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Introdução às Probabilidades 2011/2012 
 
 
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Introdução às Probabilidades 
 
 
1. Conceitos Básicos 
 
Definição 1.1. Uma experiência aleatória é uma experiência que pode ser repetida sob as 
mesma condições, mas cujo resultado é impossível de prever com exactidão, ou seja, existe 
uma incerteza no resultado dessa experiência. 
 
Exemplo 1.1. Uma caixa contém 10 envelopes com um prémio de 100 euros e 10 envelopes 
com um prémio de 500 euros. Consideramos as seguintes três experiências aleatórias: 
 
E1: escolhem-se três envelopes ao acaso e com reposição, e conta-se o número de envelopes 
que tem o prémio de 500 euros, de entre os três escolhidos. 
 
E2: escolhem-se três envelopes ao acaso e com reposição, e anota-se num papel o valor, em 
euros, que está em cada envelope. 
 
E3: Vai-se retirando um envelope de cada vez, com reposição, até sair o primeiro envelope 
com prémio de 500 euros. 
 
Todas estas experiências são aleatórias porque sabemos desde o início todos os resultados 
possíveis de cada experiência, mas não conseguimos dizer antecipadamente e exactamente 
quais são os resultados. Relativamente à experiência aleatória E1, por exemplo, sabemos que 
o resultado só pode ser um dos seguintes, mas não podemos dizer, antecipadamente, qual 
deles sai: 
 
 0 envelopes têm 500 euros (ou seja, nenhum) ; 1 envelope tem 500 euros ; 
 2 envelopes têm 500 euros; 3 envelopes têm 500 euros 
 
Na notação matemática dos conjuntos, este conjunto dos resultados possíveis pode ser 
representado por { 0, 1, 2, 3} 
 
Nota: Seleccionar com reposição significa que o objecto que foi escolhido é colocado novamente na 
caixa antes de se fazer a próxima tiragem (o que quer dizer que pode ser novamente escolhido). A 
amostragem sem reposição significa que o objeto não pode ser escolhido mais do que uma vez. 
 
Sugestão de exercício: Escrever, na notação de conjuntos, todos os resultados possíveis para as 
experiências E2 e E3. 
 
 
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Definição 1.2. Ao conjunto de todos os resultados possíveis de uma determinada 
experiência aleatória chama-se espaço amostral ou espaço de resultados. Cada um dos 
resultados possíveis que constitui o espaço também é chamado acontecimento elementar. 
 
O espaço de resultados é usualmente representado por  (letra grega Omega) ou por S (do 
inglês Sample space). 
 
Sempre que se repete uma experiência aleatória, ocorre um e apenas um dos 
acontecimentos elementares. Isto significa que os acontecimentos elementares são 
incompatíveis (mutuamente exclusivos) e exaustivos, respectivamente, quando um ocorre 
(acontece), nenhum dos outros pode ocorrer; o conjunto deles percorre todas as 
possibilidades de resultados da experiência. 
 
Exemplo 1.2. Considere a experiência aleatória que consiste em selecionar ao acaso um 
módulo da lista da Unidade Curricular de Matemática, e em seguida tomar uma decisão, 
também ao acaso (atirando uma moeda ao ar, por exemplo): começar a estudar essa 
matéria para o exame ou não começar, e deixar para mais tarde. Descreva o espaço de 
resultados ou universo desta experiência aleatória. 
 
Havendo na realidade uma sequência de duas experiências, cada acontecimento elementar 
do espaço de resultados irá corresponder a um par de possibilidades. 
Para simplificar usamos a seguinte notação: 
G – Geometria; F- Funções; S – Sucessões; L – Limites; C- Continuidade; D – Derivadas; P-
Probabilidades; E – Estatística Descritiva; Est – Inicia o estudo do módulo para o exame; NEst 
– Não inicia o estudo desse módulo. 
 
Um dos acontecimentos elementares é seleccionar ao acaso o módulo da matéria Derivadas 
e em seguida decidir não estudar esse módulo. Formalmente, este par é representado por 
(D, NEst). Fazendo um raciocínio análogo para as restantes possibilidades obtemos o 
conjunto de todos os acontecimentos elementares, e construímos todo o espaço de 
resultados. 
 
 = {(G, Est), (G, NEst), (F, Est), (F, NEst), (S, Est), (S, NEst), (L, Est), (L, NEst), (C, Est), (C, NEst), (D, 
Est), (D, NEst), (P, Est), (P, NEst), (E, Est), (E, NEst)} 
 
> não será difícil supor que a probabilidade de um aluno ter sucesso no exame é maior se lhe sair um par em 
que o segundo elemento é Est. 
 
Observação: O número de acontecimentos elementares de um Espaço Amostral pode ser 
finito, infinito numerável, ou infinito não numerável. 
 
Como conjunto finito podemos considerar o espaço de resultados do exemplo anterior, . 
Um conjunto infinito numerável (ou contável) é um espaço de resultados que tem 
correspondência com o conjunto dos números inteiros. Por exemplo, o conjunto dos 
números primos é infinito, mas é numerável (ou enumerável; contável) – {2, 3, 5, 7, 11, 13, 
17, 19,…}. 
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Um conjunto infinito não numerável é um conjunto que tem correspondência com um 
intervalo de números reais. Por exemplo, o tempo de vida de um transístor é um conjunto 
de possibilidades que é um infinito não numerável (recorde-se que o tempo é uma linha 
contínua de instantes, frações de instantes, etc..). O tempo de vida do transístor pode ser 
representado pelo conjunto 
S = {t  

: t  0}. Traduzindo, contém as durações t tal que t é maior ou igual que zero (em 
que o tempo t é um número real, medido por exemplo em horas). 
 
 
Definição 1.3. Um acontecimento é um subconjunto do espaço amostral  (ou S), ou seja, é 
uma coleção de resultados possíveis de uma experiência aleatória. 
O conjunto vazio, , é um acontecimento (chamado acontecimento impossível ou nulo). 
O próprio espaço amostral  é um acontecimento (o acontecimento certo). 
 
Geralmente utilizam-se letras maiúsculas para representar os acontecimentos. 
 
Exemplo 1.3 Consideremos o espaço amostra correspondente à seguinte experiência 
aleatória: Uma equipa de andebol de 5 usa habitualmente um equipamento constituído por 
uma camisola e um par de calções. Há três cores de camisolas, azul, branca e amarela, e há 
duas cores de calção, preto e cinzento prata. Suponha que em certo dia de jogo o auxiliar da 
equipa escolhe aleatoriamente a combinação camisola-calção. 
Descreva o acontecimento “ O jogador não utiliza a camisola amarela” 
 
Representamos o equipamento como um par. Intuitivamente podemos calcular o número 
total de combinações possíveis 32 = 6 equipamentos diferentes, denotados pelos pares do 
tipo (cor camisola, cor calção). 
 
O espaço amostra (mesmo que espaço amostral) pode ser descrito assim: 
 
S = {(Azul, Preto), (Azul, Cinzento), (Branca, Preto), (Branca, Cinzento), (Amarela, Preto), (Amarela, 
Cinzento)} 
 
O acontecimento que se pede é um subconjunto do espaço amostral que denotamos por A, 
é descrito assim: A = {(Azul, Preto), (Azul, Cinzento), (Branca, Preto), (Branca, Cinzento)} 
 
Exemplo 1.4 Tenha em conta o espaço amostral que representa o tempo de vida do 
transístor. Descreva o acontecimento do espaço em que o transístor tem uma duração 
superior a 300 horas. 
Podemos representar este acontecimento por B = {t  

: t > 300} ou, utilizando um 
intervalo de números reais, B = ] 300, [ 
 
 
 
 
 
 
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2. Operações com conjuntos/álgebra dos acontecimentos. 
 
União: Sendo dois conjuntos (acontecimentos) A e B a sua união representa-se por A  B, e 
significa o seguinte: tem todos os elementos que pertencem a A ou que pertencem a B (ou a 
ambos). 
De forma análoga e generalizando, se tivermos uma coleção de n acontecimentos, 
escrevemos 

n
i
in AAAAA
1
321 ...


 
 
Exemplos: Utilizando os designados diagramas de Venn 
 
 A B – União de A com B. A  B  C – União entre A, B e C. 
 
 
Para que o acontecimento União ocorra, basta que ocorra um dos acontecimentos. 
Também podem ocorrer todos em simultâneo. O acontecimento União tem todos os 
elementos de todos os acontecimentos, então se ocorre um elemento de um acontecimento 
qualquer, a União também estará a ocorrer. 
 
Na linguagem comum dizemos que a união de acontecimentos ocorre (acontece) se pelo 
menos um dos acontecimentos que a constituem ocorrer. 
 
Interseção: A interseção de dois conjuntos (acontecimentos) A e B é o conjunto de todos os 
resultados que pertencem simultaneamente a A e a B e representa-se por A  B. 
 
Para o caso geral da interseção de n acontecimentos, escreve-se 
 

n
i
in AAAAA
1
321 ...


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A B 
C 
A B 
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 A  B – Interseção entre A e B. A  B  C – Interseção de A, B e C. 
 
 
 
Se dois acontecimentos A e B são incompatíveis quer dizer que não podem ocorrer 
simultaneamente e, então, a sua interseção é vazia A  B = . 
 
 
 Incompatibilidade de acontecimentos. A intersecção é vazia. 
 
Complementar de um acontecimento: O complementar de um acontecimento A é o conjnto 
de todos os resultados que, pertencendo ao espaço amostral, não pertencem a A. 
Geralmente o complementar é denotado por Ac. 
Também se utiliza o termo acontecimento contrário, e por vezes representa-se por 
A
. 
 
Daqui facilmente se retira que a união entre A e o seu complementar Ac é igual ao universo, 
(espaço amostral). 
ASASAc \
 (lê-se S menos A, ou S exceto A). 
 
Nota: A – B é o acontecimento que contém todos os elementos que pertencem originalmente a A 
menos os resultados que são comuns com B. Então, A – B = A – (AB) 
 
Também concluímos que A e o seu complementar Ac são incompatíveis. 
 
 
 Complementar do acontecimento A. 
 
Exemplo: Considere o espaço de todos os números inteiros positivos e o acontecimento A 
que é o subconjunto de resultados em que um número seleccionado ao acaso é par. Indique 
o complementar de A. 
 
A 
A
c 
 
A B 
A B 
C 
A B 
S 
S 
S 
S 
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O complementar de A será o acontecimento “saída de um número ímpar”. Temos então: 
 
S = {1, 2, 3, 4, ……}. 
A={2, 4, 6, … }={x| x=2y, y} ; Ac={1, 3, 5, …}={x| x=2y-1, y} 
 
Inclusão: Se todos os resultados que pertencem ao acontecimento A também pertencerem 
ao acontecimento B, então diz-se que A está contido em B e escreve-se A  B(excetua-se 
aqui o caso em que A=B). 
 
Igualdade: Dois acontecimentos dizem-se iguais se contiverem exatamente os mesmos 
resultados de uma experiência aleatória e escreve-se A = B. 
 
Segue-se o resumo de alguns resultados importantes: 
 
1) A  B = B  A e A  B = B  A (comutatividade) 
 
2) A  (B  C) = (A  B)  C e A  (B  C) = (A  B)  C (associatividade). 
 
3) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) e A  (B  C) = (A  B)  (A  C) (distributividade). 
 
4) Leis de De Morgan – (A  B)c = Bc  Ac e (A  B)c = Bc  Ac 
 
Por palavras, isto quer dizer que o complementar da interseção de dois acontecimentos é 
igual à união dos seus complementares e que o complementar da união de dois 
acontecimentos é igual à interseção dos seus complementares. 
 
Sugestão de exercício: utilize os diagramas de Venn para verificar as leis de De Morgan. 
 
 
3. Probabilidade 
 
A Teoria das Probabilidades serve para formalizar matematicamente as noções intuitivas 
que nos ajudam a atribuir um grau de possibilidade, de previsibilidade, ou grau de incerteza 
acerca de fenómenos que de certa forma estão dependentes do acaso. 
 
É muito comum termos noções intuitivas e fazer afirmações do tipo “é muito provável que 
saia um exercício de probabilidades no exame presencial”; “É pouco provável encontrar 
petróleo ao longo da costa do Algarve”; “ Qual será a probabilidade do novo medicamento 
Virulax curar completamente o doente?” 
 
Atribuir uma probabilidade a um Acontecimento (na literatura também se encontra o termo 
Evento), é atribuir um grau de certeza (ou incerteza) acerca da sua ocorrência. 
 
A Teoria as probabilidades desenvolveu-se principalmente nos séculos XVII e XVIII graças aos 
trabalhos de Blaise Pascal [1623-1662] e Pierre de Fermat [1601-1665], A. de Moivre [1667-
1754] e Pierre S. Laplace [1749-1827] e Jacob Bernoulli[1654-1705]. Os desenvolvimentos 
foram motivados pelo desejo de conseguir predizer os resultados de jogos de azar (cartas, 
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etc), que eram jogos populares na sociedade nobre francesa. Mais tarde, na transição entre 
os séculos XIX e XX, Andrei N. Kolmogorov (Russia) contribuiu com os seus trabalhos, entre 
outros matemáticos, tendo dado origem à Axiomática de Kolmogorov. 
 
Vamos referir de forma breve, algumas definições de Probabilidade que foram dsenvolvidas, 
com vista a determinar esse grau de incerteza que ambicionamos aferir. 
 
Definição 3.1 Definição Clássica de Probabilidade (de Pierre Laplace) 
 
A probabilidade de ocorrer um acontecimento (evento) A, designada por P(A) é definida por: 
n
n
AP A)(
 
nA é o número de casos favoráveis ao acontecimento A e n é o número total de casos 
possíveis. 
 
Por palavras, a probabilidade do acontecimento A ocorrer é igual ao número de casos 
favoráveis a A do espaço de resultados, a dividir pelo número total de resultados possíveis. 
Isto verifica-se se a priori soubermos que todos os acontecimentos elementares têm a 
mesma probabilidade de ocorrer. 
 
Exemplo 3.1. Suponhamos que a probabilidade de uma pessoa nascer em determinado dia é 
igual para todos os dias. Calcule-se a probabilidade de escolher ao acaso uma pessoa nascida 
nos meses de janeiro ou fevereiro (de um ano bissexto), e ela festejar o seu aniversário num 
dia par desses meses. 
 
Número total de casos possíveis de nascimentos em janeiro ou fevereiro 31(janeiro) + 29 
(fevereiro) = 60 dias 
 
Número total de casos favoráveis ao acontecimento nascer em dia par de janeiro ou 
fevereiro 15 (janeiro) + 14(fevereiro) = 29. 
 
Se definirmos A – “ a pessoa nasceu num dia par de janeiro ou fevereiro”, então, 
 
60
29
)( AP
 
Adicionalmente, a probabilidade de ter nascido num dia ímpar será a probabilidade do 
acontecimento complementar 
60
31
60
2960
)( 

cAP
 
 
Exemplo 3.2. Lança-se um dado de sei faces (não viciado) uma vez, e em seguida uma 
moeda de 1 euro, e registam-se as faces voltadas para cima. Calcule as seguintes 
probabilidades: 
a) Probabilidade de sairem pintas em número par. 
b) Probabilidade de sair uma face com pelo menos 4 pintas e coroa na moeda. 
 
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Para resolver este exercício será útil escrever o espaço amostral. Os resultados elementares 
são constituídos por pares do tipo (nº pintas do dado, face da moeda (cara, coroa)) 
 
S = {( 1, Ca ), (1, Co), ( 2, Ca ), (2, Co), ( 3, Ca ), (3, Co), ( 4, Ca ), (4, Co), ( 5, Ca ), (5, Co), 
 ( 6, Ca ), (6, Co)} 
 
a) 
2
1
12
6
)( 
possíveiscasos
favoráveiscasos
AP
 
 
b) 
4
1
12
3
)( BP
 - os casos favoráveis são (4, Co), (5, Co) e (6, Co) 
 
Definição 3.2. Definição Axiomática de Probabilidade 
 
Seja E uma experiência aleatória,e S o espaço amostral associado a essa experiência. 
A cada acontecimento A pertencente ao espaço dos acontecimentos de S atribuiu-se um 
número real denotado por P(A), chamado probabilidade de A, de modo a que sejam 
verificadas as seguintes propriedades. 
 
Axioma I: Para qualquer acontecimento A pertencente ao espaço amostral S, a probabilidade 
de ocorrer esse acontecimento é sempre um valor não negativo. 
 
 P(A)  0 para todo o A  S. 
 
Axioma II: A probabilidade do universo, o acontecimento certo, é igual a 1 
 P(S) = 1 
Axioma III: Se dois acontecimentos A e B são disjuntos, i.e., AB=, então 
 
 
)()()( BPAPBAP 
 
 
 
Resultados suplementares e observações: 
 
 Probabilidade do complementar de um conjunto A pertencente ao universo S. 
 
P(Ac) = P(S – A) = P(S) – P(A) = 1 – P(A) 
 
 P(A)  1 
 
Pela própria definição de probabilidade, não há probabilidades negativas. Ou um 
acontecimento não ocorre (e tem probabilidade zero de ocorrência), ou o acontecimento 
pode ocorrer, e tem uma probabilidade positiva, que pode chegar a 1! 
 
Se o aluno chega a um resultado que dá uma probabilidade negativa, algo correu mal nos 
cálculos! 
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Se o aluno obtém uma probabilidade de um acontecimento, que é um valor superior a 1, 
algo correu mal! 
 
Por vezes, na linguagem do dia a dia, as pessoas falam em percentagens para indicar 
probabilidades. Por ex. “tenho uma probabilidade de 80% de ganhar o jogo de xadrez”. 
Na verdade, a probabilidade é 
8,0
100
80

. 
 
 P() = 0 
 
 Recorde-se que acontecimentos incompatíveis, ou mutuamente exclusivos, são 
acontecimentos que não podem ocorrer simultaneamente, ou seja AB = , a 
interseção é vazia. 
 
 Se o acontecimento A está contido em B então P(A)  P(B) 
 
Exemplo 3.3 Considere as seguintes figuras, sobre as quais os valores representam 
probabilidades. Calcule, para ambos os casos, P(AB). 
 
 a) b) Sabe-se que P(A)=0,26 e P(B) = 0,45 
 
 
a) A e B pertencem ao mesmo universo e são incompatíveis. A sua união tem a seguinte 
probabilidade: 
 
P(AB) = 0,26 + 0,45 = 0,71 
 
b) Da figura tiramos que a probabilidade de A e B ocorrerem simultaneamente 0,2, logo 
 
 
51,02,045,026,0)()()()(  BAPBPAPBAP
 
 
Não é difícil perceber porque é necessário subtrair a probabilidade da interseção. De facto, 
se apenas somássemos P(A) com P(B), estaríamos a incluir duas vezes o “bocadinho” que diz 
respeito à interseção. 
 
Exemplo 3.4 De 100 pessoas que se candidataram ao emprego de programador de 
computadores em determinada multinacional durante o ano passado, 40 possuíam 
experiência anterior de mais de 5 anos (W) e 30 possuíam um certificado profissional (C) . 
 B 
A 
A B 
 0,2 
A B 
0,45 0,26 
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Vinte dos candidatos possuíam ambas, experiência anterior e certificado profissional, e 
foram incluídos nas contagens dos dois grupos (W e C). 
 
a) Construa um diagrama de Venn para descrever graficamente estes acontecimentos. 
b) Qual a probabilidade de que um candidato aleatoriamente escolhido tenha experiência 
ou certificado (ou ambos)? 
c) Qual a probabilidade de que um candidato aleatoriamente escolhido tenha experiência 
ou certificado, mas não ambos? 
 
Resolução: 
a) A situação representa-se por 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) P(W  C ) = P(W) + P(C ) – P(W  C) = 0,40 + 0,30 – 0,20 = 0,50 
(Nota: Os acontecimentos não são incompatíveis, ou mutuamente exclusivos.) 
 
c) P(W ou C, mas não ambos ) = P( (W C) – (W  C)) = 0,50 - 0,20 = 0,30 
 
 
4. Probabilidade Condicional e Independência 
 
Probabilidade Condicional 
 
A noção de condicionar a ocorrência de um acontecimento à existência ou não de um outro 
acontecimento também é intuitiva. 
 
Quantas vezes pensamos “ Hum…. Se amanhã não chover, é provável que vá passear à Praia 
Grande (Sintra)”, ou “Se amanhã chover, é pouco provável que eu saia de casa…”. 
É comum, portanto, atribuir um grau de possibilidade de ocorrência a um acontecimento, 
consoante ocorra ou não um outro acontecimento (que passa a ser o acontecimento 
condicionante). 
 
Outras perguntas possíveis – Qual é a probabilidade de eu passar no exame, sabendo que 
não consigo estudar dois dos módulos? 
Provavelmente, a probabilidade de será diferente se estudar efetivamente todos os módulos 
da disciplina. 
 
Transpondo agora para a linguagem matemática, e considerando a situação mais elementar 
suponhamos o seguinte: 
WC C W 
 
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Realiza-se uma experiência aleatória E. A e B são dois acontecimentos pertencentes ao 
espaço dos acontecimentos que se podem definir no espaço amostral S. Suponhamos agora 
que se realiza a experiência E e que o acontecimento B ocorre. 
 
 
 Definição 4.1 
A expressão P(A|B) denota a probabilidade de ocorrência do acontecimento A, dado que B 
ocorreu (ou “se” B ocorreu), define-se por 
 
)(
)(
)|(
BP
BAP
BAP


 se P(B) >0. 
 
A é o acontecimento condicionado, B é o acontecimento condicionante e pode ser 
considerado como sendo um novo espaço de resultados (uma restrição do original), no qual 
A pode ocorrer. 
 
Exemplo 4.1: A probabilidade de um novo aluno da Universidade Aberta se inscrever em TIC 
(Tecnologias da Informação e Comunicação) é 0.40 (40%). A probabilidade de se inscrever 
em ambas as u.c’s de Matemática e de TIC é de 0.25 (25%). Qual é a probabilidade de um 
novo aluno que tenha escolhido TIC, também escolher a u.c. de Matemática? 
 
Comecemos por definir os acontecimentos A e B. 
 
A - “ o novo aluno inscreve-se em TIC” 
B - “ o novo aluno inscreve-se em Matemática” 
 
O que é que sabemos do enunciado? 
 
Sabemos que a probabilidade de um qualquer novo aluno se inscrever em TIC é 0.4  P(A) = 
0.4; 
 
Sabemos que a probabilidade de um qualquer novo aluno se inscrever em TIC e em 
Matemática, (verificar as duas ao mesmo tempo), é 0.25  P(AB) = 0.25. 
 
O que é que nos pedem? 
 
Pede-se a probabilidade de um novo aluno escolher Matemática, sabendo que já escolheu 
TIC, ou seja, qual o valor de P(B|A)=? (Probabilidade de B, sabendo A). 
 
O acontecimento condicionante (que ocorreu) é a inscrição em TIC. Então, estamos nas 
condições de calcular a probabilidade 
 
625.0
4.0
25.0
)(
)(
)|( 


AP
BAP
ABP
 
 
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Nota importante: É muito importante os alunos identificarem corretamente os 
acontecimentos que estão em causa no enunciado de cada exercício. Por vezes confundem o 
acontecimento interseção (acontecimento conjunto), AB, o qual significa ocorrência de 
ambos, A e B, simultaneamente(conjuntamente), com o acontecimento condicional, A|B, 
que significa ocorrência de A, dado que B ocorre (B é um conhecimento a priori). 
 
É a diferença entre perguntar qual é a probabilidade de amanhã acontecer que 100 
alunostentem colocar as soluções dos exercícios no fórum e a plataforma Moodle ter um 
crash (é tudo desconhecido, questionável) 
e perguntar 
qual é a probabilidade de amanhã haver um crash na plataforma Moodle, sabendo que 100 
alunos estão a colocar as soluções no fórum. 
 
Exemplo 4.2. Na Europa, 88% das casas particulares têm televisão. 51% das casas 
particulares têm televisão e aparelho de DVD. Qual é a probabilidade de, tendo escolhido ao 
acaso umadas casas que têm televisão, ela não ter um aparelho de DVD? 
 
Comecemos por definir os acontecimentos que nos podem interessar: 
 
T – “ Casa particular com televisão” Tc -“ Casa particular sem televisão” 
D – “Casa particular com DVD” Dc – “Casa particular sem DVD” 
 
O que é que sabemos, do enunciado? 
Sabemos que P(T) = 0.88 , e que P(TD) = 0.51 
 
O que pretendemos saber? 
Queremos saber a probabilidade de uma casa escolhida de entre as que têm televisão 
(acontecimento condicionante), não ter um aparelho de DVD  P(Dc|T). 
 
Com os dados do enunciado facilmente calculamos a probabilidade de a casa ter DVD, 
sabendo que tem televisão  P(D|T). O que se pretende no final é o complementar deste 
acontecimento. 
 
58.0
88
51
88.0
51.0
)(
)(
)|( 


TP
DTP
TDP
 . Então, a probabilidade de Não ter DVD, sabendo 
que tem televisão é a probabilidade do acontecimento contrário deste, isto é, 
 
42.058.01)|(1)|(  TDPTDP c
 
 
 
Exemplo 4.3 Retiram-se duas cartas de um baralho de cartas comum, com 52 cartas. 
a) Qual a probabilidade de que saia uma carta de paus e em seguida uma de ouros, se forem 
extraídas sem reposição? 
b) Se a primeira carta de paus for reposta no baralho, qual a probabilidade de que a segunda 
seja também de paus? 
 
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a) Sejam os acontecimentos: 
 A – A primeira carta retirada é de paus 
 B – A segunda carta extraída é de ouros 
 
A primeira carta de paus tem probabilidade de sair igual a P(A) = 13/ 52 = 1/ 4 
Sabendo a priori que a primeira carta é de paus, a probabilidade da segunda carta ser de 
ouros é P(BA) = 13/ 51 (estavam lá ainda 13 cartas de ouros, mas menos uma carta no 
baralho). 
Os acontecimentos não são independentes, então 
P(ocorrer A e ocorrer B) = P(AB)= P(A)  P(BA) = 1/ 4 13 /51 = 13/204 
 
b) Definindo agora o segundo acontecimento, B – A segunda carta extraída é de paus 
A primeira carta de paus tem P(A) = 13/ 52 = 1/ 4 
A segunda carta de paus tem P(B) = 13/ 52 = 1/ 4 
Os acontecimentos são independentes, então, 
 P(A B) = P(A)P(B) = 1/ 41 /4 = 1/ 16 
 
Os diagramas em árvore de probabilidades também podem ser úteis no cálculo das 
probabilidades: 
 
 1/41/4 = 1/16 
 
 A 
 (a segunda carta não é de paus) 
 
 Ac 
 1ª carta não é de 
 paus (paramos aqui, não se faz a 2ª tiragem) 
 
 
Resultados e teoremas suplementares 
 
 Tem-se sempre 
)|(1)|( BAPBAP c 
 (como vimos atrás) 
 
 Mas, no geral 
)|(1)|( BAPBAP c 
 
 
 A probabilidade da união de dois acontecimentos condicionada a um terceiro resulta da 
adaptação da expressão geral 
)()()()( BAPBPAPBAP 
 
 
Temos assim, 
 
)|()|()|()|( CBAPCBPCAPCBAP 
 se P(C) > 0 
 
Observando a figura e pensando na probabilidade como a área relativa, é fácil compreender 
que a probabilidade da união entre A e B ocorrer terá um valor se estivermos condicionados 
3/4 
1/4 
B 1/4 
3/4 
Introdução às Probabilidades 2011/2012 
 
 
14/24 
à ocorrência de C, e terá um valor diferente se não estivermos condicionados, i.e. se 
considerarmos todo o espaço de resultados S. ( a não ser que P(C) = 1) 
 
 S 
 
 
 Se AB= então P(A|B)=0 (faz sentido, pois, P(AB)=0. Se os acontecimentos nunca 
ocorrem simultaneamente, a probabilidade de A ocorrer sabendo que B ocorre tem de 
ser nula). 
 
 Se BA, então P(A|B)=1. 
 
Exemplo 4.4 Num levantamento local, uma Junta de freguesia do país elaborou um relatório 
sobre a situação laboral da sua população em idade ativa, segundo o género. Os resultados 
foram os seguintes: 
 
 Nº de empregados Nº desempregados Total 
Mulheres 1025 120 1145 
Homens 1340 135 1475 
Total 2365 255 2620 
 
a) Selecciona-se ao acaso de uma lista, um habitante desta freguesia 
 i. Qual a probabilidade de ser um homem? 
 ii. Qual a probabilidade de estar desempregado? 
 iii. Qual a probabilidade de ser uma mulher desempregada? 
 
b) Seleciona-se ao acaso um dos habitantes e verifica-se que é um homem. Qual a 
probabilidade de ter um emprego? 
c) Seleciona-se ao acaso um habitante e verifica-se que está desempregado. Qual a 
probabilidade de ser uma mulher? 
 
Antes de começarmos com cálculos, vemos definir os acontecimentos importantes no 
âmbito do enunciado: 
 
M – “ o habitante selecionado é uma mulher” 
H – “ o habitante selecionado é um homem” (o qual corresponde a Mc) 
 
D – “ o habitante selecionado está desempregado” , consequentemente, o seu 
complementar é 
 
A B 
C 
 C
c
 
Introdução às Probabilidades 2011/2012 
 
 
15/24 
Dc – “ o habitante selecionado está empregado” 
 
a) Supomos que a seleção ao acaso dos indivíduos é equiprovável, então 
 
i. Calcula-se a probabilidade de se escolher um Homem (seja ele empregado ou 
desempregado), de entre todos os habitantes em idade ativa. 
563.0
2620
1475
)( HP
 
 
ii. Calcula-se a probabilidade de se escolher um habitante desempregado, de entre todos os 
habitantes em idade ativa. 
097.0
2620
255
)( DP
 
 
ii. Calcula-se a probabilidade de se escolher um habitante, de entre todos os habitantes, que 
verifique simultaneamente duas condições: é mulher e está desempregada. Temos então 
uma probabilidade conjunta (interseção). 
097.0
2620
120
)( DMP
 
 
b) Calcula-se a probabilidade de tendo escolhido um homem, ele estar empregado. 
 
Trata-se de um acontecimento condicional. Sabe-se que é homem (estamos restringidos ao 
subconjunto dos homens), e queremos calcular a probabilidade de ter emprego. 
 
908.0
1475
1340
2620
1475
2620
1340
possíveis casos os todos
 a favoraveis casos nº
possíveis casos os todos
 a favoraveis casos nº
)(
)(
)|( 




H
HD
HP
HDP
HDP
c
c
c 
 
c) Estamos novamente na presença de uma probabilidade condicional. 
 
Tem-se um conhecimento a priori de que se seleccionou um habitante de entre os 
desempregados, e pretende-se saber a probabilidade de ser uma mulher. Fazendo um 
raciocínio análogo ao anterior, temos: 
 
471.0
255
120
)(
)(
)|( 


DP
DMP
DMP
 
 
 
Introdução às Probabilidades 2011/2012 
 
 
16/24 
Independência 
 
Dois acontecimentos são independentes quando a ocorrência de um não influencia a 
ocorrência do outro. Eles ocorrem, independentemente um do outro. 
 
 Definição 4.2 
Considerem-se A e B dois acontecimentos. Dizemos que A e B são independentes se 
 
)()()( BPAPBAP 
 
 
A probabilidade da interseção é igual ao produto das probabilidades individuais. 
 
 
Observações: 
 
 Não confundir Independência com Incompatibilidade! 
 
Dois acontecimentos independentes podem ser ou não incompatíveis. 
 
Recorde-se que dois acontecimentos serem incompatíveis implica AB= 
0)( BAP
, ou seja 
não podem ocorrer simultaneamente. 
 
Se dois acontecimentos A e B forem incompatíveis e também independentes, então P(A), ou 
P(B) (ou ambas) são iguais a zero. 
 
Teoremas e resultados suplementares 
 
 Se dois acontecimentos A e B são tais que 
0)()(  BPAP
, eles são independentes se 
só se 
)()|( APBAP 
 ou 
)()|( BPABP 
 
 
Isto quer dizer que a probabilidade do acontecimento mantém-se, estando condicionado ou 
não por outro (ele ocorre com a mesma probabilidade que tinha sobre universo, não sendo 
influenciado pelo outro acontecimento) 
 
 Se dois acontecimentos A e B são independentes,então Ac e B também são 
independentes. 
 
Na linguagem matemática, se 
)()()( BPAPBAP 
, então também temos 
)()()( BPAPBAP cc 
 
 
Exemplo 4.5 O mesmo tipo de tratamento para um problema dermatológico é aplicado a 
dois doentes, o Francisco e o José. A probabilidade do Francisco e o José se manterem de 
boa saúde durante os próximos cinco anos é 
4
1
 e 
5
1
 respectivamente. Calcule a 
probabilidade de, ao fim de uma ano: 
a) Ambos os doentes sujeitos ao tratamento estarem de boa saúde. 
Introdução às Probabilidades 2011/2012 
 
 
17/24 
b) Apenas um dos dois doentes estar de boa saúde. 
Resolução: 
a) Nesta alínea pede-se a probabilidade de ambos os doentes estarem de boa saúde daqui 
a um ano. Em linguagem matemática isto traduz-se na probabilidade da intersecção de 
dois acontecimentos. Definem-se então os acontecimentos 
F – O Francisco está de boa saúde daqui a um ano 
J – O José está de boa saúde daqui a um ano. 
 
Assume-se que estado de saúde de um indivíduo não influencia o estado de saúde do outro 
indivíduo. Assim, os acontecimentos podem ser considerados independentes, e a 
probabilidade conjunta é, 
     
20
1
5
1
4
1
 JPFPJFP
ciaindependênpor
. 
b) Nesta alínea temos duas possibilidades: O Francisco vai estar de boa saúde e o José não 
vai estar, ou O Francisco não vai estar de boa saúde e o José vai estar. A probabilidade 
total será a soma destas duas possibilidades. 
           
5
1
4
1
1
5
1
1
4
1












 JPFPJPFPJFPJFP cc
arescomplementnos
ciaindependênpor
cc
 
Exemplo 4.6 Uma rede tem quatro terminais e quatro ligações, conforme se ilustra na 
figura. Então, há dois caminhos que ligam (conectam) quaisquer dois pares de terminais. 
Além disso, um terminal que transmite informação a outro, envia a informação nas duas 
direções, de modo independente. A transmissão é um sucesso se a informação for recebida 
por um dos caminhos (ou por ambos). Finalmente, assume-se que as ligações podem falhar, 
mas de forma independente umas das outras, e cada uma com probabilidade 0.1. 
Qual é a probabilidade da informação transmitida do terminal A para o terminal B ser bem 
recebida? 
 
 
Definimos os acontecimentos 
 
F – A transmissão é um sucesso (com origem A e destino B); 
 
FAB – A informação transmitida na direção de AB é bem recebida; 
FACDB – A informação transmitida na direção de ACDB é bem recebida. 
 
A transmissão é um sucesso se pelo menos um (um, no mínimo) dos caminhos funcionar, ou 
seja, 
A B 
C D 
Introdução às Probabilidades 2011/2012 
 
 
18/24 
se a informação for recebida através caminho AB, ou, 
se for recebida pelo caminho ACDB, ou 
se chegar por ambos (pelas duas vias simultaneamente). 
 
Trata-se portanto, da probabilidade da união dos acontecimentos FAB e FACDB
 
 
Por definição de probabilidade da união temos 
 
       ACDBABACDBABACDBAB FFPFPFPFFPFP )(
 
 
Agora, a probabilidade de a informação ser bem recebida através do caminho AB é a 
probabilidade a ligação não falhar P(FAB)= l – 0.1= 0.9. 
 
A probabilidade da informação ser bem recebida através do caminho ACDB é a 
probabilidade de não falhar nenhuma das 3 ligações (FACFCDFDB). Como as ligações são 
independentes é fácil de calcular. 
P(FACDB)= 0.90.90.9=0.9
3. 
 
  49.0 ACDBAB FFP
 significa funcionarem os dois caminho alternativos simultaneamente, 
ou seja, todas as 4 ligações! 
 
Sendo todas as ligações independentes temos, no final 
 
 
9729.09.09.09.0)( 43 FP
 
 
Regra da multiplicação e Probabilidade Condicional 
 
A probabilidade conjunta dos acontecimentos A e B é igual a 
 
)()|()( BPBAPBAP 
 se P(B) > 0 
 
Da mesma maneira se pode escrever 
 
)()|()( APABPBAP 
 se P(A) >0. 
 
Estes resultados saem diretamente da definição de probabilidade condicional, 
)(
)(
)|(
BP
BAP
BAP


. A segunda igualdade obtém-se quando o acontecimento condicional é 
B|A (qual a probabilidade de B ocorrer, se A ocorreu) 
 
Exemplo 4.7 Numa escola secundária 32% dos rapazes jogam futebol. 18% dos rapazes que 
jogam futebol também praticam ciclismo ao fim de semana. Seleccionado um aluno rapaz ao 
acaso, qual é a probabilidade de fazer ciclismo, sabendo que ele pertence ao grupo dos que 
jogam futebol todas as semanas? 
 
Definindo os acontecimentos, temos, 
Introdução às Probabilidades 2011/2012 
 
 
19/24 
 
F – Aluno que joga futebol todas as semanas 
C – Aluno que pratica ciclismo ao fim de semana. 
 
Sabemos que P(F)=0.32 e que P(C|F) = 0.18. (18% dentro dos que jogam futebol, ou seja, F 
é o acontecimento condicionante) 
 
Pede-se a probabilidade do aluno escolhido praticar as duas atividades físicas. Partindo de 
)(
)(
)|(
BP
BAP
BAP


 e sendo F o acontecimento que se sabe (portanto, o B), temos 
 
 
058.018.032.0)()|()(  FPFCPCFP
 
 
 
 
Probabilidades Totais e Teorema de Bayes 
 
Comecemos por ver o conceito de partição de um Espaço amostral. 
Uma sequência de acontecimentos B1, B2, …., Bk, e uma partição do Espaço amostral S, se 
 
- sua união for igual ao espaço amostral S; 
- Se os acontecimentos Bk forem todos disjuntos dois a dois 
 
Na figura seguinte apresenta-se um exemplo de uma partição do espaço de resultados em 4 
acontecimentos incompatíveis, B1, B2, B3 e B4. O Acontecimento A poderá terá diferentes 
probabilidades consoante esteja a ocorrer condicionado a B1 ou a B2, etc.. 
 
 
 
 S 
 
 
 
Da figura anterior, considerando a partição do universo em 4 elementos, podemos verificar 
que a probabilidade de ocorrer o acontecimento A, pode ser dada por 
 
)()()()()( 4321 BAPBAPBAPBAPAP 
 
 
B1 
A 
 B2 
 B4 
AB1 AB2 
AB3 
AB4 
 B3 
Introdução às Probabilidades 2011/2012 
 
 
20/24 
A probabilidade de A é calculada tendo em atenção todas as situações possíveis a sua 
ocorrência, quando condicionada aos acontecimentos da partição. 
 
A fórmula da Probabilidade total é obtida usando a regra da multiplicação vista 
anteriormente. 
 
 
)()()()()()()()|()( 44332211 BPBAPBPBAPBPBAPBPBAPAP 
 
 
A pode ocorrer se B1 ocorrer, se B2, ocorrer, etc. , A probabilidade total de A é a soma de 
todas as probabilidades condicionadas, ponderadas pelos pesos de cada um dos conjuntos Bi 
em que i=1,..4 (i varia de 1 até 4) 
 
Teorema da probabilidade total 
Se os acontecimentos B1, B2,…, Bk constituem uma partição do espaço amostral S, então, 
para qualquer acontecimento A, temos 
)()|()()(
11
k
k
i
k
k
i
k BPBAPBAPAP 


 
 
(somatório de k parcelas, correspondentes ao número de conjuntos da partição) 
 
Exemplo 4.8 A Vanessa costuma fazer as compras de alimentação em 5 locais diferentes: no 
minimercado da Mónica, na bancada de peixe que o Vitor tem no mercado municipal local, 
no supermercado onde trabalha a Maria, no talho do Manuel e na frutaria do Alberto. 
De cada vez que sai às compras, a Vanessa vai apenas a um local, e suas saídas distribuem-se 
em cada mês da seguinte maneira: 25% das vezes vai ao minimercado, 10% das vezes vai ao 
mercado municipal comprar peixe, 40% vai ao supermercado, 15% vai ao talho e 10% das 
vezes vai à frutaria. 
Nem sempre a Vanessa fica satisfeita com as suas compras, ou porque se acha enganada nos 
preços, ou pela má qualidade dos produtos que adquiriu. 
A sua insatisfação costuma ser a seguinte: fica insatisfeita 6% das vezesque vai ao 
minimercado, 5% das vezes que faz compras no talho ou no mercado do peixe; fica 
insatisfeita 10% das vezes que vai ao supermercado e 7% das vezes que vai à frutaria. 
Qual é a probabilidade da Vanessa ficar insatisfeita com as compras num dia em que saia de 
casa para esse efeito? 
 
Resolução: O universo das compras da Vanessa é uma partição constituída pelos cinco locais 
de comércio alimentar. Definimos assim os acontecimentos: 
 
B1 – Faz compras no minimercado; B2 – Faz compras no mercado do peixe; 
 
B3 – Faz compras no supermercado; B4 – Faz compras no talho; B5 – Faz compras na frutaria; 
 
Temos ainda o acontecimento de interesse principal, o qual pode ocorrer em qualquer uma 
das situações anteriores. 
 
I – A Vanessa fica insatisfeita com as compras que fez. 
Introdução às Probabilidades 2011/2012 
 
 
21/24 
 
As probabilidades de sair de casa para fazer compras em cada um dos locais são, 
respetivamente, 
 
25.0)( 1 BP
 
10.0)( 2 BP
 
40.0)( 3 BP
 
15.0)( 4 BP
 
10.0)( 2 BP
 
 
Nota: a soma destas probabilidades tem de ser igual a 1!!, pois abarcam todo o universo, e 
não há interseção entre os acontecimentos (assume-se que, quando sai às compras, a 
Vanessa vai a um, e só um, dos locais). 
 
São dadas as probabilidades de ficar insatisfeita em cada um dos locais. 
Estas probabilidades são condicionadas (não são conjuntas, ou seja, não são um A e B), 
porque nos é dada a probabilidade da Vanessa ficar insatisfeita se tiver comprado no 
minimercado, se foi ao talho, etc.. 
Temos então: 
 
 
06.0)|( 1 BIP
 
05.0)|( 2 BIP
 
10.0)|( 3 BIP
 
05.0)|( 4 BIP
 
07.0)|( 5 BIP
 
 
Qual é a probabilidade total da Vanessa sair um dia casa para fazer as suas comprar e ficar 
insatisfeita com as mesmas? 
A probabilidade total deve contemplar todas as possibilidades, uma vez que não sabemos 
onde ela se vai dirigir. 
A probabilidade de ficar insatisfeita das compras é igual a uma soma: 
 
Probabilidade de ficar insatisfeita se for ao minimercado  a probabilidade de ir ao 
minimercado + Probabilidade de ficar insatisfeita se for ao mercado do peixe  a 
probabilidade de ir ao mercado do peixe + ……. (etc..) 
 
)()|()()|()()|()()|()()|()( 5544332211 BPBIPBPBIPBPBIPBPBIPBPBIPIP 
 
075.01.007.015.005.04.01.01.005.025.006.0)( IP
 
A probabilidade da Vanessa sair um dia às compras chegar a casa e ficar insatisfeita é 0.075 
(7.5%) 
 
Teorema de Bayes: Se dois acontecimentos A e B são tais que 
0)()(  BPAP
 então 
 
)(
)()|(
)|(
BP
BPBAP
ABP kkk


 
onde P(B) é calculada pela fórmula da probabilidade total 
 
Esta também é chamada fórmula das probabilidades inversas, na qual a probabilidade 
condicional P(B|A) é relacionada com a sua inversa P(A|B). 
 
 
 
 
Introdução às Probabilidades 2011/2012 
 
 
22/24 
Exemplo 4.9 (continuação do exemplo 4.8) 
 
Tomando o exemplo anterior, suponha que a Vanessa saiu um dia às compras, regressou a 
casa, e ficou insatisfeita com os produtos que adquiriu depois de observar melhor os 
conteúdos. Qual é a probabilidade de que nesse dia a Vanessa tenha feito compras na 
frutaria do Alberto? 
 
O que temos aqui é uma situação nova. O que sabemos é que a Vanessa ficou insatisfeita 
(acontecimento condicionante), e queremos saber a probabilidade de ter feito as compras 
na frutaria nesse dia. 
 
Queremos saber P(B5|I) =? (qual “o grau de possibilidade” de ter comprado na frutaria, 
sabendo que ficou insatisfeita. É uma probabilidade inversa de outra que era conhecida no 
exemplo anterior P(I|B5) 
 
Esta probabilidade é facilmente calculada se utilizarmos a fórmula de Bayes e consultando os 
valores no exemplo anterior. 
No fundo queremos saber a possibilidade da Vanessa ter voltado insatisfeita com uma 
alternativa, de entre as 5 alternativas de voltar insetisfeita. 
 
 
093.0
075.0
1.007.0
)(
)()|(
)|( 555 




IP
BPBIP
IBP
 
 
 
Introdução às Probabilidades 2011/2012 
 
 
23/24 
 
Breves Notas Sobre Métodos de Contagem 
 
Dada a grande utilidade dos métodos de contagem para o cálculo de Probabilidades e a 
frequente falta de bases dos estudantes nesta matéria, apresenta-se um pequeno resumo 
dos conceitos mais importantes e utilizados nesta unidade curricular. 
 
Princípio da Multiplicação 
Quando é necessário realizar k escolhas sucessivas e para cada uma das escolhas existem ni 
(i=1…k) alternativas, o número total de maneiras diferentes de realizar essas escolhas é 
n1  n2  … nk 
 
Exemplo: Dispondo de 2 sopas diferentes, 3 pratos principais e 4 alternativas para a 
sobremesa, é possível fazer 234 = 24 refeições diferentes. 
 
Permutações Simples 
Chamam-se permutações de n elementos a todas as sequências diferentes que é possível 
obter com os n elementos. 
Pn = n! 
 
Em que fatorial de n é dado por n! = 12…(n-2) (n-1) (n-3) n. 
 
Por convenção, estabeleceu-se que o fatorial de zero é igual a 1 => 0! = 1. 
 
Exemplo: fatorial de 6 => 6! = 123456=720. 
Todas as calculadoras científicas têm uma tecla com uma função que calcula o factorial de 
um número inteiro, geralmente assinalada por x! ou por FAC. 
 
Arranjos sem repetição (de elementos) 
Dados n elementos quaisquer, chama-se arranjos sem repetição de n elementos p a p a 
todas as sequências que é possível obter com p elementos escolhidos arbitrariamente entre 
os n que são dados. 
)!(
!
pn
n
Ap
n


 
 
Exemplo: De quantas maneiras podemos sentar a Maria, o José e a Teresa num banco 
corrido de quatro lugares? 
 
Há quatro lugares disponíveis, n=4, para sentar 3 pessoas, p=3. A Maria ficar sentada numa 
ponta não é o mesmo que ficar sentada nos lugares centrais. Logo, neste caso interessa a 
ordem porque estão sentados, pelo que se calcula através de arranjos. 
 
Introdução às Probabilidades 2011/2012 
 
 
24/24 
24
1
234
!1
!4
)!34(
!4
3
4 



A
 
 
nota: é comum encontrar o termo permutações de n elementos em grupos de 4 no lugar do 
termo Arranjos. 
Numa máquina calculadora geralmente as permutações deste tipo (arranjos) estão 
assinaladas numa tecla com nPr. 
 
Combinações sem repetição (de elementos) 
 
A diferença entre as combinações sem repetição e os arranjos sem repetição é que nas 
combinações a ordem pela qual os elementos aparecem não interessa (por exemplo, ter as 
três sequências 1, 8, 7 ; 8, 7, 1 e 7, 8, 1 correspondem a arranjos diferentes mas dizem 
respeito à mesma combinação da algarismos, logo, trata-se de uma combinação e três 
arranjos). 
 
As simbologias 





 n
p
 e 
p
nC
, representam as combinações de n elementos, organizados em 
subconjuntos com p elementos, por outras palavras, é igual ao número de subconjuntos, 
com p elementos, que se podem extrair a partir de um conjunto com n elementos, não 
interessando a ordem de extracção. A fórmula é a seguinte: 
)!(!
!
pnp
n
C p
n
n
p 






 
 
Exemplo: Quantas equipas com 3 representantes podemos formar a partir de 10 alunos da 
unidade curricular de Análise Estatística? 
 
Há três posições, para 10 alunos disponíveis e, neste caso, escolher ao acaso e sair o Manuel, 
a Maria e o Alexandre, é exatamente a mesma coisa se escolhermos ao acaso e sair a equipa 
Maria, Alexandre, Manuel. Assim, o número total de equipas possíveis é calculado pelas 
combinações de 10 elementos, em grupos de 3. 
 








123
8910
!7!3
!10
)!310(!3
!10
3
10 ndosimplificaC
120 
 
Numa calculadora geralmente as combinações estão assinaladas numa teclacom nCr, sendo 
necessário frequentemente recorrer à 2ª função, a tecla SHIFT (dependendo da máquina) 
 
Ligação Web que pode ser útil neste tema 
 
http://www.alea.pt/