Relatórios Fisica Experimental B (UFSCar)

Física Experimental I

•

UFSCAR

Marcelo Lago

06.05.2015

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Relatórios Fisica Experimental B (UFSCar)/Apostila_de_Teoria_-_Fisica_Exp_B.pdf

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS

RESUMO TEÓRICO

Para a Disciplina

FÍSICA EXPERIMENTAL B

Sergio de Aguiar Monsanto

2 0 1 4
FÍSICA EXPERIMENTAL B

SUMÁRIO

Capítulo
Capítulo 1: Apresentação
Pág
01
1.1 – Primeiras Palavras 01
1.2 – Problematizando o Tema 01
Capítulo 2: Técnicas de Laboratório 03
2.1 – Definições Importantes 03
2.2 – Medições de Grandezas Físicas e Avaliação de Incertezas Experimentais 04
2.3 – Tipos de Erro 04
2.4 – Tipos de Medições 06
2.4.1 – Medição Direta 06
2.4.2 – Medição Indireta 07
2.5 – Resultado e Incerteza de uma Medição 07
2.6 – Distribuição Gaussiana 09
2.7 – Avaliação do Tipo A 10
2.7.1 – Média Aritmética 10
2.7.2 – Incerteza Padrão S da Medição 11
2.7.3 – Avaliação do Tipo B 11
2.7.4 – Incerteza Relativa ou Percentual 13
2.8 – Algarismos Significativos 14
2.9 – Arredondamento de Números 15
2.10 – Regra da Propagação da Incerteza 16
2.11 – Comparação entre resultados de medições 18
2.12 – Resumo das Fórmulas 19
2.13 – Resumo de Algumas Definições Básicas 19
2.14 – Algumas Regras Práticas 20
Capítulo 3: Gráficos 21
3.1 – Regras Básicas Para a Construção de Gráficos 21
3.2 – Algumas Definições Utilizadas em Gráficos 22
3.3 – Tipos de Gráficos 23
3.3.1 – Gráfico Linear: Determinação das Escalas 23
3.3.2 ─ Gráfico Monolog ou Dilog 23
3.3.3 – Alguns Tipos de Funções de Ajuste 24
3.3.4 – Função Linear 24
3.3.5 – Critérios Para Traçar a Reta de Ajuste Mais Provável 24
3.3.6 ─ Exemplo de Gráfico Linear 25
3.3. 7 – Funções Exponenciais – Base Neperiana 28
3.3.8 ─ Exemplo 1 de Gráfico Monolog 29
3.3.9 ─ Exemplo 2 de Gráfico Monolog 32
3.3.10 – Funções Exponenciais – Base Decimal 34
3.3.11 ─ Exemplo de Gráfico Dilog 34
Capítulo 4 – Método dos Mínimos Quadrados 36
Capítulo 5 – Conceitos Básicos de Eletricidade 38
5. 1 – Simbologia 38
5.2 – Carga Elétrica 38
5.3 – Lei de Coulomb 38
5.4 – Campo Elétrico 40
5.5 – Diferença de Potencial 41
5.6 – Intensidade e Densidade de Corrente Elétrica 42
5.7 – Corrente Elétrica 42
5.8 – Lei de Ohm 43
5.9 – Lei de Joule 44
5.10 – Potência Elétrica 45
5.11 – Energia Elétrica 45
Capítulo 6 – Formas de Ondas 46
Capítulo 7 – Corrente Alternada 47
7.1 – Sinais Senoidais 47
7.2 – Fase 48
7.3 – Diferença de Fase 48
7.4 – Valor Eficaz ou Valor RMS 49
7.5 – A linha de Alimentação 50
Capítulo 8 – Componentes Básicos de um Circuito 52
8.1 – Circuito Elétrico Simples 53
8.2 – Fontes 53
8.2.1 – Fontes DC 54
8.2.2 – Fontes AC 54
8.3 – Circuitos em Corrente Alternada Alimentados por Gerador de Sinais 55
8.4 – Medindo a Resistência Interna do Gerador de Sinais 55
8.5 – Resistor 56
8.6 – Código de Cores 58
8.7 – Reostatos ou Potenciômetros 58
8.8 – Leis de Kirchoff 59
8.9 – Associação de Resistores 59
8.9.1 – Associação de Resistores em Série 59
8.9.2 – Associação de Resistores em Paralelo 60
8.10 – Capacitor 61
8. 11 – Associação de Capacitores 61
8. 11.1 – Associação de Capacitores em Série 61
8. 11.2 – Associação de Capacitores em Paralelo 62
8.12 – Corrente no Capacitor
8.13 – Indutor
62
63
8.14 – Associação de Indutores 64
8.14.1 – Associação de Indutores em Série 64
8.14.2 – Associação de Indutores em Paralelo 64
8.15 – Auto - Indução 64
8.16 –Indutância Mútua 64
Capítulo 9 – Máxima Transferência de Potência 66
Capítulo 10 – Circuitos Transientes 67
10.1 – Circuito RC – Processo de Carga 67
10.2 – Circuito RC – Processo de Descarga 69
10.3 – Circuito RL – Processo de Carga 71
10.4 – Circuito R L – Processo de Descarga 72
Capítulo 11 – Medidas Elétricas 74
11.1 – Amperímetro 74
11.2 – Voltímetro 75
11.3 – Ohmímetro 75
11.4 – Frequencímetro 75
11.5 – Protoboard – Caixa de Montagens dos Circuitos 76
Capítulo 12 – Circuitos RLC 77
12.1 – Circuitos LC e RLC Sem Fonte de Tensão 77
12.2 – Circuitos RLC em Tensão (e Corrente) Alternada 83
12.3 – Circuitos RLC em Série em Tensão (e Corrente) Alternada 83
12.4 – Um Circuito Resistivo 84
12.5 – Um Circuito Capacitivo 85
12.6 – Um Circuito Indutivo 87
Capítulo 13 – Solução de Circuitos RLC Utilizando Fasores (Números
Complexos)
88
13.1 – Números Complexos 88
13.2 – Fasores 89
13.3 – Solução de Circuitos RLC Utilizando Números Complexos 97
13.4 – Ressonância de um Circuito RLC em Série 99
13.5 – O Fator de Qualidade Q 0 100
13.6 – Ressonância de um Circuito RLC em Paralelo 103
13.7 – Filtros 105
13.7.1 – Função de Transferência e Transmitância 105
13.7.2 – Filtros RC 106
13.7.3 – Filtros RL 111
13.8 – Filtros Ressonantes 113
13.9 – Circuitos Diferenciadores e Integradores 114
13.9.1 – Circuitos RC 115
13.9.2 – Circuito RL 116
13.10 – Circuitos Reais 117
Capítulo 14 – Eletrônica de Semicondutores 118
14.1 – Tipos de Semicondutores 118
14.2 – Semicondutor Tipo n 118
14.3 – Semicondutor Tipo p 119
14.4 – Junções do Tipo pn 119
14.5 – Diodo de Junção pn 120
14.5.1 – Polarização Direta 120
14.5.2 – Polarização Inversa 120
14.5.3 – Curva Característica de um Diodo 121
14.6 – Diodo Zener 121
Capítulo 15 – Transformador 122
Capítulo 16 – Figuras de Lissajus 123
16.1 – Cálculo do Ângulo de Fase 125
17 – Formas de Ondas Complexas – Série de Fourier 126
ANEXO # 1 – Multímetro 128
AN.1.1 – Normas Para a Utilização do Multímetro 128
AN.1.2 – Medidas 128
AN.1.2.1 – Amperímetro 128
AN.1.2.2 – Voltímetro 128
AN.1.2.3 – Ohmímetro 129
ANEXO # 2 – Caixa de Montagens Experimentais 129
Referências Bibliográficas 130

CAPÍTULO 1: APRESENTAÇÃO

1.1 – PRIMEIRAS PALAVRAS
Prezados alunos, a disciplina FÍSICA EXPERIMENTAL B se propõe apresentar
as diversas técnicas de obtenção de dados experimentais, os tipos de análise e
processamento destes dados que mais se adaptam a cada caso. O livro da
disciplina apresenta alguns tópicos da teoria da Física diretamente relacionados
com as práticas e é suficiente para a sua completa compreensão.
Estes passos iniciais em Física Experimental lhes fornecerão um conjunto de
conhecimentos e atitudes, de modo a formar um senso crítico, que lhes possibilitem
exercer sua profissão com autonomia e confiança.
No desempenho de sua vida profissional, é provável que necessitem utilizar
equipamentos mais modernos e sofisticados, que sejam relacionados com teorias
mais avançadas da Física, ou se utilizem de técnicas de análise mais complexas.
Tenho certeza que esta disciplina lhes permitirá assimilar as novas técnicas
experimentais e de análise bem como as teorias, com mais rapidez, confiança e
aproveitamento.

1.2 – PROBLEMATIZANDO O TEMA
Quando se objetiva a obtenção de dados experimentais, é importante ter
confiabilidade nos resultados numéricos, o que só será possível, com a aplicação de
métodos, técnicas, fundamentação teórica e um trabalho prático consistente.
A análise e o processamento destes dados, quando usados para se justificar
um conjunto de atitudes a serem aplicadas ao Meio Ambiente, para prevenir ou
corrigir os problemas, deve ser criteriosa e transmitir confiabilidade.
Serão tratados tópicos da física teórica que possibilitarão uma melhor
compreensão dessas técnicas experimentais de análise dos resultados das
medições.
Quando se apresenta o resultado de uma medição de uma grandeza física
(que
a partir daqui será também chamada mensurando) é fundamental que se
possa afiançar a confiabilidade desse resultado, ou seja, que se possa dar uma
indicação quantitativa dessa confiabilidade. Só com uma representação de
resultados que contenham as incertezas dos mesmos se poderão comparar os
resultados com valores medidos da mesma maneira ou com valores de referência,
fornecidos numa especificação ou numa norma, tabelados ou apresentados por
outros experimentadores, de modo a se decidir sobre o resultado mais preciso para
a grandeza física objeto de estudo.
Serão trabalhados tópicos relacionados com a incerteza de medidas
experimentais e sua propagação em cálculos, para a obtenção de grandezas
derivadas dessas medidas, assim como a representação correta dos resultados em
relação aos algarismos significativos, resultando em confiabilidade dos resultados.
O resultado dos procedimentos de medição deve conter as informações: o valor da
grandeza física, a incerteza da medição e a unidade. Junto com o resultado
corretamente representado, devem também ser citadas as condições de realização
das medidas, as técnicas, montagens experimentais, equipamentos, etc...
No Brasil, o sistema legal de unidades é o Sistema Internacional (SI).
As terminologias empregadas aqui estão de acordo com as normas
metrológicas atualmente em vigência no Brasil, adotadas pelo Instituto Nacional de
Metrologia, Normatização e qualidade Industrial (INMETRO) e pela Associação
Brasileira de Normas Técnicas (ABNT). Elas são traduções das normas
internacionalmente aceitas e utilizadas.
Serão também apresentadas as teorias e as técnicas para a construção e
análise dos três tipos de gráficos mais utilizados em Física Experimental, mas que
também são utilizados em outras ciências experimentais.
2

A frase abaixo reforça a importância das medidas experimentais.

“Eu frequentemente digo que quando você pode medir aquilo que você está
falando e expressá-lo em números, você conhece alguma coisa sobre aquilo, mas
quando você não pode medir, quando não pode expressá-lo em números, seu
conhecimento é marginal e insatisfatório; pode ser o começo do conhecimento, mas
seus pensamentos quase não avançam nos estágios da ciência, qualquer que seja o
assunto em estudo”
Lord Kelvin

CAPÍTULO 2: TÉCNICAS DE LABORATÓRIO
Os resultados de experiências onde são obtidas medições, realizando-se
uma série de cálculos e análises, precisam ter assegurada a sua confiabilidade,
portanto é imprescindível a utilização de algumas técnicas consistentes de
laboratório.
Inicialmente, deve-se formar um vocabulário para facilitar o estudo, a
compreensão e a aplicação destas técnicas.

2.1 ─ DEFINIÇÕES IMPORTANTES
Alguns termos retirados de:
“Vocabulário Internacional de Metrologia: conceitos fundamentais e gerais de
termos associados (VIM 2012)”. Duque de Caxias, RJ : INMETRO, 2012. 94 p.

Grandeza Mensurável - Atributo de um fenômeno, corpo ou substância que pode
ser qualitativamente distinguido e quantitativamente determinado, através de
uma medição.

Grandeza de Base - Grandeza dum subconjunto escolhido, por convenção, de um
dado sistema de grandezas, no qual nenhuma grandeza do subconjunto possa
ser expressa em função das outras.

Grandeza Derivada - Grandeza, num sistema de grandezas, definida em função
das grandezas de base desse sistema.

Dimensão de uma Grandeza - Expressão da dependência duma grandeza em
relação às grandezas de base dum sistema de grandezas, na forma dum produto
de potências de fatores correspondentes às grandezas de base, omitindo-se
qualquer fator numérico.

Valor de uma grandeza - Expressão quantitativa de uma grandeza específica,
geralmente, sob a forma de uma unidade multiplicada por um número.

Medição - Conjunto de operações que tem por objetivo determinar um valor de
uma grandeza. Um resultado de medição é geralmente expresso por:
(um único valor medido uma incerteza de medição).
A medição pressupõe uma descrição da grandeza que seja compatível com
o uso pretendido dum resultado de medição, segundo um procedimento de
medição e com um sistema de medição calibrado e que opera de acordo com o
procedimento de medição especificado, incluindo as condições de medição.

Mensurando - Grandeza específica submetida a uma medição.

Valor Verdadeiro - Valor consistente com a definição de uma dada grandeza
específica. Na Abordagem de Erro para descrever as medições, o valor verdadeiro
de uma grandeza é considerado único e, na prática, impossível de ser conhecido.
O Valor Verdadeiro de uma grandeza é aquele que seria obtido se sua
medição fosse feita de maneira perfeita, e com instrumentos perfeitos. Como
medições perfeitas e instrumentos perfeitos não existem, deve-se
necessariamente associar uma incerteza ao Valor Verdadeiro Convencional de
qualquer medição (mesmo nos casos em que não se tem imprecisões de ordem
subjetiva).
4

Valor Verdadeiro Convencional - Valor atribuído a uma grandeza específica e
aceito, às vezes por convenção, como tendo uma incerteza apropriada para uma
dada finalidade.

Incerteza de Medição - Parâmetro associado ao resultado de uma medição, que
caracteriza a dispersão dos valores que podem ser fundamentalmente atribuídos
ao mensurando.

2.2 ─ MEDIÇÕES DE GRANDEZAS FÍSICAS E AVALIAÇÃO DE
INCERTEZAS EXPERIMENTAIS
Todo o tratamento que será apresentado aqui está baseado na condição em
que o mensurando seja um escalar. Caso o mensurando fosse um vetor, ou seja,
um conjunto de mensurandos relacionados, determinados simultaneamente na
mesma medição, o tratamento requereria a substituição do mensurado escalar e
de sua variância por um mensurando vetorial e por uma matriz covariância.
O objetivo final de uma medição é determinar o valor verdadeiro do
mensurando, ou seja, o valor de um mensurando específico a ser medido. O
valor verdadeiro do mensurando é uma quantidade sempre desconhecida. Isto é,
o resultado da medição do mensurando é somente uma aproximação ou
estimativa do valor verdadeiro do mensurando. Esta característica do valor
verdadeiro está relacionada ao fato que por definição o valor verdadeiro de
qualquer mensurando é o valor que seria obtido de uma medição perfeita.
Mas, como já se sabe é impossível efetuar uma medição perfeita, pois para
que isso fosse possível dever-se-ia empregar, no processo de medição,
observadores e equipamentos perfeitos, que não existem.
Deste modo, o resultado de um processo de medição de um mensurando
não é o seu valor verdadeiro, ou seja, ele está errado - por causa da medição
imperfeita da grandeza realizada.
Define-se como o erro de medição o resultado de uma medição menos o
valor verdadeiro do mensurando. Mas, uma vez que o valor verdadeiro não pode
ser determinado, o erro de medição também é uma quantidade desconhecida. Na
prática, utiliza-se um valor verdadeiro convencional (também denominada
melhor estimativa do valor), para se obter uma estimativa do erro de medição.

2.3 ─ TIPOS DE ERRO
Geralmente, ocorrem erros de vários tipos numa medição. Os diferentes
tipos de erros podem ser classificados em 2 grandes grupos: os erros
sistemáticos e os erros aleatórios (ou estatísticos) [1, 3].
O erro aleatório se origina de variações temporais ou espaciais,
estocásticas ou imprevisíveis (ocorrendo ao acaso), de grandezas de influência.
Os efeitos de tais variações são a causa de variações em observações
repetidas do mensurando. Embora não
seja possível compensar o erro aleatório
de um resultado de medição, ele pode geralmente ser reduzido aumentando-se o
número de observações.
O erro sistemático está associado a equipamentos incorretamente
ajustados ou calibrados, ou ao uso de um procedimento de medição incorreto. Os
erros sistemáticos podem e devem ser minimizados, mas assim como o erro
aleatório não pode ser eliminado. Isso pode ser feito observando se os
instrumentos estão corretamente calibrados ou se estão sendo empregados de
maneira correta. Existe um limite para a redução do erro sistemático de uma
5

medição, que está diretamente associado à calibração do instrumento com o qual
se realiza a medição. Esse tipo de erro é conhecido como erro sistemático
residual.
"O limite de erro de calibração de um instrumento de medida pode ser
admitido como sendo a menor divisão ou menor leitura que é
explicitamente indicada pelo instrumento de medida". (recomendação da
"American Standards Association").

Como regra geral admite-se que o erro padrão inerente ao instrumento de
medida seja a metade da menor divisão da escala.
Para o caso em que o observador utiliza de modo incorreto um instrumento
ou se equivoca com a leitura deste instrumento, o resultado do processo de
medição deve ser um valor muito distante do valor verdadeiro do mensurando,
originando um erro muito grande, chamado de erro grosseiro.
Quando se trata da qualidade final de um resultado, do ponto de vista do
erro de medição, ainda existem dois outros conceitos em metrologia que muitas
vezes são confundidos, a exatidão e a precisão:
Exatidão (ou Acurácia) - Conceito qualitativo para descrever quanto o resultado
de uma medição é próximo do valor verdadeiro, ou seja, é o grau de
concordância entre o resultado de uma medição e um valor verdadeiro de um
mensurando;
Precisão - Conceito qualitativo para indicar o grau de concordância entre diversos
resultados experimentais obtidos em condições de repetitividade, ou seja, uma
“boa precisão" significa erro aleatório pequeno de forma que os resultados
apresentem boa repetitividade.
A Figura 2.1 ilustra os conceitos de exatidão e precisão de resultados de
medições para o caso de uma brincadeira de tiro ao alvo, onde o alvo simboliza o
valor verdadeiro da medição.
Como uma consequência da definição formal de erro de medição, o erro é
também uma quantidade indeterminada por natureza, assim como o valor
verdadeiro. Os valores exatos das contribuições ao erro de um resultado de uma
medição não podem ser conhecidos e também são desconhecíveis as incertezas
associadas com esses efeitos aleatórios e sistemáticos que contribuem para o
erro da medição. Ainda bem que todos eles podem ser avaliados.
Deve-se tomar muito cuidado em distinguir os termos “erro” e “incerteza”,
pois, eles não são sinônimos, ao contrário representam conceitos completamente
diferentes; eles não devem ser confundidos um com o outro, nem ser mal
empregados. Porém, mesmo que as incertezas avaliadas sejam pequenas, ainda
não há garantia de que o erro no resultado da medição seja pequeno, pois, um
efeito sistemático pode ter passado despercebido porque não foi reconhecido.
Assim, a incerteza de um resultado de uma medição não é,
necessariamente, uma indicação de quanto o resultado da medição está próximo
do valor verdadeiro do mensurando; ela é simplesmente uma estimativa de
quanto se está próximo do melhor valor que seja consistente com o
conhecimento atualmente disponível.
Deste modo, a determinação da incerteza de medição, quando o processo
de medição foi efetuado em condições satisfatórias (instrumentos calibrados,
efeitos sistemáticos bem identificados etc) é uma boa estimativa de quanto pode
ser o erro associado à medição.
Evidentemente, a incerteza só pode ser obtida e interpretada em termos
probabilísticos [3,5].
6

Figura 2.1: Diferença entre precisão e exatidão, ilustrado por uma brincadeira de
tiro ao alvo.

2.4 ─ TIPOS DE MEDIÇÕES
Os resultados experimentais de medições de grandezas físicas podem ser
classificados de acordo com a natureza de seu processo de medição, de duas
formas:

2.4.1 ─ MEDIÇÃO DIRETA
É aquela obtida diretamente da leitura de um instrumento, como um
comprimento lido com um paquímetro, um tempo medido com um cronômetro, a
massa determinada com uma balança, etc....

2.4.2 ─ MEDIÇÃO INDIRETA
É aquela obtida através de um cálculo matemático, que inter-relaciona
mais de um mensurando, determinados por medições diretas.
Por exemplo: a densidade, o volume, a velocidade, ...
Para cada um desses casos existe uma forma padrão de indicar a incerteza
de uma medição.

2.5 ─ RESULTADO E INCERTEZA DE UMA MEDIÇÃO
Toda medição está sujeita a incertezas que podem ser devidas ao processo
de medição, aos equipamentos utilizados, à influência de variáveis que não estão
sendo medidas e, também, ao operador (experimentador). Assim, é de
fundamental importância representar o resultado de uma medição de forma que
outras pessoas o entendam e saibam com que confiança este resultado foi
obtido.
Considerar, por exemplo, uma situação em que se deseja medir o
comprimento de um objeto utilizando-se de uma régua graduada em milímetros,
como apresentada na Figura 2.2. Para isso, diferentes experimentadores
ajustaram, um de cada vez, a régua junto ao objeto e fizeram uma leitura.
Eles repetiram esse procedimento muitas vezes e verificaram que os
valores obtidos, em cada medição, diferem um do outro. Na Figura 2.3,
apresenta-se a distribuição dos resultados dessas medições.
Nessa distribuição, o valor obtido em cada medição está representado na
abscissa, e cada barra vertical representa o número de vezes que este valor foi
encontrado.

Figura 2.2: Régua graduada em milímetros, utilizada para medir o comprimento
de um objeto.

Como pode ser claramente observado na Figura 2.3, os resultados das
medições estão dispersos em torno de um valor médio.
Apesar dos experimentadores poderem afirmar que o comprimento do
objeto está entre 7,4 cm e 8,0 cm, não se tem certeza sobre o valor da fração
adicional no comprimento, devido a uma série de razões:

o objeto pode não ter contornos bem definidos;
há diferenças entre a posição escolhida para efetuar a medição por cada
experimentador, para a marca de zero na régua junto ao objeto;
a régua pode estar deformada etc.

Mas, observa-se que existe um grande número de medidas próximas ao
valor médio e que as medidas mais afastadas desse valor são menos frequentes.
8

Figura 2.3: Distribuição dos resultados das medições do objeto mostrado na
Fig. 2.2, com uma régua graduada em milímetros.

Este comportamento característico das medidas sempre ocorre quando se
efetua uma série de medições de uma grandeza, sendo tal comportamento
inerente ao processo de medição.
Agora o comprimento do mesmo objeto é medido da mesma forma, porém,
utilizando-se de uma régua com graduações de meio centímetro, como mostrado
na Figura 2.4. Neste caso, o valor médio do comprimento, obtido a partir de uma
série de medições, apresenta, aproximadamente, o mesmo valor obtido com a
régua graduada em milímetros. No entanto, verifica-se uma maior dispersão dos
resultados, como mostrado na Figura 2.5. De modo análogo ao observado no
caso anterior, isto é uma característica do processo de medição, onde neste caso,
a maior dispersão é devida, principalmente, ao uso de um instrumento
de
medida que possui precisão diferente.

Figura 2.4: Régua graduada a cada meio centímetro, utilizada para medir o
comprimento de um objeto.

O parâmetro associado ao resultado de uma medição, que caracteriza a
dispersão de valores atribuídos à grandeza submetida à medição, é denominado
de incerteza da medição.

Figura 2.5: Distribuição dos resultados das medições do objeto mostrado na
Fig. 2.4 com uma régua graduada a cada meio centímetro.

A forma mais comum de se expressar o resultado de uma medição é:

(valor da grandeza incerteza da medição) [unidade] (2.1)

Essa e outras formas comumente utilizadas para a representação de um
resultado de uma medição estão mostradas abaixo:
a) (21,23 0,03) mm
b) 21,23(3) mm
c) 21,23(0,03) mm

As distribuições mostradas nas Figuras 2.3 e 2.5 são exemplos de uma
distribuição normal ou gaussiana [3].

2.6 ─ DISTRIBUIÇÃO GAUSSIANA

s2
)xx(
exp
2
1
)x(P
2
i (2.2)

Em que <x> é o valor central ou médio e s é o desvio padrão da média da
distribuição.
Neste tipo de distribuição, aproximadamente 68% dos valores encontram-
se dentro do intervalo de um desvio padrão em torno da média; cerca de 95%
dos valores estão dentro do intervalo de duas vezes o desvio padrão; e cerca de
99,7% dos valores estão dentro de três vezes o desvio padrão. Estes intervalos
são chamados de intervalos de confiança [1,3].
A incerteza de medição, estimada com base no desvio padrão da média de
uma distribuição normal, possui a seguinte interpretação: qualquer medida da
grandeza tem uma probabilidade de 68% de estar dentro do intervalo <x> s.
Na verdade, essa estimativa é confiável quando o número de medições é
muito grande (n>200). Quando n é pequeno, deve-se multiplicar o desvio padrão
10

por um fator de correção conhecido como coeficiente t - Student, cujo valor
depende do número de medições e do intervalo de confiança desejado.
Por questão de simplificação, este tipo de correção não será abordado
nesta disciplina. Como já discutido, a incerteza no resultado de uma medição
caracteriza a dispersão das medidas em torno da média. Essa incerteza é
classificada em duas categorias, de acordo com o método utilizado para estimar o
seu valor:

 Avaliação Tipo A - a incerteza é avaliada por meio de uma análise
estatística da série de medidas;

 Avaliação Tipo B - a incerteza é avaliada por meio de métodos não
estatísticos, por não se dispor de observações repetidas.

Tais considerações são baseadas em padronizações internacionais,
estabelecidas com o intuito de se ter um caráter universal de expressar
resultados de grandezas obtidas por medições diretas ou indiretas.

2.7 ─ AVALIAÇÃO DO TIPO A

Exemplo 2.1 ─ Uma medição foi repetida n vezes, nas mesmas condições,
obtendo-se os seguintes resultados x1, x2, x3, ... , xn. Neste caso, estabeleceu-se
que a melhor estimativa para a medida é dada pela média aritmética <x> dos
valores obtidos.

2.7.1 ─ MÉDIA ARITMÉTICA
O valor médio <x> para n medidas do mensurando x é dado por:
n
1i
ix
n
1
x
(2.3)

Exemplo 2.2 ─ Considere-se o exemplo a seguir de uma avaliação Tipo A de
incerteza. Para a determinação da altura (H) de um cilindro foram realizadas
diversas medições desta dimensão utilizando-se um paquímetro com resolução
de 0,02mm. Os valores Hi obtidos para cada medição da altura do cilindro e a
diferença em módulo de cada valor da medição e do valor médio da altura (<H>)
são apresentados na Tabela 2.1.
i
(mm) (mm)
1 8,68 0,01
2 8,64 0,03
3 8,66 0,01
4 8,70 0,03
5 8,66 0,01
6 8,68 0,01
7 8,70 0,03
8 8,64 0,03
= 8,67mm
Tabela 2.1: Medições da Altura de um Cilindro utilizando-se um Paquímetro
11

Neste caso, a altura média <H> do cilindro foi determinada empregando-se
a equação (1.2),

A avaliação Tipo A da incerteza da média dos resultados das medições da
altura do cilindro, u(H), deve ser estimada como o desvio padrão S da média,
u(H) = S.

2.7.2 ─ INCERTEZA PADRÃO S DA MEDIÇÃO
É identificada com o desvio padrão S da média das observações [3], dado
por:
n
1i
2
i )HH(
)1n(n
1
S)x(u
(2.4)

mm....00845154,0)x(u

e a altura H do cilindro será representada:

)mm 0,008 ± 8,670 ()H(uH

Conforme será apresentado nas próximas seções, a incerteza de medição
sempre será escrita com um único algarismo significativo, e também serão
descritas as regras de arredondamento de acordo com a norma da ABNT.

2.7.3 ─ AVALIAÇÃO DO TIPO B
Quando o número de medições realizadas não é suficiente, ou em situações
em que não é prático ou, ainda, quando não é possível estimar a incerteza com
base no cálculo estatístico, utiliza-se a avaliação Tipo B. Tal avaliação, baseia-se
normalmente, no bom senso do operador (experimentador) que, a fim de
estabelecer uma incerteza para a medição, deve utilizar toda a informação
disponível, por exemplo: dados de medições anteriores, conhecimento
acumulado sobre os instrumentos e materiais utilizados, especificações do
fabricante e dados de calibração dos instrumentos. Portanto, essa avaliação é
muito subjetiva.
Em alguns casos, essas informações podem permitir ao operador inferir
uma distribuição aproximada para as medidas, cujo desvio padrão aproximado
deve ser usado como uma estimativa para a incerteza padrão da medição.

Exemplo 2.3 ─ Considere-se que um objeto de massa m foi colocado sobre
uma balança mecânica que apresentou uma leitura de 156g. A única informação
disponível sobre a balança é seu “erro máximo = 2g”.
Nesta situação, pode-se efetuar uma avaliação Tipo B para a incerteza
desta medição, ou seja, como a indicação que seu “erro máximo é 2g”, pode-se
estimar que a incerteza desta medição deve ser igual ao “erro máximo” indicado
pelo instrumento. Assim, o resultado desta medição da massa do objeto deve
ser:
g) 2 ± 156 ()m(um

Exemplo 2.4 ─ Deseja-se determinar através de uma única medição o
diâmetro de um cilindro regular. Para esta finalidade foram empregados os
seguintes instrumentos de medida: régua graduada em milímetros, paquímetro
analógico com menor divisão da escala 0,02mm e um micrômetro analógico com
menor divisão da escala 0,01mm. Os resultados das medições únicas do
diâmetro do cilindro foram: 9mm com a régua; 8,98mm com o paquímetro e
8,99mm com o micrômetro.
Nesta situação, deve-se efetuar uma avaliação Tipo B para a incerteza
destas medições. Para isso, devem-se obter as informações referentes aos
instrumentos de medições e ao processo de leitura destes instrumentos. No caso
da régua graduada em milímetros e do micrômetro analógico, o processo de
medição com tais instrumentos possibilitam a visualização de valores com
resolução de até metade da menor divisão da escala, deste modo pode-se
estimar a incerteza destas medições com régua e micrômetro analógico como
sendo metade da menor divisão da escala. Já para o paquímetro, o processo de
medição com este instrumento possibilita a visualização de valores com resolução
de até a menor divisão da escala, deste modo pode-se estimar a incerteza das
medições
com o paquímetro analógico como sendo a menor divisão da escala.
Nesta disciplina será utilizado o seguinte padrão para a estimativa da incerteza
(avaliação Tipo B) de medições com instrumentos analógicos ou mecânicos:
quando não houver outras informações disponíveis pelo fabricante destes
instrumentos, a incerteza deverá ser estimada como sendo metade da menor
divisão da escala (quando for possível esta visualização), e a menor divisão da
escala nos demais casos.
Assim, os resultados destas medições do diâmetro do cilindro devem ser
representados da seguinte forma:

mm) 0,5 ± 9,0 ()D(uD
- régua graduada em milímetros
mm) 0,02 ± 8,98 ()D(uD
- paquímetro analógico (menor divisão 0,02mm)
mm) 0,005 ± 8,990 ()D(uD
-micrômetro analógico (menor divisão 0,01mm)

Exemplo 2.5 ─ Em um estudo de queda livre de um corpo, foi determinado
através de uma única medição o tempo de queda (t) do corpo. Para este fim foi
empregado um cronômetro digital de menor divisão da escala de 0,01s, que pode
ser operado automaticamente por um sistema eletrônico dedicado ou
manualmente por um operador. Os resultados obtidos para o tempo de queda do
corpo (t) foram determinados nos dois modos de operação do cronômetro digital,
cujos valores são:

(a) cronômetro acionado automaticamente
2804:0t

(b) cronômetro acionado manualmente
5604:0t

Os valores 28 e 56 estão em centésimos de segundo.

Para a estimativa da incerteza de medição do tempo de queda livre obtido
com o cronômetro digital acionado automaticamente, deve-se considerar a
avaliação Tipo B, e por se tratar de um instrumento digital, a estimativa da
incerteza deve ser igual à menor divisão da escala do instrumento, quando não
houver outras informações disponíveis pelo fabricante deste instrumento. Deste
modo, a correta representação do resultado desta medição deve ser:
13

s)01,028,4()t(ut
- cronômetro digital (menor divisão 0,01s)
operado automaticamente.

Para a estimativa da incerteza de medição do tempo de queda livre obtido
com o cronômetro digital acionado manualmente, deve-se considerar além da
incerteza referente a escala de medição, também o tempo médio de reação do
operador humano. O tempo médio de reação do operador para acionar e desligar
o cronômetro digital manualmente é estimado como sendo 0,2s. Deste modo, a
correta representação do resultado desta medição deve ser:

s)2,06,4()t(ut
- cronômetro digital (menor divisão 0,01s) operado
manualmente.

Apesar da incerteza de medição do tempo de queda livre obtido com o
cronômetro digital acionado manualmente ter sido estimada como a soma do
tempo de reação do operador com a incerteza referente a escala de medição,
como será apresentado nas seções seguintes, será adotado nesta disciplina que a
incerteza de medição deve ser apresentada com somente um único algarismo
significativo.

Exemplo 2.5 ─ Considere-se que a única informação que um operador tem
sobre uma medição de uma grandeza é que o seu valor se situa entre os limites
x e x+. Neste caso, é aceitável supor que x pode assumir qualquer valor dentro
deste intervalo com igual probabilidade (distribuição retangular [1, 3]).
Assim, o valor mais provável da grandeza deve ser dado por:

(2.5)
e a incerteza padrão u(x), estimada como o desvio padrão dessa distribuição, é
dada por:

(2.6)

O fator decorre da distribuição retangular de probabilidade [1].

2.7.4 ─ INCERTEZA RELATIVA )R(
xu
OU PERCENTUAL )%(
xu

Em Física Experimental é de interesse determinar qual é a fração ou
porcentagem do valor do mensurando que a incerteza de medição representa.
Pode-se definir a incerteza relativa ( )R(
xu
) desta grandeza como sendo a
razão entre a incerteza de medição pelo valor da mesma grandeza, e a incerteza
percentual, como sendo a incerteza relativa multiplicado por 100% .
São números "puros" (adimensionais) que caracterizam a precisão da
medida e calculados com as seguintes equações:

x
)x(u
u
)R(
x
(2.7)

100.
x
)x(u
u
)%(
x
(2.8)

2.8 ─ ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
O valor de uma grandeza experimental, obtido a partir de cálculos ou
medições, pode ser um número na forma decimal, com muitos algarismos.
Por exemplo:

Algarismo significativo em um número pode ser entendido como cada
algarismo que individualmente tem algum significado, quando o número é escrito
na forma decimal [3].
Os “zeros” à esquerda não possuem nenhum significado quando são
considerados individualmente, ou seja, não são significativos, sendo que o único
significado do “conjunto de zeros” é indicar a posição da vírgula decimal. Assim,
mudando as unidades da grandeza ou utilizado uma potência de 10 como fator
multiplicativo, os “zeros” à esquerda podem ser eliminados.
Em toda medição é de fundamental importância expressar o resultado da
medição com o número correto de algarismos significativos. Para isso, deve ser
considerado que existe uma incerteza associada ao número que representa a
grandeza experimental. Isto significa que todos os algarismos à direita além de
um certo algarismo W são não significativos.
Esta limitação pode ser entendida da seguinte forma: devido à incerteza,
cada um dos algarismos no número tem uma determinada probabilidade de ser o
algarismo verdadeiro.
Geralmente, esta probabilidade está entre 50% e 100% para o primeiro
algarismo não nulo (J) e vai diminuindo para algarismos à direita, até se tornar
muito próximo de 10% para certo algarismo A. Isto é, a probabilidade de que A
seja o algarismo verdadeiro é praticamente a mesma probabilidade para
qualquer outro algarismo, então o algarismo A não pode ter nenhum significado,
porque não transmite nenhuma informação. De modo geral, um algarismo é
significativo quando tem maior probabilidade de ser correto, em relação aos
demais [3].
Assim, para expressar corretamente o resultado de uma medição com o
número de algarismos significativos corretos, devemos seguir as seguintes
regras:
 Os algarismos significativos de uma medição são todos corretos mais um
duvidoso
 O algarismo duvidoso é o que é afetado pela incerteza da medição
 Os zeros, à esquerda do primeiro algarismo não nulo, antes ou depois da
vírgula, não são significativos (eles servem somente para representar a
medida em múltiplos e submúltiplos de unidades)
 Qualquer zero, à direita do primeiro número não nulo, é significativo
 A potência de 10 em um resultado de medição não altera o número de
algarismos significativos
15

Seja, por exemplo, a medição do comprimento do objeto mostrado na
Figura 1.2, em que se utiliza uma régua graduada em milímetros.
Após a realização de várias medições, calcula-se a média dos resultados e
estima-se a incerteza Tipo A por meio do desvio padrão, obtendo-se o resultado
cm)1,06,7()L(uL
, representado corretamente. Nessa medição, a incerteza
incide sobre o algarismo 6, que é o duvidoso.
Seria incorreto representar esse resultado de medição em qualquer uma
das formas abaixo:

cm)1,06385,7(
- Como a incerteza é de 1 milímetro, não faz sentido indicar o
resultado com precisão maior que a desse valor, ou seja, os algarismos 3, 8 e 5
não são significativos e não devem ser escritos;

cm)1,07(
- O algarismo duvidoso deve ser aquele sobre o qual incide a
incerteza, portanto, falta um algarismo significativo no valor principal do
resultado;

cm)1178,06385,7(
- Nas normas da ABNT, recomenda-se que a incerteza da
medição seja fornecida com, no máximo, dois algarismos significativos. Assim,
mesmo que o processo de cálculo do desvio padrão tenha fornecido o valor
0,1178, a norma recomenda que ele seja escrito como 0,1 ou 0,12.

Apesar da norma da ABNT recomendar que a incerteza da medição seja
fornecida com, no máximo, dois algarismos significativos, nesta disciplina a
incerteza da medição deve ser fornecida com um único algarismo significativo.
É importante observar que o número de algarismos significativos no
resultado é determinado pela incerteza, e não pelo instrumento utilizado. A
incerteza, por sua vez, é inerente ao processo de medição. Por exemplo, se a
régua graduada em milímetros for utilizada na medição do diâmetro de uma
moeda, facilmente se obtém uma incerteza de décimos de milímetros. No
entanto, se a mesma régua ou uma trena graduada em milímetros for
empregada para a determinação do comprimento de um terreno, dificilmente
será obtida uma incerteza menor que um centímetro.
O resultado final de uma medição deve ser sempre indicado com os
algarismos significativos consistentes com a incerteza de medição. No entanto,
para que se evitem erros de arredondamento, todos os cálculos intermediários
(média e desvio padrão) devem sem feitos com todos os algarismos disponíveis.

2.9 ─ ARREDONDAMENTO DE NÚMEROS
No trabalho algébrico para a determinação de grandezas (medições
indiretas) e de incertezas de medições em Física Experimental frequentemente
ocorrem que números devem ser arredondados. Por exemplo, na soma ou
subtração de dois resultados de medições, as mesmas devem ser escritas com o
mesmo número de algarismos significativos. Quando um dos números tem
algarismos significativos excedentes, então estes devem ser eliminados com
arredondamento do número. O arredondamento também deve ser empregado na
eliminação dos algarismos não significativos de um número.
A partir de 1977, a Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT)
recomenda que o arredondamento de números decimais devem obedecer a
norma ABNT NBR-5891[4]. De acordo com esta norma, o procedimento de
arredondamento numérico deve seguir os seguintes critérios:
16

Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser
conservado for inferior a 5, o último algarismo a ser conservado
permanecerá sem modificação;

Exemplo 2.6 ─ 1,3333... arredondados à primeira decimal será escrito como 1,3.
Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser
conservado for superior a 5, ou, sendo 5, for seguido de no mínimo um
algarismo diferente de zero, o último algarismo a ser conservado deverá
ser aumentado de uma unidade,

Exemplo 2.7 ─ 1,6666... arredondados à primeira decimal será escrito como 1,7.
Já o número 4,8505 arredondados à primeira decimal será escrito como 4,9.
Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser
conservado for 5 seguido de zeros, dever-se-á arredondar o algarismo a
ser conservado para o algarismo par mais próximo. Consequentemente,
se o último a ser retirado for ímpar, aumentará uma unidade,

Exemplo 2.8 ─ 4,5500... arredondados à primeira decimal será escrito como 4,6.
Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último a ser conservado
for 5 seguido de zeros, se o algarismo a ser conservado for par, ele
permanecerá sem modificação.

Exemplo 2.9 ─ 4,8500... arredondados à primeira decimal será escrito como 4,8.

2.10 ─ REGRA DE PROPAGAÇÃO DA INCERTEZA
Dependendo da grandeza que se deseje determinar em um processo de
medição, nem sempre é possível determiná-la através de uma medição direta, ou
seja, diretamente da leitura de um instrumento ou sistema de medição. Quando
o valor de uma grandeza é determinado por meio de medições de outras
grandezas relacionadas a ela (através de operações matemáticas, fórmulas, etc),
ou seja, através de uma medição indireta, precisamos determinar a incerteza de
medição associada a esta medição indireta, que deve possuir relação com as
incertezas das medições diretas empregadas na determinação do valor da
grandeza obtido indiretamente.
Considere-se uma grandeza Y, que não pode ser medida diretamente, e
que é função f de N outras grandezas
N21 x,...,x,x
, ou seja,
)x,...,x,x(fy N21
:
Sejam
)x(ux,...,)x(ux,)x(ux NN2211
os resultados das medições e
de suas respectivas incertezas para as grandezas
N21 x,...,x,x
. O resultado
y da medição da grandeza Y é dado por:
)x,...,x,x(fy N21
:
A incerteza padrão da medição de uma grandeza obtida através de
medições indiretas é chamada incerteza padrão combinada uc e é determinada
por meio da seguinte equação [1]:

)x(u
x
f
)y(u i
2
2n
1i i
2
c
(2.9)
17

Portanto, a incerteza padrão combinada da variável Y é igual à raiz
quadrada positiva da soma dos quadrados das incertezas das medições das
outras grandezas, ponderadas pelo termo
2
ix
f .
Esse termo avalia o quanto o resultado da medição varia com a mudança
em cada grandeza
ix
.
A equação (2.9) só é válida quando todas as grandezas de entrada (
ix
)
são independentes umas das outras. Para efeito de simplificação, o caso em que
elas são dependentes não será tratado nesta disciplina.
Conforme a dependência da grandeza que se deseja medir com as
grandezas que, de fato, são medidas, a equação para a incerteza padrão
combinada se reduz a formas mais simples, como mostradas na Tabela 1.2.

Tabela 1.2: Equações para a incerteza padrão combinada de algumas funções
Função
)x,...,x,x(fy n21

Incerteza Padrão Combinada
)y(u c

...xbxay
21

(a, b, . . . são
constantes)
y depende linearmente
das outras grandezas

....)x(ub)x(ua)y(u 2
22
1
22
c

(2.10)

np
n
2p
2
1p
1
x...x.xay

n
1i
2
i
i
i
c
x
)x(u
p
y
)y(u

2
n
n
n
2
i
2
2
2
i
1
1
x
)x(u
p...
x
)x(u
p
x
)x(u
p

(2.11)
)x(lnay

x
)x(u
a)y(u c
(2.12)
xeay

)x(uea)y(u xc
(2.13)

Exemplo 2.10 ─ Deseja-se medir a densidade de um corpo. Para isso, são
realizadas várias medições da massa m do corpo e de seu volume V pelo método
de imersão, onde foram determinados os valores médios e as incertezas padrão
dessas grandezas, os resultados das medições são:
g)6,07,145()m(um
e
3cm)03,034,65()V(uV

A densidade do corpo é dada por:

3cm
g
...2298745,2
34,65
7,145
V
m

Como as incertezas das medições de massa e de volume afetam o
resultado da medição da densidade?
18

Para responder tal pergunta deve-se determinar a incerteza padrão
combinada
)(u c
da densidade que é dada por:

)V(u
V
)m(u
m
)(u 2
2
2
2
c
(2.14)
Como
V
m
, então:
2V
m
V
,
V
1
m
e

3cm03,0)V(ueg6,0)m(u

Deste modo, a incerteza padrão combinada para a densidade é:

...009239635,0)(u c

e o valor da densidade é escrito:

3cm
g
009,0230,2)(u

2.11 ─ COMPARAÇÃO ENTRE RESULTADOS DE MEDIÇÕES
Em um trabalho de Física Experimental é comum comparar o valor de uma
medição experimental de uma grandeza (
expX
) com o valor esperado ou de
referência para esta mesma grandeza (
teoX
). A concordância (C) entre os dois
valores será dada por

%100.
X
XX
1C
teo
teoexp (2.15)
A concordância entre resultados de uma grandeza é um valor percentual, e
quanto mais próximo de 100% for este resultado indica que o valor obtido
através da medição experimental da grandeza maior é mais próximo do valor de
referência.
Exemplo 2.11 ─ Qual é a incerteza associada à medida indireta do volume V
de um cilindro, calculado a partir das medidas diretas de seu diâmetro D e de sua
altura H ?
Como
H
4
D
V
2 , a incerteza do volume será:

22
H
)H(u
D
)D(u
2V)V(u

Exemplo 2.12 ─ Qual incerteza de uma grandeza que depende de uma outra
elevada a uma potência? Por exemplo qual é a incerteza no cálculo do volume de
um cubo
3LV
?

2
L
)L(u
3V)V(u

2.12 ─ RESUMOS DAS FÓRMULAS:
Fórmulas de propagação de incertezas para funções de uma e duas
variáveis independentes X e Y. As derivadas são calculadas no ponto
y,xy,x
. Os coeficientes
N,M,b,a
são números exatos ou com
erro desprezível. A aplicação da eq. (2.9) fornece:

2.13 ─ RESUMO DE ALGUMAS DEFINIÇÕES BÁSICAS

Nome Símbolo e Fórmula

Média Aritmética n
1i
iX
n
1
X

(2.21)

Média Ponderada n
1i
i
n
1i
ii
n21
nn2211
p
Gp
p...pp
Gp...GpGp
G

(2.22)

Pesos
2
i
i
)G(u
1
p
(2.23)

Desvio Médio
n
1i
i
.)est(
2
p
1
G

(2.24)

Desvio Padrão
da Média
n
1i
2
i )xx(
)1n(n
1
S
(2.25)

Função
Y,XfZ

Incerteza Padrão Combinada
Zu c

YbXaZ

)Y(ub)X(uaZu 2222c
(2.16)
YbXaZ

)Y(ub)X(uaZu 2222c
(2.17)
NM YXaZ

22c )
Y
)Y(u
N()
X
)X(u
M(
Z
Zu (2.18)
)X(lnaZ

X
)X(u
aZu c
(2.19)
XeaZ

)X(uea)Z(u Xc

(2.20)

2.14 ─ ALGUMAS REGRAS PRÁTICAS

Aplicando os conceitos estudados até aqui, é possível obter equações
simplificadas para calcular a incerteza padrão combinada, para usar diretamente
com a calculadora, nas operações simples

22 )B(u)A(u)BA()B(uB)A(uA
(2.26)
22 )B(u)A(u)BA()B(uB)A(uA
(2.27)
22 )
B
)B(u
()
A
)A(u
()BA()BA()B(uB)A(uA
(2.28)
22 )
B
)B(u
()
A
)A(u
(
B
A
B
A
)B(uB
)A(uA (2.29)
)
A
)A(u
(AnA)A(uAnA)A(uA nn1nnn
(2.30)

21
CAPÍTULO 3 ─ GRÁFICOS

Ao trabalhar em laboratórios é muito comum obter dados de duas grandezas
relacionadas. Um dos recursos mais importantes para visualizar e interpretar essa
relação é a representação dessas grandezas na forma de gráficos.
Por meio de um gráfico é possível:

 Determinar (estimar) os desvios em cada medida (através do
distanciamento dos pontos experimentais à curva de ajuste mais provável). A
visível falta de alinhamento de alguns pontos sinaliza que um erro grosseiro foi
cometido ao realizar a medida.

 Determinar a dependência funcional de uma grandeza em relação à outra.

 Determinar a expressão matemática que as relaciona (fórmula empírica),
o que permite a interpolação e extrapolação de dados na região de validade da
fórmula.

Ao construir gráficos, utilizando dados experimentais relacionados,
normalmente são colocados os valores da variável dependente y = valores da
função f (x), no eixo vertical, chamado eixo das coordenadas; e os valores da
variável independente x no eixo horizontal, chamado eixo das abscissas. Em cada
eixo deve ser utilizada uma escala adequada para representar os pontos desejados.
Uma vez estabelecidas as escalas dos eixos lançam-se os pontos Pi (xi, yi).

3.1 ─ REGRAS BÁSICAS PARA A CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS

Escolher as escalas de modo que o gráfico ocupe o máximo do espaço
disponível. Em gráficos com escalas lineares recomenda-se que dados
representados "ocupem" acima de 75% do comprimento dos eixos.

Escolher o passo de modo que seja fácil fazer a marcação da escala, por
exemplo múltiplos ou submúltiplos de 2 ou 5. Alguns números primos são
péssimos, não usar.

Usar um degrau conveniente, aqui também é aconselhável a utilização de
múltiplos ou submúltiplos de 2 ou 5. Não é necessário usar a mesma escala para
os eixos vertical e horizontal.

Escrever ao longo ou na extremidade dos eixos o nome e a unidade da
grandeza representada.

Os pontos
)y,x(P iii
podem ser marcados com: . Mas
para esta disciplina deve-se utilizar o símbolo +. O tamanho dos símbolos pode
corresponder, quando especificado, aos desvios associados à grandeza
representada. No caso de se conseguir representar os desvios, deve-se utilizar
.

Colocar título, sempre escrito por extenso, caracterizando o que
representa o gráfico.

Pode conter também uma legenda, caracterizando a experiência ou
qualquer outro dado importante para o leitor (como as legendas usadas sob os
gráficos e figuras em livros).

22
Em função da distribuição dos pontos no gráfico é interessante que se
trace uma linha contínua (reta, curva, relação funcional, etc...), que passe o
mais próximo possível de todos os pontos. Não é necessário que a linha passe
exatamente sobre cada ponto. Alguns critérios para determinação dessa curva
são mostrados abaixo.

O número de pontos para traçar uma curva depende do tipo de curva, para
curvas suaves (sem estrutura) ou retas, geralmente 5 a 10 pontos podem ser
suficientes.

As tabelas de dados, as deduções e interpretações feitas a partir de um
gráfico devem ser colocadas juntas ao gráfico (ou anexas, se estiver bem
indicado a qual gráfico correspondem).

3.2 ─ ALGUMAS DEFINIÇÕES UTILIZADAS EM GRÁFICOS

 Escalas: denomina-se escala a qualquer segmento de reta (ou curva),
marcado por pequenos traços (de 2mm) que indiquem os valores ordenados de
uma grandeza.

 Degrau: é a diferença entre os valores da grandeza, escritos ao longo do
eixo, é o intervalo representado por dois traços consecutivos da escala.

 Passo: é a distância (em unidades de comprimento do papel) entre dois
traços consecutivos em uma escala.

O degrau e o passo podem ser:

 Constante: neste caso as escalas são chamadas lineares ou uniformes.

 Variável: neste
caso as escalas são chamadas não-lineares.

Exemplos de Escalas em uma dimensão:

Linear:

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 i (A)
Fig. (3.1): Exemplo de escala linear

Passo = 1,5 cm onde a grandeza i é a corrente elétrica em Ampères.

Degrau = 2 A

Não linear:

Fig. (3.2): Exemplo de escala logarítmica

Passo = Variável. onde a grandeza x é a distância em metros.

Degrau = 1m (constante)

23
3.3 ─ TIPOS DE GRÁFICOS
Nesta disciplina serão utilizados três tipos de gráficos:
 Linear: Quando os as escalas dos dois eixos são lineares.
 MonoLog: Quando uma escala é logarítmica e a outra é linear.
 DiLog: Quando as duas escalas são logarítmicas.

Estes três tipos de gráficos são construídos em papéis apropriados,
encontrados em blocos comerciais, sob os nomes: papel milimetrado, papel
monolog, papel dilog.

3.3.1 ─ GRÁFICO LINEAR – Determinação das Escalas
Conforme mencionado, numa escala linear o degrau e o passo são constantes. O
módulo (M) de uma escala pode ser obtido da seguinte forma:

V
L

origemdavalorveláivardavalormaior
eixodootcomprimen
M
(3.1)

V ─ maior valor da grandeza que se deseja representar no eixo menos o valor
efetivamente colocado na origem do gráfico.

L ─ comprimento do eixo (espaço disponível para representá-lo).

3.3.2 ─ GRÁFICO MONOLOG OU DILOG

ESCALA LOGARÍTMICA
O fato de uma das escalas, ou ambas, serem logarítmicas significa: na escala
logarítmica o passo, que é a distância d medida entre dois pontos, em cm do papel,
é proporcional à diferença dos logaritmos desses números. As escalas logarítmicas
se repetem em "décadas" (de 10 em 10), isto acontece devido à propriedade dos
logaritmos:

log 20 = log 10 + log 2 (3.2)

Em folhas vendidas comercialmente em geral o comprimento da década é de
10cm. Mas algumas marcas podem apresentar distorções, com as décadas medindo
valores diferentes de 10cm.
Os valores marcados em uma década serão sempre 10 vezes maiores do que
os valores marcados na década anterior.

DETERMINAÇÃO DA ESCALA

Eixos logarítmicos são divididos em décadas, cujo passo (subdivisão)
corresponde ao logarítmo do número que representa, multiplicado pelo
comprimento da década.

A escala é determinada no início de uma das décadas como sendo 10 n (n é
um no inteiro) multiplicado pela unidade da grandeza que representa
Ex: 10 1 m, 10 - 5 N.

Definido o início da década 10 n as subdivisões seguintes serão:
2x 10 n, 3x 10 n, 4x 10 n, 5x 10 n , ... , 9x 10 n.

24
Uma vez determinada a primeira década (10 cm a partir da origem) as
décadas adjacentes serão definidas por 10 n - 1 (para valores menores que 10
n) e 10 n + 1 (para valores maiores que 10 n) e assim sucessivamente.
OBS: A origem (ou qualquer década) numa escala logarítmica NUNCA é o
ponto ZERO!! Ele não existe nesta escala. É sempre: 1 x 10 N (N é um
número inteiro ou zero).
3.3.3 ─ ALGUNS TIPOS DE FUNÇÕES DE AJUSTE

A seguir serão apresentados alguns exemplos de como, por meio da
representação gráfica de duas grandezas, pode-se determinar a relação funcional
entre elas. Para tanto, sempre que possível, é interessante representar os pontos
),( iii yxP
de modo que apresentem uma distribuição linear no gráfico.

3.3.4 ─ FUNÇÃO LINEAR

bxa)x(Y i
(3.3)

Quando os pontos experimentais são lançados em um gráfico e a curva que
melhor se ajusta for uma reta, a equação dessa reta é a relação funcional entre a
grandeza y (ordenada) e a grandeza x (abscissa).

Observações:

 A dependência funcional entre as grandezas y e x (linear) é expressa pela
reta média (que pode ser representada pela eq. (3.3).

 A inclinação é o coeficiente angular (constante) dado por
x
y
a
(3.4)
 Se a curva é a reta média, seu coeficiente angular representa a média da
constante a, o seu valor médio
a
.

 No ponto onde a reta intercepta o eixo y (em x = 0), obtém-se o
coeficiente linear da reta como
b)0(y
.

 Quando forem representadas grandezas físicas nos eixos, os coeficientes a
e b possuem significado físico, que muitas vezes são os resultados que se deseja
obter.
Assim, a partir da determinação gráfica dos coeficientes a e b, obtém-se a
relação funcional entre as variáveis x e y, na forma da eq. (3.3).

3.3.5 ─ CRITÉRIOS PARA TRAÇAR A RETA DE AJUSTE MAIS
PROVÁVEL

Para determinar a reta que melhor representa os pontos de um gráfico
existem pelo menos dois critérios:

a) O "visual": quando se traça a reta, o mais próxima possível de todos os
pontos experimentais, a partir de critérios "visuais", e a partir daí, os coeficientes
angular e linear, são obtidos.
b) Se os pontos experimentais forem lançados com suas respectivas
incertezas , a incerteza associada ao valor do coeficiente angular calculado

25
pode ser obtido a partir da determinação das inclinações máxima e mínima da reta
(como mostrado abaixo).

Fig. (3.3) – Reta de ajuste mais provável

2
a a
=a
ínimomáximom - (3.5)

Um método simples de estimar a incerteza do coeficiente angular:
O ponto P2, visivelmente fora da reta, indica um provável erro de medida e
deve ser desprezado para efeito de cálculos, inclusive nos cálculos utilizando-se
métodos estatísticos, como o Método dos Mínimos Quadrados.
Sempre que a incerteza do coeficiente angular for indicada deve-se também
indicar qual foi o método utilizado para estimá-la.

Um segundo critério para determinar a melhor curva de ajuste ou a curva
mais provável é o Método dos Mínimos Quadrados!

3.3.6 ─ EXEMPLO DE GRÁFICO LINEAR

Numa experiência com um sistema massa-mola, foram obtidos os valores da
força peso, aplicada à mola na vertical, F, e do alongamento da mola Δx. Medidas
realizadas em São Carlos – SP.
A lei de Hooke,
xK)x(F
, pode ser escrita na forma
xKgm
. Para
determinar a constante elástica K da mola deve-se construir um gráfico m versus
Δx, com os valores listados na tabela:

n 1 2 3 4 5 6
m (g) 495,00 473,58 454,38 421,82 386,46 350,68
Δx (cm) 40,00 38,57 37,05 34,41 31,50 28,59
n 7 8 9 10 11 12
m (g) 311,14 287,97 254,36 216,31 185,79 157,25
Δx (cm) 25,36 23,49 20,75 17,63 15,15 12,84

Analisando a tabela confirma-se que o papel a ser escolhido é o milimetrado,
pois a equação tem formato linear
0xK)x(F
e, além disso, observam-se

26
espaçamentos aproximadamente iguais entre os valores dos pontos experimentais,
tanto na vertical como na horizontal, estes são indícios de formato linear.

a) Construir um gráfico m versus Δx. Com m no eixo menor e na vertical, Δx no
eixo maior e na horizontal. Origem: (12,00 ; 150,00). Tem-se que usar 75%
ou mais de cada eixo. Traçar a reta que melhor se ajuste aos pontos.

b) Obter, através do gráfico, o valor da constante elástica da mola, K =?

Obs: Não podem ser usados pontos da tabela no cálculo de K, devem-se escolher
dois pontos da reta que estejam
bem distantes um do outro (formar o maior
triângulo possível).

Cálculo do módulo do eixo vertical: m (g)

g
Pcm
05,0051428571,0
g)00,15000,495(
Pcm18
M m
(3.6)

O módulo de um eixo só pode ser aproximado para um valor menor do que o
resultado da conta acima, por isso, escolhe-se
g
Pcm
05,0M m
. O passo deve ser
um múltiplo ou submúltiplo do módulo, com valor entre 1,5 e 2,8 cm do Papel. O
degrau será o valor pelo qual se multiplicou o módulo para se encontrar o passo.
Por exemplo, uma escolha para o eixo m, vertical:

Passo = 2cm do Papel ; Degrau= 40g

Cálculo do módulo do eixo horizontal: Δx (cm)

cm
Pcm
0,1
cm)00,1200,40(
Pcm28
M x
(3.7)

Uma escolha para o eixo Δx, horizontal:
Passo = 2cm do Papel ; Degrau= 2cm;
Outra escolha poderia ser: Passo = 2,5cm do Papel ; Degrau= 2,5cm.

Tabela para Auxiliar a construção do gráfico: Aqui os valores são em cm do papel
milimetrado, a partir da origem do respectivo eixo no gráfico.
n 1 2 3 4 5 6
(m–150)0,05 17,25 16,18 15,22 13,59 11,82 10,03
(Δx-12)1,0 28,00 26,57 25,05 22,41 19,50 16,59
n 7 8 9 10 11 12
(m–150)0,05 8,06 6,90 5,22 3,32 1,79 0,36
(Δx-12)1,0 13,36 11,49 8,75 5,63 3,15 0,84

Com o gráfico pronto, pode-se traçar uma reta (a melhor reta visual possível
ou pelo MMQ). Por essa reta pode-se obter o coeficiente angular.
O MMQ dá um coeficiente angular
)g(ug
)K(uK
)a(ua
(3.8)

27
Depois de pronto, o gráfico deve ser assim:

Fig. (3.4): Exemplo de gráfico linear

Em São Carlos, a 22 o Latitude Sul e a aproximadamente 1000m de Altitude
em relação ao nível do mar, a aceleração gravitacional pode ser considerada como:
2s
cm
)5,05,978()g(ug

28
e permite calcular o valor da constante elástica
)K(uK
.
b) Se for através da reta visual: Escolher dois pontos da reta que não sejam pontos
da tabela, os quais devem ser marcados com □, calcula-se o coeficiente angular
cm
g
71428571,13
cm875,0
g0,12
Pcm0,1
Pcm5,17
Pcm05,0
Pcm00,12
)x(
m
)a(ua (3.9)
mas,
)x(
m
gK
(3.10)
logo
2
3
2 s
g
10)713131(
mc
g
42875,13419x
s
mc
)5,05,978()K(uK

mc
dina
10)713131()K(uK 3
ou ainda
m
N
)713131(
s
Kg
)713131()K(uK
2

Nesse ponto cada aluno deve cobrir esse exemplo e refazer os passos para
construir o gráfico, calcular o coeficiente angular e a constante elástica.

3.3.7 ─ FUNÇÕES EXPONENCIAIS – BASE NEPERIANA

xneD)x(y
(3.11)

onde D e n são constantes.
Essa é uma dependência funcional (função) muito comum em ciência. Essa
função pode ser linearizada com o uso dos logaritmos naturais. Aplicando o
logaritmo natural na eq. (3.11)

xnDlnyln
(3.12)
Com a mudança de variáveis
ylnY
e
DlnA

xnAY

Que é a equação de uma reta.

Portanto, ao se representar
yln
no eixo vertical e x no eixo horizontal de um
papel milimetrado, obtém-se uma reta.

Ao se representar y diretamente num eixo logarítmico e x num eixo linear,
em um papel mono-log, também se obterá uma reta, cujo coeficiente linear é
Dln

e a inclinação n ou coeficiente angular é

)x - (x
)y ln - y (ln

x
y ln
=n
12
12
. (3.13)

Observar que aqui é logaritmo neperiano! Com os valores:

e = 2,718281828 e log e = 0,434294482

29
Quando x = 0, tem-se que:
)0(ylnDln

logo, pode-se afirmar que:
)0(yD

Obs: Quando se deseja utilizar o papel Monolog comercial, ou alguns
programas computacionais, deve-se atentar para o fato de que a escala logarítmica
encontra-se na base 10 e não na base (e) dos logaritmos neperianos!

Neste caso, aplicando o logaritmo na base decimal à eq. (3.11) se obtém:

x)elogn(Dlogylog
(3.14)

e a distribuição dos pontos no gráfico também será uma reta com coeficiente linear

)0(ylogDlog
e cujo coeficiente angular é

x
ylog
)elogn(

x
ylog
elog
1
n
(3.15)

3.3.8 ─ EXEMPLO 1 DE GRÁFICO MONOLOG
Um corpo de massa m possui velocidade constante v0 até que, a partir do
instante escolhido como t = 0, desliga-se a força propulsora e o seu movimento
passa a ser dominado por uma força dependente da velocidade, dada por
vbF
. A equação de movimento será:
bv
td
vd
m
(3.16)
separando as variáveis
td
m
b
v
vd
integrando
td
m
b
v
vd
t
0
v
v0
obtém-se
t
m
b
vlnvln o
que pode ser escrito como (3.17)
t
m
b
o evtv
(3.18)
Tendo sido obtida, numa experiência deste tipo, a tabela

Ponto 1 2 3 4
v (cm/s) (60,6 0,8) (36,7 0,8) (22,3 0,8) (13,5 0,8)
t ( s ) (1,0 0,2) (2,0 0,2) (3,0 0,2) (4,0 0,2)
Ponto 5 6 7 8
v (cm/s) (8,2 0,8) (4,9 0,8) (3,1 0,8) (1,8 0,8)
t ( s ) (5,0 0,2) (6,0 0,2) (7,0 0,2) (8,0 0,2)
Ponto 9 10 11 12
v (cm/s) (1,1 0,8) ( 6,7 0,8 )10-1 ( 4,1 0,8 )10-1 (2,5 0,8)10-1
t ( s ) (9,0 0,2) (10,0 0,2) (11,0 0,2) (12,0 0,2)

30
a) Construir um gráfico de v versus t, em papel mono-log. Traçar visualmente a
reta.

b) Obter o coeficiente angular
m
b
, indicando os dois pontos utilizados com 

c) Obter o coeficiente linear
0vln

d) Calcular
0v

d) Escrever a equação final, na forma da eq. (3.18).

Solução: a folha monolog disponível possui três décadas e 18cm no eixo
milimetrado. Cálculo do módulo do eixo t

s
Pcm
5,1
)0,00,12(
Pcm18
M t
(3.19)

uma escolha: passo = 3 cm P e degrau = 2 segundos

Plotando os valores, obtém-se o gráfico da Fig. (3.5).

Aplicando log aos dois lados da eq. (3.17)

telog
m
b
vlogvlog 0
(3.20)

onde
0vlog
é o coeficiente linear

I) O coeficiente angular
elog
m
b
pode ser calculado por

tt
)v( log)v( log
elog
m
b
12
12
(3.21)
ou

1s 500,
.11,33333..
100log-0,35log
)e (log
1

m
b

O coeficiente
0v
é obtido diretamente no gráfico e é igual a
0)t(v
, logo

s
cm
00,100v0
.

E a eq. (3.18) fica

t504011614,0e100tv

t50,0e100tv
(3.22)

Depois de pronto, o gráfico deve ser parecido com

31
Fig.(3.5)-Ex.1

32
3.3.9 ─ EXEMPLO 2 DE GRÁFICO
MONOLOG
Numa experiência para determinar a velocidade em função do tempo, de uma
bola que se desloca em um óleo, foram obtidos os pontos mostrados na tabela
abaixo. Sabe-se que a velocidade da bola sofre a ação de uma força de atrito
viscoso que deve diminuir sua velocidade com o tempo. Para determinar a relação
funcional entre a velocidade v e o tempo t pode-se propor uma relação do tipo:

t
expvevv 0
t
0
(3.23)
A proposta de uma equação de ajuste do tipo exponencial resulta do fato de
que a distribuição dos pontos num gráfico Monolog é uma reta (ver abaixo).
Aplicando o logaritmo na base 10 à função v(t) vem:

telog
1
vlogvlog 0

telog
1
vlogvlog 0
(3.24)
e – base dos logaritmos naturais.

- tempo característico de amortecimento. É a constante de tempo do
sistema físico.
Tabela de medidas
Ponto 1 2 3 4
v (cm/s) (29,40 0,05) (14,50 0,05) (6,54 0,05) (3,48 0,05)
t ( s ) (1,00 0,02) (2,00 0,02) (3,00 0,02) (4,00 0,02)
Ponto 5 6 7 8
v (cm/s) (1,71 0,05) (0,84 0,05) (0,41 0,05) (0,20 0,05)
t ( s ) (5,00 0,02) (6,00 0,02) (7,00 0,02) (8,00 0,02)
Solução: a folha monolog disponível possui três décadas e 18cm no eixo
milimetrado. Cálculo do módulo do eixo t:
s
Pcm
2
s
Pcm
25,2
)00,000,8(
Pcm18
M t
(3.25)
uma escolha: passo = 2 cm P e degrau = 1 segundo
A partir do gráfico pode-se obter a constante de tempo de duas maneiras
distintas
I) O coeficiente angular
elog
1
pode ser calculado por

00,050,5
)00,60( log)20,1( log

tt
)v(log-)v(log

e log
12
12
(3.26)

)00,60( log)20,1( log
00,050,5
)e (log

s1,40592203
41,69897000-
5,50
)20,43429448(

s1,406

Depois de pronto, o gráfico deve ser parecido com o da Fig.(3.6)

s406,1
t
expvevv 0
s406,1
t
0
(3.27)

33
Fig.(3.6)-Exemplo 2

34
3.3.10 ─ FUNÇÕES EXPONENCIAIS – BASE DECIMAL

nxAxy
(3.27)

onde a e n são constantes. Relações funcionais deste tipo podem ser analisadas
aplicando o logaritmo à eq. (3.27), o que dá

xlognAlogylog
(3.28)

Assumindo que:

ylogY
;
xlogX
e
AlogB

obtém-se a equação de uma reta do tipo

XnBY
(3.29)

Assim, lançando os valores de log y no eixo vertical e log x no eixo horizontal,
em um gráfico linear (papel milimetrado) resulta em uma reta, é possível obter o
coeficiente angular n (inclinação) e o coeficiente linear B.
Como no caso anterior (item a), pode-se estabelecer a equação que relaciona
Y e X e, portanto, a relação funcional entre x e y.
Outra opção para a representação dos pontos Pi (xi , yi) é utilizar gráficos com
escalas não lineares, por exemplo, escalas logarítmicas.
Se os pontos experimentais forem lançados diretamente em um papel Di-log
(ou Log-Log), no qual as escalas vertical e horizontal são logarítmicas, também
será obtida uma reta.
Neste gráfico o coeficiente angular n, da eq. (3.29), é obtido da relação

12
12
xlogxlog
ylogylog
xlog
ylog
n
(3.30)

É importante observar que para o cálculo do coeficiente angular n é
necessário calcular o logaritmo dos valores xi e yi , lidos nos eixos, para os pontos
escolhidos na curva.
Quando
0xlog
(para x = 1), tem-se que
Alogylog
, pela eq. (3.29),
logo,
Ay
(para x = 1).

3.3.11 ─ EXEMPLO DE GRÁFICO DILOG

Numa experiência para determinar a intensidade luminosa que incide em uma
foto-célula em função da distância até a fonte de luz foram obtidos os pontos
mostrados na tabela abaixo:

Distância
(cm)
Corrente Elétrica
(mA)
1,00 50,00
2,00 11,50
5,00 2,00
11,50 0,40
22,40 0,10

35
Sabe-se que a corrente elétrica na foto-célula é proporcional à intensidade
luminosa incidente. Para determinar a relação funcional entre a corrente elétrica I e
a distância da fonte x pode-se propor uma relação do tipo
n
0 xI)x(I
.
A aplicação do logaritmo à função
)x(I
resulta em:

xlognIlog)x(Ilog 0
(3.31)

A partir do gráfico obtido pela tabela acima, pode-se obter o coeficiente n,
que é a inclinação da reta, como segue:

2 -
350,1
699,2
)00,1(log)00,22(log
)00,50(log)10,0(log
)x(log)x(log
)i(log)i(log

x
I
n
12
12

O coeficiente
0I
é obtido diretamente no gráfico e é igual a
)1x(I
, logo:
Am0,50I 0
.

A relação entre a corrente elétrica na foto-célula I e a distância à fonte
luminosa x é:

2x50)x(I
(3.32)

Fig.(3.6) – Exemplo de Gráfico Dilog

36
CAPÍTULO 4 ─ MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS – MMQ

Este método consiste em determinar os coeficientes da função y(x) para qual a
diferença

2Ni
1i
ii )x(Yy
(4.1)
é mínima – daí o nome do Método: Mínimos Quadrados.

ixy
- é a função proposta como a mais provável para descrever os pontos.

Na eq. (4.1) os
ix
e
iy
são as coordenadas dos pontos
)y,x(P iii
e N o
número de pontos.
Para o caso em que os pontos no gráfico apresentem uma distribuição linear,
será assumida a equação
bxa)x(Y i
(4.2)
Através do Método dos Mínimos Quadrados (neste caso também denominado
Regressão Linear, por ter sido assumida uma reta como a curva mais provável)
podem-se determinar os valores de a e b para os quais a função
2Ni
1i
ii )bxa(y)b,a(f
(4.3)

é mínima. Para se obter os valores de a e b para os quais a eq. (4.1) é mínima
basta resolver as equações (4.4) e (4.5)

0)bxa(y
a
2Ni
1i
ii
(4.4)
e
0)bxa(y
b
2Ni
1i
ii
(4.5)

Derivando essas eqs. (4.4) e (4.5), resultam em:

N
1i
i
N
1i
i yxabN
e N
1i
ii
N
1i
2
i
N
1i
i yxxaxb

De onde se pode obter, para o coeficiente angular a e o coeficiente linear b da
reta proposta, as seguintes expressões:

2
ii
iii
2
i
2
i
iiii
x x
yx x

xxN
yxyxN
a
(4.6)

xa y
xxN
xyxxy
b
2
i
2
i
iii
2
ii (4.7)

37
onde,
x
e
y
são calculados com a eq. (4.5) e x i , y i são as coordenadas dos
pontos Pi. De posse dos valores de a e b pode-se substituí-los na equação de y(x)
proposta. A partir daí, atribuindo valores a x pode-se traçar a reta mais provável,