AD1 MD2 2019.1 GABARITO

Prévia do material em texto

Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Me´todos Determin´ısticos II
1o Semestre de 2019
Gabarito da Avaliac¸a˜o a Distaˆncia 1 – AD1
Questa˜o 1: (1,8pts) Ache os valores de x ∈ R tais que
(x2 + 3x+ 2)(−x2 + x+ 2)(x2 − 6x+ 8) > 0.
Soluc¸a˜o: Precisamos fazer a ana´lise do sinal deste polinoˆmio que se encontra parcialmente fatorado.
Precisamos encontrar as ra´ızes de todos os polinoˆmios de grau 2 que participam da decomposic¸a˜o,
logo x2+3x+2 = (x+1)(x+2), −x2+x+2 = −(x+1)(x− 2) e x2− 6x+8 = (x− 2)(x− 4). Agora,
acompanhe o estudo do sinal feito no diagrama abaixo.
Portanto, os valores x ∈ R que satisfazem a desigualdade sa˜o:
x ∈ (−2,−1) ∪ (−1, 2) ∪ (2, 4).
Questa˜o 2: (1,6pts) Encontre todas as ra´ızes de p(x) = 3x5 − 5x3 + 2x.
Soluc¸a˜o: Facilmente se veˆ que
p(x) = 3x5 − 5x3 + 2x = p(x) = (x− 0)(3x4 − 5x2 + 2).
Se houver raiz real inteira ela deve dividir 2, testando obtemos x = −1 e x = 1. Como x2 − 1 =
(x+ 1)(x− 1), vamos dividir 3x4 − 5x2 + 2 por x2 − 1, e obtemos
p(x) = x(x2 − 1)(3x2 − 2) da´ı, temos ainda p(x) = x (x+ 1) (x− 1)
(
x−
√
2
3
)(
x+
√
2
3
)
.
1
Portanto, as ra´ızes sa˜o: −
√
2
3 , −1, 0, 1 e
√
2
3 .
Questa˜o 3: (1,3pts) Ache a equac¸a˜o da reta que passa pelos pontos (2, 1) e (3, 4).
Soluc¸a˜o: Precisamos encontrar o coeficiente angular da reta, para isso basta calcular
m =
4− 1
3− 2 = 3.
Logo, a equac¸a˜o da reta tangente e´
y − 1 = 3(x− 2)⇒ y = 3x− 5 e y − 4 = 3(x− 3)⇒ y = 3x− 5.
Fiz desta maneira para mostra que a equac¸a˜o da reta na˜o munda se escolhemos o ponto (2, 1) ou o
ponto (3, 4).
Questa˜o 4: (1,8pts) Calcule lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a e limh→0
f(a+ h)− f(a)
h
quando f(x) =
√
x−5x e a = 2.
Soluc¸a˜o: Basta calcular fazendo as substituic¸o˜es correspondentes. Vamos a elas:
lim
x→2
f(x)− f(2)
x− 2 = limx→2
√
x− 5x− (√2− 10)
x− 2
= lim
x→2
√
x−√2
x− 2 − limx→2 5
x− 2
x− 2
= lim
x→2
(√
x−√2
x− 2
)(√
x+
√
2√
x+
√
2
)
− 5
=
1
2
√
2
− 5.
lim
h→0
f(2 + h)− f(2)
h
= lim
h→0
√
2 + h− 5(2 + h)− (√2− 10)
h
= lim
h→0
√
2 + h− 5h− 10−√2 + 10
h
= lim
h→0
√
2 + h−√2
h
− lim
h→0
5h
h
= lim
h→0
(√
2 + h−√2
h
)(√
2 + h+
√
2√
2 + h+
√
2
)
− 5
= lim
h→0
2 + h− 2
h(
√
2 + h+
√
2)
− 5 = 1
2
√
2
− 5.
Questa˜o 5: (1,5pts) Calcule o valor de
A = log49
((√
7
)5)− log1,5( 827
)
.
2
utilize somente as propriedades do logaritmo.
Soluc¸a˜o: Antes de resolver a questa˜o veja que 49 = 72 e
(√
7
)5
= 7
5
2 =
(
72
) 5
4 , ale´m disso, 1, 5 = 32
e 827 =
23
33
=
(
2
3
)3
=
(
3
2
)−3
, da´ı
A = log72
((
72
) 5
2
)
− log3/2
(
3
2
)−3
=
5
4
+ 3 =
5
4
+
12
4
=
17
4
.
Questa˜o 6: (2,0pts) Encontre o domı´nio de
a) f(x) =
√
x−1√
x−2 ,
b) g(x) =
√
1−√1− x2.
Soluc¸a˜o: a) Para que esteja no domı´nio de f(x), precisamos que x− 1 ≥ 0 e x− 2 > 0. Portanto, o
domı´nio de f sa˜o todos os nu´meros reais tal que x > 2.
b) A raiz
√
1− x2 dentro do radicando impo˜em a condic¸a˜o −1 ≤ x ≤ 1. Ja´ a outra condic¸a˜o, isto e´,
1−√1− x2 ≥ 0 sempre sera´ satisfeita. Portanto, Dg = {x ∈ R : −1 ≤ x ≤ 1}.
3