aula 02 P.A progressão aritmética 1 º ANO ENEM

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Matemática
Prof: Alberto Neto
1º ano ENEM
H1- Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos
números e operações - naturais, inteiros, racionais ou reais.
H2- Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
H3- Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
Definição:
Consideremos a sequência (2,4, 6, 8, 10, 12, 14).Observamos que, a partir do segundo termo, a diferença entre qualquer termo e seu antecessor é sempre a mesma:
4 – 2 = 6 – 4 = 10 – 8 = 14 – 12 = 2
Sequências como esta são denominadas progressões aritméticas (PA).A diferença constante é chamada de razão da progressão e costuma ser representada por r. Na PA dada temos r = 2.Podemos, então, dizer que:
 São exemplos de PA:
 
(5, 10, 15, 20, 25, 30) é uma PA de razão r = 5
(12, 9, 6, 3, 0, -3) é uma PA de razão r = -3
(2, 2, 2, 2, 2,...) é uma PA de razão r = 0
Notação 
PA (a1, a2, a3, a4,...,an)
Onde:
a1= primeiro termo
r = razão
n = número de termos (se for uma PA finita)
an = último termo, termo geral ou n-ésimo termo 
 
Exemplo: 
PA (5, 9, 13, 17, 21, 25)
a1= 5 r = 4 n = 6 an= a6= 25
Quanto à razão:
(5, 10, 15, 20, 25, 30) é uma PA de razão r = 5.Toda PA de razão positiva (r > 0) é crescente.
(12, 9, 6, 3, 0, -3) é uma PA de razão r = -3Toda PA de razão negativa (r < 0) é decrescente.
(2, 2, 2, 2, 2,...) é uma PA de razão r = 0 Toda PA de razão nula (r = 0) é constante ou estacionária.
Quanto ao número de termos:
(5, 15, 25, 35, 45, 55) é uma PA de 6 termos e razão r = 10.Toda PA de n° de termos finito é limitada.
(12, 10, 8, 6, 4, 2,...) é uma PA de infinitos termos e razão r = - 2, Toda PA de n° de termos infinito é ilimitada.
Propriedades
 
Propriedade 1: Três termos consecutivos
Exemplo: 
Consideremos a PA(4, 8, 12, 16, 20, 24, 28) e escolhamos três termos consecutivos quaisquer: 4, 8, 12 ou 8, 12, 16 ou... 20, 24, 28. Observemos que o termo médio é sempre a média aritmética dos outros dois termos:
 
Seja a PA (a1, a2, a3) temos que: 
 
Exemplo 1: 
Determine x para que a sequencia (3, x+3, 15) seja uma PA
x + 3 = (3 + 15) / 2
x+3 =9
x= 6 (3, 6+ 3, 15)
 (3, 9 , 15)
Exemplo 2:
Determinar o valor de x para que a sequência a seguir (3+x,5x,2x+11) seja PA.
Resolvendo essa equação 
Obtém-se x=2
Propriedade 2: Termo Médio
Exemplo: 
Consideremos a PA(3, 6, 9, 12, 15, 18, 21) e o termo médio é 12. Observemos que o termo médio é sempre a média aritmética do primeiro e do último. 
Representação genérica de uma PA de três termos
Para a resolução de certos problemas (envolvendo soma ou produto dos termos da PA). É de grande utilidade representar uma PA nas seguintes formas: (x, x+r,x+2r) ou usamos também (x - r,x, x +r) onde “r” e a razão da PA.
Exemplo
Determinar a PA crescente de três termos, sabendo que a soma desses termos é 3 e que o produto vale –8
Soma dos termos: x-r + x + x+r = 3
3x=3
x = 1
Produto dos termos (1- r).(1).(1+r) = -8
1 - r2 = - 8
1 + 8 = r2
r2 = 9
r = +3 ou -3
Como a PA é crescente temos que r = 3 resposta (-2,1,4)
Propriedade 3: Termos Equidistantes
Exemplo: 
Consideremos a PA(3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31). Veja são os termos equidistantes dos extremos 3 e 31. 
Uma PA de razão r pode ser escrita assim:
PA (a1, a2, a3, a4, ...., an-1 an)
Aplicando a definição de PA, podemos escrevê-la de uma outra forma:
 
 
PA (a1, a1+ r, a1+ 2r, a1+ 3r,..., a1+ (n-1)r)
 
Portanto, o termo geral será:
Com n sendo um número natural.
Exercícios propostos
Determine x de modo que (x, 2x + 1, 5x + 7) seja uma P.A.
Determine a de modo que (a2, (a + 1)2, (a + 5)2) seja uma P.A.
Calcule o 17º termo da P.A. cujo primeiro termo é 3 e cuja razão é 5.
Obtenha a razão da P.A. em que o primeiro termo é –8 e o vigésimo é 30.
Obtenha a razão da P.A. em que a2 = 9 e a14 = 45.
Obtenha o primeiro termo da P.A. de razão 4 cujo 23º termo é 86.
Qual é o termo igual a 60 na P.A. em que o 2º termo é 24 e a razão é 2?
Obtenha a P.A. em que a10 = 7 e a12 = –8.
Interpolação Aritmética
Interpolar ou inserir “k” meios aritméticos entre dois extremos a1 e an, significa formar uma P.A. de n = k + 2 termos onde  a1 e an são os extremos dessa PA.
IPC:
Como a1 e an são sempre dados, basta determinar a razão r.
Exemplo: 
Inserir 4 meios aritméticos entre 3 e 38.
Solução. 
3, ____,____,____,_____,38
Sabendo que: 
a1 = 3
an = 38
n = 6
r = ?
Usando a fórmula do termo geral temos:
an = a1 + (n – 1)r=> r = 7
Logo:
PA (3, 10, 17, 24,31, 38)
Exercícios propostos
Interpole 11 meios aritméticos entre 1 e 37.
Insira 6 meios aritméticos entre 100 e 184.
Quantos termos aritméticos devemos interpolar entre 2 e 66 para que a razão da interpolação seja 8?
Determine a média aritmética dos seis meios aritméticos que podem ser interpolados entre 10 e 500.
Determine o número mínimo de meios que se deve inserir entre 20 e 70 para que se tenha uma P.A. de razão r < 2.
Numa estrada existem dois telefones instalados no acostamento: um no km 3 e outro no km 88. Entre eles serão colocados mais 16 telefones, mantendo-se entre dois telefones consecutivos sempre a mesma distância. Determine em quais marcos quilométricos deverão ficar esses novos telefones.
Fórmula da soma dos n termos de uma P.A. finita
Numa P.A. finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.
a1= primeiro termo
an = enésimo termo
n = número de termos
Sn = soma dos n termos.
Exercícios propostos
Calcule a soma dos 50 primeiros termos da P.A. (2, 6, ...)
Ache a soma dos 40 primeiros termos da P.A. (8, 2, ...)
Se x = (1 + 3 + ... + 49) é a soma dos ímpares de l a 49, se y = (2 + 4 + ... + 50) é a soma dos pares de 2 a 50, calcule x y.
Ao se efetuar a soma de 50 parcelas da P.A. (202, 206, 210, ...), por distração não foi somada a 35º parcela. Qual foi a soma encontrada?
Determine a soma dos 60 primeiros termos da progressão aritmética em que:
Seja S1 a soma dos n primeiros termos da P.A. (8, 12, ...) e seja S2 a soma dos n primeiros termos da P.A. (17, 19, . . .), sendo n 0. Determine n para que S1 = S2.
Numa progressão aritmética onde a3 = 17 e a13= 87, calcule a soma dos 19 primeiros termos.
(EFEI MG) Numa progressão aritmética o quinto termo excede o primeiro de 36 e o sétimo termo é a média aritmética dos números 58, 82 e 76.Calcule a soma dos 10 primeiros termos dessa progressão.
Exercícios de fixação
Escreva:
Uma P.A. de 5 termos onde o 1º termo (a1) é 10 e a razão(r) é 3.
Uma P.A.de 8 termos onde a1 = 6 e r = 4.
Uma P.A.de 6 termos onde a1 = 3 e r = 5.
Uma P.A. de 4 termos onde a1 = a + 2 e r = a.
Uma P.A.de 5 termos onde a1 = l e r = 2..
Determine:
O valor de x, tal que os números x2, (x + 2)2 e (x + 3)2 formem, nessa ordem, uma P.A.
O valor de x, de modo que os números 3x 1, x + 3 e x + 9 estejam, nessa ordem, em P.A.
O valor de x, de modo que os quadrados dos números (x + 1), e (x + 3) formem, nessa ordem, uma P.A.
Um corpo caindo livremente percorre 4,9 m durante o 1º segundo; no segundo seguinte, percorre 14,7 m; no 3º segundo, 24,5 m. Continuando assim, quanto percorrerá no 11º seguno?
As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x e x2 5 e estão em P.A., nessa ordem. Calcule o perímetro do triângulo.
 Encontre o termo geral da P.A. .
Qual é o décimo quinto termo da P.A. (4, 10,...)
 Ache o quinto termo da progressão aritmética (a+b, 3a – 2b), ...)
Ache o sexagésimo número natural ímpar.
Qual é o centésimo número natural par?
Numa P.A. de razão 3, o sétimo termo é 21. Qual é o primeiro termo?
Numa P.A., determinar a20, sabendo que a1 = 3 e r = 5.
Numa P.A. de razão 5,o primeiro termo é 4. Qual é a posição do termo igual a 44?
Quantostermos tem uma P.A. finita, de razão 3, sabendo-se que o primeiro termo é 5 e o último é 16?
Qual é o primeiro termo de uma P.A. cujo sétimo termo é 46, sendo o termo precedente 39?
Uma fábrica produziu, em 1986, 6 530 unidades de um determinado produto e, em 1988, produziu 23330 unidades do mesmo produto. Sabendo que a produção anual desse produto vem crescendo em progressão aritmética, pede-se:
Quantas unidades do produto essa fábrica produziu em 1987?
b)Quantas unidades serão produzidas em 1991?
Quantos são os inteiros positivos múltiplos de 7 e menores do que 1 000?
Hoje um atleta nada 500 metros e, nos próximos dias, ele deverá nadar uma mesma distância a mais do que nadou no dia anterior. No 15º dia ele quer chegar a nadar 3 300 metros. Determine:
a)	Qual a distância que ele deverá nadar a mais por dia?
b)	Qual a distância que deverá nadar no 10º dia?
Numa urna há 1.600 bolinhas. Retirando, sem reposição, 3 bolinhas na primeira vez, 6 bolinhas na segunda, 9 na terceira, e assim sucessivamente, o número de bolinhas que restarão, após a 32.ª retirada é:
(UNIFOR CE) Maria tem uma dívida de R$ 540,00 e pretende saldá-la pagando R$ 50,00 no 1o mês, R$ 55,00 no 2o mês, R$ 60,00 no 3o mês e assim, sucessivamente, aumentando o pagamento em R$ 5,00 a cada mês. A sua dívida estará totalmente paga no: 
a)	14o mês.
b)	12o mês.
c)	10o mês.
d)	 8o mês.
e)	 6o mês.
(UERJ) Leia com atenção a história em quadrinhos.
Considere que o leão da história tenha repetido o convite por várias semanas. Na primeira, convidou a Lana para sair 19 vezes; na segunda semana, convidou 23 vezes; na terceira, 27 vezes e assim sucessivamente, sempre aumentando em 4 unidades o número de convites feitos na semana anterior. Imediatamente após ter sido feito o último dos 492 convites, qual era o número de semanas já decorridas desde o primeiro convite?
(UERJ) Geraldo contraiu uma dívida que deveria ser paga em prestações mensais e iguais de R$500,00 cada uma, sem incidência de juros ou qualquer outro tipo de correção monetária. Um mês após contrair essa dívida, Geraldo pagou a 1ª prestação e decidiu que o valor de cada uma das demais prestações seria sempre igual ao da anterior acrescido de uma parcela constante de K reais, sendo K um número natural. Assim, a dívida poderia ser liquidada na metade do tempo inicialmente previsto. Se a dívida de Geraldo for de R$9000,00 qual será o valor de K? 
(UERJ) Maurren Maggi foi a primeira brasileira a ganhar uma medalha olímpica de ouro na modalidade salto à distância. Em um treino, no qual saltou n vezes, a atleta obteve o seguinte desempenho:
- Todos os saltos de ordem ímpar foram válidos e os de ordem par, inválidos.
- O primeiro salto atingiu a marca de 7,04m, o terceiro a marca de 7,07m e assim sucessivamente cada salto aumentou sua medida em 3cm.
O último salto foi de ordem ímpar e atingiu a marca de 7,22m. Qual o valor den? 
a) 5
b) 6
c) 7 
d) 8
(UERJ) Um cliente, ao chegar a uma agência bancária, retirou a última senha de atendimento do dia, com o número 49. Verificou que havia 12 pessoas à sua frente na fila, cujas senhas representavam uma progressão aritmética de números naturais consecutivos, começando em 37. Algum tempo depois, mais de 4 pessoas desistiram do atendimento e saíram do banco. Com isso, os números das senhas daquelas que permaneceram na fila passaram a formar uma nova progressão aritmética. Se os clientes com as senhas de números 37 e 49 não saíram do banco, o número máximo de pessoas que pode ter permanecido na fila é:
Um matemático (com pretensões a carpinteiro) compra uma peça de madeira de comprimento suficiente para cortar os 20 degraus de uma escada de obra. Se os comprimentos dos degraus formam uma progressão aritmética, se o primeiro degrau mede 50cm e o último 30cm e supondo que não há desperdício de madeira no corte, determine o comprimento mínimo da peça.
As medidas dos ângulos internos de um triângulo estão em progressão aritmética de razão 20º. O menor ângulo desse triângulo mede:
Se as medidas dos ângulos internos de um triângulo estão em progressão aritmética e a medida do maior ângulo é o quíntuplo da medida do menor, então a diferença entre a medida do maior ângulo e a soma das medidas dos outros dois é:
No decorrer de uma viagem que teve a duração de 6 dias, um automóvel percorreu 60km no 1º dia, 80km no 2º dia, 100km no 3º dia e assim sucessivamente, até o 6º dia. O total de quilômetros percorridos por esse automóvel durante os 6 dias foi:
Numa caixa há 1000 bolinhas de gude. Retiram-se 15 bolinhas na primeira vez, 20 na segunda, 25 na terceira e assim sucessivamente na mesma razão. Após a décima quinta retirada, sobrarão na caixa:
Numa sala de aula cada um dos 100 alunos recebe um número que faz parte de uma sequência que está em progressão aritmética. Sabendo que a soma de todos os números é 15050 e que a diferença entre o 46º e o 1º é 135, determine o 100º número.
Conta a história da Matemática que, ainda criança, Gauss solucionou o seguinte problema em alguns minutos. O problema consistia em dar o resultado da soma:
1 + 2 + 3 + 4 + .......... + 98 + 99 + 100 = x
Podemos afirmar que o valor de X é igual a:
a)	11.000
b)	10.001
c)	9.990
d)	9.900
e)	5.050
Um casal tem três filhos cujas idades estão em progressão aritmética. Se a soma dessas idades é 36 anos e o filho mais velho tem 16 anos, quantos anos tem o filho mais novo?
a)	6
b) 8
c)	10
d)	12
e)	14
Considere o seguinte problema: “As medidas, em centímetros, dos lados de um triângulo retângulo são numericamente iguais aos termos de uma progressão aritmética de razão 2. Determinar essas medidas”. É verdade que esse problema
a)	não tem solução
b)	admite infinitas soluções
c)	admite duas soluções sendo que em uma delas o menor cateto mede 5 cm.
d)	admite uma única solução, em que o maior cateto mede 6 cm.
e)	admite uma única solução, em que a hipotenusa mede 10 cm.
(UNIFOR CE) Hoje, as idades de três irmãos, em anos, são numericamente iguais aos termos de uma progressão aritmética de razão 3. Se daqui a 5 anos, a soma de suas idades for igual a 57 anos, atualmente, a idade do mais
a)	velho é 18 anos
b)	jovem é 13 anos
c)	velho é 16 anos
d)	jovem é 11 anos
e)	velho é 14 anos
(UNIUBE) Um estacionamento cobra R$ 15,00 pela primeira hora. A partir da segunda hora os preços caem em progressão aritmética, sendo que o valor da segunda hora é R$ 10,00 e o valor da décima segunda é R$ 4,00. Se um automóvel ficar estacionado 5 horas nesse local, o seu proprietário gastará
a)	R$ 54,10
b)	R$ 53,10
c)	R$ 51,40
d)	R$ 48,50
e)	R$ 45,80
(EFOA) Para angariar recursos para formatura, uma turma de 3º ano do ensino médio de um colégio organizou uma rifa, cujos bilhetes foram numerados de 3 em 3, de 100 a 997. Sabendo-se que os bilhetes foram vendidos a R$ 8,00 cada um e que foram vendidos 92% do total de bilhetes, o valor arrecadado com a rifa, em reais, foi:
a)	2304
b)	2128
c)	2248
d)	2136
e)	2208
(UNESP SP) Duas pequenas fábricas de calçados, A e B, têm fabricado, respectivamente, 3000 e 1100 pares de sapatos por mês. Se, a partir de janeiro, a fábrica A aumentar sucessivamente a produção em 70 pares por mês e a fábrica B aumentar sucessivamente a produção em 290 pares por mês, a produção da fábrica B superará a produção de A a partir de
a)	março		 b) maio		c) julho
d)	setembro e)	novembro
Av. 
Roberto Camelier,75 sala 101- Batista Campos
9
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8226-3568
 
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