Aula_05_Estruturas_de_Aco

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7/4/2011
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CAMPUS CATALÃO
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Estruturas de Aço
Tópico:
Dimensionamento e Verificação de Barras 
Comprimidas.
1Estruturas de Aço – Prof. Wellington Andrade
Estruturas de Aço – Prof. Wellington Andrade 2
� O colapso de um elemento comprimido poderá ocorrer por
ESCOAMENTO, FLAMBAGEM GLOBAL ou FLAMBAGEM LOCAL
DAS PARTES COMPONENTES DO PERFIL.
Considerações iniciais
COLAPSO POR ESCOAMENTO
Poderá ocorrer nas barras com baixos valores do índice de
esbeltez global (λ) e baixos valores de esbeltez local
(relações b/t) isto é, nas barras “curtas” e com espessura
de chapa relativamente alta. Entretanto, na grande
maioria dos casos, o colapso é governado por fenômenos
de instabilidade global ou local, ocorrendo muitas vezes
uma combinação dos dois fenômenos.
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Estruturas de Aço – Prof. Wellington Andrade 3
Considerações iniciais
FLAMBAGEM GLOBAL (flambagem da barra)
É comum considerar-se apenas o caso particular da flambagem
por flexão. Quando se trata de seções de dupla simetria, como por
exemplo: seções quadradas, retangulares, circulares, “I” e outras, a
flambagem por flexão é, de fato, predominante (porém, nem sempre
crítica). Caso contrário, ou seja, para seções monossimétricas ou
assimétricas, a análise do caso geral de instabilidade, a flambagem
por flexão e torção, não deve ser desprezada.
Estruturas de Aço – Prof. Wellington Andrade 4
Considerações iniciais
FLAMBAGEM LOCAL
� No caso de seções duplamente simétricas, a flambagem dar-se-á
por flexão em torno dos eixos principais (x ou y) ou por torção em
torno do eixo longitudinal z. O menor valor da força Px, Py ou Pz
indicará a direção crítica;
� No caso de seções monossimétricas, a flambagem dar-se-á por
flexão em torno do eixo de não simetria ou por flexão em torno do
eixo de simetria associada com torção. A condição crítica será dada
pelo menor valor entre Py e Pxz, onde x é o eixo de simetria.
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Considerações iniciais
FLAMBAGEM LOCAL
� Já para as seções assimétricas, o modo combinado envolvendo
flexão em torno dos dois eixos principais e torção ocorrerá sempre, e
o valor da força crítica será Pxyz.
� A norma brasileira NBR 8800 apresenta as equações do caso geral
de instabilidade no ANEXO J, com o título “flambagem por flexo-
torção”.
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Considerações iniciais
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Considerações iniciais
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Considerações iniciais
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Carga crítica de flambagem (Pcr)
� Carga a partir da qual a barra que está sendo comprimida
mantêm-se em posição indiferente.
A seqüência experimental é:
1º 
PASSO
A barra reta é 
submetida à 
compressão axial 
sem excentricidade, 
isto é, H = 0.
P ≤≤≤≤ Pcr
δδδδ = 0
Com a retirada de 
P a barra retorna 
à posição inicial. 
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Carga crítica de flambagem (Pcr)
2º 
PASSO
A barra reta é 
submetida a uma 
compressão axial de 
maior intensidade, e 
a barra começa a ter 
uma deformação 
lateral (δδδδ).
P = Pcr
δδδδ = δδδδinicial
A barra mantém-se 
em posição 
indiferente 
(impondo-se um 
deslocamento 
permanece na 
posição deslocada).
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Carga crítica de flambagem (Pcr)
3º 
PASSO
A barra reta é 
submetida a uma 
compressão axial de 
intensidade maior 
que a crítica, e a 
barra entra em 
colapso
P>Pcr
δδδδ é de colapso
A barra rompe ou 
sua deformação é 
muito grande.
� Normalmente tomamos como referência o valor da carga crítica
para uma barra bi-rotulada.
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Carga crítica de flambagem (Pcr)
� Segundo EULER
2
2
**
fl
cr L
IEP pi=
Onde:
E � módulo de elasticidade do aço;
I � menor momento de inércia da barra;
Lfl � comprimento de flambagem da barra.
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Carga crítica de flambagem (Pcr)
� Parâmetro ou índice de esbeltez
Onde:
K � coeficiente de flambagem (NBR 8800/2008 – Anexo E, item
E.2);
r � menor raio de giração da barra.
K*L
λ=
r
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Carga crítica de flambagem (Pcr)
�Comprimento de flambagem
Onde:
K � coeficiente de flambagem (NBR 8800/2008 – Anexo E, item
E.2);
L� comprimento da barra.
flL =K*L
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Carga crítica de flambagem (Pcr)
� Coeficiente de flambagem por flexão de elementos isolados
(NBR 8800/2008 – Anexo E, tabela E.1)
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Carga crítica de flambagem (Pcr)
Substituindo:
( ) 22
22
2
2
*
***
*
**
r
ArE
Lk
IEPcr λ
pipi
==
2
2
**
λ
pi AEPcr =
2
2
*
λ
pi Efcr =
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Dimensionamento de barras comprimidas
� Para o dimensionamento de barras à compressão devemos levar
em conta as condições de vínculo das barras que determinam o
parâmetro de flambagem (K) (NBR 8800/2008 – Anexo E,
tabela E.1).
�O índice de esbeltez das barras comprimidas (λλλλ), tomado
como a maior relação entre o produto K*L e o raio de giração
correspondente r, portanto K*L/r, onde K é o coeficiente de
flambagem fornecido por E.2.1.1, E.2.1.2 ou E.2.1.3, o que for
aplicável, e L é o comprimento destravado, não deve ser superior
a 200 (NBR 8800/2008 – item 5.3.4.1).
�Caso tenhamos uma barra com o parâmetro de esbeltez MAIOR
que o valor limite � TROCAR A BARRA
Estruturas de Aço – Prof. Wellington Andrade 18
Dimensionamento de barras comprimidas
� Barras compostas, formadas por dois ou mais perfis
trabalhando em conjunto, em contato ou com afastamento igual à
espessura de chapas espaçadoras, devem possuir ligações entre esses
perfis a intervalos tais que o índice de esbeltez L/r de qualquer perfil,
entre duas ligações adjacentes, não seja superior a 1/2 do índice de
esbeltez da barra composta (K*L/r), onde K é fornecido por E.2.1.1,
E.2.1.2 ou E.2.1.3, o que for aplicável, conforme ilustra a Figura 12 da
NBR 8800/2008.
�Para cada perfil componente, o índice de esbeltez deve ser
calculado com o seu raio de giração mínimo. Adicionalmente, pelo
menos duas chapas espaçadoras devem ser colocadas ao longo do
comprimento, uniformemente espaçadas.
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Dimensionamento de barras comprimidas
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Resistência de cálculo de barras comprimidas
(NBR8800/2008 - item 5.3)
c,Sd c,RdN N≤
Nc,Sd ���� Força axial de compressão solicitante de cálculo.
Nc,Rd ����
Força axial de compressão resistente de cálculo, determinada
conforme NBR 8800/2008 – item 5.3.2.
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Resistência de cálculo de barras comprimidas
(NBR8800/2008 - item 5.3)
g y
c,Rd
a1
χ*Q*A *f
N =
γ
χχχχ ���� Fator de redução associado à resistência à compressão, dado no item5.3.3 da NBR 8800/2008.
Q ���� Fator de redução total associado à flambagem local, cujo valor deve ser
obtido no Anexo F da NBR 8800/2008.
Ag ���� Área bruta da seção transversal da barra.
Estruturas de Aço – Prof. Wellington Andrade 22
Resistência de cálculo de barras comprimidas
(NBR8800/2008 - item 5.3)
� Os coeficientes γa1 são fornecidos no item 4.8.2 da NBR
8800/2008 (para o ELU).:
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Resistência de cálculo de barras comprimidas
(NBR8800/2008 - item 5.3)
� O fator de redução associado à resistência à compressão,χ, é
dado por (NBR 8800/2008 – item 5.3.3.1):
λ0 ≤ 1,5 �
2
oλχ=0,658
λ0 > 1,5 � 2
0
0,877
χ=
λ
λλλλ0 ���� Índice de esbeltez reduzido, dado no item 5.3.3.2 da NBR 8800/2008.
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Resistência de cálculo de barras comprimidas
(NBR8800/2008 - item 5.3)
g y
0
e
Q*A *f
λ =
N
Ne ����
Força axial de flambagem elástica, dado no Anexo E da NBR
8800/2008.
O valor de χ pode ser também obtido da Figura 11 ou da Tabela 4 da
NBR 8800/2008, para os casos em que λ0 não supere 3,0.
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Resistência de cálculo de barras comprimidas
(NBR8800/2008 - item 5.3)
Figura 11 da NBR 8800/2008 – Valor de χ em função do índice de esbeltez λ0
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Resistência de cálculo de barras comprimidas
(NBR8800/2008 - item 5.3)
Tabela 4 da NBR 8800/2008 - Valor de χ em função do índice de esbeltez λ0
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Estruturas de Aço – Prof. Wellington Andrade 27
Resistência de cálculo de barras comprimidas
(NBR8800/2008 - item 5.3)
� Valores da força axial de flambagem elástica, Ne (NBR 8800/2008 
– Anexo E):
� Seções com dupla simetria ou simétricas em relação a um ponto
(item E.1.1 da NBR 8800/2008):
A força axial de flambagem elástica, Ne, de uma barra com seção
transversal duplamente simétrica ou simétrica em relação a um ponto
é dada por:
Flambagem por flexão em relação ao eixo central de inércia x da
seção transversal:
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Resistência de cálculo de barras comprimidas
(NBR8800/2008 - item 5.3)
� Valores da força axial de flambagem elástica, Ne (NBR 8800/2008 
– Anexo E):
� Seções com dupla simetria ou simétricas em relação a um ponto
(item E.1.1 da NBR 8800/2008):
Flambagem por flexão em relação ao eixo central de inércia y da
seção transversal:
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Estruturas de Aço – Prof. Wellington Andrade 29
Resistência de cálculo de barras comprimidas
(NBR8800/2008 - item 5.3)
� Valores da força axial de flambagem elástica, Ne (NBR 8800/2008 
– Anexo E):
� Seções com dupla simetria ou simétricas em relação a um ponto
(item E.1.1 da NBR 8800/2008):
Flambagem por torção em relação ao eixo longitudinal z:
Estruturas de Aço – Prof. Wellington Andrade 30
Resistência de cálculo de barras comprimidas
(NBR8800/2008 - item 5.3)
Kx*Lx ����
Comprimento de flambagem por flexão em relação ao eixo x (o coeficiente de
flambagem Kx é dado no item E.2.1 do Anexo E da NBR 8800/2008).
Ix ���� Momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo x.
Ky*Ly ����
Comprimento de flambagem por flexão em relação ao eixo y (o coeficiente de
flambagem Ky é dado no item E.2.1 do Anexo E da NBR 8800/2008).
Iy ���� Momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo y.
Kz*Lz ����
Comprimento de flambagem por torção (o coeficiente de flambagem Kz é dado
no item E.2.2 do Anexo E da NBR 8800/2008).
E ���� Módulo de elasticidade do aço.
Cw ���� Constante de empenamento da seção transversal.
G ���� Módulo de elasticidade transversal do aço.
J ���� Constante de torção da seção transversal.
r0 ���� Raio de giração polar da seção bruta em relação ao centro de cisalhamento.
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Estruturas de Aço – Prof. Wellington Andrade 31
Resistência de cálculo de barras comprimidas
(NBR8800/2008 - item 5.3)
rx e ry são os raios de giração em relação aos eixos centrais x e y,
respectivamente, e xo e yo são as coordenadas do centro de cisalhamento na
direção dos eixos centrais x e y, respectivamente, em relação ao centro
geométrico da seção.
Estruturas de Aço – Prof. Wellington Andrade 32
Resistência de cálculo de barras comprimidas
(NBR8800/2008 - item 5.3)
� A força axial de flambagem elástica, Ne, de uma barra com seção
transversal monossimétrica, cujo eixo y é o eixo de simetria, é dada
por:
� Flambagem elástica por flexão em relação ao eixo central de
inércia x da seção transversal (caso o eixo x seja o eixo de simetria,
basta substituir x por y)
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Estruturas de Aço – Prof. Wellington Andrade 33
Resistência de cálculo de barras comprimidas
(NBR8800/2008 - item 5.3)
� Flambagem elástica por flexo-torção (caso o eixo x seja o eixo de
simetria, basta substituir y por x e y0 por x0):
Ney ���� Força axial de flambagem elástica conforme o item E.1.1b) da NBR 8800/2008.
Nez ���� Força axial de flambagem elástica conforme o item E.1.1c) da NBR 8800/2008.
Estruturas de Aço – Prof. Wellington Andrade 34
Resistência de cálculo de barras comprimidas
(NBR8800/2008 - item 5.3)
� Seções assimétricas, exceto o caso de cantoneiras simples previsto 
no item E.1.4 da NBR 8800/2008 (item E.1.3 da NBR 8800/2008):
� A força axial de flambagem elástica, Ne, de uma barra com seção
transversal assimétrica (sem nenhum eixo de simetria) é dada pela
menor das raízes da seguinte equação cúbica:
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Estruturas de Aço – Prof. Wellington Andrade 35
Resistência de cálculo de barras comprimidas
(NBR8800/2008 - item 5.3)
� Cantoneiras simples conectadas por uma aba (item E.1.4 da NBR
8800/2008):
� Os efeitos da excentricidade da força de compressão atuante em
uma cantoneira simples podem ser considerados por meio de um
comprimento de flambagem equivalente, desde que essa cantoneira:
a) seja carregada nas extremidades através da mesma aba;
b) seja conectada por solda ou por pelo menos dois parafusos na
direção da solicitação;
c) não esteja solicitada por ações transversais intermediárias.
Estruturas de Aço – Prof. Wellington Andrade 36
Resistência de cálculo de barras comprimidas
(NBR8800/2008 - item 5.3)
� Cantoneiras simples conectadas por uma aba (item E.1.4 da NBR
8800/2008):
� Nesse caso, a força axial de flambagem elástica da cantoneira, Ne, é
dada por:
Ix1 ����
Momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo que passa pelo
centro geométrico e é paralelo à aba conectada;
Kx1*Lx1 ����
Comprimento de flambagem equivalente, dado nos itens E.1.4.2 ou E.1.4.3 da
NBR 8800/2008, o que for aplicável.
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Estruturas de Aço – Prof. Wellington Andrade 37
Resistência de cálculo de barras comprimidas
(NBR8800/2008 - item 5.3)
� Cantoneiras simples conectadas por uma aba (item E.1.4 da NBR
8800/2008):
� Para cantoneiras de abas iguais ou de abas desiguais conectadas
pela aba de maior largura, que são barras individuais ou diagonais ou
montantes de treliças planas com as barras adjacentes conectadas do
mesmo lado das chapas de nó ou das cordas (ver item 5.3.4.1 da NBR
8800/2008) (item E.1.4.2 da NBR 8800/2008):
Estruturas de Aço – Prof. Wellington Andrade 38
Resistência de cálculo de barras comprimidas
(NBR8800/2008 - item 5.3)
� Cantoneiras simples conectadas por uma aba (item E.1.4 da NBR
8800/2008):
Lx1 ����
Comprimento da cantoneira, tomado entre os pontos de trabalho
situados nos eixos longitudinais das cordas da treliça.
rx1 ����
Raio de giração da seção transversal em relação ao eixo que passa
pelo centro geométrico e é paralelo à aba conectada.
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Estruturas de Aço – Prof. Wellington Andrade 39
Resistência de cálculo de barras comprimidas
(NBR8800/2008 - item 5.3)
� Cantoneiras simples conectadas por uma aba (item E.1.4 da NBR
8800/2008):
Nas cantoneiras de abas desiguais com relação entre as larguras das
abas de até 1,7 e conectadas na menor aba, o produto Kx1*Lx1 não
pode ser tomado inferior ao valor:
Estruturas de Aço – Prof. Wellington Andrade 40
Resistência de cálculo de barras comprimidas
(NBR8800/2008 - item 5.3)
� Cantoneiras simples conectadas por uma aba (item E.1.4 da NBR
8800/2008):
Quando
Aumentado de
rmin ���� Raio de giração mínimo da cantoneira.
be ���� Largura da maior aba da cantoneira.
bs ���� Largura da menor aba da cantoneira.
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Resistência de cálculo de barras comprimidas
(NBR8800/2008 - item 5.3)
� Cantoneiras simples conectadas por uma aba (item E.1.4 da NBR
8800/2008):
Quando
Aumentado de
rmin ���� Raio de giração mínimo da cantoneira.
be ���� Largura da maior aba da cantoneira.
bs ���� Largura da menor aba da cantoneira.
Estruturas de Aço – Prof. Wellington Andrade 42
Resistência de cálculo de barras comprimidas
(NBR8800/2008 - item 5.3)
� Cantoneiras simples conectadas por uma aba (item E.1.4 da NBR
8800/2008):
Para cantoneiras de abas iguais ou de abas desiguais conectadas pela
aba de maior largura, que são diagonais ou montantes de treliças
espaciais com as barras adjacentes conectadas do mesmo lado das
chapas de nó ou das cordas (ver item 5.3.4.1 da NBR 8800/2008)
(item E.1.4.3 da NBR 8800/2008):
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Estruturas de Aço – Prof. Wellington Andrade 43
Resistência de cálculo de barras comprimidas
(NBR8800/2008 - item 5.3)
� Cantoneiras simples conectadas por uma aba (item E.1.4 da NBR
8800/2008):
Nas cantoneiras de abas desiguais com relação entre as larguras das
abas de até 1,7 e conectadas na menor aba, o produto Kx1*Lx1 não
pode ser tomado inferior ao valor:
Estruturas de Aço – Prof. Wellington Andrade 44
Resistência de cálculo de barras comprimidas
(NBR8800/2008 - item 5.3)
� Cantoneiras simples conectadas por uma aba (item E.1.4 da NBR
8800/2008):
Quando
Aumentado de
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Resistência de cálculo de barras comprimidas
(NBR8800/2008 - item 5.3)
� Cantoneiras simples conectadas por uma aba (item E.1.4 da NBR
8800/2008):
Quando
Aumentado de
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Resistência de cálculo de barras comprimidas
(NBR8800/2008 - item 5.3)
� Cantoneiras simples conectadas por uma aba (item E.1.4 da NBR
8800/2008):
Cantoneiras simples com ligações diferentes das descritas nos itens
E.1.4.2 e E.1.4.3 da NBR 8800/2008, com relação entre as larguras
das abas maior que 1,7 ou com forças transversais, devem ser
tratadas como barras submetidas à combinação de força axial e
momentos fletores. (item E.1.4.4 da NBR 8800/2008).
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Resistência de cálculo de barras comprimidas
(NBR8800/2008 - item 5.3)
� Valores do fator de redução total associado à flambagem local, Q
(NBR 8800/2008 – Anexo F):
Os elementos que fazem parte das seções transversais usuais, exceto
as seções tubulares circulares, para efeito de flambagem local, são
classificados em AA (duas bordas longitudinais vinculadas) e AL
(apenas uma borda longitudinal vinculada), conforme o item
5.1.2.2.1 da NBR 8800/2008.
Estruturas de Aço – Prof. Wellington Andrade 48
Resistência de cálculo de barras comprimidas
(NBR8800/2008 - item 5.3)
� Valores do fator de redução total associado à flambagem local, Q
(NBR 8800/2008 – Anexo F):
As barras submetidas à força axial de compressão, nas quais todos
os elementos componentes da seção transversal possuem relações
entre largura e espessura (relações b/t) que não superam os valores
de (b/t )lim dados na Tabela F.1 da NBR 8800/2008, têm o fator de
redução total Q igual a 1,00.
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Resistência de cálculo de barras comprimidas
Tabela F.1 da NBR 8800/2008 – Valores de (b/t)lim
Estruturas de Aço – Prof. Wellington Andrade 50
Resistência de cálculo de barras comprimidas
Tabela F.1 da NBR 8800/2008 – Valores de (b/t)lim - continuação
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Estruturas de Aço – Prof. Wellington Andrade 51
Tabela F.1 da NBR 8800/2008 – Valores de (b/t)lim - continuação
Resistência de cálculo de barras comprimidas
(NBR8800/2008 - item 5.3)
Estruturas de Aço – Prof. Wellington Andrade 52
As barras submetidas à força axial de compressão, nas quais os
elementos componentes da seção transversal possuem relações b/t
maiores que os valores de (b/t )lim dados na Tabela F.1 da NBR
8800/2008 (elementos esbeltos), têm o fator de redução total Q dado
por:
Qs ����
Fator de redução que leva em conta a flambagem local dos elementos AL, cujo
valor deve ser determinado como mostrado no item F.2 da NBR 8800/2008. Se a
seção possuir apenas elementos AL � Q = Qs.
Qa ����
Fator de redução que leva em conta a flambagem local dos elementos AA, cujo
valor deve ser determinado como mostrado no item F.3 da NBR 8800/2008. Se a
seção possuir apenas elementos AA � Q = Qa.
Resistência de cálculo de barras comprimidas
(NBR8800/2008 - item 5.3)
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Estruturas de Aço – Prof. Wellington Andrade 53
Elementos comprimidos AL (NBR 8800/2008 – item F.2). Se
existirem dois ou mais elementos AL com fatores de redução Qs
diferentes, deve-se adotar o menor destes fatores.
Elementos do Grupo 3 da Tabela F.1 da NBR 8800/2008):
Resistência de cálculo de barras comprimidas
(NBR8800/2008 - item 5.3)
Estruturas de Aço – Prof. Wellington Andrade 54
Elementos do Grupo 4 da Tabela F.1 da NBR 8800/2008):
Resistência de cálculo de barras comprimidas
(NBR8800/2008 - item 5.3)
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Estruturas de Aço – Prof. Wellington Andrade 55
Elementos do Grupo 5 da Tabela F.1 da NBR 8800/2008):
Resistência de cálculo de barras comprimidas
(NBR8800/2008 - item 5.3)
Estruturas de Aço – Prof. Wellington Andrade 56
Elementos do Grupo 6 da Tabela F.1 da NBR 8800/2008):
Resistência de cálculo de barras comprimidas
(NBR8800/2008 - item 5.3)
h ���� Altura da alma.
tw ���� Espessura da alma.
b ���� Largura do elemento (ver Tabela F.1 da NBR 8800/2008).
t ���� Espessura do elemento (ver Tabela F.1 da NBR 8800/2008).
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Elementos comprimidos AA (NBR 8800/2008 – item F.3)
O fator de redução Qa das seções transversais com elementos
comprimidos AA, cuja relação entre largura e espessura ultrapassa os
valores indicados na Tabela F.1 da NBR 8800/2008, é definido como:
Resistência de cálculo de barras comprimidas
(NBR8800/2008 - item 5.3)
Ag ���� Área bruta.
Aef ���� Área efetiva da seção transversal.
Estruturas de Aço – Prof. Wellington Andrade 58
Resistência de cálculo de barras comprimidas
(NBR8800/2008 - item 5.3)
b ���� Largura do elemento (ver Tabela F.1 da NBR 8800/2008).
t ���� Espessura do elemento (ver Tabela F.1 da NBR 8800/2008).
bef ����
Largura efetiva de um elemento comprimido AA, conforme o item F.3.2 da NBR
8800/2008.
ca ����
Coeficiente, igual a 0,38 para mesas ou almas de seções tubulares retangulares e
0,34 para todos os outros elementos.
σσσσ ���� Tensão que pode atuar no elemento analisado.
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Estruturas de Aço – Prof. Wellington Andrade 59
Resistência de cálculo de barras comprimidas
(NBR8800/2008 - item 5.3)
Com χ obtido conforme o item 5.3.3 da NBR 8800/2008, adotando Q igual a 1,0. 
OPCIONALMENTE, de FORMA CONSERVADORA, pode-se tomar σ = fy.
Estruturas de Aço – Prof. Wellington Andrade 60
Resistência de cálculo de barras comprimidas
(NBR8800/2008 - item 5.3)
Seções tubulares circulares (NBR 8800/2008 – item F.4)
Nas seções tubulares circulares, o fator de redução para flambagem
local da parede é dado por:
Não é prevista a utilização de seções tubulares circulares com D/t superior a
D ���� Diâmetro externo da seção tubular circular.
t ���� Espessura da parede.