AULA DE VETORES -2015

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Faculdade Pitágoras /Fama – São Luís
 Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Vetorial
Professor: José de Ribamar Serra Dutra(Zeca Dutra)
Graduado em Engenharia Elétrica(UFMA)
Graduado em Licenciatura em Matemática(IFMA)
Pós-graduado em Eng. de Segurança do Trabalho(FAMA)
Prof. Zeca Dutra
1
 
 MATRIZES
 
Prof. Zeca Dutra
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3
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6
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8
9
10
11
12
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SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
Denomina-se sistema linear m x n o conjunto S e m equações em n incógnitas que pode ser representado da seguinte forma:
 
 a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1
 a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b2
 S . . . 
 . . . 
 am1x1 + am2x2 + am3x3 + ... + amnxn = bm
  a11, a12, a13, a1n. . ., amn 
 b1, b2, …, bm
 x1, x2, x3,..., xn 
 Exemplo:
 
 
 
 
 
16
17
CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR
Os sistemas lineares são classificados quanto ao número de soluções em da seguinte forma:
 
 
 
 
 
SISTEMA LINEAR
POSSÍVEL
Quando admite solução.
IMPOSSÍVEL
Quando não admite solução.
DETERMINADO:
Admite uma única solução.
INDETERMINADO:
Admite infinitas soluções.
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21
RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR POR ESCALONAMENTO
Um sistema é dito escalonado quando está disposto nas seguintes formas:
 x + 3y = 4 
 0x – 5y = 1
  x + 2y - z = 2
 0x +5y + z = 1
 0x + 0y – z = 7 
Observe que, nestes exemplos, na primeira equação aparecem todas as incógnitas, na 2ª desaparece a incógnita x, 3ª equação, quando há desaparece a incógnita y, assim sucessivamente.
 
22
Método do escalonamento
É o processo usado para resolução de um sistema linear que envolve eliminação de incógnitas.
Este método procura transformar o sistema dado em sistemas equivalentes, até chegar a um sistema escalonado, usando as seguintes transformações elementares sobre as equações do sistema dado:
►Trocar as posições de duas equações.
►Multiplicar uma das equações por um número real diferente de zero.
►Multiplicar uma equação por um número real e adicionar o resultado a outra equação.
Exemplos:
1. Resolver os sistemas:
a) 4x – 3y = - 2
 2x + 4y = 10
 
23
b) x + 2y + 4z = 5
 2x – y + 2z = 8
 3x - 3y – z = 7 
c) x + 2y + 4z = 12
 3x – y + 2z = 14
 2x - 2y + z = - 3 
d) 4x - 3y + z = 3
 3x + y + 4z = - 1
 5x - 2y +3z = 2
 
24
 
EXERCÍCIOS
 
Prof. Zeca Dutra
25
 Alimento X
 Alimento Y
 Alimento Z
26
27
 Ovo frito
 Arroz
 Salada
Arroz
Ovo frito
Salada
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07. Observe os quadros I e II, anunciados em uma livraria.
 QUANTIDADE PREÇO (EM REAIS)
 
 (Quadro I) (Quadro II) 
a) Supondo que todos os livros A foram vendidos ao preço regular e todos os livros B foram vendidos ao preço de oferta, calcule a quantia arrecadada pela livraria na venda de todos os livros.
Sugestão: Escreva as tabelas dos quadros I e II na forma de matrizes e realize a multiplicação e responda corretamente.
 
Edição luxo
Edição bolso
Livro A
76
240
Livro B
50
180
 
Regular
Oferta
Ed. de luxo
8,00
6,00
Ed. de bolso
2,00
1,00
29
07. Observe os quadros I e II, anunciados em uma livraria.
 QUANTIDADE PREÇO (EM REAIS)
 
 (Quadro I) (Quadro II) 
a) Supondo que todos os livros A foram vendidos ao preço regular e todos os livros B foram vendidos ao preço de oferta, calcule a quantia arrecadada pela livraria na venda de todos os livros.
Sugestão: Escreva as tabelas dos quadros I e II na forma de matrizes e realize a multiplicação e responda corretamente.
 
Edição luxo
Edição bolso
Livro A
76
240
Livro B
50
180
 
Regular
Oferta
Ed. de luxo
8,00
6,00
Ed. de bolso
2,00
1,00
30
b) Considere agora o quadro III, que indica a quantia arrecadada na venda de certa quantidade de livros A e B (valores em reais).
 
 
 (Quadro III)
Utilizando esses dados e os apresentados no quadro II, calcule a quantidade vendida do livro A (ao preço regular, edição de luxo) e a quantidade vendida do livro B (ao preço de oferta, edição de bolso).
Sugestão: Escreva a matriz referente ao quadro I de forma genérica e faça a multiplicação com matriz do quadro II e utilize a matriz do quadro III para achar a resposta.
 
Preço (regular)
Preço (oferta)
Livro A
720,00
440,00
Livro B
560,00
340,00
31
32
33
34
35
15. Mariana e sua avó Benise foram com seu cachorro à farmácia de seu avô. Lá, encontram uma velha balança com defeito que só indicava corretamente “pesos” superiores a 60 kg. Assim eles pesaram dois a dois e obtiveram as seguintes marcas: 
Mariana e o cachorro, juntos 87 kg;
Mariana e Benise pesam 123 kg;
Benise e o cachorro pesam 66 kg.
Podemos afirmar que:
 
a) Cada um deles “pesa” menos que 60 kg.
b) Dois deles “pesam” mais que 60 kg.
c) Benise é a mais “pesada” de todas.
d) O peso de Benise é média aritmética dos “pesos” de Mariana e o cachorro.
e) Mariana é mais “pesada” que Benise e o cachorro juntos.
 
36
16. Um nutricionista pretende misturar três tipos de alimentos (A, B e C) de forma que a mistura resultante contenha 3 600 unidades de vitaminas, 2 500 unidades de minerais e 2 700 unidades de gorduras. As unidades por grama de vitaminas, minerais e gordura dos alimentos constam na tabela a seguir. Quantos gramas do alimento C devem compor a mistura?
 
Resp: 20 g
Vitaminas
Minerais
Gordura
A
40
100
120
B
80
50
30
C
120
50
60
37
 VETOR
 Grandeza escalar: É uma quantidade caracterizada por um número positivo ou negativo.
Exemplo: Massa, volume, comprimentos, carga elétrica, etc.
Grandeza vetorial: São aquelas que para ficarem bem representadas necessitam de: Módulo, direção e sentido.
Módulo: É representado graficamente através do tamanho do vetor ou através de um número acompanhado de uma unidade.
Direção: É a reta que dá suporte ao vetor e pode ser informada através de palavras como: horizontal, vertical, etc.
Sentido: É a orientação do vetor dada pela seta e também pode ser informada de palavras como: para esquerda, para direita, do ponto A para o ponto B, para baixo, etc.
 
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 VETOR
Definição 
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 B
 A
Quando escrevemos (figura abaixo), estamos afirmando que o vetor é determinado pelo segmento orientado AB. Porém, qualquer outro segmento de mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido de AB representa também o mesmo vetor .
 B
 
 A 
O módulo, a direção e o sentido de um vetor é o módulo, a direção e o sentido de qualquer um dos seus representantes. Indica-se o módulo de por .
 
40
Vetores no plano
Considere dois vetores não paralelos, representados com a origem no mesmo ponto O, sendo
e retas contendo estes representantes, respectivamente. (figura abaixo).
 
 
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41
Da figura anterior, temos:
Prof. Zeca Dutra
42
 
 
Prof.
Zeca Dutra
43
Prof. Zeca Dutra
44
(0,1)
(1,0)
x
y
Prof. Zeca Dutra
45
x
y
0
Prof. Zeca Dutra
46
Prof. Zeca Dutra
47
x
y
0
x
y
P
Prof. Zeca Dutra
48
x
0
y
P
x
0
y
Prof. Zeca Dutra
49
 Soma de dois vetores utilizando triângulo
Sejam os vetores representados na figura a seguir:
 
 
 
 
 
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50
 Soma de dois vetores utilizando paralelogramo
Sejam os vetores representados na figura a seguir:
 
 
 
 
 
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51
 Subtração de dois vetores utilizando triângulo
Sejam os vetores representados na figura a seguir:
 
 
 
 
 
Prof. Zeca Dutra
52
 Subtração de dois vetores utilizando paralelogramo
Sejam os vetores representados na figura a seguir:
 
 
 
 
 
Prof. Zeca Dutra
53
Prof. Zeca Dutra
54
O
A
B
x
y
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55
Prof. Zeca Dutra
56
 
 
Na figura seguinte fica claro que o fato dos segmentos orientados OP, AB e CD ocuparem posições diferentes, é irrelevantes. O que importa, é que eles tenham o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido para representar o mesmo vetor.
O
x
y
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57
A(- 2, 3)
B(1,4)
3
1
- 2
P (3, 1)
O
x
1
y
2
3
4
C(1, 2)
D(4, 3)
Prof. Zeca Dutra
58
A
C
B
1
2
3
5
- 4
3
4
5
- 2
x
O
y
Prof. Zeca Dutra
59
Prof. Zeca Dutra
60
M
B
A
y
x
Prof. Zeca Dutra
61
Prof. Zeca Dutra
62
x
0
X 
y
Y
 ▪
Y
X
0
A
B
Prof. Zeca Dutra
63
Prof. Zeca Dutra
64
Prof. Zeca Dutra
65
Prof. Zeca Dutra
66
Prof. Zeca Dutra
67
 
EXERCÍCIOS
 
Prof. Zeca Dutra
68
Prof. Zeca Dutra
69
x
y
Prof. Zeca Dutra
70
Prof. Zeca Dutra
71
Prof. Zeca Dutra
72
x
y
Prof. Zeca Dutra
73
x
y
+
Prof. Zeca Dutra
74
+
x
y
Prof. Zeca Dutra
75
x
y
Prof. Zeca Dutra
76
x
y
Prof. Zeca Dutra
77
x
y
Prof. Zeca Dutra
78
Prof. Zeca Dutra
79
Cada dupla de vetores de base determina uma dupla de eixos, e cada
dupla de eixos, determina um plano coordenado. Portanto, temos três planos coordenados: o plano xOy ou xy, o plano xOz ou xz e o plano yOz ou yz. As figuras I e II dão ideia dos planos xy e xz, respectivamente.
 
z
x
y
Prof. Zeca Dutra
80
y
z
x
O
y
z
x
O
Prof. Zeca Dutra
81
y
z
x
O
z
y
x
y
z
x
O
P
P
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82
2 - 3 + = (2, - 3, 1)
 
 
em particular, .
Para algumas observações, tomemos o paralelepípedo da figura a seguir, onde P(2, 4, 3). Faremos considerações a pontos como também poderíamos referi-las aos correspondentes vetores.
 
y
z
x
O
A
B
C
D
E
F
2
4
3
P
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Com base na figura, o ponto (x, y, z) está no
a) eixo dos x quando y = 0 e z = 0, tem-se A (2, 0 ,0);
b) eixo dos y quando x = 0 e z = 0, tem-se C (0, 4, 0)
c) eixo dos z quando x = 0 e y = 0, tem-se E (0, 0 ,3);
d) plano xy quando z = 0, tem-se B (2, 4 ,0);
d) plano xz quando y = 0, tem-se F (2, 0 ,3);
d) plano yz quando x = 0, tem-se D (0, 4 ,3);
O ponto B é a projeção de P no plano xy, assim como D e F são as projeções de P nos planos yz e xz, respectivamente. O ponto A(2, 0, 0) é a projeção de P(2, 4, 3) no eixo dos x, assim como C(0, 4, 0) e E(0, 0, 3) são as projeções de P nos eixos dos y e dos z, respectivamente.
a) PDEF distam 3 unidades do plano xy e estão acima dele, são pontos de cota z = 3, isto é, são pontos do tipo (x, y, 3);
b) PBCD distam 4 unidades do plano xz e estão à direita dele, são pontos de ordenada y = 4, isto é, são pontos do tipo (x, 4, z);
c) PFAB distam 2 unidades do plano yz e estão à frente dele, são pontos de abscissa x = 2, isto é, são pontos do tipo (2, y, z).
 
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84
Observação:
Os pontos podem está localizados sobre os eixos ou em determinado plano, logo é importante termos esses casos em mente. Veja os casos na figura abaixo.
 ● 
 
 
Para marcar um ponto no espaço, digamos A(3, -2, 4) procedemos da seguinte forma:
y = 0 
z = 0
x = 0
● (0, y, z)
 (0, 0, z)
● (x, y, 0)
 ● 
(0, y, 0)
● (x, 0, z)
● (x, 0, 0)
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1º) Marca-se o ponto A’(3, -2, 0) no plano xy;
2º) desloca-se A’ paralelamente ao eixo dos z, 4 unidades para cima.
 
 
 
 A’
 
Os três planos coordenados se interceptam segundo os três eixos dividindo o espaço em oito regiões denominadas octantes. A cada octante correspondem pontos cujas coordenadas têm sinais de acordo 
- 2
3
4
A
o
x
y
z
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Com o sentido positivo adotado para os eixos. O primeiro octante é constituído dos pontos de coordenadas todas positiva. Os demais octantes acima do plano xy se sucedem em ordem numérica, a partir do primeiro, no sentido positvo. Os octantes abaixo do plano xy se sucedem na mesma ordem a partir se sucedem na mesma ordem a partir do quinto que, por convenção, se situa sob o primeiro. 
A figura apresenta os pontos A, B, C e D situados acima do plano do plano xy e todos de cota igual a 2, enquanto os pontos A’, B’, C’ e D’ estão abaixo desse plano e têm cota – 2:
ponto A(6, 4, 2), situado no 1º octante;
ponto B(-5, 3, 2), situado no 2º octante;
ponto C(-6, -5, 2), situado no 3º octante;
ponto D(5, -3, 2), situado no 4º octante;
ponto A’(6, 4, -2), situado no 5º octante;
ponto B’(-5, 3, -2), situado no 6º octante;
ponto C’(-6, -5, -2), situado no 7º octante;
ponto D’(5, -3, -2), situado no 8º octante.
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Localização dos pontos
- 3 
0
6 
3
A 
x 
y 
z 
A’ 
5 
4 
- 5
- 5
- 6
D’ 
C’ 
B’ 
C
D
B 
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 EXERCÍCIOS
01. Localize os pontos A(0, 0, -2), B(2, -3, 4), C(-1, -2, -3) e D(0, 0, 4). 
 
 
Y
x
Z
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89
02. Dado o sistema de coordenadas abaixo, determine as coordenadas dos pontos.
   
 
 
 
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90
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91
Igualdade, Operações, Vetor Definidos por Dois Pontos, Ponto Médio, Paralelismo e Módulo de um Vetor.
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92
O
x 
y 
z 
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93
  
Prof. Zeca Dutra
94
 PRODUTO ESCALAR
Prof. Zeca Dutra
95
Prof. Zeca Dutra
96
Prof. Zeca Dutra
97
Prof. Zeca Dutra
98
A
C
B
Prof. Zeca Dutra
99
Prof. Zeca Dutra
100
Prof. Zeca Dutra
101
Prof. Zeca Dutra
102
Prof. Zeca Dutra
103
Prof. Zeca Dutra
104
Prof. Zeca Dutra
105
 PRODUTO VETORIAL
Prof. Zeca Dutra
106
Prof. Zeca Dutra
107
Prof. Zeca Dutra
108
Prof. Zeca Dutra
109
Prof. Zeca Dutra
110
Prof. Zeca Dutra
111
Prof. Zeca Dutra
112
▪
Prof. Zeca Dutra
113
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114
Prof. Zeca Dutra
115
Prof. Zeca Dutra
116
B
A
r
P
d
.▪
Prof. Zeca Dutra
117
Prof. Zeca Dutra
118
B
A
D
C
h
.▪
Prof. Zeca Dutra
119
EXERCÍCIOS
Prof. Zeca Dutra
120
Prof. Zeca Dutra
121
Prof. Zeca Dutra
122
Prof. Zeca Dutra
123
09. A torre é mantida reta pelos três cabos. Se a força em cada cabo que atua sobre a torre for aquela mostrada na figura. 
 
Prof. Zeca Dutra
124
Prof. Zeca Dutra
125
Prof. Zeca Dutra
126
Prof. Zeca Dutra
127
Prof. Zeca Dutra
128
 PRODUTO MISTO
Prof. Zeca Dutra
129
Prof. Zeca Dutra
130
Prof. Zeca Dutra
131
Prof. Zeca Dutra
132
●
Prof. Zeca Dutra
133
Prof. Zeca Dutra
134
 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÓDULO DO PRODUTO MISTO
h
h
●
●
Figura 1
Prof. Zeca Dutra
135
Prof. Zeca Dutra
136
A
B
C
D
Figura 2
Prof. Zeca Dutra
137
Prof. Zeca Dutra
138
 EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA
A
P
r
z
x
y
O
Figura 3
A
Prof. Zeca Dutra
139
Prof. Zeca Dutra
140
●
●
●
●
●
A
2
1
-1
3
t=-1
t = 0
t =1
t= 3
t =2
z
y
x
r
Prof. Zeca Dutra
141
Prof. Zeca Dutra
142
Prof. Zeca Dutra
143
Prof. Zeca Dutra
144
Prof. Zeca Dutra
145
Prof. Zeca Dutra
146
Prof. Zeca Dutra
147
A
B
r
Prof. Zeca Dutra
148
Prof. Zeca Dutra
149
A
r
x
y
z
3
2
3
-1
-1
2
2
Prof. Zeca Dutra
150
Prof. Zeca Dutra
151
A
r
x
y
z
5
1
-1
2
Prof. Zeca Dutra
152
A
r
x
y
z
3
2
Prof. Zeca Dutra
153
A
r
x
y
z
O
A
r
x
y
z
O
Figura 1
Figura 2
Prof. Zeca Dutra
154
x
y
z
O
Prof. Zeca Dutra
155
Prof. Zeca Dutra
156
r
●
●
Prof. Zeca Dutra
157
Prof. Zeca Dutra
158
Prof. Zeca Dutra
159
Os vetores , representados na figura, são expressos em função de por.
 
 
 
 
 
De maneira genérica, dados dois vetores quaisquer não paralelos, para cada vetor representado no mesmo plano de , existe uma só dupla de números reais tal que:
 
As definições e conclusões no espaço, relativas aos títulos acima são análogas as do plano. 
I) Dois vetores = (x1, y1, z1) e = (x2, y2, z2) são iguais se, e somente se,
II) Dados os vetores = (x1, y1, z1) e = (x2, y2, z2) e , define-se:
 
 
III) Se A(x1, y1, z1) e B(x2, y2, z2) são dois pontos quaisquer no espaço, então:
 
Já vimos que se