suponha-se que ,deseJemos calcular · P(A), onde A 6 defini.d.o como: 10 exphimento termina. depois 'de um nú!l;leco paJ: de repetições.! Empregando n. Eq. (414); teremos~ .. I P(A) = L p(2ni = .2_ + 2_1 + · · · 71=1 i 16 256 3 I 1 ' 3 I 1 = --:16 (1 +: ~ + .. ·) = 16 --~- = 5 . i 1 - 16 I 4.3. A Distribuição Bi.nomial\ Nos prmamos capítulos, estJdaremos pormenorizadamente algu- mas variáveis discretas importantk Agora estudaremos apenas uma delas e, em seguida, a empregar~mos para ilustrar alguns conceitos importantes. \ . ! Exemplo 4.7. Suponha que ~eças saiam ,~e uma l~nha de produ- ção e sejam classificadas como defe~tuosas (D) ou como não-defeituosa~ (N), isto é, perfeitas. Admita que três dessas peças, da produção de um dia, sejam escolliidas ao acaso e Classificadas de acordo com esse es- quema. O espaço amostral para es~se experimento, S, pode ser assim, apresentado: i . I I . •I S = {DDD, DDN,DND,NDD,NND,NDN,DNN,NNNJ. . I I . . (Outra maneira de descrever s ,é como s = s 1 X Sz X s3' o produ- to cartesiano de St, S2 e S3, onde c~daSi = {D,N}.) Suponhamos que seja 0,2 a probabilidade de uma peça sér, defeituosa e 0,8 a de ser não-defeituosa. A4rnitamos q~e essas probabilidades ' 76 i PROBABUUDADIE sejam as mesmas para cada peça, ao menos enquanto durar o nosso estudo. Firialmente, admita-se que a classificação . de qualquer peça em particular, seja independente da classificação de qualquer outra peça . . Empregando essas suposições, segue-se q~e as probabilidades associadas aos vários resultados do espaço ariwstral S, como se explicou acima, são: (0,2)3 ' (0,8)(0,2)2 ' (0,8)(0,2)2 ' (0,8)(0,2)2 ' (0,2)(0,8)2 ; (0,2)(0,8)2 ; (0,2)(0,8)2 , (0,8)3 . Geralmente, nosso interesse não está. dirigido para os resultados .indivi- duais de S. Ao contrário, desejamos tão-somente cànhécer qiuzntas peças defeituosas seriam encontradas . (não interessà:ndo . a ordem em que tenh'am ocorrido). Isto é~ desejamos estudar a variáv~l aleirtóriaX, a qual atribui a cada resultado s e S o número de peças defeituosas encontradas em s. Conseqüentemente, o conjunto dos valores possí- veis de X é {0, 1, 2, 3}. Poderemos obter a distribuição de probabilidade de X, p(xi) = = P(X = xi), .da seguinte maneira: X = O se, e somente se, ocorrer NNN; X = 1 se, e somente se, ocorrer DNN, NDN, ou·NND; X= 2 se, e somente se, ocorrer DDN, DND, ouf!DD; X = 3 se, e somente se,ocorrer DDD. (Note-se que {NNN} é equivalente a {X= O} etc.) Ent'ão, p(O) = P(X =O)= (0,8)3 p(l) = P(X = 1) = -~ (0,2)(0,8)2 , p(2) = P(X = 2) = 3(0,2)2 (0,8), p(3) =P(X = 3) = (0,2)3 • Observe que a soma dessas probabilidades é igual a 1, porque .a soma pode ser escrita como igual a (0,8 + 0,2)3 • Comentdrio: A explicação dada ilustra como as probabilidades em um con- tradomínio Rx (neste caso {0, 1, 2, 3}) são induzidas pelas probabilidades defmi- das sobre o espaço amostral S. Porque a hipGtese de que os oito Í esultados de S = {DDD, DDN, DND,NDD,NND,NDN, DNN, iiNN} tenham as probabilidades daçlas no Ex. 4.7, determinou o valor de p(x) para todo x e Rx. VARIÁVEiS AlEATÓROAS UI\!DD!MIENSOONAHS I 77 Vamos agora generalizar as noções introduzidas no ex. anterior. Definição: Consideremos um experimento E e seja A algum '"evento associado a E. Admita-se que P(A) = p e conseqüentemente P(A) = 1 - p. Considerem-se n repetições de E. Daí, o espaço amostral será formado por todis as seqüências passiveis I a1, á2, . . . , an I, onde cada a; é ou A ou A, dependendo de que tenha ocorrido A ou A na i-ésima repetição de E. (Existem 2n dessas seqüências.) Além disso, suponha-se que P(A) = p permaneça a mesma para todas as repetições. A variável aleatOria X será assim definida: X = número de vezes que o· e-vento A tenha ocorrido. Denominaremos X de va- · riável aleatória binomial, com parâmetros n e p. Seus valores possí- veis são evidentemente O, 1, 2, ... , n. (De maneira equivalente, dire- mos que X tem uma. distribuição bmoinial.) As repetições individuais de E serão denominadas Provas de Bernouilli. Teorema 4.1. Seja X uma variável binomial, baseada em n repetições. Então, P(X = k) = ( ~) p1'(1- Pt-lc, k =O, 1, ... , n. (4.5) Demonstração: Considere-se um particular elemento do espaço amostral de S satisfazendo à condição X = k. Um resultado como esse poderia surgir, por exemplo, se nas primeiras k repetições de E ocorresse A , enquanto nas últimas n- k r~petições ocorresse A, · isto é, AAA· · · AÃAA· ··A. k n-· k Como todas as repetições são independentes, a probabilidade desta seqüência particular seria plc(l - p)n-k, mas exatamente essa mesma probabilidade seria associada a qualquer outro resultado para o qual X = k. O número total de tais resultados é igual a {~), por- que deveremos escolher exatamente k posições (dentre n) para o evento A. Ora, isso dá o resultado acima, porque esses (~) resul- tados são todos mutuamente excludentes. 78 I PROBABILIDADE · ........ · Comentários: (a) Para verificaJ' nO!lflO resultado, . ~bªervemos que empre- gando o teorem,a binomial temos . . . · . > · I:~~o P(X = k) = Lk=O m pk(l ~ p)n~~ =; [p + (1 '- p)]n = "1" = 1, como era de se esperar. · Como as probabilidÍld~ '(k) pk(f:...:. p)ii-k São obtid&S . pelo desenvolvimento da expressão binomial[p + (i C:: p)];.;/eí'a+ecelle a deri'omi~ nação de distribuição binomial. . ' · . (b) Sempre que realizarmos repetiÇões indep.eridentes_' de uni:experiinento e estivermos interessados somente em uma dicotOmia- defeituoso ou nãc:i-def.eic tuoso (perfeito).; dureza acima ou abaixo de certO padrão;, nível .,de ruído em um sistema de comwúcações acima ou abaixo de ~~ limiar , pr~estab~lecido ~ esta- remos virtualmente tratando com um espaço amostrai nÕ qual podemos definir uma. variável aleatória binomial. ·Enquanto as con:diçÕes da experimentação permaneçam suficientemente · estáveis, · .de· modo que a probabilidade de . algum atributo, digamos A, permaneça constante, poderemos empregar o modelo aciina. (c) Se n for pequeno, os termos individuais da distribuição binomial serão r~:lativamente fáceis de calcular. Contudo, se n for relativamente grande, os cálculos se tornam bastante incómodos. Felizmente, foram preparadas tábuas. de probabilidades bin01piais; existem várias dessas tábuas. (Veja o . Apêndice.) Exemplo 4.8. Sup@ha-se que uma válvula eletrônica, instalada em determinado circuito, tenha probabilidade 0,2 de funcionar mais do que 500 horas. Se ensaiarmos 20 válvulas, qual será a probabili- dade de que· delas, exatamente k, funcionem mais que 500 horas, k = o, 1, 2, ... ' 20? P(x) I I 'I L-~0-+1~2~3~4~5~~6-!7~8~9~1~0~1~1~1~2~13~14~15~16~1=7~1~8-x Fig. 4.6 Se X for o número de válvulas que funcionem mais de 500 ho- ras, admitiremos que X tenha uma distribuição binomial. Então, P(X = k) = CZ2) (0,2)!<(0,8)=0-k. Os valores podem ser lidos na Tab. 4.L ~ ~ . . Se marcarmos os valores dessa distribuição, obteremos o gráfico apresentado na Fig. 4.6. A configuração que observamos aqui é bastante· geral. As probabilidades binomiais crescem monótonica- . mente, até que atingem um valor máximo e, depois, decrescem mo- notonicamente. (Veja o Probl. 4.8.) P(X = O) = 0,012 P(X = 1) = 0,058 P(X = 2) = 0,137 P(X = 3) = 0,205 (As probabilidades - I - . VARBAVIEISA!l.EATORIAS UI\IDDIMIENSiOI\IAIS I 79 I Tab. /4.1 I I P(X = 4) = 0,218 P(X ;, 8) = 0,022 . I . P(X = 5) = 0,175 P(X '= 9) = 0,007 I P(X = 6) = 0,~09 P(X == 10) = 0,002 P(X = 7) = o,pss P(X = k) = o+ para k ~ 11 restantes são meilores do que 0,001.) I I Exemplo 4.9. Ao operar det~rrninada máquina, existe alguma probab-ilidade de que o operador qa máquina cometa um erro. Po~ de-se admitir, razoavelmente, que ;o operador aprenda, no sen~,ido dç que . decresça a probabilidade de cpmeter um erro, se ele usar repeti- damente a máquina. Suponha que q operador faça n tentativas e que as n repetições sejam estatisticamente ipdependentes. Suponhamos, especi- ficamente, que P (um erro ser cometido na i-ésima repetiçã<;>) = 1/(i + 1), i = 1, 2, . .. , n. Admitamos que /se pretendam 4 tentativas (isto é, n = 4) e defmamos a variável aleatória X como o número de operações da máquina, executadas sem erro. NJ1 ote-se que X não tem distribuição binomial, porque a probabilidade de "sucesso" não é constante. Para calcular a probabilidade jde que X = 3, por exemplo, pro- cede-se do seguinte modo: X = 3 se, e somente' se, houver exatamente uma tentativa mal sucedida. -Isto ~ode ocorrer na prin~eira, segunda,- terceira ou· quarta tentativas. Portanto, I . . . 1 2 3 4 ~ 1 3 4 1 2 1 4 ~x=m=----+~---+----+ . 2 3 4 5 ~ 3 4 5 2 3 4 5 1 2 3 1 5 +z-345= iz· I I . Exemplo 4.10. Considere-se ruma situação semelhante à.quel11, · apresentada no .Ex. 4.9. Agora, !admitiremos que exista uma pro- babilidade constante p 1 de não cmpeter um erro na máquina, dura~te cada 'uma das n 1 tentativas, e urra probabilidade constante p~ ~ P1 de não cometer um erro em cada uma das n2 .repetições:subseqüentes . . Seja X o número de operações be~ sucedidas da máquina durante as n = n 1 + n2 tentativas independe? tes: Vamos procurar a expressão geral de P(X = k). Pelo mesmo rp.otivo dado no exemplo precedente, X não tem distribuição binomial. i Para obter P(X = ik), procede-se qa seguinte maneira: ' I · Sejam Y1 o número de operações corretas 'durante as primeiras n 1 tentativas, · e Y2 o número dei· operações corretas· durante as n2 tentativas s~bseqüentes. Portantp, Y 1 e Y2 são variáveis aleatórias independentes e X = _ Y1 + Y2• 1 Assim, X = k se, e somente se, I 80 i PROBABILIDADE . Y1 =r e Yz = .k- r, para qualquer inteiro r ql).e satisfaça às condi- ções O ::::; r S n1 e O ::::; k - r ::::; n 2• As restrições aciina, sobre r, são eqUivalentes 'a ·o ::::; r .:5 n1 e k - n2 ::::; r ::::; k. Combinando-as, põdérêmb~ es~re'v~rmáx. (O, 'k ~ - nz) ::::; r S mín. (k; ni)., Portanto, teniinci~ Com nossa convenção usual de que (b) = O sempre qu~ b > a ou b < O, poderemos escrever a probabilidade acima como . P(X= k) = T~ (~1) p~(l- PI)nl-'r(k ~r) p;-r(l-' P2)"2-k+r (4.6) Por exemplo, se P1 = 0,2, P2 = 0,1, n1 = n2 = 10 e k = 2, a proba- bilidade acimafica, depois de um cálculo direto: Comentário: Sup.onha-ose que p1 = P2· Neste . caso, ii; Eq. (4.6) se reduz a · (k) p~ (1 - pi)n-k, porque agora a .variável aleatória X tem. uma dist~ibuição binomiaL Para verificar que é a.Ssim, note-se que poderemos escrever, (desde que n1 + 112 = n): P(X = k) =· p~(l- p1)n-k ~ (~1) (k~ ,.) Para verificar que a SQ~~ acima é igual a (~), bast& comparar os coeficien~ das potências de xl,; .ehi ambos os membros da idéntidade (l +. x)n 1 (1 + x)"2 ~ = (1. + x)nl+n2. ··4.4. Variáveis Aleatórias Conttífl'lluas Suponha-se que o · contradonúnio de X seja formado por um número finito muito grande de val~res, digamos todos OS . valores X no intervàio O ::::; x s i, da forma: O; 0,01;. 0,02; ... ; 0,98; 0,99; 1,00: A cada um · desses valores .está associado um número não-ne- gativo p(x.) ;, P(X =:= Xi), i.= 1,· 2,·: .. , cuja soma é igual a 1. Esta operação está represen~ada geometricamente na !"ig. 4. 7. . - VA.RO Á VEUS A. LEA.TÕR8A.S UN8Dii\liENSDONA.iS I 81 J á. salientamos anteriormente que poderia ser matematicamente ma.iB fácil idealizar a apresentação probabilística de X, pela P!ll) kJmw I iliiillli., O I suposição de que X pudesse tomar t<Jdos os valores possíveis, O ~ x ~ 1. Se fizermos isso, que acontecerá às probabilidades no ponto p(x;)? Co- mo os· valores possíveis de X não são numeráveis, não podemos real- mente falar do i-ésimo valor de X, e, por isso, p(x;) se torna sem sentido. O que faremos é substituir a função p definida somente para x1, x2, • •• por uma função f definida (neste conte:do) para todos os valores de x, O ~ x ~ 1. As proprie- dades da Eq. (4.3) serão substituídas por j(x) ~O e fo 1 f(x)dx = 1. Vamos proceder formalmente como se segue. Definição: Diz-se que X é uma variável aleatória contínua, se existir uma função t, denominada função densidade de probabilidade (fdp) de X que satisfaça às seguintes condições: (a) f(x) ?>O para todo x, · (b) I+ ~ f(x ){lx = 1, (4.7) - 00 . . (c) p~a quaisquer a, b, com - oo < a < b < + oo, teremos P(a<X<b)=Jg f(x)dx. (4.8) Comentários: (a) Estaremos essencialmente dizendo que X é uma variável aleatória contínua, se X puder tomar todos os valores em algum intervalo (c, d), onde c e d podem ser-~ e+~, respectivamente. A existência estipulada de uma fdp constitui um artifício matemático, que possui considerável apelo intuitivo e torna nossos cálculos mais simples. Em relação a isso, também devemos salientar que, quando supomos que X seja uma variável aleatória contúma, estamos tratan- do com uma descrição idealizada de X. (b) P(c <X< d) representa a área sob a curva no gráfico da Fig. 4 .8, da fdp f. entre x = c ex = d. J(x) X=C ='+-----..,:.: ir=d 82 I PROBABILIDADE . (c) Constitui uma conseqüência da descrição probabilfstica de .. X, acima, que, par& qualquer valor especificado de X, di~~s ~; · téciíiri~·P(X = Zo) ' = O, porque P(X = xa) = Jz;o j(x) dx = O. Este rooult~o pode, ~~ecer ~clto con- trário à. nossa intuição. Contudo, . devemos compreender que se permitirmos que X tome rodos os valores em algum Intervalo, então a pr.obe.bili<lade zero. não é equivalente à impossibilidade. Por issO, no caso contínuo, P(A) = O não implica · ser A = 0, o conjunto vazio. (Veja. o Teor. 1.1.) Explicandc) ias:> •ménos rigo- rosamente, . considel"EHle a escolha de um ponto . ao aéaso, : nó .se~ento de reta {xj O .:S x.:S 2l. Muito embora. possamos ~ta.r desejosos em concordar (para objetivos matemáticos) que cada.. ponto imagiml.vel no segmento posSa. ser resultado de nosso experimento, ficaríamos completamente surpreendidos qu~nto ii. isso, sa de. fato escolhéssemos precisamente o ponto médio do segmento ou · qualquer outro ponto especificado. Quando expressamos isto '.em ling'uagetn . matemática rigorosa., dizemos que o evento tem "probabilidade líerÕ". Tend~ em vista. essas obaerve,ções, 88 seguintes probabilidades serl!.o todas iguaiiJ, se X for uma va.riá~el aleatória contínua: · · P(c5. X 5. d), P(c 5. X< d), P(c <X 5. d), e P(c <X< d). (d) Apesar de não verificarmos aqui os detBlhes, pode-se mostrar que easa atribuição de probabilidades a eventos em Rx · sa.tisfa.Z aos ·axiomas básicOs. da probabilidade [Eq. (1.3)1, onde poderemos toiiU!.l" {zl - "' < x < + ·"'I como · nosso espaço amo&ti:al. (e) Se uma função r satisfizer às condiÇões j'; (z) ~ O para todo x, e f_+.,"" r (:z;) dx = K, onde K é um número real positivo (não necessiuiamente igilal a 1), então r não satisfaz a todas as condiÇões para ser uma fdp. No entanto, poderemos fácilmente definir uma nove. função, digamos J, em termos de r. ll&,lim: j(z) = JO(z) K para todo x. Em conseqüência, f se.tisfad, a todas as condiÇões de uma fdp. (f) Se X tomar valorea somente em algum intervalo rmito [a, b], poderemos aimplesmente pôrj(x) = O para todo z EE [a, bl. Em conseqüência, · a. fdp ficam definida para todoo os valores ree.is dez, e poderemos. exigir quef_f;.,"" j(x) dx=r. Sempre que a fdp for especificada somente para determinados valores de z, deve- ramos supor que seja zero em todos os demais. (g) J(x) não representa. 111 probabilidade de coisa alguma! Anteriorm!)nte j& salientamos que, por exemplo, P(X = 2) = O e, conseqüentemente, f(2} cer- ta.mente nl!.O representa easa. probabilidade. Somente quando a função for in- tegrada entre dois limites, ela produzirá uma. probabilidade. Poderemos, con- tudo, dar uma interpretação dej(x)t:.x, da: seguinte maneira: Bo teorema do valor médio, em Cálculo, tem-se que , i z+L'>z P(x 2 X 2 x + tu) = j(s) ds = l:.xj(~), .i .:f . ,.; , ~ -~ l ·.! · VARIÁVEIS k lEATÕRBAS UNIDIMENSIONAIS l 83 Se D.x for pequeno, f(x) D.x será aprd,ximadamente igual a P(x ~ X~ x + D.x)·. (Sef for contínua à direita, esta aproxitnação se tornará mais exata quando D.x->0.) (h) Devemos novamente salientat que a distribuição de probabilidade (neste caso a fdp) é induzida em Rx pela probabilidade s~bjacente associada com eventos I . em S. Por isso, quando escrevemos P(c < X < d), queremos significar como sem- pre P[c < X(s) < d], que por sua vez! é igual a P[s 1 c < X(s) < d], já que esses eventos são equivalentes. A definição anterior, Eq. (4.8), estipula essencialmente a existência de uma fdp f definida sobre Rx tal que . P[,j« X[•) ~ ~ - 1' J[•) d>. I Novamente suprimiremos a natureza funcional de X e, por isso, trataremos so- mente com Rx e a fdp f. . I . . (i) No caso contínuo, também !poderemos considerar a seguinte analogia com a Mect1nica: Suponha-se que tembs uma massa ·total de uma unidade contt- nuamente distribuída sobre o intervalo a~ x ~ b •. 'Nesse caso, f(x) represe~ ta a densidade de massa no ponto x e J:d f(x) dx representa a massa total contida no intervalo c ~ x ~ d. I · I Exemplo 4.11. A e~istêncial de uma fdp foi admitida na exposição de uma variável aleatória cont~ua. Vamos considerar um . exemplo simples, no qual poderemos facilmente determinar a f~p, fazendo uma suposição apropriada sobre o corp.portamento probabilístico da variável aleatória. Suponhamos que -~m ~onto_ s~ja e~~ollúdo n~ interv~o (O,l). Representemos por X a vanavel hleatona cuJpvalor seJa a absc1ssax do ponto escolhido. I Supor: Se I for qualquer intervalo em (0,1), então Prob [X E I] · I será diretamente proporcional ao cumprimento de I, digamos L (I). Isto é, Prob [X E I]= kL(I), oJde k é a constante de 'proporcionalida- de. (É fácil verificar, tomando-se I = (0,1) e observando-se .que . I L :[(0,1)] = 1 e Prob [X E (0,1)] = 1, que k = 1.) . , Obviamente, X toma todos , os valores em (O,l).' Qual é sua fdp? Assim, podemos encontrar uma fynção f tal que I P(a<X < b) = f b f(x')dx? j a Note que, se a<b<Ooui1<a<b,P(a<X<b)=Oe,poris- so,f(x) = O. Se O< a<; b < 1,,P(a<X < b) =
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