CALCULO DIF E ING 1

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Cálculo Diferencial e Integral
 Regina Maria Sigolo Bernardinelli 
Sandra Regina Leme Forster 
Regina Maria Sigolo Bernardinelli 
e 
Sandra Regina Leme Forster 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
Ensino a Distância — E a D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2
SUMÁRIO 
 
 INTRODUÇÃO..................................................................................... 5 
 
1 CONJUNTOS NUMÉRICOS............................................................ 6 
1.1 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS............................................. 6 
1.2 CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS............................................... 7 
1.2.1 Subconjuntos de Z................................................................................. 8 
1.2.1.1 Exercícios............................................................................................... 4 
1.3 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS........................................... 9 
1.3.1 Exercícios……………………………………………………………………. 10 
1.4 NÚMEROS IRRACIONAIS...................................................................... 11 
1.4.1 Exercícios............................................................................................... 11 
1.5 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS.................................................... 11 
1.5.1 Subconjuntos de R - Intervalos........................................................... 12 
1.5.1.1 Exercícios............................................................................................... 15 
1.6 Desigualdade.......................................................................................... 15 
 
1.7 Aplicações............................................................................................. 16 
 
1.7.1 Exemplo............................................................................................... 16 
1.8 Exercícios do capítulo........................................................................... 16 
 
 
2 FUNÇÃO............................................................................................... 19
2.1 PAR ORDENADO................................................................................... 19 
2.2 PRODUTO CARTESIANO...................................................................... 20 
2.2.1 Exercícios............................................................................................... 21 
2.3 RELAÇÃO............................................................................................... 21 
2.4 FUNÇÃO................................................................................................. 25 
2.4.1 Definição................................................................................................. 25 
2.4.2 Observações.......................................................................................... 25 
2.4.3. Notação................................................................................................... 26 
2.4.4 Exercícios............................................................................................... 29 
2.4.5 Funções do 1º Grau............................................................................... 29 
2.4.5.1 Função Afim.......................................................................................... 29 
2.4.5.1.1 Exercícios.............................................................................................. 31 
2.4.5.1.2 Exercícios............................................................................................... 35 
2.4.5.2 Função Linear........................................................................................ 35 
2.4.5.2.1 Exemplo.................................................................................................. 36 
2.4.5.3 Função Identidade................................................................................. 36 
2.4.5.3.1 Exercício................................................................................................. 37 
2.4.5.4 Função Constante.................................................................................. 38 
2.4.5.4.1 Exercício................................................................................................. 38 
2.4.5.5 Declividade............................................................................................. 39 
 3
 
2.4.6 Função Quadrática................................................................................ 41 
2.4.6.1 Exercícios............................................................................................... 43 
2.4.6.2 Exercícios............................................................................................... 48 
2.4.7 Função Exponencial.............................................................................. 48 
2.4.8 Função Logarítmica............................................................................... 51 
2.4.9 Função Modular..................................................................................... 57 
2.5 APLICAÇÕES DAS FUNÇÕES.............................................................. 63 
2.5.1 Aplicação da função polinomial do 1º grau........................................ 63 
2.5.2 Aplicação da função polinomial do 2º grau........................................ 66 
2.5.3 Aplicação da função exponencial........................................................ 70 
2.5.4 Aplicação da função logarítmica.......................................................... 71 
2.6 EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO................................................................. 72 
 
3 INTRODUÇÃO AO LIMITE 82 
3.1 INTRODUÇÃO.......................................................................................... 82 
3.2 SÍMBOLO MATEMÁTICO PARA LIMITE DE FUNÇÃO.......................... 83
3.3 O CONCEITO DE LIMITE......................................................................... 84 
3.3.1 Exercícios.............................................................................................. 86 
3.4 PROPRIEDADES DOS LIMITES............................................................. 88 
 
3.4.1 Exercícios................................................................................................. 88 
3.5 LIMITES LATERAIS................................................................................. 88 
3.6 LIMITES INFINITOS................................................................................. 89 
3.6.1 Exercícios................................................................................................ 89 
3.7 LIMITE NO INFINITO............................................................................... 90 
3.8 EXERCÍCIOS............................................................................................ 92 
3.9 LIMITE DA FUNÇÃO RACIONAL............................................................ 92 
3.9.1 Exercícios................................................................................................ 93 
3.9.2 Exercícios................................................................................................ 93 
 
 
 
 CONSIDERAÇÕES FINAIS.................................................... 98 
 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS............................................. 99 
 
 
 
 
 
 
 2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2
APRESENTAÇÃO 
 
É com satisfação que a Unisa Digital oferece a você, aluno, esta apostila de 
Cálculo Diferencial e Integral I, parte integrante de um conjunto de materiais de 
pesquisa voltados ao aprendizado dinâmico e autônomo que a educação a distância 
exige. O principal objetivo desta apostila é propiciar aos alunos uma apresentação do 
conteúdo básico da disciplina. 
A Unisa Digital oferece outros meios de solidificar seu aprendizado, por meio 
de recursosmultidisciplinares como chats, fóruns, Aulas web, Material de Apoio e e-
mail. 
Para enriquecer o seu aprendizado, você ainda pode contar com a Biblioteca 
Virtual: www.unisa.br, a Biblioteca Central da Unisa, juntamente com as bibliotecas 
setoriais, que fornecem acervo digital e impresso, bem como acesso a redes de 
informação e documentação. 
Nesse contexto, os recursos disponíveis e necessários para apoiá-lo no seu 
estudo são o suplemento que a Unisa Digital oferece, tornando seu aprendizado 
eficiente e prazeroso, concorrendo para uma formação completa, na qual o conteúdo 
aprendido influencia sua vida profissional e pessoal. 
A Unisa Digital é assim para você: Universidade a qualquer hora e em 
qualquer lugar! 
 
 
Unisa Digital 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5
INTRODUÇÃO 
 
Esta apostila destina-se aos alunos dos cursos de Engenharia de 
Ambiental e Engenharia de Produção com a finalidade de servir de orientação aos 
estudos da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I. Ela foi elaborada com o 
objetivo de fornecer ferramentas para ampliar os conhecimentos e de auxiliar o aluno 
do ENSINO A DISTÂNCIA (EaD). 
Em sua elaboração, procurou-se criar uma linguagem diferenciada 
daquela que normalmente aparece nos livros a fim de proporcionar uma melhor 
compreensão para os alunos do ENSINO A DISTÂNCIA. 
A apresentação dos conteúdos está estruturada em partes teóricas, 
aplicações em forma de exercícios resolvidos que aparecem como exemplos, 
exercícios de aprendizagem para melhor compreensão dos assuntos abordados. 
Espera-se com este material, contribuir de forma expressiva no 
aprendizado dos alunos, porém sua participação nas aulas ao vivo, realização das 
atividades e interação no correio, fóruns de discussões e chats são fundamentais 
para o seu sucesso. 
Embora a apostila seja um pouco extensa, ela se divide em apenas três 
capítulos. No capítulo 1, estudaremos os conjuntos numéricos, pois é necessário 
que se entenda com clareza o número real, já que em todas as disciplinas a 
referência será esse conjunto. No capítulo 2, será tratado com detalhes o estudo de 
algumas funções, tais como a função polinomial do 1º grau, do 2º grau, exponencial, 
logarítmica e modular. A função racional, tão importante como as anteriormente 
citadas não está presente nessa apostila, mas será apresentada em aula Web, junto 
ao limite de uma função. No capítulo 3, Introdução aos limites, será apresentada 
apenas uma ideia do limite de uma função, o qual será estudado com mais detalhes 
na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral II. O capítulo 3 será utilizado com fonte 
de estudos para efeito de atividades e avaliações, tanto no módulo 4, como no 
módulo 5, deste curso. 
Caso discorde de algo apresentado nessa apostila, comunique ao 
professor da disciplina, pois desejamos ouvi-los para que possamos melhorar o 
curso a cada trimestre. 
Sandra Regina Leme Forster 
 6
 
 
1 CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
A disciplina de Cálculo, a qual será desenvolvida ao longo 
desse curso, está dividida em quatro grandes tópicos, pois cada um 
deles tratará um conteúdo específico, com aprofundamentos por meio 
de poucas demonstrações de algumas propriedades e por aplicações 
diversas pertinentes a cada uma delas. O que todos esses tópicos terão 
em comum é que serão desenvolvidos tendo como base os números reais. Dessa 
forma, este primeiro capítulo apresentará uma revisão acerca dos conjuntos 
numéricos, já que não teria lógica iniciarmos pelos números reais, pois estes estão 
formados por elementos pertencentes aos números naturais, inteiros, racionais e 
irracionais. 
 
1.1 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS 
 
Indicado pela letra N, é o seguinte conjunto: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }. 
Vejam sua representação na reta: 
 
 
 
 
 
 Quando excluímos o zero, obtemos o conjunto dos naturais não nulos, 
que é indicado por: N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... }. 
 Sejam m e n dois números naturais. Então podemos ter: 
 m = n ou m > n ou m < n 
sendo que: m > n ∗∈−⇔ Νn)(m e m < n Νn)(m ∉−⇔ 
 
Observação 
 Ao justificar as afirmações acima, temos que m > n ∗∈−⇔ Νn)(m , pois 
como o m > n, o resultado m – n, obrigatoriamente será um número positivo, já que 
0 1 3 2 4 5 ∙∙∙ 
Web 
Conjuntos 
Numéricos 
 7
está sendo realizada a subtração de um número menor em relação a um número 
maior. 
E ainda temos que m < n Νn)(m ∉−⇔ , pois nessa operação o resultado 
será negativo e vimos na pág. 2, o conjunto N é constituído de números positivos e o 
zero. 
 
Exemplos 
 Leitura 
1) 7 > 2 (7 – 2 = 5 e 5 ∗Ν∈ ) Sete é maior do que dois. Sete menos dois é igual 
a 5 e 5 é um número natural diferente de zero. 
2) 3 < 10 ((3 – 10) Ν∉ ) Três é menor do que dez. Três menos dez é um número negativo, logo esse resultado não será um 
número natural. 
3){x Ν∈ | x > 6} = {7, 8, 9, 10, ... } “x” pertence ao conjunto dos números naturais tal 
que “x” é maior do que seis. 
4){x Ν∈ | x ≥ 6} = { 6, 7, 8, 9, ... } “x” pertence ao conjunto dos números naturais tal 
que “x” é maior ou igual a seis. 
5){x Ν∈ | x < 6} = {0, 1, 2, 3, 4, 5} “x” pertence ao conjunto dos números naturais tal 
que “x” é menor do que seis. 
6){x Ν∈ | x ≤ 6} = {0, 1, 2, 3, 4, 5,6} “x” pertence ao conjunto dos números naturais tal 
que “x” é menor ou igual a seis. 
7) {x Ν∈ | 3 < x < 7} = { 4, 5, 6} “x” pertence aos números naturais tal que “x” está 
entre três e sete. 
8) {x Ν∈ | 3≤ x ≤ 7} = {3, 4, 5, 6, 7} “x” pertence aos números naturais tal que “x” está 
entre três e sete, incluindo o três e o sete. 
9) {x Ν∈ | 11 < x ≤ 16} = 
 {12, 13, 14, 15, 16} 
“x” pertence aos números naturais tal que “x” está 
entre onze e dezesseis, incluindo o dezesseis.. 
10) {x Ν∈ | 11 ≤ x < 16} = 
 {11, 12, 13, 14, 15} 
“x” pertence aos números naturais tal que “x” está 
entre onze e dezesseis, incluindo o onze. 
 
1.2 CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS 
 
 Indicado pela letra Z, é o seguinte conjunto: 
Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... } 
Vejam sua representação na reta: 
 
 
 
 
0 1 3 2 4 5 ∙∙∙ ∙∙∙ -1 -2 -3 -4 
 8
 
 
1.2.1 Subconjuntos de Z 
 
a) Conjunto dos inteiros não nulos: ∗Ζ = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ... } 
b) Conjunto dos inteiros positivos: ∗+Ζ = {1, 2, 3, 4, 5, ... } 
c) Conjunto dos inteiros negativos: ∗−Ζ = {..., -5, -4, -3, -2, -1} 
d) Conjunto dos inteiros não negativos: +Ζ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } 
e) Conjunto dos inteiros não positivos: −Ζ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0} 
 Note que o número zero não é positivo e nem negativo e que também 
N⊂ Z, ou seja, N está contido em Z e além disso o N = +Ζ 
 Sejam m e n dois números inteiros. Então podemos ter: 
 m = n ou m > n ou m < n 
sendo que: m > n ∗+Ζ∈−⇔ n)(m e m < n ∗Ζ∈−⇔ -n)(m 
e ainda: m > 0 )Ζ(mpositivoém ∗+∈⇔ e m < 0 )Ζ(mnegativoém ∗−∈⇔ 
 
Exemplos 
 
1) 6 > -8 (6 – (-8) = 6 + 8 = 14 > 0) 
2) -3 > -7 (-3 – (-7) = -3 + 7 = 4 >0) 
3) -6 < -2 (-6 – (-2) = -6 + 2 = -4 < 0) 
4) {x 2}1,0,1,2,3,4,{...,3}x|Ζ −−−−=<∈ 
5) { 6}5,4,3,2,1,0,1,2,{6}x2|Ζx −−=≤≤−∈ 
 
1.2.1.1 Exercícios 
 
1) Explique detalhadamente as afirmações contidas em cada retângulo. 
Sejam m e n dois números inteiros. Então podemos ter: m = n ou m > n ou m < n 
sendo que: 
 9
m > n ∗+Ζ∈−⇔ n)(m e m < n ∗Ζ∈−⇔ -n)(m 
 
e ainda: 
m > 0 )Ζ(mpositivoém ∗+∈⇔ e m < 0 )Ζ(mnegativoém ∗−∈⇔ 
 
2) Escreva como se lê cada um dos exemplos acima. 
 
1.3. CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS 
 
 Indicado pela letra Q, é o seguinte conjunto: 
Q = {x | x = }ΖneΖm,
n
m ∗∈∈ , ou seja, é todo número obtido pela divisão de dois 
inteiros. 
 
Exemplos 
 
1) 0,8 Q∈ , pois 0,8 =5
4=
10
8 
2) -2,32 Q∈ , pois -2,32 = 
25
58
50
116 −=−=−
100
232 
3) 5 Q∈ , pois 5 = 
1
5 
4) – 8 Q∈ , pois - 8 =
1
8− 
5) 0,333... Q∈ , pois 0,333... = 
3
1 
6) -1,2333... Q∈ , pois -1,2333... = -
90
111 
 
 Observando os exemplos acima, convém notar que quando escrevemos 
um número racional na forma decimal, este pode apresentar um número finito de 
casas decimais (decimal exato, como nos exemplos “1” e “2’ ) ou um número infinito 
 10
de casas decimais (dízimas periódicas simples e composta, como nos exemplos “5” 
e “6” ). É conveniente observar também que todo número inteiro é racional, pois 
pode ser escrito na forma }ΖneΖm,
n
m ∗∈∈ . Logo Z Q⊂ . 
 É importante saber que o número racional não representa apenas uma 
“divisão”, mas também pode representar “parte e todo”, uma “razão” e um 
“operador”. 
 Observação: o estudo sobre os tipos de representações de números 
racionais e dízimas periódicas poderá ser estudado com mais profundidade em 
disciplinas que envolvem a didática do ensino da matemática. 
 
 Sejam x e y dois números racionais. Então podemos ter: 
 x = y ou x > y ou x < y 
sendo que: x = y 0yx =−⇔ ; x < y 0yx <−⇔ ; x > y 0yx >−⇔ . 
 
Exemplos 
 
1) comparar x = 
7
3 e y = 
11
5 
x – y = yx0
77
2
77
3533
11
5
7
3 <⇒<−=−=− 
2) comparar x = 
4
7− e y = 
5
9− 
x – y = yx0
20
1
20
3635)
5
9()
4
7( >⇒>=+−=−−− 
 
1.3.1 Exercícios 
 
1) Dê dois exemplos de números racionais nas formas decimal finita, decimal infinita 
periódica simples e na decimal infinita periódica composta. Justifique o porquê de 
cada exemplo dado ser um número racional. 
 
 11
2) Compare os números racionais e apresente o caminho utilizado para fazer essa 
comparação. 
a) x = 
7
6 e y = 
9
7 b) x = 
7
10− e y = 
8
11− c) x = 8 e y = 
8
66 
 
1.4 NÚMEROS IRRACIONAIS 
 
 São números não periódicos que podem ser escritos na forma decimal 
com infinitas casas decimais. Esses números não são racionais (não podem ser 
obtidos pela divisão de dois inteiros) e será indicado por Q (não racionais). 
 
Exemplos 
 
1) ..1,4142135.2 = 2) 653...0,836660020,7 = 3) ..1,6680095.216 −=− 
4) ..3,1415926.π = 5) e = 2,7182818284... 6) -13, 1231123111231... 
 
1.4.1 Exercícios 
 
Classifique cada número abaixo como racional ou irracional e em seguida explique a 
sua resposta. 
a) =
121
81 b) =0,256 c) =
90
36 d) =0,328 
 
1.5 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 
 
 É todo número racional ou irracional. 
 Desse modo, indicado pela letra R, é a reunião do conjunto 
dos números racionais (Q) com o conjunto dos números irracionais 
(Q ). 
Web 
Aula 1 
A reta real e o 
subconjunto de R 
 12
 QQ∪=ℜ 
 Convém notar que os números reais podem ser representados numa reta 
de tal modo que a todo número real corresponde um ponto da reta e a todo ponto da 
reta corresponde um número real, e ainda que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ ℜ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Uma propriedade dos números reais é que eles se apresentam 
ordenados: 0 é menor do que 1, -2 é menor do - 1,8, π é maior do 1,45327..., e 
assim por diante. Na reta real podemos observar que a é menor do que b, se e 
somente se a está à esquerda de b. 
 Sejam a e b dois números reais. Então podemos ter: 
 a = b ou a > b ou a < b 
sendo que: a = b 0ba =−⇔ 
 a < b 0ba <−⇔ 
 a > b 0ba >−⇔ 
 
1.5.1 Subconjuntos de R - Intervalos 
 
 Sejam a e b dois números reais com a < b. Temos: 
 
 
 
0 1 3 2 4 5 ∙∙∙ ∙∙∙ -1 -2 -3 -4 
2
1 
2
1− -3,2 2 3
1 4,6 
N Z Q 
Q 
ℜ 
 13
Tipos de Intervalos 
Representação na 
Reta Numérica 
Representação 
Simbólica 
Representação 
Algébrica 
 
1) Intervalo aberto 
 
 
 
(a, b) = ]a, b[ 
 
b}xa|{x <<ℜ∈ 
 
 
2) Intervalo fechado 
 
 
 
[a, b] 
 
b}xa|{x ≤≤ℜ∈ 
3) Intervalo aberto à 
esquerda e fechado à 
direita 
 
 
(a, b] = ]a, b] 
 
b}xa|{x ≤<ℜ∈ 
4) Intervalo fechado à 
esquerda e aberto à 
direita 
 
[a, b) = [a, b[ 
 
b}xa|{x <≤ℜ∈ 
 
 
5) Intervalo infinito à 
esquerda 
 
 
 
 
a[,]a),( ∞−=−∞ 
 
a}x|{x <ℜ∈ 
 
 
 
 
a],]a],( ∞−=−∞ 
 
a}x|{x ≤ℜ∈ 
 
 
 
6) Intervalo infinito à 
direita 
 
 
 
 
( []a,),a +∞=+∞ 
 
 
x|{x ℜ∈ > a} 
 
 
 
 
 
[[a,)[a, +∞=+∞ 
 
 
a}x|{x ≥ℜ∈ 
 
 
Exemplos 
 
a b 
a b 
a b 
a b 
a
a
a
a
 14
1) Dados os intervalos: I = [2, 7] e J = ]5, 9[, determine I∩ J . 
 
 
 
 
 
 
 
I ∩ J = 7] ]5,7}x5|x =≤<ℜ∈ 
 
2) Sendo I = [-1, 6] e J = ]3, 8[, determine I∪ J. 
 
 
 
 
 
 
 
 
I∪ J = [-1, 8[ = 8}x1|{x <≤−ℜ∈ 
 
3) Sendo I = ]0, 2] e J = [5, +∞ [, determine: a) I∩ J; b) I∪ J. 
 
a 
I∩ J = ∅ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 7 
5 9 
I 
J 
I ∩ J 
5 7 
-1 6 I 
J 3 8 
-1 8 
I∪ J 
0 2 
5 
I 
J 
I∩ J 
 15
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 I∪ J = ]0, 2] ∪ [5, +∞ [ = 5}xou2x0|{x ≥≤<ℜ∈ 
 
1.5.1.1 Exercícios 
 
1) Explique as respostas de cada um dos exemplos acima. 
 
2) Em cada um dos itens abaixo, complete com V (verdadeiro) ou F (falso) e 
justifique as alternativas falsas. 
a) ( ) A = [2,10[ é um intervalo semi-aberto em que o extremo esquerdo pertence 
ao conjunto A e o extremo direito não pertence. 
b) ( ) B = (2,3) é um conjunto com um número infinito de elementos. 
c) ( ) C = [2,4] = {2, 3, 4} 
d) ( ) Sejam A, B e C os conjuntos dos itens anteriores, pode-se afirmar que 
A ∪ B ∪ C = A 
e) ( ) Sejam A, B e C os conjuntos dos itens anteriores, pode-se afirmar que 
(A ∩ B ) ∪ C = {2, 3, 4} 
 
1.6 DESIGUALDADES 
 
 Muitas vezes devemos resolver desigualdades que envolvem expressões 
como 2x – 5 < 9. O número a é uma solução de uma desigualdade se esta é 
verdadeira quando substituímos x por a. O conjunto de todos os valores de x que 
satisfazem uma desigualdade é chamado conjunto solução da desigualdade. Na 
0 2 
5 
I 
J 
I∪ J 0 2 5 
 16
resolução da desigualdade aplicam-se as propriedades apresentadas na tabela 
abaixo: 
 
Nome Propriedade 
Propriedade transitiva a < b e b < c ⇒ a < c 
Adição de desigualdades a < b e c < d ⇒ a + c < b + d 
Multiplicação por uma constante positiva a < b ⇒ a.c < b.c, c > 0 
Multiplicação por uma constante negativa a < b ⇒ a.c > b.c, c < 0 
Adição de uma constante a < b e ⇒ a + c < b + c 
Subtração de uma constante a < b e ⇒ a - c < b - c 
 
1.7 APLICAÇÕES 
 
As desigualdades têm aplicação freqüente para definir condições que 
ocorrem em diversas áreas, um exemplo disso está em analisarmos os níveis de 
produção. 
 
1.7.1 Exemplo 
Além do custo administrativo fixo, de R$ 720,00, o custo da produção de x 
unidades de certo item é de R$ 3,00 por unidade. Durante o mês de outubro, o custo 
total da produção variou entre o máximo de R$ 1.155,00 e no mínimo de 1.120,00 
por dia. Determine os níveis de produção máximo e mínimo durante o mês. 
 
Resolução 
Como o custo de produção de uma unidade é de R$ 3,00, a produção de x unidades 
é de 3.x. Além disso, como o custo fixo diário é de R$ 720,00, o custo total da 
produção de x unidades é C = 3.x + 720. 
Ora, como o custo variou de R$ 1.120 a R$ 1.155, podemos escrever que: 
 
1.120 ≤ 3.x + 720 ≤ 1.155 
1.120 - 720 ≤ 3.x+ 720 – 720 ≤ 1.155 – 720 
400 ≤ 3.x ≤ 435 
 17
3
435
3
3
3
400 ≤⋅≤ x 
133,33 ≤ x ≤ 145 
 
Assim, os níveis de produção diária durante o mês variam entre um mínimo 
de 133 unidades e um máximo de 145 unidades. 
 
 
 
 
 
 
1.8 EXERCÍCIOS GERAIS DO CAPÍTULO 
 
1) Forme os seguintes subconjuntos de Z: 
a) A = 3}x|Ζ{x −>∈ b) B = 2}x|Ζ{x −≤∈ c) C = 5}x|Ζ{x <∈ 
d) D = 3}x-8|Ζ{x −<<∈ e) E = 0}x-6|Ζ{x ≤≤∈ f) F = 3}x-3|Ζ{x ≤≤∈ 
 
2) Determine os elementos de cada conjunto: 
a) A = 0}4)(2x.1)(2x.1)(x.x|Q{x =−−+∈ 
b) B = 0}4)(2x.1)(2x.1)(x.x|{x =−−+Ζ∈ 
c) C = 0}4)(2x.1)(2x.1)(x.x|{x =−−+Ν∈ 
d) D = 0}4)(2x.1)(2x.1)(x.x|{x =−−+Ν∈ ∗ 
 
3) Represente na reta os seguintes subconjuntos de ℜ : 
a) {0}0}x|{x −ℜ=≠ℜ∈=ℜ∗ b) [[0,0}x|{x ∞+=≥ℜ∈=ℜ+ 
c) []0,0}x|{x ∞+=>ℜ∈=ℜ∗+ d) 0],]0}x|{x ∞−=≤ℜ∈=ℜ− 
e) 0[,]0}x|{x ∞−=<ℜ∈=ℜ∗− 
 
4) Determine I∩ J e I∪ J nos casos: 
a) I = [-3, 3] e J = [0, 6] b) I = ]1, 7[ e J =]2, 5[ 
Produção diária 
máxima 
Produção diária 
mínima 
Produção de cada dia durante o 
mês recaiu nesse intervalo 
0 100 150 200 
133 145 
 18
c) I = ]- [2,[Je3], ∞+−=∞ d) I = [1, 4] e J = [4, 9] 
 
5) Uma loja de chocolates em um Shoping Center vende o quilo de um determinado 
chocolate a R$ 23,00. Além do custo fixo (aluguel, tarifas públicas e seguro) de R$ 
150,00 por dia, a matéria prima e mão de obra custam R$ 14,00 por quilo desse 
chocolate. Se o lucro diário varia entre R$550,00 e R$ 671,00, entre que níveis em 
quilo variam as vendas diárias? 
 
6) A receita da venda de x unidades de um produto é R = 120,20x e o custo da 
produção de x unidades é C = 98x +800. Para que haja lucro, a receita de venda há 
de ser maior do que o custo. Para que valores de x este produto dará lucro? 
 
7) Investem-se R reais à taxa anula r de juros (simples). Após t anos, o montante na 
conta é dado por A = R + Rrt, onde a taxa de juros é expressa em forma decimal. 
Par que um investimento de R$ 5.000 ultrapasse R$ 6.000 em 2 anos, qual deve ser 
a taxa de juros? 
 
8) Uma grande empresa tem uma frota de motos cujo o custo operacional aual 
unitário é C = 0,15q + 800, onde qu é o número de quilometragem percorridas por 
uma moto em um ano. Qual quilometragem proporcionará um custo operacional 
anual, por moto, inferior a R$ 5.000? 
 
Respostas da Lista de Exercícios (1.8) 
1) a) {-2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }; b) {..., -4, -3, -2}; c) {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}; 
d) {-7, -6, -5, -4}; e) {-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0}; f) {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}; 2) a) {-1, 0, 
2
1 , 2}; 
b) {-1, 0, 2}; c) {0, 2}; d) {2}; 4) a) [0, 3]; [-3, 6]; b) ]2, 5[; ]1, 7[; c) [-2, 3]; ℜ ;d){4};[1,9] 
5) 77,8 < x < 91,3; 6) x > 36,04; 7) 10%; 8) 28.000 km. 
 
 
 
 
 
 19
2 FUNÇÃO 
 
 Neste capítulo serão discutidos vários tipos de funções 
que aparecem no Cálculo. As funções são as melhores 
ferramentas para descrever o mundo real em termos matemáticos. 
Este capítulo apresenta as idéias básicas das funções, 
seus gráficos, seus métodos para transladá-los, mas, ao contrário 
do que normalmente se apresenta, existirá uma preocupação em 
apresentar a função em suas diversas representações, ou seja, a partir de uma 
função representada algebricamente, será solicitado seu gráfico, a partir do gráfico 
de uma função será pedida a sua representação numérica ou a partir de sua 
representação numérica será solicitada a sua representação algébrica. 
Iniciaremos este capítulo com algumas definições que irão nos auxiliar na 
compreensão do conceito de função. 
 
2.1 PAR ORDENADO 
 
 Imaginem a seguinte situação: “para formar a equipe de basquete de um 
colégio, vamos selecionar 5 alunos dentre os da 3ª série A e da 3ª série B, indicando 
as quantidades de alunos escolhidos em cada classe do seguinte modo: anotamos 
entre parênteses primeiro o número de selecionados da 3ª série A e depois o da 3ª 
série B”. 
 Então, (3, 2) indicará que foram selecionados 3 alunos da 3ª A e 2 alunos 
da 3ª B, enquanto (2, 3) indicará que foram selecionados 2 alunos da 3ª A e 3 alunos 
da 3ª B. Assim, em (3, 2) e (2, 3) temos as mesmas quantidades, 3 e 2, porém 
dispostas em ordens diferentes. Por isso, dizemos que (3, 2) e (2, 3) são dois pares 
ordenados diferentes. No nosso exemplo, podem ocorrer os seguintes pares 
ordenados: (5, 0), (4, 1), (3, 2), (2, 3), (1, 4) e (0, 5). 
 Com esse exemplo, podemos formar a idéia de par ordenado, como 
sendo um conjunto de dois elementos considerados numa dada ordem. Para lembrar 
que na representação de um par ordenado a ordem é importante, usamos 
parênteses ao invés de chaves como nos conjuntos em geral. Assim, (x, y) é o par 
Web 
 
Aula 2 
Introdução à Função 
Par ordenado, 
Produto cartesiano e 
Relação 
 20
ordenado de 1º termo x e 2º termo y, enquanto que (y, x) é o par ordenado de 1º 
termo y e 2º termo x. 
 Podemos representar os pares ordenados de números reais por pontos de 
um plano. 
 Consideremos duas retas orientadas (eixos) x e y, perpendiculares e que 
se cortam num ponto O. Então, essas duas retas concorrentes determinam um único 
plano α cujos pontos serão associados aos pares ordenados (a, b) de números 
reais do seguinte modo: 
1º) Marcamos em x o ponto P1 correspondente ao número a e por ele traçamos a 
reta y’ paralela a y; 
2º) Marcamos em y o ponto P2 correspondente ao número b e por ele traçamos a 
reta x’ paralela a x. 
 Desse modo, as retas x’ e y’ interceptam-se num ponto P, que é associado 
ao par (a, b). 
Temos então: 
• P é o ponto de coordenadas (a, b); 
• O número a é a abscissa de P; 
• O número b é a ordenada de P; 
• O eixo x é o eixo das abscissas; 
• O eixo y é o eixo das ordenadas; 
• O ponto O é a origem e tem 
coordenadas (0, 0). 
 
A cada par de números reais fazemos corresponder um ponto do plano α 
e também a cada ponto do plano corresponde um par de números reais. Essa 
correspondência é denominada sistema de coordenadas cartesianas ortogonais (ou 
sistema cartesiano ortogonal). O plano α é chamado plano cartesiano. 
 
2.2 PRODUTO CARTESIANO 
 
x 
y 
P1 
P2 P (a, b) 
a 
b 
O 
x’ 
y’ 
∙ 
∙ ∙ 
∙ 
∙ 
α
 21
Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Denominamos produto 
cartesiano de A por B o conjunto A x B cujos elementos são todos pares ordenados 
(x, y), onde o primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B. 
B}yeAx/y){(x,BA ∈∈=× 
O símbolo A x B lê-se: “A cartesiano B” ou “produto cartesiano de A por B” 
Quando A = ∅ ou B = ∅, temos que A x B = ∅. 
Quando B = A, temos A x A = A2 e lê-se, “A dois”. 
 
Exemplos 
 
1) Se A = {1, 2} e B = {2, 3, 4}, o produto cartesiano: 
 
Representação 
Simbólica 
Representação Numérica 
 
Representação Gráfica 
 
 
a) A x B 
 
 
{(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 
4)} 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) B x A 
 
 
{(2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 
2)} 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) A x A = A2 
 
 
{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)} 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 1 2 
2 
3 
4
∙ 
∙ 
∙ 
∙ 
∙ 
∙ 
∙ ∙ 
∙ ∙ ∙ 
∙ 
x 
y 
1 
2 
2 
3 4
∙ 
∙ 
∙ 
∙ 
x 
y 
1 2 
2 
1 
 22
2) Se A = 4}x/2{x <≤ℜ∈ e B = {3}, apresente em diferentes representações: 
 
Representação 
Simbólica 
Representação Algébrica Representação Gráfica 
 
 
 
A X B 
 
 
 
 
4}x2/3){(x,A}x/3){(x, <≤=∈ 
 
 
 
 
 
 
 
3) Se A = 4}x/2{x ≤<ℜ∈ e 6}x/2{xB <≤ℜ∈= , apresente em diferentes 
representações: 
 
Representação 
Simbólica 
Representação Algébrica 
RepresentaçãoGráfica 
 
 
 
A X B 
 
 
 
6}y2e4x2/y){(x, <≤≤<ℜ×ℜ∈
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B X A 
 
 
 
4}y2e6x2/y){(x, 2 <≤≤<ℜ∈ 
 
 
x 
y 
2 
3
4
x
y 
2 
6 
4
2 
4 
6 
x
y
2 6
4
2
4 
6 
 23
2.2.1 Exercícios 
 
1) Observando o exemplo (1), o que se pode concluir em relação à quantidade de 
elementos de um produto cartesiano, ou seja, se o conjunto A tem m elementos e o 
conjunto B tem n elementos, então o conjunto A x B será formado por quantos pares 
ordenados? 
 
2) Se o conjunto A é diferente do conjunto B, então A X B e B X A são diferentes? 
Explique detalhadamente a sua resposta. 
 
3) Se o conjunto A está composto por 3 elementos e o conjunto B por 4 elementos, 
então a quantidade de elementos, ou seja, de pares ordenados de A X B e de B x A 
são diferentes? Justifique a sua resposta. 
 
4) Explique o porquê do gráfico do exemplo (2) ser um segmento de reta a, além 
disso, o fato de conter a extremidade esquerda e não conter a extremidade direita. 
 
5) Justifique o fato dos gráficos do exemplo (3) serem representados pela área de 
uma região retangular. Explique ainda, as linhas tracejadas em cada retângulo. 
 
2.3 RELAÇÃO 
 
Denominamos relação de A em B a todo subconjunto R de A x B. 
 
R é uma relação de A em B BAR ×⊂⇔ 
 
Exemplos 
 
1) Se A = {1, 2} e B = {2, 3, 4}, determine a R = y}x/BAy){(x, <×∈ a qual está 
sendo apresentada em uma linguagem simbólica, nas representações numéricas e 
gráficas 
 24
A x B = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4)}. 
 
Representação Numérica Representação Gráfica 
 Cartesina Diagrama de 
Flechas 
 
 
R = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)} 
 
 
 
 
 
 
 
2) Dados A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 3, 5, 7}, represente numericamente e em forma de 
diagramas de flechas as relações de A em B: 
a) R = 8}yx/BAy){(x, =+×∈ 
b) S = 10}xy/BAy){(x, ≤×∈ 
a) A relação R é formada pelos pares (x, y), Ax∈ e By∈ , com a soma dos termos 
x + y = 8. Estes pares são: (1, 7) e (3, 5). Logo, R = {(1, 7), (3, 5)}. 
b) A relação S é formada pelos pares (x, y), Ax∈ e By∈ , com o produto dos 
termos 10≤ . Estes pares são: (1, 1), (1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 1), (2, 3), (2, 5), (3, 1), 
(3, 3) e (4, 1) Logo, 
S = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 1), (2, 3), (2, 5), (3, 1), (3, 3), (4, 1)} 
 
 Diagrama de Flechas Diagrama de Flechas 
 
 
 
 
 
 
 
A B 
1 1 
2 
3 
4 
3 
5 
7 
R 
A B 
1 1 
2 
3 
4 
3 
5 
7 
S 
A B
1
2
3
4
2
R
x
y
1 2
2
3
4
∙ 
∙ 
∙ ∙ 
∙ 
∙ 
 25
2.3.1 Exercício 
 
Observando o exemplo (1), explique qual é a diferença do produto cartesiano e da 
relação. 
 
2.4 FUNÇÃO 
 
2.4.1 Definição 
 
Sejam dois conjuntos A e B, com ØBeØA ≠≠ . 
Uma função ou aplicação de A em B é uma relação que a todo 
elemento x de A faz corresponder um único elemento y de B. 
 
Exemplo 
 
 “O perímetro (y) de um quadrado é função do lado (x) desse quadrado. Se o lado 
medir 2 cm, o perímetro será 8 cm; se o lado medir 10 cm, o perímetro será 40 cm; 
para cada x, o perímetro será y = 4x, onde x pode ser qualquer número real 
positivo”. 
 
2.4.2 Observações 
 
1) Em relação ao diagrama de flechas, uma relação de A em B é uma função se: 
a) Todo elemento de A é ponto de partida de flecha; 
b) Cada elemento de A é ponto de partida de uma única flecha. 
2) Em relação à representação cartesiana, uma relação de A em B é uma função se: 
“A reta paralela ao eixo y conduzida pelo ponto (x, 0), onde Ax∈ , encontra sempre 
o gráfico da função em um só ponto”. 
3) A seguinte linguagem é utilizada: 
a) O conjunto A é o domínio da função; 
Web 
Aula 3 
Função 
 26
b) O conjunto B é o contradomínio da função; 
c) O elemento y de B, associado ao elemento x de A, é denominado imagem de x; 
d) O subconjunto de B formado pelos elementos que são imagens dos elementos de 
A é denominado conjunto-imagem (ou apenas imagem) da função. 
 
2.4.3. Notação 
 
Função: em geral, usamos as letras f, g, h e outras para designarmos as funções. 
Também podemos escrever: 
BA:f → (leia: f de A em B), para indicar uma função f de A em B; 
y = f (x) (leia: y = f de x), para indicar que y é a imagem de x. 
Domínio: utilizamos D ou D (f) (leia: D de f) para indicarmos o domínio da função f. 
Imagem: utilizamos Im ou Im (f) (leia: imagem de f), para indicarmos a imagem da 
função f. 
Assim, para uma função BA:f → , temos: 
D (f) = A e Im (f) = {y y)}(x)f/Ax(/B =∈∃∈ 
 
Para uma função f ficar bem definida, devemos dizer quem é o domínio 
(A), o contradomínio (B) e a lei (ou regra) pela qual a cada x de A corresponde o 
elemento y = f (x) de B. 
 
Diagrama de Flechas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A = D (f) B 
Im (f) ∙ 
∙ 
∙ 
∙ 
∙ 
∙ 
∙ 
∙ 
∙ 
∙ 
∙ 
x y 
f 
 27
 Observem ainda que quando temos uma função BA:f → , tal que 
y = f (x), x e y recebem o nome de variáveis, com x como variável independente e 
y, variável dependente. (Vejam o exemplo dado na definição 2.4.1) 
 
Exemplos 
 
1) Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = {-1, 0, 1, 2, 3}, verifique pelo diagrama 
de flechas, quais das seguintes relações definidas abaixo,são funções. 
a) R = 2}xy/BAy){(x, +=×∈ 
b) S = { }xy/BAy)(x, 22 =×∈ 
c) T = x}y/BAy){(x, =×∈ 
d) V = 2x}xy/BAy){(x, 2 −=×∈ 
e) W = 3}y/BAy){(x, =×∈ 
 
Resolução 
a) R = {(0, 2), (1, 3)} a) 
b) S = {(0, 0), (1, -1), (1, 1), (2, 2), (3, 3)} 
c) T = {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3)} 
d) V = {(0, 0), (1, -1), (2, 0), (3, 3)} 
e) W = {(0, 3), (1, 3), (2, 3), (3, 3)} 
 
b) c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A B 0 
0 
1 
1 
-1 
2 
2 
3 
3 
não é função 
R 
B 
A 0 
0 1 
1 
-1 
2 
2 
3 3 
Não é função 
S A B 0 
0 1 
1 
-1 
2 
2 3 
3 
 É função 
T 
 28
 d) e) 
 
 
 
 
 
 
 
2) Dadas as representações cartesianas das relações f de A em ℜ , verifique quais 
são funções: 
 
a) A = 2}x1/{x ≤≤−ℜ∈ b) A = 1}x1/{x ≤≤−ℜ∈ 
 
 c) A = 3}x0/{x ≤≤ℜ∈ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A B 0 
0 1 
1 
-1 
2 
2 
3 
3 
 É função 
V 
A B 0 
0 1 
1 
-1 
2 
2 3 
3 
 É função 
W 
-1 2 x 
y 
x 
y 
-1 1
2 x 
y 
3 0 
 29
Observem que o item (a) representa uma função, pois qualquer reta 
traçada paralelamente a y por pontos do intervalo [-1, 2] intercepta o gráfico 
cartesiano num único ponto. O item (b) não representa uma função, pois se 
traçarmos retas paralelas a y, por pontos do intervalo [-1, 1], estas interceptam o 
gráfico cartesiano em dois pontos. O item (c) também não representa uma função, 
pois retas traçadas paralelamente a y por pontos do intervalo [0, 2[ não interceptam 
o gráfico cartesiano em ponto algum. Se no item (c) tivéssemos A = 
{ 3}x2/x ≤≤ℜ∈ , daí teríamos uma função. 
 
3) Dado A = {-1, -2, -3, -4}, consideremos a função ℜ→A:f definida por f (x) = 2 x. 
Qual a imagem dessa função? 
Atribuindo a x os valores do D (f) = A, temos: 
Para x = -1, f (-1) = 2 . (-1) = -2 
Para x = -2, f (-2) = 2 . (-2) = -4 
Para x = -3, f (-3) = 2 . (-3) = -6 
Para x = -4, f (-4) = 2 . (-4) = -8 
Portanto, Im (f) = {-2, -4, -6, -8} 
 
 
2.4.4 Exercícios 
 
1) Com base nas observações do tópico 2.4.2, justifique as respostasdo exemplo 
(1). 
 
2) Qual é a diferença de uma relação e de uma função? Toda função é uma 
relação? E toda relação é uma função? 
 
2.4.5. Funções do 1º Grau 
 
2.4.5.1. Função Afim 
A = D (f) ℜ 
-1 
-2 -2 
-3 
-4 
-4 
-6 
-8 
Im (f) 
f 
-4 
Web 
Aulas 4 e 5 
Função 
do 1º grau 
 30
Definição: uma aplicação de ℜ em ℜ recebe o nome de função afim quando a 
cada x ℜ∈ estiver associado o elemento (ax +b) ℜ∈ com a≠ 0, isto é: 
0ab,ax(x)fyx
:f
≠+==
ℜ→ℜ
a 
 
Exemplos 
 
Apresente as funções dos itens (a), (b) e (c) nas representações algébrica, numérica 
e gráfica. 
 
Representação 
Algébrica 
Representação 
Numérica 
Representação Gráfica 
a) y = 2 x + 3 
com 
a = 2 e b = 3 
 
x y 
0 3 
-1 1 
 
b) y = 3 x – 1 
com 
a = 3 e b = -1 
 
x y 
0 -1 
1 2 
 
c) y = - x + 3 
com 
a = -1 e b = 3 
 
x y 
0 3 
1 2 
 
 
 
 31
2.4.5.1.1 Exercício 
 
Observando os exemplos anteriores, podemos notar que para 
representar essa função por meio de um gráfico apenas dois pontos foram utilizados. 
O que ocorreria se utilizássemos mais de 2 pontos? O que garante que apenas dois 
pontos sejam necessários para o esboço do gráfico da função polinomial do 1° grau? 
 
Domínio e Imagem: D (f) = ℜ e Im (f) = ℜ . 
 
Coeficientes da Função Afim: f (x) = ax + b 
a: coeficiente angular ou declividade da reta representada no plano cartesiano. 
b: coeficiente linear (ordenada do ponto onde a reta corta o eixo y). 
 
Exemplos 
 
1) Obter a equação da reta que passa pelos pontos (1, 2) e (3, -2). 
 
Resolução 
A equação da reta é da forma: y = ax + b 
(1, 2) pertence à reta ⇒ 2 = a + b 
(3, -2) pertence à reta ⇒ -2 = 3a + b 
⎩⎨
⎧
−=+
=+
2b3a
2ba
 (-) 
2a = -4 ⇒ a = -2 ⇒ b = 4. Portanto, a equação da reta é: y = -2x + 4 
 
b) Obter a equação da reta que passa pelo ponto (1,3) e tem coeficiente angular 
igual a 2. 
 
Resolução 
A equação da reta é da forma: y = ax + b 
Se o coeficiente angular é igual a 2, temos que a = 2 
Portanto a equação fica: y = 2x + b 
 32
Como o ponto (1, 3) pertence à reta, vem: 3 = 2 . 1 + b ⇒ b = 1 
Portanto, a equação da reta é: y = 2x + 1 
 
c) Obter a equação da reta que passa pelo ponto (-2, 1) e tem coeficiente linear igual 
a 4. 
 
Resolução 
A equação da reta é da forma: y = ax + b 
Se o coeficiente linear é igual a 4, temos que b = 4 
Portanto, a equação fica: y = ax + 4 
Como o ponto (-2, 1) pertence à reta, vem: 1 = -2a + 4 ⇒ -2a = -3 ⇒ a = 
2
3 
Portanto, a equação da reta é: y = 
2
3 x + 4 
 
 
Zero da Função Afim: é todo número x cuja imagem é nula, isto é, f (x) = 0. 
 x é zero de y = f (x) ⇔ f (x) = 0 
 
Exemplo 
 
 y = f (x) = 2x – 2 
f (x) = 0 ⇒ 2x – 2 = 0 ⇒ 2x = 2 ⇒ x = 1 
Graficamente, o zero da função afim é a abscissa do ponto onde a reta corta o eixo 
x. 
Funções Crescentes ou Decrescentes 
Função Crescente: a função f: A → B definida por y = f (x) é crescente no conjunto 
A1 ⊂ A se, para dois valores quaisquer x1 e x2 de A1, com x1 < x2, tivermos f (x1) < f 
(x2). 
 33
Função Decrescente: a função f: A → B definida por y = f (x) é decrescente no 
conjunto A1 ⊂ A se, para dois valores quaisquer x1 e x2 de A1, com x1 < x2, tivermos f 
(x1) > f (x2). 
Teorema: “a função afim é crescente ou decrescente se, e somente se, o coeficiente 
angular é respectivamente positivo ou negativo”. 
 
Exemplos 
 
a) y = 2x – 3; a = 2 > 0 ⇒ y é crescente. 
b) y = -3x +3; a = -3 < 0 ⇒ y é decrescente. 
 
Sinal da Função Afim: seja y = f (x) = ax + b 
f (x) = 0 ⇒ ax + b = 0 ⇒ x = 
a
b− (zero ou raiz da função afim) 
 
a) Se a > 0 : 
 
 
 
Se a < 0 : 
 
 
 
Portanto, podemos resumir os dois casos acima em um único caso: 
 
 
 
a
b− x 
+ 
_ 
a
b− + 
_ 
c/a m/a 0 
x 
a
b− x 
+ 
_ 
a
b− + 
_ 
c/a m/a 0 
x 
a
b− 
c/a m/a y = 0 
x 
 34
Exemplos 
 
Estude as funções: 
a) y = f (x) = 2x – 2 
b) y = f (x) = -3x +6 
 
Resolução 
a) y = f (x) = 2x – 2 a = 2 > 0 ⇒ f é crescente 
f (x) = 0 ⇒ 2x – 2 = 0 
 2x = 2 ⇒ x = 1 (zero ou raiz) 
 
 
 
 
 
b) y = f (x) = -3x + 6 a = -3 < 0 ⇒ f é decrescente 
f (x) = 0 ⇒ -3x + 6 = 0 
 -3x = -6 ⇒ x = 2 (zero ou raiz) 
 
 
 
 
 
 
Atenção 
Quando igualamos a zero a função y = f (x) para determinar sua raiz 
(intersecção da reta com o eixo x), passamos a ter uma equação do 1º grau na 
incógnita x, a qual queremos determinar. 
 
2.4.5.1.2 Exercício 
 
Dados os gráficos das funções dos itens (a) e (b): 
1 x 
_ 
+ 
1 
_ 
+ 
m/a c/a f (x) = 0 
f (x) > 0 f (x) < 0 
2 x 
_ 
+ 
2 
+ _ 
m/a c/a f (x) = 0 
f (x) < 0 f (x) > 0 
 35
1) Represente a função algebricamente. 
2) Determine os coeficientes (angular e linear). 
3) Determine o zero de cada uma das funções. 
4) As funções são crescentes ou decrescentes? Por quê? 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.4.5.2 Função Linear 
 
Definição: se na função afim y = f (x) = ax + b, a ≠ 0 tivermos b = 0, teremos a 
função linear que é uma aplicação de ℜ em ℜ e que associa a cada elemento 
x ℜ∈ o elemento ax ℜ∈ , a ≠ 0. 
0aax,(x)fyx
:f
≠==
ℜ→ℜ
a 
 
Domínio e Imagem: D (f) = ℜ e Im (f) = ℜ . 
 
Exemplos 
 
Represente as funções abaixo, numérica e graficamente: 
a) y = 2x 
−4 −2 2 4
8
−6
−4
−2
x
y
f
−4 −2 2 4
8
−6
−4
−2
x
y
f
 36
 
 
 
 
 
 
 
b) y = -2x 
 
 
 
 
 
 
2.4.5.2.1 Exemplo 
 
Como pode ser observado nos exemplos acima, o gráfico da função 
linear também é representado por uma reta, mas esse gráfico apresenta uma 
particularidade em relação à função afim. Qual é essa particularidade? 
 
2.4.5.3 Função Identidade 
 
Definição: se na função afim y = f (x) = ax + b, a ≠ 0 tivermos b = 0 e a = 1, teremos 
a função identidade, que é uma aplicação de ℜ em ℜ e que associa a cada 
elemento x ℜ∈ o próprio x. 
x(x)fyx
:f
==
ℜ→ℜ
a 
 
Gráfico: o gráfico da função identidade também é uma reta que contém as 
bissetrizes do 1º e 3º quadrantes e que passa pela origem. 
 
Domínio e Imagem: D (f) = ℜ e Im (f) = ℜ . 
x y 
0 0 
1 2 
x y 
0 0 
1 -2 
 37
Exemplos 
 
Construir o gráfico das funções: 
a) y = x b) y = -x 
 
Para cada item, vamos atribuir valores a x. 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.4.5.3.1 Exercício 
 
1) Existe diferença entre as funções linear e identidade? Em caso afirmativo, quais? 
 
2) Toda função linear é identidade? E toda função identidade é linear? Por quê? 
 
3) Por que o domínio de uma função linear são todos os números reais? 
 
4) Se uma função linear estiver definida para x ∈ ℜ/ 3 < x < 10, a sua imagem estará 
composta por todos os números reais? Por quê? 
 
5) Se uma função linear estiver definida para x ∈ ℜ/ 3 < x < 5, a sua imagem estará 
composta por um número finito de elementos? Por quê? 
 
 
x y 
0 0 
1 1 
x y 
0 0 
1 -1 
 38
2.4.5.4 Função Constante 
 
1) Definição: se na função afim y = f (x) = ax + b, tivermos a = 0, teremos a função 
constante, que é uma aplicação de ℜ em ℜ e que associa a cada elemento x ℜ∈ , 
sempre o mesmo elemento b ℜ∈ . 
)(constante b(x)fyx
:f
==
ℜ→ℜ
a 
 
Gráfico:o gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo x, passando pelo 
ponto (0, b). 
 
Domínio e Imagem: D (f) = ℜ e Im (f) = {b} 
 
Exemplos 
 
Construir os gráficos das funções: 
a) y = 4 b) y = -2 
 
 
Observem que as duas funções não dependem de x, isto é, para qualquer x ℜ∈ , em 
(a), o y vale sempre 4 e em (b) vale sempre -2. 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
2.4.5.4.1 Exercício 
 
A função constante é uma função polinomial do 1° grau? Por quê? 
 
 39
2.4.5.5 Declividade 
 
Declividade da reta é à tangente do ângulo que a reta forma com o eixo Ox. 
Na função polinomial do primeiro grau, esta tangente coincide com a própria reta do 
gráfico da função e tem valor igual ao coeficiente angular “a”. 
A partir do gráfico da função do 1º grau é possível determinar o valor do coeficiente 
angular. Para isso, tomamos dois pontos A e B da função; ou da reta. 
Para determinar a declividade ou coeficiente angular de uma reta 
prosseguimos conforme pode ser lido abaixo. 
Seja “a” o coeficiente angular da reta, então 
12
12
xx
yya −
−= , onde A = (x1,y1) e B = (x2,y2) 
 
Note que o triângulo ABC destacado da 
figura é um triângulo retângulo. Assim, 
temos: 
 
 
αtaga
αaadjacentecateto
αaopostocateto
AC
BCa
xx
yya
12
12 =⇒==⇒−
−= 
 
Exemplos 
 
1) Determine a inclinação da reta apresentada no gráfico abaixo. 
 
Resolução 
Uma das forma de determinar a inclinação de uma reta é 
aplicar a fórmula 
12
12
xx
yya −
−= . Para isso devemos conhecer 
ao menos dois dos pontos da reta. Note, que no gráfico 
apresentado, temos bem definidos dois de seus pontos, 
que são as intersecções da reta com os eixos coordenados. No eixo Ox, vamos 
−4 −2 2 4
−4
−2
2
4
 40
denominar o ponto de A, então A = (-2,0) e no eixo Ou, vamos denominar de B, 
então B = (0,4). Seja então, x1 = -2, x2 = 0, y1 = 0 e y2 = 4, substituindo em 
12
12
xx
yya −
−= , teremos 2
2
4
)2(0
04a ==−−
−= . Logo, o coeficiente angular dessa reta, ou 
a declividade é igual a 2. 
 
2) Determine a equação da reta do exemplo anterior. 
 
Resolução 
 Uma das formas de determinar a equação de uma reta é usar a 
equação reduzida da reta, dada por: y – y0 = m(x – x0), onde m é o coeficiente 
angular da reta, também conhecido por “a” e as coordenadas (x0,y0) representam as 
coordenadas de qualquer ponto conhecido da reta. Para o exemplo em questão, 
conhecemos as coordenadas dos pontos A e B, portanto pode-se usar qualquer um 
dos dois pontos. Ainda temos o coeficiente angular m = a = 2. Substituindo o 2 e o 
ponto A, por exemplo, teremos: y – y0 = m(x – x0), ⇒ y – (0) = 2(x – (-2)) ⇒ y = 2x + 
4. 
Portanto, a equação da reta é dada por: y = 2x + 4. 
 
2.4.6. Função Quadrática 
 
Definição: uma aplicação f de R em R recebe o nome de função 
quadrática ou do 2º grau quando associa a cada x R∈ o elemento 
(ax2 + bx + c) R∈ , onde a ≠ 0. 
0ac,bxax(x)fyx
:f
2 ≠++==
ℜ→ℜ
a
 
 
Exemplos 
 
a) f (x) = x2 – 2x + 3; a = 1; b = -2; c = 3 
b) f (x) = -2x2 + 5x – 1; a = -2; b = 5; c = -1 
c) f (x) = x2 – 4; a = 1; b = 0; c = -4 
Web 
Aula 6 
Função 
do 2º grau 
 41
d) f (x) = -2x2 + 3x; a = -2; b = 3; c = 0 
e) f (x) = -4x2; a = -4; b = 0; c = 0 
 
Gráfico: o gráfico da função quadrática f (x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0, é uma parábola. 
 
Concavidade 
a) a > 0 ⇒ concavidade voltada para cima (boca pra cima) 
 
 
 
 
b) a < 0 ⇒ concavidade voltada para baixo (boca pra baixo) 
 
 
 
 
Zeros da função do 2° grau 
Os zeros ou raízes da função quadrática y = f (x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0 são 
os valores de x reais tais que f (x) = 0 e, portanto, as soluções da equação do 2º 
grau 
ax2 + bx + c = 0 na incógnita x. 
 
Discussão: ax2 + bx + c = 0; Δ = b2 – 4ac (discriminante da equação do 2º grau) 
1º) Δ > 0, a equação apresenta duas raízes reais e distintas 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−−=
+−=
2a
Δbx
2a
Δbx
2
1
 
(a parábola corta o eixo dos x em dois pontos) 
2º) Δ = 0, a equação apresenta duas raízes reais e iguais ⎩⎨
⎧ −==
2a
bxx 21 
(a parábola tangencia o eixo dos x) 
 
3º) Δ < 0, a equação não apresenta raízes reais, pois ℜ∉Δ . 
(a parábola não corta o eixo dos x) 
x 
y 
y 
x 
 42
 
Exemplo 
 
Determine os valores de m para que a função quadrática 
 f (x) = mx2 + (2m – 1)x + (m – 2) tenha dois zeros reais e distintos. 
 
Resolução 
Para a função ser quadrática, devemos ter a = m ≠ 0. 
Para que a função tenha dois zeros reais e distintos, devemos ter Δ > 0. 
Δ > 0 ⇒ (2m – 1)2 – 4m (m – 2) > 0 
 4m2 – 4m + 1 – 4m2 + 8m > 0 
 4m + 1 > 0 
 4m > -1 
 m > 
4
1− 
Portanto, devemos ter: m ≠ 0 e m > 
4
1− 
 
Vértice da Parábola: o ponto V = (
4a
Δ,
2a
b −− ) é chamado vértice da parábola 
representativa da função quadrática. 
 
 Máximo e Mínimo: dizemos que o número yM ∈ Im (f) (ou ym ∈ Im (f)) é o valor de 
máximo (ou mínimo) da função y = f (x) se, e somente se, yM ≥ y (ou ym ≤ y) para 
qualquer y ∈ Im (f) e o valor xM ∈ D (f) (ou xm ∈ D (f)) tal que yM = f (xM) (ou ym = f 
(xm)) é chamado ponto de máximo (ou mínimo) da função. 
Teorema: 
A função quadrática y = ax2 + bx + c, a ≠ 0 admite um valor máximo (ou mínimo) 
 y = 
4a
Δ− em x = 
2a
b− se, e somente se, a < 0 (ou a > 0). 
 
Exemplos 
 
 43
1) Determine o valor máximo ou o valor mínimo e o ponto de máximo ou o ponto de 
mínimo das funções abaixo, definidas em ℜ . 
a) y = 4x2 – 8x + 4 
Resolução: 
a) y = 4x2 – 8x + 4; a = 4 > 0 ⇒ y = 
4a
Δ− é o valor mínimo da função, no ponto de 
mínimo x = 
2a
b− . 
Δ = b2 – 4ac 
Δ = (-8)2 – 4 . 4 . 4 
Δ = 64 – 64 = 0 
Portanto, o valor mínimo da função é ym = 0 e o ponto de mínimo da função é: 
 xm = 2a
b− = 1
8
8 =−− . Logo, o vértice é o ponto V = (1, 0). 
 
2.4.6.1 Exercícios 
 
1) Determine o valor máximo ou o valor mínimo e o ponto de máximo ou o ponto de 
mínimo das funções abaixo, definidas em ℜ . 
y = -3x2 + 12x 
 
2) Determine o valor de m na função real f (x) = (m – 1)x2 + (m + 1)x - m para que o 
valor mínimo seja 1. 
 
 
Domínio e Imagem: D (f) = ℜ . Para determinarmos a Im (f), fazemos: 
f (x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0 
a) a > 0 ⇒ y }
4a
Δy/{y(f)Imx,
4a
Δ −≥ℜ∈=∴ℜ∈∀−≥ 
b) a < 0 ⇒ y }
4a
Δy/{y(f)Imx,
4a
Δ −≤ℜ∈=∴ℜ∈∀−≤ 
 
Exemplos 
 44
1) Obter a imagem da função f de ℜ em ℜ definida por: f (x) = 2 x2 – 8x + 6. 
a = 2 > 0 ⇒ }
4a
Δy/{y(f)Im −≥ℜ∈= 
Vamos determinar Δ : 
Δ = b2 – 4ac 
Δ = (-8)2 – 4 . 2 . 6 
Δ = 64 – 48 = 16 
 
Portanto, }
4a
Δy/{y(f)Im −≥ℜ∈= = 2}y/{y(f)Im}
8
16y/{y −≥ℜ∈=⇒−≥ℜ∈ 
 
2) Determinar m na função f (x) = 3x2 – 4x + m definida em ℜ para que a imagem 
seja Im (f) = { 2}y/y ≥ℜ∈ 
a = 3 > 0 ⇒ }
4a
Δy/{y(f)Im −≥ℜ∈= 
Vamos determinar Δ : 
Δ = b2 – 4ac 
Δ = (-4)2 – 4 . 3 . m 
Δ = 16 – 12m 
}
12
12m-16-y/{y}
4a
Δy/{y(f)Im ≥ℜ∈=−≥ℜ∈=∴ 
Como queremos que Im (f) = { 2}y/y ≥ℜ∈ , fazemos: 
3
10
12
40m4012m2412m162
12
12m16 ==⇒=⇒=+−⇒=−− 
 
Sinal da Função Quadrática: f (x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0 
1º caso: Δ < 0 ⇒ a equação ax2 + bx + c = 0 não apresenta raízes reais ⇒ a 
parábola não corta o eixo dos x. 
 
a) a > 0 
 
 
 
 
x 
y 
f (x) > 0 
+ + + + + + + + + + 
m/a 
x 
 45
 
 
 
b) a < 0 
 
 
2º caso: Δ = 0 ⇒ a equação ax2 + bx + c = 0 apresenta duas raízes reais e iguais: 
x1 = x2 = 2a
b− ⇒ a parábola tangencia o eixo dos x. 
 
a)a > 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) a < 0 
 
 
 
 
 
3º caso: Δ > 0 ⇒ a equação ax2 + bx + c = 0 apresenta duas raízes reais e 
distintas 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−−=
+−=
2a
Δbx
2a
Δbx
2
1
 ⇒ a parábola corta o eixo dos x em dois pontos. 
 
 
 
 
y 
x 
f (x) < 0 
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
m/a 
x 
x 
y 
f (x) > 0 f (x) > 0 
f (x) = 0 
 + + 
m/a 
x 
m/a 
f (x) = 0 
x1 = x2 
 _ _ 
m/a 
x 
m/a 
f (x) = 0 
x1 = x2 
x 
y 
f (x) < 0 f (x) < 0 
f (x) = 0 
 46
 
a) a > 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) a < 0 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos 
 
Faça o estudo completo das funções: 
1) f (x) = x2 – 2x + 1 
2) f (x) = x2 – x – 6 
 
Resolução: 
1) f (x) = x2 – 2x + 1; a = 1 > 0 ⇒ a parábola tem a concavidade voltada para cima. 
Vamos achar as raízes da função. Para isso, fazemos f (x) = 0 e obtemos a seguinte 
equação na incógnita x: 
x2 – 2x + 1 = 0 
Δ = b2 – 4ac 
Δ = (-2)2 – 4 . 1 . 1 
x 
y 
f (x) > 0 
f (x) > 0 
f (x) = 0 f (x) = 0 
f (x) < 0 
m/a 
x 
m/a 
f (x) = 0 
x1 x2 
f (x) = 0 + + _ 
c/a 
f (x) < 0 
x 
y 
f (x) < 0 
f (x) = 0 f (x) = 0 
f (x) > 0 
+ _ _ 
m/a 
x 
m/a 
f (x) = 0 
x1 x2 
f (x) = 0 
c/a 
 47
Δ = 4 – 4 = 0, temos, portanto, duas raízes reais e iguais: x1 = x2 = 12
2
2a
b =−−=− 
Portanto, a parábola tangencia o eixo x. 
 
 
 
Sinal: 
Para x < 1⇒ f (x) > 0 
Para x = 1 ⇒ f (x) = 0 
Para x > 1 ⇒ f (x) > 0 
Vértice: V = (
4a
Δ,
2a
b −− ) = (1, 0) ⇒ ponto de mínimo da função 
Imagem: Im (f) = 0}y/{y}
4a
Δy/{y ≥ℜ∈=−≥ℜ∈ 
 
2) f (x) = x2 – x – 6; a = 1 > 0 ⇒ a parábola tem a concavidade voltada para cima. 
Vamos achar as raízes da função. Para isso, fazemos f (x) = 0 e obtemos a seguinte 
equação na incógnita x: 
x2 – x – 6 = 0 
Δ = b2 – 4ac 
Δ = (-1)2 – 4 . 1 . (-6) 
Δ = 1 + 24 = 25 > 0, temos, portanto, duas raízes reais e distintas 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=−=
==
⇒±=±−=
2
2
4x
ou
3
2
6x
2
51
2a
Δbx
2
1
 
Portanto, a parábola intercepta o eixo x em dois pontos. 
 
 
 
 
 
 
-2 
f (x) = 0 + + 
x 
m/a m/a 
3 
f (x) = 0 _ 
c/a 
1 
f (x) = 0 + + 
x 
m/a m/a 
 48
Sinal: 
Para x < -2 ⇒ f (x) > 0 Para x = -2 ⇒ f (x) = 0 
Para -2 < x < 3 ⇒ f (x) < 0 Para x = 3 ⇒ f (x) = 0 
Para x > 3 ⇒ f (x) > 0 
Vértice: V = (
4a
Δ,
2a
b −− ) = )
4
25,
2
1( − ⇒ ponto de mínimo da função 
Imagem: Im (f) = }
4
25y/{y}
4a
Δy/{y −≥ℜ∈=−≥ℜ∈ 
 
2.4.6.1.2 Exercício 
 
Faça o estudo completo da função definida por: f (x) = -2x2 + 3x - 2 
 
2.4.7 Função Exponencial 
 
Definição: chama-se função exponencial de base a, com { }1a −ℜ∈ ∗+ ,a função f de 
∗
+ℜ→ℜ definida por xaf(x) = . 
 
Exemplos 
 
1) Construa os o gráficos das funções exponenciais ∗+ℜ→ℜ:f definidas por 
x2f(x) = e x)
2
1(g(x) = e em seguida, comparando-os escreva algumas 
conclusões. 
x -3 -2 -1 0 1 2 3 
x2f(x)y == 
8
1
2
12 3
3 ==− 
4
1
2
12 2
2 ==−
2
12 1 =− 120 = 221 = 422 = 823 = 
 49
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conclusões 
a) O gráfico da função exponencial está sempre acima do eixo Ox, pois 
ℜ∈∀> x,0ax . 
b) O gráfico da função exponencial sempre intercepta o eixo Oy no ponto (0,1), pois 
{ }1a,1a0 −ℜ∈∀= ∗+ . 
c) Se a > 1 a função exponencial é estritamente crescente. 
d) Se 0 < a < 1 a função exponencial é estritamente decrescente. 
e) A função exponencial é sobrejetora, pois o contradomínio e o conjunto imagem 
são, ambos, iguais a ∗+ℜ . 
f) A função exponencial é injetora, pois qualquer reta horizontal intercepta seu 
gráfico no máximo uma vez. 
g) A função exponencial é, pois, bijetora. 
x -3 -2 -1 0 1 2 3 
x
2
1(g(x)y )== 82)
2
1( 33 ==− 42)
2
1( 22 ==− 22)
2
1( 11 ==− 1)
2
1( 0 =
2
1)
2
1( 1 = 4
1)
2
1( 2 = 8
1)
2
1( 3 =
−4 −3 −2 −1 1 2 3
2
−1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
f(x) 
−4 −3 −2 −1 1 2 3
2
−1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
g(x)
 50
h) 21
xx xxaa 21 =⇔= , pois a função exponencial é injetora. 
i) Se a > 1, então 21
xx xxaa 21 ≥⇔≥ , pois a função exponencial é estritamente 
crescente. 
j) Se 0 < a < 1, então 212
x1x xxaa ≤⇔≥ , pois a função exponencial é estritamente 
decrescente. 
 
2) Determine m ℜ∈ para que a função f (x) = (2m – 1)x seja crescente em ℜ. 
Resolução 
Vimos que a função exponencial f (x) = ax é estritamente crescente quando a > 1. 
Na função dada, a = 2m – 1. Logo, fazemos: 
2m – 1 > 1 ⇒ 2m > 2 ⇒ m > 1 
3) Esboce o gráfico e determine o conjunto imagem da função de domínio ℜ : 
f (x) = 2x – 2 
x -3 -2 -1 0 1 2 3 
2-2f(x)y x== 2-3 – 2 = 
8
15
 8
1 −=− 2 
2-2 – 2 = 
4
7
4
1 −=− 2 
2-1 – 2 = 
2
3
2
1 −=− 2
20 – 2 
= 1 – 
2 = -1 
21 – 2 
= 2 – 
2 = 0 
22 – 2 
= 4 – 
2 = 2 
23 – 2 
= 8 – 2 
= 6 
 
2}y/{y(f)Im −>ℜ∈= 
 
 
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 51
2.4.8 Função Logarítmica 
 
Definição: chama-se função logarítmica de base a, com a > 0 e 1a ≠ , a função 
ℜ→ℜ∗+:f definida por xlog(x)f a= . 
Definição de Logaritmo: se 010,, >≠<ℜ∈ beaba , então 
baxb xa =⇔=log . (lê-se: “logaritmo de b na base a” balog→ ), onde: b é o 
logaritmando; a é a base do logaritmo; x é o logaritmo. 
 
Exemplos de Gráficos 
 
1º) Construa os gráficos das funções ℜ→ℜ∗+:f definida por xlog(x)f 2= e 
xlog(x)
2
1=g e em seguida, comparando-os, escreva algumas conclusões. 
x 
8
1 
4
1 
2
1 1 2 4 
xlog(x)fy 2== 
3
)(2log
l)
8
1(log
3
2
2
−
=
=
− 
2
)(2log
)
4
1(log
2-
2
2
−
=
=
 
1
)(2log
)
2
1(log
1-
2
2
−
=
=
 0
1log 2
=
 
1
2log 2
=
 
2
2log
4log
2
2
2
=
=
 
x 
8
1 
4
1 
2
1 1 2 4 
xlog(x)fy 2== 
3
)
2
1(log
)
8
1(log
3
2
1
2
1
=
=
 
2
)
2
1(log
)
4
1(log
2
2
1
2
1
=
=
 1
)
2
1(log
2
1
=
 
0
1log
2
1
=
 
1
)
2
1(log
2log
1
2
1
2
1
−=
=
− 
2
)
2
1(log
4log
2-
2
1
2
1
−=
=
 
 52
 
 
 
Conclusões 
a) O gráfico da função logarítmica está sempre “à direita do eixo Oy”, pois seu 
domínio é ∗+ℜ . 
b) O gráfico da função logarítmica sempre intercepta o eixo Ox no ponto (1,0), pois 
{ }1a,01log a −ℜ∈∀= ∗+ . 
c) Se a > 1 a função logarítmica é estritamente crescente. 
d) Se 0 < a < 1 a função logarítmica é estritamente decrescente. 
e) A função logarítmica é sobrejetora, pois o contradomínio e o conjunto imagem são 
ambos iguais a ℜ . 
 53
f) A função logarítmica é injetora, pois qualquer reta horizontal intercepta o seu 
gráfico no máximo uma vez. 
g) A função logarítmica é, pois, bijetora. 
h) A função exponencial de ℜ em ∗+ℜ e a função logarítmica de ∗+ℜ em ℜ são 
inversas uma da outra. 
De fato: xx aya(x)f =⇒= . 
Trocando-se x por y e vice versa, vem: yax = . Isolando-se y, temos: 
xlogy a= . 
xlog(x)fa(x)f a
1x =⇔=∴ − 
i) Por serem inversas uma da outra, o gráfico da função exponencial e o 
gráfico da função logarítmica são simétricos em relação à bissetriz dos 
quadrantes ímpares que é a reta de equação y = x. 
 
Exemplos 
 
 1º) xlog(x)f)
2
1(f(x)
2
1
1x =⇔= − 
 
 
 
 
 
 
 
 
 54
2º) xlog(x)f2f(x) 2
1x=⇔= − 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
j) 0xxxlogxlog 212a1a >=⇔= , pois a função logarítmica é injetora. 
l) Se a > 1, então 0xxxlogxlog 212a1a >>⇔> , pois a função logarítmica é 
estritamente crescente. 
m) Se 0< a < 1, então 212a1a xx0xlogxlog <<⇔> , pois a função logarítmica é 
estritamente decrescente. 
 
Condições de Existência 
 
blogy a= , C.E.⎪⎩
⎪⎨
⎧
≠<
>
1a0
e
0b
 
 
 
Exemplo 
 
 55
Qual é o domínio da função 6)x(xlogy 2x −+= ? 
 
Resolução 
Para determinarmos o domínio da função devemos aplicar as condições de 
existência para a função blogy a= , que são: ⎪⎩
⎪⎨
⎧
≠<
>
1a0
e
0b
 
Observem que a = x e b = x2 + x – 6. Então fica: 
x2 + x – 6 > 0. Devemos, portanto, fazer o estudo do sinal de uma função quadrática. 
a = 1 > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima (boca pra cima). 
Igualando a zero para achar as raízes, temos: 
x2 + x – 6 = 0 
4acbΔ 2 −= 
Δ = 12 – 4 . 1 . (-6) 
Δ = 1 + 24 = 25 
 
 
 
 
 
 
e x > 0 e x ≠ 1 
 
 
 
 
 
2}x/{x(f)D >ℜ∈=∴ 
 
 
Exemplos 
 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
−=−=
⇒±−=±−=
2
2
4x
ou
3
2
6x
2
51
2a
Δbx
-3 2 
+ + _ 
-3 0 1 2 
 56
a) Construa o gráfico da função: f (x) = 22 xlog . C.E.: x ≠ 0 
 
 
x y = f (x) = 22 xlog x y = f (x) = 
2
2 xlog 
-8 
62log
(8)log8)(log
6
2
2
2
2
2
==
=−
 2
1 
2)(2og
l)
2
1(log
21
2
2
2
−=
=
−
 
-4 
42log
(4)log4)(log
4
2
2
2
2
2
==
=−
 
1 0(1)log 22 = 
-2 2(2)log2)(log 22
2
2 ==− 2 2(2)log 22 = 
-1 0(1)log1)(log 22
2
2 ==− 4 42log(4)log 4222 ==
2
1− 
2)(2log
)
2
1(log)
2
1(log
21
2
2
2
2
2
−==
=−
−
 
8 62log(8)log 62
2
2 ==
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Seja f (x) = )(2xlog 2 . Determine: 
1º) o domínio de f; 
2º) os valores de x, tais que f (x) = 1 
Observação: quando a base do logaritmo não é especificada, vale 10. Por exemplo, 
3log3log 10= . 
Também usamos a seguinte notação: 
 57
 5ln5log e = , onde e = 2,7182818284590453..., chamado número de Nepper, é um 
número real irracional para o qual usamos a seguinte aproximação: 2,718e ≅ . 
Resolução 
1º) blogy a= , C.E.⎪⎩
⎪⎨
⎧
≠<
>
1a0
e
0b
 
Em y = f (x) = )(2xlog 2 , a = 10. Vamos, portanto, impor a condição: b = 2x2 > 0. 
Temos então, uma função quadrática cujas raízes são reais e iguais: x1 = x2 = 0. 
 
 
 
∗ℜ=≠ℜ∈=∴ 0}x/{xD 
2º) f (x) = 1 ⇒ )(2xlog 2 = 1, pela definição de logaritmo, x = xa abblog =⇔ , vem: 
101 = 2x2 ⇒ x2 = 5 ⇒ x = 5± 
 
c) Dada f (x) = 
2x
xlog
2
2 + , calcule se existir: 
1º) f (0) 
f (0) = ∴==+ 0log2
0log
2x
xlog 22
2
2 não existe. 
2º) f (-1) 
f (-1) = 01log
1
1log
21-
(-1)log
2x
xlog 22
2
2
2
2 ===+=+ 
3º) f (-4) 
f (-4) = ∴−==+=+ 8)(log2-
16log
24-
(-4)log
2x
xlog 22
2
2
2
2 não existe 
 
2.4.9 Função Modular 
 
Definição: uma aplicação de ℜ em ℜ recebe o nome de função módulo ou 
modular quando a cada x ℜ∈ associa o elemento ℜ∈x . 
0 
+ + 
 58
xx
:f
a
ℜ→ℜ
 
Utilizando o conceito de módulo de um número real, a função modular 
pode ser definida da seguinte forma: 
⎩⎨
⎧
≥
<−=
0xsex,
0xsex,
(x)f 
 
Gráfico: o gráfico da função modular é a reunião de duas semi-retas de origem O, 
que são as bissetrizes do 1º e 2º quadrantes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Domínio e Imagem: 
Domínio: D (f) = ℜ . 
Imagem: Im (f) = +ℜ 
 
Exemplos 
 
a) Construir o gráfico da função real definida por: 2x(x)f += 
 
Resolução 
⎩⎨
⎧
−<⇒<+−−
−≥⇒≥++=⇒+=
2x02xse2,x
2x02xse2,x
(x)f2x(x)f 
Portanto, a função f (x) será a reta x +2, para valores de x ≥ -2 e a função f (x) será 
a reta –x – 2, para valores de x < -2. 
 
f (x) = -x f (x) = x 
 59
 
 
 
 
 
 
b) Construir o gráfico da função definida em ℜ por: f (x) = |x – 1| + 1. 
 
Resolução 
Seja ⎩⎨
⎧
<⇒<−+−
≥⇒≥−−=⇒−=
1x01xse1,x
1x01xse1,x
(x)g1x(x)g 
Portanto, a função g (x) será a reta x – 1, para valores de x ≥ 1 e a função g (x) será 
a função –x + 1, para valores de x < 1. 
Logo, a função f (x) será dada por g (x) + 1, ficando f (x) = x, para valores de x ≥ 1 e 
f (x) = -x + 2, para valores de x < 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Construir o gráfico da função definida em ℜ por: f (x) = |x + 2| + x – 1. 
 
Resolução 
⎩⎨
⎧
−<⇒<+−−
−≥⇒≥++=+
2x02xse2,x
2x02xse2,x
2x 
Portanto, a função f (x) será : 
f (x) = x + 2 
f (x) = -x - 2 
g (x) = x - 1 
g (x) = -x + 1 
f (x) = x 
f (x) = -x + 2 
 60
a) para 2x −≥ 
f (x) = x + 2 + x – 1 
f (x) = 2x + 1 
b) para x < -2 
f (x) = -x – 2 + x – 1 
f (x) = -3 
Logo, ⎩⎨
⎧
−<−
−≥+=
2xse3,
2xse1,2x
(x)f 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Construir o gráfico da função definida em ℜ por: f (x) = |2x + 1| + |x – 1| 
Resolução 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−<⇒−<⇒<+−−
−≥⇒−≥⇒≥++
=+
2
1x12x012xse1,2x
2
1x12x012xse1,2x
12x 
⎩⎨
⎧
<⇒<−+−
≥⇒≥−−=−
1x01xse1,x
1x01xse1,x
1x 
Os intervalos de x, ficam: 
 
 
 
 
Portanto, a função f (x) será: 
a) para 
2
1x −< (todo 
2
1x −< , será < 1) 
f (x) = -2x – 1 – x + 1 
f (x) = 2x + 1 
f (x)
2
1− 1 2
1x −< 1x
2
1 <≤− 1x ≥
 61
f (x) = -3x 
 
b) para 1x
2
1 <≤− 
f (x) = 2x + 1 – x + 1 
f (x) = x + 2 
 
c) para 1x ≥ (todo x ≥ 1, será > 
2
1− ) 
f (x) = x – 1 + 2x + 1 
f (x) = 3x 
Logo, 
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
≥
<≤−+
−<−
=
1xse3x,
1x
2
1se2,x
2
1xse3x,
(x)f 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Construir o gráfico da função definida em ℜ por: f (x) = ||2x – 2| - 6| 
 
Resolução 
Inicialmente vamos chamar de h (x) a função: |2x – 2|. Teremos então: 
f (x) = -3x 
f (x) = x + 2 
f (x) = 3x 
 62
⎩⎨
⎧
<⇒<⇒<−+−
≥⇒≥⇒≥−−=−=
1x22x022xse2,2x
1x22x022xse2,2x
22x(x)h 
Chamando de g (x) a função h (x) – 6, teremos: 
a) para 1x ≥ 
g (x) = 2x – 2 – 6 
g (x) = 2x – 8 
b) para x < 1 
g (x) = -2x + 2 – 6 
g (x) = -2x –4 
Finalmente, temos que f (x) = |g (x)|. 
 
f (x) = |g (x)|
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<−−=
≥−=
⇒
(2)1xpara,42x(x)f
ou
(1)1xpara,82x(x)f
 
Analisando (1): 
 
 
 
 
 
⎩⎨
⎧
<≤+−
≥−=∴
4x1se8,2x
4xse8,2x
(x)f (3) 
 
Analisando (2): 
⎩⎨
⎧
<−>⇒<−⇒<−−+
<−≤⇒≥−⇒≥−−−−=⇒−−=
1xe2x42x042xse4,2x
1xe2x42x042xse4,2x
(x)f42x(x)f 
 
 
 
 
 
 
 
 
⎩⎨
⎧
<<−+
−≤−−=∴
1x2se4,2x
2xse4,2x
(x)f (4) 
 
De (3) e (4), temos que a função f (x) é dada por: 
1 4 
-2 1 
 63
 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥−
<≤+−
<<−+
−≤−−
=∴
4xse8,2x
4x1se8,2x
1x2se4,2x
2xse4,2x
(x)f 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.5 APLICAÇÕES DAS FUNÇÕES 
 
As funções são os principais instrumentos para descrever 
matematicamente o mundo real. Com as funções pode-se estudar, por exemplo, as 
alterações na freqüência cardíaca, o crescimento populacional de uma bactéria, o 
movimento dos planetas e muito mais. Muitas funções são importantes devido ao 
comportamento que descrevem, as funções exponenciais e logarítmicas, por 
exemplo, descrevem o crescimento e declínio, e as funções polinomiais, podem 
aproximar estas e muitas outras funções. 
 
2.5.1 Aplicação da função polinomial do 1º grau 
 
Exemplos 
f (x) = 2x - 8 
f (x) = -2x - 4 
f (x) = 2x + 4 f (x) = -2x +8 
f (x) = 2x -8 
 64
1) Uma pessoa vai escolher um plano de saúde entre duas opções: A e B. 
Condições dos planos:Plano A: cobra um valor fixo mensal de R$ 150,00 e R$ 22,00 por consulta num 
certo período. 
Plano B: cobra um valor fixo mensal de R$ 128,00 e R$ 27,00 por consulta num 
certo período. 
Temos que o gasto total de cada plano é dado em função do número de consultas x 
dentro do período pré – estabelecido. 
Vamos determinar: 
a) A função correspondente a cada plano. 
b) Em qual situação o plano A é mais econômico; o plano B é mais econômico; os 
dois se equivalem. 
c) Esboce um gráfico de comparação das duas funções dos dois planos. 
d) Para uma pessoa que tem certeza que usará no máximo 3 consultas por mês, 
qual é a melhor opção de plano? 
 
Resolução 
a) Para determinar a função correspondente a cada plano, vamos adotar a função 
do plano A como PA(x) e função correspondente ao plano B, como PB(x). Então 
teremos: 
Plano A: PA(x) = Valor fixo mensal + Valor de uma consulta X a quantidade de 
consultas realizadas, ou seja, PA(x) = 22x + 150 
Plano B: Valor fixo mensal + Valor de uma consulta X a quantidade de consultas 
realizadas, ou seja, PB(X)= 27x + 128 
 
b) Para que o plano A seja mais econômico: 
PB(x) > PA(x) 
27x + 128 > 22x + 150 
27x – 22x > 150 – 128 
5x > 22 
x > 22/5 
x > 4,4 
 65
Como o “x” corresponde a um número de consulta e essas admitem apenas valores 
inteiros (ninguém marca ½ consulta!), então devemos considerar o x > 4. Logo, o 
plano A será mais econômico, para um número de consultas igual ou superior a 5. 
 
Para que o Plano B seja mais econômico, como podemos notar na resolução 
anterior, o número de consultas tem de ser igual ou inferior a 4. 
 
Para que eles sejam equivalentes, devemos ter um número de consulta que faça 
que o pagamento dos dois planos sejam idênticos. Para isso devemos resolver: 
PB(x) = PA(x) 
27x + 128 = 22x + 150 
o que resultará em x = 4,4. Logo, não existirá um número de consulta que torne 
esses planos equivalentes, pois 4,4, como já vimos, não é um número admissível 
para consultas, ou seja, não faz parte do domínio dessas funções. 
 
c) Para esboçar o gráfico de cada uma dessas funções, são suficientes dois pontos, 
pois são funções do 1º grau, e desta forma, seus gráficos são representados por 
retas. Então, dê dois valores inteiros para o x de cada questão e determine o valor 
do plano para cada x. Esboce o gráfico. Como o objetivo é comparar as duas 
funções, então os gráficos serão esboçados em um mesmo plano cartesiano. 
 
Observações sobre o gráfico: 
Os dois gráficos tem um ponto I de encontro. Esse 
ponto é o suposto ponto de equilíbrio, ou seja, o ponto 
que torna os dois planos médicos equivalentes. Mas 
como vimos, esse ponto está para x = 4,4, logo ele é 
“fictício”. 
Também é importante observar que essas retas não 
deveriam ser traçadas com essas linhas contínuas, já que a função não está definida 
para todos os números reais, e sim para os valores inteiros de x ≥ 0. Logo, os 
gráficos dessas funções estão representados apenas pelos pontos sobre a linha. 
Note ainda, que as retas não estão traçadas à esquerda do eixo y, pois não existe 
quantidade de consulta negativa. 
 
−2 2 4 6
−40
40
80
120
160
200
240
280
n.consultas
Valor a ser pago
I
 66
d) Para uma pessoa que usará apenas 3 vezes por mês o plano de saúde, ou seja, 
passará por consulta no máximo 3 vezes por mês, o melhor plano é o B. 
 
2) (Vunesp) Apresentamos a seguir o gráfico do volume 
do álcool em função de sua massa, a uma temperatura 
fixa de 0ºC. 
Com base nos dados do gráfico, determine: 
a) a lei da função apresentada no gráfico. 
b) a massa (em gramas) de 30 cm³ de álcool. 
 
Resolução 
a) A lei de formação dessa reta é dada pela equação da reta. Já vimos que das 
formas de determinar a equação de uma reta é usar a equação reduzida da reta, 
dada por: y – y0 = m(x – x0), onde m é o coeficiente angular da reta. As coordenadas 
(x0,y0) representam as coordenadas de qualquer ponto conhecido da reta. Para o 
exemplo em questão, conhecemos as coordenadas dos pontos O(0,0) e A,(40,50), 
portanto pode-se usar qualquer um dos dois pontos. 
O coeficiente angular m, será determinado por: 
12
12
xx
yym −
−= , logo 
4
5
40
50
040
050m ==−
−= 
Substituindo o “m” e o ponto “O”, na equação reduzida da reta, teremos: 
y – y0 = m(x – x0), ⇒ y – (0) = 
4
5 (x-0) ⇒ y = 
4
5 x . 
Portanto, alei da função apresentada no gráfico é V(x) = 
4
5 x . 
 
b) O “x representa a massa e V o volume. Logo, para V = 30 cm³, teremos que 
30 = 
4
5 x ⇒ 30x4 = 5x ⇒ 120 = 5x ⇒ x = 120/5 ⇒ x = 24. Logo a massa é de 24g. 
 
2.5.2 Aplicação da função polinomial do 2º grau 
 
40
50
Volume(m^3)
Massa(g)(0,0)
 67
Exemplos 
 
1) (Faap-SP) Suponha que no dia 5 de dezembro de 1995 o Serviço de Meteorologia 
do Estado de São Paulo tenha informado que a temperatura na cidade de São Paulo 
atingiu o seu valor máximo às 14h00, e que nesse dia a temperatura f(t) em graus é 
uma função do tempo t medido em horas, dada por f(t) = -t² + bt – 156, quando 8 < t 
< 20. Obtenha o valor do b. 
 
Resolução 
Os dados fornecidos no problema são: 
- A função f(t) = -t² + bt – 156 (1) 
- A abscissa do ponto de máximo dessa função, ou seja xv = 14 (2) 
O problema pede: 
Determinar o valor do “b”. 
 
Sabemos que para determinar o xv da função do 2º grau, pode-se usar a fórmula: 
a2
bxv −= (3) 
Na função dada em (1), tem-se que a = -1 e “b” é desconhecido. Em (2) tem-se que 
o xv = 14 . 
Substituído (1) e (2) em (3), vem que: 
28bb28
)1.(2
b14
a2
bxv =⇒−=−⇒−−=⇒−= . 
 
Logo, b = 28. 
 
2) (UFPE) Num vôo com capacidade para 100 pessoas, uma companhia aérea 
cobra R$ 200,00 por pessoa quando todos os lugares estão ocupados. Se existirem 
lugares não ocupados, o preço de cada passagem será acrescido a importância de 
R$ 4,00 para cada lugar não ocupado (por exemplo, se existirem 10 lugares não 
ocupados o preço de cada passagem será de R$ 240,00). Quantos devem ser os 
lugares não ocupados para que a companhia obtenha o faturamento máximo? 
 
Resolução 
 68
Vamos, inicialmente, fazer uma simulação da relação existente entre números de 
cadeiras não ocupadas, valor a ser acrescido no pagamento por pessoa e valor que 
a empresa receberá pelo total de pessoas no avião. 
 
Nº de lugar vazio Nº de pessoas no avião Valor acrescido por 
passageiro (R$) 
Receberá pelo total de 
pessoas no avião 
 
1 (100 – 1) = 99 4 (100-1) x (200 +4.1) 
2 (100 – 2) = 98 8 = 4.2 (100-2) x (200 +4.2) 
3 (100 – 3) = 97 12 = 4.3 (100-3) x (200 +4.3) 
4 (100 – 4) = 96 16 = 4.4 (100-4) x (200 +4.4) 
. . . 
...
...
. . . 
10 (100-10) = 90 40 = 4 . 10 (100-10) x (200 + 4.10)
. . . 
...
...
. . . 
n (100 – n) 4n (100-n) x (200 + 4.n) 
 
Então, a função que expressa o valor a ser acrescido é uma função de variável 
independente “n”, em que n é o número de cadeiras vazias, tal que 
f(n) = (100-n) x (200 + 4.n) 
o desenvolvimento dessa função, nos leva a uma função do 2º grau, observe: 
f(n) = 20.000 + 400n – 200n – 4n² 
f(n) = 20.000 + 200n – 4n² 
O problema pede o número de lugares para a empresa obter faturamento máximo. 
Como se trata de uma função do 2º grau e com concavidade para baixo, então o 
número de pessoas para que o faturamento seja máximo está representado no 
vértice dessa função, ou seja: 
25b
8
200
)4.(2
200x
a2
bx vv =⇒⇒−−=⇒−= . 
 
Para empresa obter o faturamento máximo o número máximo de acentos não 
ocupados deve ser 25. 
 
3) A quantidade demandada de bolas de futebol da marca “Esporte Máximo” é dada 
pela lei qd = 900 – p², onde qd é a quantidade demandada e p é