P1 calculo III prof Aline

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UFRRJ - ICE - DEMAT
Nome: Matr´ıcula:
Disciplina: IC243 - Ca´lculo III Turma: T01
Prof.a: Aline Data: 01/08/2013
1a Prova de Ca´lculo III
1a Questa˜o: Dois carros C1 e C2 percorrem, respectivamente, as estradas BR-01 e BR-
02, tendo seus movimentos descritos por
α1(t) = (10t, 50t
2) e α2(t) = (7t, 70t− 50), t ≥ 0,
onde t representa instante em horas e as distaˆncias percorridas sa˜o medidas em quiloˆme-
tros.
(a) No ponto P onde as estradas BR-01 e BR-02 se cruzam, esta´ situado um posto de
fiscalizac¸a˜o de velocidades. Encontre esse ponto P . (1,0 pt)
(b) Os dois carros chegam juntos ao ponto P? Se na˜o, qual deles chega primeiro?
Justifique. (1,0 pt)
(c) Esboce as estradas sobre as quais os carros se movem. (0,5 pt)
(d) Sabendo que o limite de velocidade nas duas estradas e´ de 80 km/h, algum dos carros
sera´ multado no ponto P? Em caso afirmativo, qual? Justifique. (1,0 pt)
2a Questa˜o:
(a) Verifique que
f(u, v) = (u cos v, u sen v, u), u ≥ 0, v ∈ [0, 2pi]
e´ uma parametrizac¸a˜o para o cone z =
√
x2 + y2. (0,5 pt)
(b) Repare que f(1, v), v ∈ [0, 2pi], e´ a parametrizac¸a˜o de uma determinada curva contida
no cone do item (a). Descreva essa curva, explicitando o sentido de percurso. Ale´m disso,
esboce, num mesmo desenho, o cone e a curva mencionados. (1,0 pt)
(c) Considere o campo vetorial G(x, y, z) = (y,−2, xz). Tomando f(u, v) do item (a),
monte a regra da cadeia em formato matricial para encontrar a matriz Jacobiana de
(G ◦ f) no ponto P = (1, pi). (1,5 pt)
3a Questa˜o: Calcule a integral ∫ ∫
D
y3dA,
onde D e´ a regia˜o do plano xy limitada pelas curvas y =
√
x, y = 2 e x = 0. Esboce essa
regia˜o D. (1,5 pt)
4a Questa˜o: Use integral dupla em coordenadas polares para determinar o volume
do so´lido que esta´ abaixo do cone z =
√
x2 + y2, acima do plano xy e dentro do cilindro
x2 + y2 = 2y. Esboce a regia˜o de integrac¸a˜o. (2,0 pt)
Boa Prova!