Lista de Modelagem - Programação linear

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1) Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos, e 5 cintos por hora, se fizer 
somente cintos. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar 1 unidade de sapato e 1 unidade de 
couro para fabricar uma unidade de cinto. Sabendo-se que o total disponível de couro é de 6 
unidades e que o lucro unitário por sapato é de $5,00 e o do cinto é de $2,00, pede-se: o modelo 
do sistema de produção do sapateiro, se o objetivo é maximizar seu lucro por hora. 
 
2) Uma rede de televisão local tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa "A" 
com 20 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 30.000 
telespectadores, enquanto o programa "B", com 10 minutos de música e 1 minuto de 
propaganda chama a atenção de 10.000 telespectadores. No decorrer de uma semana, o 
patrocinador insiste no uso de no mínimo 5 minutos para sua propaganda e que não há verba 
para mais de 80 minutos de música. Quantas vezes por semana cada programa deve ser levado 
ao ar para obter o número máximo de telespectadores? Construa o modelo do sistema. 
 
3) É preciso programar a produção agrícola alocando as atividades para três tipos de regiões. Os 
produtos cultivados podem ser trigo, algodão e soja. As características das regiões e dos 
produtos são mostradas nas tabelas abaixo. Defina um modelo para maximizar o lucro. 
 
Regiões Área Total (em alqueires) Disponibilidade de água por região (m3) 
A 400 600 
B 600 800 
C 300 375 
 
Produto Área máxima 
por produto 
(em alqueires) 
Consumo de água por 
área de terreno 
(m3/alqueire) 
Lucro por 
unidade de área 
($/alqueire) 
Trigo 600 3 400 
Algodão 500 2 300 
Soja 325 1 100 
 
4) Uma fábrica tem dois tipos de inspetores, I e II, responsáveis pelo controle de qualidade. Há 
necessidade de que pelo menos 1800 peças sejam inspecionadas em 8 horas por dia. Os 
inspetores do tipo I podem inspecionar peças numa taxa de 25 por hora, com uma confiabilidade 
de 95%. Já os inspetores do tipo II inspecionam 15 peças por hora com um confiabilidade de 
95%. Os salários são de R$4,00/hora para o inspetor I e de R$3,00/hora para o inspetor II. Cada 
erro de qualquer dos inspetores custa à fábrica R$2,00. Há disponíveis 8 inspetores tipo I e 10 
do tipo II. Construir o modelo para determinar o número ótimo de inspetores que minimizam o 
custo total de inspeção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 
 
Programação Linear – ENP153 
 
Primeira Lista de Exercícios – Modelagem de Problemas 
Professor: Alexandre Xavier Martins 
 
5) Uma liga especial constituída de ferro, carvão, silício e níquel pode ser obtida usando a 
mistura desses minerais puros além de 2 tipos de materiais recuperados: 
Material Recuperado 1 - MR1 - 
Composição 
ferro - 60% 
carvão - 20% 
silício - 20% 
Custo por Kg: $0,20 
Material Recuperado 2 - MR2 - 
Composição 
ferro - 70% 
carvão - 20% 
silício - 5% 
níquel - 5% 
Custo por Kg: $0,25 
 
A liga deve ter a seguinte composição final: 
Matéria-prima %Mínima %Máxima 
Ferro 60 65 
Carvão 15 20 
Silício 15 20 
Níquel 5 8 
 
O custo dos materiais puros são (por Kg): ferro: $0,30; carvão: $0,20; silício: $0,28; 
níquel:$0,50. Qual deverá ser a composição da mistura em termos dos materiais disponíveis, 
com menor custo por Kg ? Construa o modelo de decisão. 
 
6) Uma empresa fabrica 2 modelos de cintos de couro. O modelo M1, de melhor qualidade, 
requer o dobro do tempo de fabricação em relação ao modelo M2. Se todos os cintos fossem do 
modelo M2, a empresa poderia produzir 1.000 unidades por dia. A disponibilidade de couro 
permite fabricar 800 cintos de ambos os modelos por dia. Os cintos empregam fivelas 
diferentes, cuja disponibilidade diária é de 400 para M1 e 700 para M2. Os lucros unitários são 
de $4,00 para M1 e $3,00 para M2. Construa, o modelo para otimizar o sistema descrito. 
 
7) Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua região de vendas. Ele 
necessita transportar 200 caixas de laranjas a $20,00 de lucro por caixa, pelo menos 100 caixas 
de pêssegos a $10,00 de lucro por caixa, e no máximo 200 caixas de tangerinas a $30,00 de 
lucro por caixa. Construa o modelo do problema. 
 
8) Um fabricante de tiras metálicas recebeu um pedido para produzir 2000 tiras de tamanho 2 
cm x 4 cm e 1000 tiras de 4 cm x 7 cm. As tiras podem ser produzidas a partir de chapas 
maiores disponíveis nos tamanhos de 10 cm x 3000 cm e 11 cm x 2000 cm. O departamento 
técnico encarregado de planejar o atendimento ao pedido decidiu que os padrões de corte 
mostrados na figura a seguir são adequados para produzir as tiras encomendadas. Formule um 
modelo de programação linear que permita minimizar o material usado (ou minimizar as perdas) 
no atendimento à encomenda. 
 
 
9) Um jovem atleta indeciso sente-se atraído pala prática de dois esportes: natação e ciclismo. 
Sabe por experiência que: 
A natação exige um gasto em mensalidade do clube e deslocamento até a piscina que pode ser 
expresso em um custo médio de 3 reais por seção de treinamento de 2 horas. 
O ciclismo, mais simples, acaba custando cerca de 2 reais pelo mesmo tempo de prática. 
O orçamento do rapaz dispõe de 70 reais para seu treinamento. 
Seus afazeres de aluno de graduação na universidade lhe dão liberdade de empregar, no 
máximo, 18 horas mensais e 80.000 calorias para os esforços físicos. 
Cada seção de natação consome 1.500 calorias, enquanto cada etapa ciclística gasta 1.000 
calorias. Considerando que o rapaz goste igualmente de ambos os esportes o problema consiste 
em planejar seu treinamento de forma a maximizar o número de seções de treinamento. 
 
10) Um investidor deseja investir certa quantidade de dinheiro em ações. Ele está avaliando 
diferentes empresas para investir e estima o retorno de seu investimento em um ano. A Tabela 1 
abaixo mostra para cada empresa seu país de origem, a categoria de risco (A: Alto, B: Baixo), e 
a expectativa de retorno para cada unidade monetária investida. Para diminuir o risco ele 
determinou que não deve ser investido mais que 30% do total em nenhuma empresa, que no 
mínimo metade deve ser investidos em empresas norte americanas e não mais um terço em 
empresas de alto risco. Como deve ser investido o dinheiro do investidor de maneira a obter o 
maior retorno? 
Número Ramo País Risco Retorno 
1 Farmacêutico Canadá B 5 
2 Computadores EUA A 17 
3 Entretenimento EUA B 26 
4 Comunicações EUA A 12 
5 Software Inglaterra B 8 
6 Construções França B 9 
7 Carros Alemanha B 7 
8 Banco Holanda B 6 
9 Internet Índia A 31 
10 Eletrônicos Japão A 21 
Tabela 1 
 
11) Uma empresa siderúrgica possui 3 usinas e cada uma delas requer quantidade mensal 
mínima de minério para operar. A empresa adquire minério de 4 minas diferentes. Cada uma 
das minas tem uma capacidade máxima de produção mensal estabelecida. Por imposições 
contratuais, o custo do minério para a empresa é composto por um custo fixo mensal para cada 
mina (este valor é pago em caso de haver produção na mina), mais um custo de transporte ($/t) 
que varia de acordo com a distância entre as minas e usinas (cada par mina/usina tem um custo 
diferente). Os dados são mostrados na tabela a seguir: 
Minas Usina 1 Usina 2 Usina 3 Cap. Máx. das 
Minas (t/mês) 
Custo 
Fixo ($) 
Mina 1 ($/t) 10 8 13 11500 50000 
Mina 2 ($/t) 7 9 14 14500 40000 
Mina 3 ($/t) 6,5 10,8 12,4 13000 30000 
Mina 4 ($/t) 8,5 12,7 9,8 12300 25500 
Quant. Req. (t/mês) 10000 15400 13300 - - 
 
 
Construir um modelo de otimização para determinar a quantidade de minério a ser comprada de 
cada mina e levada a cada usina de forma a minimizar o custo total de compra de minério. 
 
12) O administrador de um hospital deseja determinar a escala dos enfermeiros. Para isso ele 
organiza um sistema de plantãodividindo o dia em 6 períodos de 4 horas. A tabela a seguir 
mostra o número mínimo de enfermeiros que devem estar presentes em cada horário. 
 
Horário 8-12 12-16 16-20 20-24 24-04 04-08 
# enfermeiros 51 58 62 41 32 19 
 
 
Cada enfermeiro cumpre um plantão de 8 horas, que pode começar apenas no início de um 
destes períodos. No horário de 8 às 20 horas, o enfermeiro recebe R$100 por hora de trabalho e 
R$125 por hora de trabalho noturno (20 horas às 08 horas). Construa o modelo de programação 
matemática que faça a escala dos enfermeiros de modo a minimizar o custo de mão-de-obra. 
 
13) Certa empresa trabalha com a produção de etiquetas autocolantes. O papel usado para sua 
confecção encontra-se em bobinas de mesmo comprimento. A largura das bobinas é de 50 cm. 
As encomendas para a próxima semana impõem a necessidade mínima de se cortarem 32 
bobinas de 15 cm de largura, 17 bobinas de 17,5 cm de largura e 21 bobinas de 20 cm de 
largura. E política da empresa manter em estoque o excedente ao pedido em quantidade máxima 
de 10 bobinas cortadas de acordo com a encomenda. Esta ação evita a imobilização de capital. 
A tabela abaixo relaciona os possíveis padrões de corte, tendo em vista as encomendas. 
 
Padrões de Corte Largura da faixa cortada Desperdício (cm) 15 cm 17,5 cm 20 cm 
1 3 0 0 5 
2 2 1 0 2,5 
3 1 2 0 0 
4 2 0 1 0 
5 0 1 1 12,5 
6 0 0 2 10 
 
 
 
14) Numa determinada região, o problema da poluição atmosférica tornou-se crítico devido a 
emissão de um poluente por um certo número n de fábricas. Este poluente é liberado pela 
queima de m combustíveis para a produção da energia necessária. Cada fábrica j necessita 
diariamente ej unidades de energia. Cada tonelada de combustível i, cujo custo é ci, produz aij 
unidades de energia e emite pij unidades do poluente, quando utilizada na fábrica j. Deseja-se 
que a emissão diária do poluente para a região não exceda a k unidades. Formular o problema de 
modo a minimizar o custo total de energia para as n fábricas.