Aplicação de Derivadas

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APLICAÇÕES DE DERIVADAS
Profa. Dra. Andriana Susana Lopes de Oliveira
Campanharo
Universidade Estadual Paulista - UNESP
Botucatu - SP
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Sumário
1 Introdução
2 Valores extremos de funções
Valor funcional máximo e mínimo
3 Número crítico de uma função
4 Funções crescentes e decrescentes
Funções crescentes e decrescentes e o teste da derivada primeira
5 Concavidade e pontos de inflexão
Concavidade
Pontos de inflexão
6 Teste da derivada segunda para extremos relativos
7 Esboço do gráfico de uma função
8 Aplicação envolvendo extremos relativos
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Introdução
Introdução
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Introdução
A interpretação da derivada como a inclinação da reta tangente
ao gráfico de uma função em um ponto x possibilita aplicar o
conceito de derivada como um recurso auxiliar no esboço de
gráficos.
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Valores extremos de funções
Valores extremos de funções
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Valores extremos de funções
Valor funcional máximo e mínimo
Definição 1
Uma função f terá um valor máximo relativo em c se existir um
intervalo aberto contendo c, no qual f (x) esteja definida, tal
que, f (c) ≥ f (x) para todo x nesse intervalo.
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Valores extremos de funções
Valor funcional máximo e mínimo
Definição 2
Uma função f terá um valor mínimo relativo em c se existir um
intervalo aberto contendo c, no qual f (x) esteja definida, tal
que, f (c) ≤ f (x) para todo x nesse intervalo.
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Valores extremos de funções
Valor funcional máximo e mínimo
Se a função f tiver um mínimo relativo em c ou um máximo
relativo em c, dizemos que f possui um extremo relativo em c.
Teorema 1
Se f (x) for definida para todos os valores de x no intervalo
aberto (a,b) e se f tiver um extremo relativo em c, onde
a < c < b, então f ′(c) = 0, se f ′(c) existir.
Observe que a anulação da derivada em um ponto c é uma
condição necessária mas não suficiente para que c seja um
extremo relativo.
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Valores extremos de funções
Valor funcional máximo e mínimo
Se a função f tiver um mínimo relativo em c ou um máximo
relativo em c, dizemos que f possui um extremo relativo em c.
Teorema 1
Se f (x) for definida para todos os valores de x no intervalo
aberto (a,b) e se f tiver um extremo relativo em c, onde
a < c < b, então f ′(c) = 0, se f ′(c) existir.
Observe que a anulação da derivada em um ponto c é uma
condição necessária mas não suficiente para que c seja um
extremo relativo.
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Valores extremos de funções
Valor funcional máximo e mínimo
Se a função f tiver um mínimo relativo em c ou um máximo
relativo em c, dizemos que f possui um extremo relativo em c.
Teorema 1
Se f (x) for definida para todos os valores de x no intervalo
aberto (a,b) e se f tiver um extremo relativo em c, onde
a < c < b, então f ′(c) = 0, se f ′(c) existir.
Observe que a anulação da derivada em um ponto c é uma
condição necessária mas não suficiente para que c seja um
extremo relativo.
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Valores extremos de funções
Valor funcional máximo e mínimo
Exemplo
Consideremos a função definida por f (x) = (x − 1)3, cujo
gráfico é dado por:
Observe que f ′(1) = 0, contudo f não possui um extremo
relativo em 1 pois f (x) < 0 se x < 1 e f (x) > 0 se x > 1.
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Número crítico de uma função
Número crítico de uma função
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Número crítico de uma função
Definição 3
Se c for um número no domínio da função f e se f ′(c) = 0 ou
se f ′(c) não existir, então c será chamado de número crítico de
f .
Logo, uma condição necessária (mas não suficiente) à
existência de um extremo relativo em c é que c seja um
número crítico.
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Número crítico de uma função
Definição 3
Se c for um número no domínio da função f e se f ′(c) = 0 ou
se f ′(c) não existir, então c será chamado de número crítico de
f .
Logo, uma condição necessária (mas não suficiente) à
existência de um extremo relativo em c é que c seja um
número crítico.
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Número crítico de uma função
Exemplo
Encontre os números críticos da função f definida por:
f (x) = x4/3 + 4x1/3
Solução:
f ′(x) = 0⇔ x = −1 e f ′(x) não existe quando x = 0. Ambos
os valores x = −1 e x = 0 estão no domínio de f , logo ambos
são pontos críticos de f .
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Número crítico de uma função
Exemplo
Encontre os números críticos da função f definida por:
f (x) = x4/3 + 4x1/3
Solução:
f ′(x) = 0⇔ x = −1 e f ′(x) não existe quando x = 0. Ambos
os valores x = −1 e x = 0 estão no domínio de f , logo ambos
são pontos críticos de f .
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Número crítico de uma função
Exemplo
Encontre os números críticos da função f definida por:
f (x) = x4/3 + 4x1/3
Solução:
f ′(x) = 0⇔ x = −1 e f ′(x) não existe quando x = 0. Ambos
os valores x = −1 e x = 0 estão no domínio de f , logo ambos
são pontos críticos de f .
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Funções crescentes e decrescentes
Funções crescentes e decrescentes
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Funções crescentes e decrescentes
Definição 4
Uma função f definida num intervalo será crescente nesse
intervalo, se e somente se,
f (x1) < f (x2) sempre que x1 < x2
onde x1 e x2 são quaisquer números no intervalo.
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Funções crescentes e decrescentes
Definição 5
Uma função f definida num intervalo será decrescente nesse
intervalo, se e somente se,
f (x1) > f (x2) sempre que x1 < x2
onde x1 e x2 são quaisquer números no intervalo.
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Funções crescentes e decrescentes
Exemplo
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Funções crescentes e decrescentes
Teorema 2
Seja f uma função contínua no intervalo [a,b] e derivável em
(a,b).
se f ′(x) > 0 para todo x em (a,b), então f será crescente
em [a,b];
se f ′(x) < 0 para todo x em (a,b), então f será
decrescente em [a,b].
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Funções crescentes e decrescentes
Teorema 2
Seja f uma função contínua no intervalo [a,b] e derivável em
(a,b).
se f ′(x) > 0 para todo x em (a,b), então f será crescente
em [a,b];
se f ′(x) < 0 para todo x em (a,b), então f será
decrescente em [a,b].
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Funções crescentes e decrescentes
Exemplo
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Funções crescentes e decrescentes
Funções crescentes e decrescentes e o teste da derivada primeira
Teorema 3 (Teste da derivada primeira para extremos relativos)
Seja f uma função contínua no intervalo aberto (a,b) contendo
o número c e suponha que f ′ exista em todos os pontos de
(a,b), exceto possivelmente em c.
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Funções crescentes e decrescentes
Funções crescentes e decrescentes e o teste da derivada primeira
se f ′(x) > 0 para todos os valores de x em algum intervalo
aberto contendo c como extremo direito, e se f ′(x) < 0
para todos os valores de x em algum intervalo aberto
tendo c como extremo esquerdo, então f terá um valor
máximo relativo em c;
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Funções crescentes e decrescentes
Funções crescentes e decrescentes e o teste da derivada primeira
se f ′(x) < 0 para todos os valores de x em algum intervalo
aberto contendoc como extremo direito, e se f ′(x) > 0
para todos os valores de x em algum intervalo aberto
tendo c como extremo esquerdo, então f terá um valor
mínimo relativo em c.
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Funções crescentes e decrescentes
Funções crescentes e decrescentes e o teste da derivada primeira
Em suma, para determinar os extremos relativos de f
devemos:
Encontrar a função f ′(x);
Encontrar os números críticos de f , ou seja, os valores de
x para os quais f ′(x) = 0 ou para os quais f ′(x) não existe;
Aplicar o teste da derivada primeira (Teorema 3).
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Funções crescentes e decrescentes
Funções crescentes e decrescentes e o teste da derivada primeira
Em suma, para determinar os extremos relativos de f
devemos:
Encontrar a função f ′(x);
Encontrar os números críticos de f , ou seja, os valores de
x para os quais f ′(x) = 0 ou para os quais f ′(x) não existe;
Aplicar o teste da derivada primeira (Teorema 3).
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Funções crescentes e decrescentes
Funções crescentes e decrescentes e o teste da derivada primeira
Em suma, para determinar os extremos relativos de f
devemos:
Encontrar a função f ′(x);
Encontrar os números críticos de f , ou seja, os valores de
x para os quais f ′(x) = 0 ou para os quais f ′(x) não existe;
Aplicar o teste da derivada primeira (Teorema 3).
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Funções crescentes e decrescentes
Funções crescentes e decrescentes e o teste da derivada primeira
Exemplo
Dada a função f definida por:
f (x) = x3 − 6x2 + 9x + 1
encontre os extremos relativos de f aplicando o teste da
derivada primeira. Determine os valores de x nos quais
ocorrem extremos relativos, bem como os intervalos nos quais
f é crescente e aqueles onde f é decrescente.
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Funções crescentes e decrescentes
Funções crescentes e decrescentes e o teste da derivada primeira
Exemplo
Solução:
f ′(x) = 3x2 − 12x + 9
Observe que f ′(x) existe para todos os valores de x .
Equacionando f ′(x) = 0, temos:
3x2 − 12x + 9 = 0⇔ 3(x − 3)(x − 1) = 0
Logo, os números críticos de f são x = 1 e x = 3.
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Funções crescentes e decrescentes
Funções crescentes e decrescentes e o teste da derivada primeira
Exemplo
Solução:
f ′(x) = 3x2 − 12x + 9
Observe que f ′(x) existe para todos os valores de x .
Equacionando f ′(x) = 0, temos:
3x2 − 12x + 9 = 0⇔ 3(x − 3)(x − 1) = 0
Logo, os números críticos de f são x = 1 e x = 3.
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Funções crescentes e decrescentes
Funções crescentes e decrescentes e o teste da derivada primeira
Exemplo
Solução:
f ′(x) = 3x2 − 12x + 9
Observe que f ′(x) existe para todos os valores de x .
Equacionando f ′(x) = 0, temos:
3x2 − 12x + 9 = 0⇔ 3(x − 3)(x − 1) = 0
Logo, os números críticos de f são x = 1 e x = 3.
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Funções crescentes e decrescentes
Funções crescentes e decrescentes e o teste da derivada primeira
Exemplo
Para determinar se f possui um extremo relativo nesses
números, aplicamos o teste da derivada primeira, conforme
mostra a tabela abaixo:
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Funções crescentes e decrescentes
Funções crescentes e decrescentes e o teste da derivada primeira
Exemplo
Para determinar se f possui um extremo relativo nesses
números, aplicamos o teste da derivada primeira, conforme
mostra a tabela abaixo:
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Concavidade e pontos de inflexão
Concavidade e pontos de inflexão
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Concavidade e pontos de inflexão
Concavidade
Definição 6
O gráfico de uma função f será côncavo para cima no ponto
(c, f (c)) se f ′(c) existir e se houver um intervalo aberto I
contendo c, tal que, para todos os valores de x 6= c em I, o
ponto (x , f (x)) do gráfico estará acima da reta tangente ao
gráfico em (c, f (c))
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Concavidade e pontos de inflexão
Concavidade
Definição 7
O gráfico de uma função f será côncavo para baixo no ponto
(c, f (c)) se f ′(c) existir e se houver um intervalo aberto I
contendo c, tal que, para todos os valores de x 6= c em I, o
ponto (x , f (x)) do gráfico estará abaixo da reta tangente ao
gráfico em (c, f (c))
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Concavidade e pontos de inflexão
Concavidade
Exemplo
A função f (x) = x2 é côncavo para cima em todos os seus
pontos. Observe que, f ′(x) = 2x e f ′′(x) = 2 > 0
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Concavidade e pontos de inflexão
Concavidade
Exemplo
A função f (x) = −x2 é côncavo para baixo em todos os seus
pontos. Observe que, f ′(x) = −2x e f ′′(x) = −2 < 0
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Concavidade e pontos de inflexão
Concavidade
Teorema 4
Seja f uma função diferenciável em algum intervalo aberto
contendo c. Então:
se f ′′(c) > 0, então o gráfico de f é côncavo para cima em
(c, f (c));
se f ′′(c) < 0, então o gráfico de f é côncavo para baixo em
(c, f (c)).
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Concavidade e pontos de inflexão
Concavidade
Teorema 4
Seja f uma função diferenciável em algum intervalo aberto
contendo c. Então:
se f ′′(c) > 0, então o gráfico de f é côncavo para cima em
(c, f (c));
se f ′′(c) < 0, então o gráfico de f é côncavo para baixo em
(c, f (c)).
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Concavidade e pontos de inflexão
Pontos de inflexão
Definição 8
O ponto (c, f (c)) será um ponto de inflexão do gráfico da
função f se o gráfico tiver nele uma reta tangente e se existir
um intervalo aberto I contendo c, tal que, se x estiver em I,
então:
f ′′(x) > 0 se x < c e f ′′(x) < 0 se x > c, ou
f ′′(x) < 0 se x < c e f ′′(x) > 0 se x > c
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Concavidade e pontos de inflexão
Pontos de inflexão
Definição 8
O ponto (c, f (c)) será um ponto de inflexão do gráfico da
função f se o gráfico tiver nele uma reta tangente e se existir
um intervalo aberto I contendo c, tal que, se x estiver em I,
então:
f ′′(x) > 0 se x < c e f ′′(x) < 0 se x > c, ou
f ′′(x) < 0 se x < c e f ′′(x) > 0 se x > c
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Concavidade e pontos de inflexão
Pontos de inflexão
Exemplo
Considere a função h definida por:
h(x) =
{
4− x2 se x < 1
2 + x2 se x ≥ 1
Um esboço do gráfico de h é dado por:
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Concavidade e pontos de inflexão
Pontos de inflexão
Exemplo
Considere a função h definida por:
h(x) =
{
4− x2 se x < 1
2 + x2 se x ≥ 1
Um esboço do gráfico de h é dado por:
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Concavidade e pontos de inflexão
Pontos de inflexão
Exemplo
Observe que h′′(x) = −2 se x < 1 e h′′(x) = 2 se x ≥ 1.
Assim, no ponto (1,3) do gráfico, o sentido da concavidade
muda de baixo para cima. Contudo, (1,3) não é um ponto de
inflexão, pois o gráfico não tem uma reta tangente neste ponto.
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Teste da derivada segunda para extremos relativos
Teorema 5
Seja c um número crítico de uma função f , no qual, f ′(c) = 0 e
suponhamos que f ′ exista para todos os valores de x em
algum intervalo aberto contendo c. Se f ′′(c) existe e:
se f ′′(c) < 0, então f tem um valor máximo relativo em c;
se f ′′(c) > 0, então f tem um valor mínimo relativo em c.
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Teste da derivada segunda para extremos relativos
Exemplo
Dada:
f (x) = x4 + 4/3x3 − 4x2
encontre os máximos e mínimos relativos de f , aplicando o
teste da derivada segunda.
Solução: Calculemosas derivadas primeira e segunda de f :
f ′(x) = 4x3 + 4x2 − 8x
f ′′(x) = 12x2 + 8x − 8
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Teste da derivada segunda para extremos relativos
Exemplo
Dada:
f (x) = x4 + 4/3x3 − 4x2
encontre os máximos e mínimos relativos de f , aplicando o
teste da derivada segunda.
Solução: Calculemos as derivadas primeira e segunda de f :
f ′(x) = 4x3 + 4x2 − 8x
f ′′(x) = 12x2 + 8x − 8
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Teste da derivada segunda para extremos relativos
Exemplo
Equacionando f ′(x) = 0, temos:
4x3 + 4x2 − 8x = 0⇔ 4x(x + 2)(x − 1) = 0
Assim, os pontos críticos de f são x = −2, x = 0 e x = 1.
Para determinar a existência de extremos relativos,
verifiquemos o sinal de f ′′(x) nos pontos críticos, conforme
mostra a tabela abaixo:
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Teste da derivada segunda para extremos relativos
Exemplo
Equacionando f ′(x) = 0, temos:
4x3 + 4x2 − 8x = 0⇔ 4x(x + 2)(x − 1) = 0
Assim, os pontos críticos de f são x = −2, x = 0 e x = 1.
Para determinar a existência de extremos relativos,
verifiquemos o sinal de f ′′(x) nos pontos críticos, conforme
mostra a tabela abaixo:
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Esboço do gráfico de uma função
Esboço do gráfico de uma função
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Esboço do gráfico de uma função
Esboço do gráfico de uma função.
Dada a função:
f (x) =
x2
x2 − 4
Façamos um esboço do gráfico de f com base nos passos a
seguir.
Solução:
Passo 1
Determinar o domínio de f .
O domínio de f é o conjunto dos números reais R, exceto
x = −2 e x = 2.
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Esboço do gráfico de uma função
Esboço do gráfico de uma função.
Dada a função:
f (x) =
x2
x2 − 4
Façamos um esboço do gráfico de f com base nos passos a
seguir.
Solução:
Passo 1
Determinar o domínio de f .
O domínio de f é o conjunto dos números reais R, exceto
x = −2 e x = 2.
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Esboço do gráfico de uma função
Passo 2
Encontrar os interceptos y do gráfico. Localizar os interceptos
x do gráfico, se a equação resultante for fácil de resolver.
A intersecção do gráfico com os eixos é a origem (x = y = 0).
Passo 3
Testar a simetria em relação ao eixo y e a origem.
Como f (x) = f (−x), f é par, e o gráfico de f é simétrico em
relação ao eixo y .
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Esboço do gráfico de uma função
Passo 2
Encontrar os interceptos y do gráfico. Localizar os interceptos
x do gráfico, se a equação resultante for fácil de resolver.
A intersecção do gráfico com os eixos é a origem (x = y = 0).
Passo 3
Testar a simetria em relação ao eixo y e a origem.
Como f (x) = f (−x), f é par, e o gráfico de f é simétrico em
relação ao eixo y .
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Esboço do gráfico de uma função
Passo 4
Calcular f ′(x) e f ′′(x).
f (x) =
x2
x2 − 4
f ′(x) =
2x(x2 − 4)− 2x(x2)
(x2 − 4)2 =
−8x
(x2 − 4)2
f ′′(x) =
−8(x2 − 4)2 + 8x [2(x2 − 4)(2x)]
(x2 − 4)4 =
24x2 + 32
(x2 − 4)3
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Esboço do gráfico de uma função
Passo 5
Encontrar os números críticos de f . Esses são os valores de x
no domínio de f para os quais f ′(x) = 0 ou f ′(x) não existe.
f ′(x) = 0 implica em x = 0. Logo, x = 0 é um ponto crítico de f .
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Esboço do gráfico de uma função
Passo 6
Determinar os intervalos nos quais f é crescente e
decrescente.
Passo 7
Aplicar o teste da derivada primeira (Teorema 3) ou o teste da
derivada segunda (Teorema 5) para determinar se nos
números críticos existe extremos relativos.
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Esboço do gráfico de uma função
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Esboço do gráfico de uma função
Passo 8
Verificar a concavidade do gráfico. Encontre os valores de x
para os quais f ′′(x) é positiva e negativa, a fim de obter os
pontos nos quais a concavidade é para cima e para baixo,
respectivamente.
Passo 9
Verificar se (c, f (c)) é um ponto de inflexão. Ou seja, verificar
se f ′(c) existe e se a concavidade de f muda em x = c.
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Esboço do gráfico de uma função
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Esboço do gráfico de uma função
Passo 10
Verificar a existência de possíveis assíntotas verticais ou
horizontais.
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Esboço do gráfico de uma função
Assíntotas verticais: Como x = ±2 não pertencem ao
domínio de f , calculemos:
Portanto, x = ±2 são assíntotas verticais do gráfico de f .
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Esboço do gráfico de uma função
Assíntotas horizontais: Temos que:
Portanto, y = 1 é uma assíntota horizontal do gráfico de f .
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Esboço do gráfico de uma função
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Aplicação envolvendo extremos relativos
Aplicação envolvendo extremos
relativos
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Aplicação envolvendo extremos relativos
Uma caixa fechada com base quadrada deve ter um volume de
2000 cm3. O material da tampa e da base deve custar R$ 3 por
centímetro quadrado e o material para os lados deve custar
R$ 1,50 por centímetro quadrado. Queremos encontrar as
dimensões da caixa cujo custo total do material seja mínimo.
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Aplicação envolvendo extremos relativos
Solução:
Seja x cm o comprimento de um lado da base quadrada, y cm
sua profundidade e C(x) o custo total do material. Logo, a área
da base é x2 cm2.
Como o volume da caixa é o produto da área da base pela
profundidade, então:
x2y = 2000⇔ y = 2000
x2
(1)
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Aplicação envolvendo extremos relativos
Solução:
Seja x cm o comprimento de um lado da base quadrada, y cm
sua profundidade e C(x) o custo total do material. Logo, a área
da base é x2 cm2.
Como o volume da caixa é o produto da área da base pela
profundidade, então:
x2y = 2000⇔ y = 2000
x2
(1)
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Aplicação envolvendo extremos relativos
O número total de centímetros quadrados na área combinada
da tampa e da base é 2x2 e, para os lados 4xy . Portanto, o
custo total do material é de:
3(2x2) +
3
2
(4xy) (2)
Substituindo (1) em (2), temos:
C(x) = 6x2 + 6x
(
2000
x2
)
⇔ C(x) = 6x2 + 12000
x
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Aplicação envolvendo extremos relativos
O número total de centímetros quadrados na área combinada
da tampa e da base é 2x2 e, para os lados 4xy . Portanto, o
custo total do material é de:
3(2x2) +
3
2
(4xy) (2)
Substituindo (1) em (2), temos:
C(x) = 6x2 + 6x
(
2000
x2
)
⇔ C(x) = 6x2 + 12000
x
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Aplicação envolvendo extremos relativos
C(x) = 6x2 +
12000
x
O domínio de C é (0,+∞) (pois C(x) > 0). Além disso, C é
contínua em seu domínio.
C′(x) = 12x − 12000
x2
, C′′(x) = 12 +
24000
x3
Observe que C′(x) não existe quando x = 0, contudo, x = 0
não pertence ao domínio de C. Logo, os únicos pontos críticos
de C(x) serão aqueles obtidos como solução da equação
C′(x) = 0. Ou seja,
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Aplicação envolvendo extremos relativos
C(x) = 6x2 +
12000
x
O domínio de C é (0,+∞) (pois C(x) > 0). Além disso, C é
contínua em seu domínio.
C′(x) = 12x − 12000
x2
, C′′(x) = 12 +
24000
x3
Observe que C′(x) não existe quando x = 0, contudo, x = 0
não pertence ao domínio de C. Logo, os únicos pontos críticos
de C(x) serão aqueles obtidos como solução da equação
C′(x) = 0. Ou seja,Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Aplicação envolvendo extremos relativos
C′(x) = 0⇔ 12x − 12000
x2
= 0⇔ x3 = 1000⇔ x = 10
Aplicando o teste da derivada segunda (Teorema 5), temos
C′(10) = 0 e C′′(10) > 0. Logo, C tem um valor mínimo
relativo que também é mínimo absoluto.
Assim, o custo total do material será mínimo quando o lado da
base quadrada for 10 cm e a produndidade 20 cm.
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Aplicação envolvendo extremos relativos
C′(x) = 0⇔ 12x − 12000
x2
= 0⇔ x3 = 1000⇔ x = 10
Aplicando o teste da derivada segunda (Teorema 5), temos
C′(10) = 0 e C′′(10) > 0. Logo, C tem um valor mínimo
relativo que também é mínimo absoluto.
Assim, o custo total do material será mínimo quando o lado da
base quadrada for 10 cm e a produndidade 20 cm.
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Aplicação envolvendo extremos relativos
C′(x) = 0⇔ 12x − 12000
x2
= 0⇔ x3 = 1000⇔ x = 10
Aplicando o teste da derivada segunda (Teorema 5), temos
C′(10) = 0 e C′′(10) > 0. Logo, C tem um valor mínimo
relativo que também é mínimo absoluto.
Assim, o custo total do material será mínimo quando o lado da
base quadrada for 10 cm e a produndidade 20 cm.
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
Aplicação envolvendo extremos relativos
Referências Bibliográficas
Leithold, Louis. (1994).
O Cálculo com Geometria Analítica.
Stewart, James. (2010).
Cálculo.
Profa. Dra. Andriana S. L. O. Campanharo
	Introdução
	Valores extremos de funções
	Valor funcional máximo e mínimo
	Número crítico de uma função
	Funções crescentes e decrescentes
	Funções crescentes e decrescentes e o teste da derivada primeira
	Concavidade e pontos de inflexão
	Concavidade
	Pontos de inflexão
	Teste da derivada segunda para extremos relativos
	Esboço do gráfico de uma função
	Aplicação envolvendo extremos relativos