Cap2_Sismologia2012

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FUNDAMENTOS DE GEOFÍSICA 
J M Miranda, P T Costa, J F Luis, L Matias, F M Santos 
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Capítulo 2 - SISMOLOGIA 
Uma das mais devastadoras catástrofes naturais, pelo número de vítimas e pelos danos materiais que origina, é a 
causada pelos sismos que periodicamente atingem a Terra. Alguns sismos têm chegado a causar um número de 
mortos que ultrapassa as centenas de milhar e os seus efeitos destruidores têm-se sentido em áreas muito amplas, 
abrangendo centenas de milhar de quilómetros quadrados. 
Segundo Bolt [1999] “O tremor de terra que durante longo tempo ocupou o lugar entre os maiores dos tempos 
modernos foi o sismo de Lisboa de 1755”. O sismo ocorreu cerca das 9h 30 min, em Lisboa, causando fortes danos 
ao longo das costas da Península Ibérica e de Marrocos, destruindo Lisboa e afectando uma área de três milhões 
de quilómetros quadrados. A dimensão catastrófica deste fenómeno causou um tremendo impacto na cidade de 
Lisboa e em algumas povoações da costa do Algarve. A Intensidade Macrosísmica (ver capítulo posterior) 
estimada para a cidade de Lisboa é de X-XI e de cerca de X (escala de Mercalli) no sudoeste Algarvio (Pereira de 
Sousa, 1919). Este sismo gerou ainda um tsunami cujas ondas destrutivas foram observadas em Lisboa, na zona 
do Cabo de S. Vicente, no Golfo de Cadiz e no noroeste de Marrocos. 
Outros exemplos conhecidos são os do sismo de Assam, na Índia, a 12 de Junho de 1897 que afectou uma área 
de 350 000 km2, ou o de Kwanto, no Japão, a 1 de Setembro de 1923, em que as cidades de Tokio e Yokohama 
foram atingidas pelo fogo, causando um número de mortos superior a 100 000. A China é, também, uma região 
sujeita a grandes sismos catastróficos, como o de 1920 que afectou uma área de cerca de 1 milhão de km2, nas 
províncias de Kansu e Schansi, e causou 80 000 mortos e, o mais recente sismo de Sichuan, em 2008, que causou 
quase 90 000 mortos. 
O sismo de São Francisco, que destruiu esta cidade da Califórnia a 18 de Abril de 1906, abriu uma grande fractura 
com mais de 300 km de comprimento. Um dos sismos que causou mais vítimas, aconteceu também na China, na 
província de Tangshan, a 27 de Julho de 1976, causando aproximadamente 650 000 mortos e 780 000 feridos. Nos 
últimos anos, o sismo que causou mais mortos foi o do Haiti, em 2010, com cerca de 316 000 vítimas. 
Quando ocorre um sismo, a energia libertada é propagada em todas as direcções sob a forma de ondas elásticas 
que, neste caso, se denominam ondas sísmicas. Estas ondas são em parte semelhantes às provocadas na água 
quando deixamos cair uma pedra, ou às ondas sonoras que se propagam no ar quando falamos. 
2.1 TEORIA DA ELASTICIDADE 
2.1.1 Comportamento elástico, anelástico e plástico dos materiais 
Quando uma força é aplicada a um material o resultado é que se ele se deforma: as suas partículas são 
deslocadas das suas posições originais. Em muitas situações, os deslocamentos são reversíveis: quando a força é 
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removida as partículas voltam às suas posições inicias e, por isso, não resulta nenhuma deformação permanente 
do material. Chama-se a isto um comportamento elástico. 
O exemplo seguinte ilustra bem a lei do comportamento elástico. Considere-se um cilindro de altura h e área A 
sujeito a uma força F que actua de modo a esticar o cilindro de uma quantidade 
h
(fig 2.1). A experiência mostra 
que, para uma deformação elástica, 
h
é directamente proporcional à força aplicada e à dimensão “não 
deformada” do corpo, mas que é inversamente proporcional à secção do cilindro. Esta relação pode ser traduzida 
pela seguinte equação: 
 
h
h
E
A
F 

 (2.1) 
 (2.1) 
h
h
h


0
lim
 
A
F
A
A 0
lim


 Figura 2.1 – Relação tensão-deformação 1D para um corpo elástico 
 
Quando a área A se torna infinitesimalmente pequena o valor limite da força por 
unidade área (F/A) é designado por tensão 

. A unidade da tensão é a mesma da 
pressão, ou seja o Pascal (S.I.). Quando h se torna infinitesimal a variação fraccional 
da dimensão (
hh /
), que é uma grandeza adimensional, é designada por deformação 

. A equação (2.1) diz 
que, para um comportamento elástico, a deformação de um corpo é proporcional à tensão a ele aplicada: 
 
 E
 (2.2) 
Esta relação linear é conhecida por lei de Hooke, e é a base da teoria da elasticidade. A constante de 
proporcionalidade E designa-se por Módulo de Young 
Para além de um certo limite da tensão, a lei de Hooke 
deixa de se verificar (fig 2.2). Ainda que o material se 
comporte de modo elástico, a relação tensão-
deformação já não é linear. Se o sólido for deformado 
para além de um certo limite, conhecido por limite 
elástico, ele já não recuperará a forma original quando a 
tensão for removida. Neste intervalo um pequeno 
aumento da tensão aplicada provoca um elevado 
aumento da deformação. Esta diz-se então que é 
plástica e quando a tensão for removida a deformação 
não regressa a zero; o material foi deformado de modo 
permanente. Se eventualmente a tensão ultrapassar o 
limite de resistência do material este “cede”. Em algumas 
rochas a cedência pode acontecer abruptamente, ainda 
dentro do limite elástico; a isto chama-se comportamento 
frágil. 
O comportamento não-frágil, ou dúctíl, dos materiais sob tensão depende da escala de tempo da deformação. Um 
material elástico deforma-se imediatamente quando a ele se aplica uma tensão e mantém a deformação constante 
até que a tensão seja removida, após o que a deformação regressa ao estado inicial. 
Limite elásticoLimite elástico
F
Fig. 2.1
FF
Fig. 2.1
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Pag 21 
2.1.2 A matriz das tensões 
Considere-se a força F que actua numa das faces de um cubo cujas arestas estão orientadas de acordo com os 
eixos x, y e z num sistema de referência Cartesiano ortogonal (figura 3.3). A componente de F que actua na 
direcção x designa-se 
xF
 e as restantes duas componentes, Fy e Fz, definem-se de forma análoga. A dimensão de 
um pequeno elemento de superfície é caracterizado pela área A e a sua orientação é descrita pela direcção normal 
a essa superfície. Por exemplo 
xA
representa a área A cuja normal está orientada ao longo do eixo dos xx (ou 
seja, que a área assenta no plano yz, como seja a face A do cubo da figura 2.3). A componente da força 
xF
que 
actua (perpendicularmente) sobre a área 
xA
produz uma tensão normal 
xx
. Das componentes dessa força ao 
longo dos eixos y e z resultam as tensões de corte (ou cisalhantes) xy e xz. 
 
Figura 2.3 - À esquerda, representação da matriz das tensões que actuam na face x de um elemento de volume. 
Na figura da direita representam-se todas as componentes do tensor das tensões (onde está  deve-se ter  , e em 
vez de x1,x2,x3 deve-se ter xyz para manter a simbologia adoptada nesta unidade). 
 
O conjunto das tensões que actuam na face x de um elemento de volume são dadas por: 
 
0 0 0
, ,lim lim lim
x x x
yx z
xx yx zx
A A A
x x x
FF F
A A A
  
  
     
       
     
 (2.3) 
De um modo semelhante, mas usando desta vez as áreas 
yA
e 
zA
, se definem as outras tensões normais, 
yy
e 
zz
, bem como as restantes tensõesde corte 
xy
, 
zy
, 
xz
e 
yz
. As nove componentes da tensão 
definem completamente o estado de tensão a que o corpo está sujeito e podem ser convenientemente descritas 
pela matriz das tensões (ver figura 2.3): 
 
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
  
  
  
 
 
 
 
 
 (2.4) 
Se as forças que actuam no corpo estiverem compensadas de modo a não provocarem rotações, esta matriz de 
3 3
 é simétrica (i.e. 
; ;xy yx yz zy zx xz       
) e só contém seis elementos independentes. 
 
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2.1.3 A matriz de deformação 
Tal como o estado de tensão é descrito por uma matriz, também a deformação infinitesimal sofrida por um corpo 
pode representadas por uma matriz 3x3. 
2.1.3.1 Deformação Longitudinal 
Consideremos primeiro o caso unidimensional representado na figura 2.4 centrando a nossa atenção nos pontos x 
e (
x x 
). Se o ponto x fôr deslocado uma quantidade infinitesimal u na direcção do eixo dos xx, o ponto 
(
x x 
) será deslocado de (
u u 
), onde 
u
, em aproximação de primeira ordem, é igual a 
 u x x  
. A 
deformação longitudinal, ou apenas extensão, na direcção x é a variação fraccional do comprimento do elemento 
ao longo do eixo dos xx. A separação original dos dois pontos era 
x
, mas um ponto foi deslocado de u e o outro 
de (
u u 
), por isso a nova separação será dada por (
x u 
). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.4 - Deslocamentos 
infinitesimais de dois pontos de um corpo 
inicialmente localizados em x e x+x. 
 
 A componente da deformação paralela ao eixo dos xx, 
xx
, é então dada por 
variação da separação
separação original
xx
xx
u
x x x
x
x
u
x


 
     
  




 (2.5a) 
Podemos estender esta descrição da extensão ao caso mais 
real das três dimensões. Se um ponto (x, y, z) for deslocado 
de uma quantidade infinitésimal para a posição 
(
, ,x u y v z w  
), as outras duas deformações 
longitudinais 
yy
 e 
zz
são definidas por 
 
y
v
yy



 e 
z
w
zz



 (2.5b) 
Num corpo com comportamento elástico as deformações 
yy
 
e 
zz
não são independentes de 
xx
. Considere-se a 
variação de forma da barra representada na figura 2.5. O 
alongamento na direcção paralela a x é acompanhado por 
uma contração nas direcções paralelas aos eixos dos yy e zz 
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(esta última não está obviamente representada na figura, pois ela apenas representa o que se passa no plano x-y). 
As deformações 
yy
 e 
zz
 têm um sinal oposto, mas são proporcionais à extensão 
xx
, sendo dadas por 
 
 e yy xx zz xx      
 (2.6) 
A constante de proporcionalidade  é chamada Razão de Poisson. Os valores das constantes elásticas dos 
materiais restringem a gama de variação de  entre 0 (não existe contracção lateral) e um máximo de 0.5 (não 
existe variação de volume) para fluidos imcompressíveis. Em rochas muito rijas como é, por exemplo, o caso dos 
granitos 

vale cerca de 0.24 - 0.27, enquanto para sedimentos pouco consolidados o seu valor já se encontra no 
intervalo 0.34 - 0.40. Um corpo para o qual o valor de 

seja de 0.25 é designado por corpo de Poisson ideal. 
2.1.3.2 Dilatação 
A dilatação é definida como sendo a variação fraccional de volume de um elemento no limite em que a sua área 
tende para zero. Considere-se um elemento de volume não deformado que tem de lados 
,x y 
e
z
, e volume 
V x y z   
. Em resultado de deslocamentos infinitésimais 
,u v 
 e 
w
as arestas aumentam, 
respectivamente, para 
x u 
, 
y v 
e 
z w 
. A variação fraccional de volume é então dada por 
 
 
   x u y v z w x y zV
V x y z
x y z u y z v z x w x y x y z
x y z
u v w
x y z
            

  
                  

  
  
  
  
 (2.7) 
onde as quantidades muito pequenas (de segunda ordem) como 
u v 
, 
v w 
, 
w u 
e 
u v w  
foram 
desprezadas. No limite, quando 
,x y 
e
z
tendem para zero, obtemos a dilatação (ou dilatação cúbica): 
 
xx yy zz
u y w
x y z

   
  
  
  
  
 (2.8) 
2.1.3.3 Deformação de corte 
Geralmente durante a deformação um corpo experimenta não só a deformação longitudinal descrita anteriormente, 
mas também uma deformação de corte (ou cisalhante) produzida pelas componentes da tensão de corte (
xy
, 
yz
, 
zx
), que se manifesta por uma variação das relações angulares entre as diferentes partes do corpo. É 
mais fácil ilustrar este fenómeno no caso bi-dimensional. Considere-se o rectângulo de lados 
x
e 
y
deformado 
devido à aplicação de uma tensão de corte actuando no plano 
x y
(fig 2.6a). Tal como no exemplo prévio da 
deformação longitudinal, o ponto A é deslocado paralelamente ao eixo dos xx de uma quantidade u. Contudo, 
devido à deformação de corte, os pontos entre A e D experimentam deslocamentos tanto maiores quanto mais 
afastados estiverem de A. O ponto D, que dista de 
y
na vertical de A é deslocado de uma quantidade de 
 u y y  
 na direcção do eixo dos xx. Isto provoca uma pequena rotação 
1
 no sentido horário do lado AD 
dada por 
  
1tan
u y y u
y y

   
 
 
 (2.9a) 
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A’
D’
A
D
A’ A
B’
BB’
C’
D’
A’
B’
C’
A
D
B
C
 
Figura 2.6 – Deformação de corte 
De um modo semelhante, o ponto A é deslocado paralelamente ao eixo dos yy de uma quantidade v, enquanto o 
ponto B que está a uma distância horizontal 
x
de A é deslocado de 
 v x x  
 na direcção do eixo dos yy (fig 
2.6b). Em consequência disto, o lado AB é sofre uma pequena rotação 
2
 no sentido anti-horário dada por 
 
 
2tan
v x x v
x x
     
 
 (2.9b) 
As deformações elásticas processam-se através de deslocações e deformações infinitésimais, por isso os ângulos 
são normalmente pequenos, o que nos permite fazer a aproximação de que 
1 1tan 
 e 
2 2tan 
. A 
deformação de corte no plano x-y (
xy
) dfine-se como sendo metade da deformação angular total (ou a média das 
duas deformações) 
 
1
2
xy
v u
x y

  
  
  
 (2.10a) 
Transpondo x e y e os deslocamentos correspondentes u e v obtemos a componente 
yx
 
 
1
2
yx
u v
y x

  
  
  
 (2.10b) 
que é idêntica a 
xy
. A distorção angular total no plano x-y é (
xy yx 
). Mais uma vez, de modo análogo as 
componentes da deformação 
 yz zy 
e 
 xz zx 
 são definidas, respectivamente, nos planos y-z e z-x por 
 
 
1
2
1
2
yz zy
zx xz
w v
y z
u w
z x
 
 
  
   
  
  
   
  
 (210c) 
Finalmente, as deformações longitudinais e de corte definem uma matriz 
3 3
 simétrica, chamadaa matriz das 
deformações 
 
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
  
  
  
 
 
 
 
 
 (2.10d) 
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Pag 25 
2.1.4 As constantes elásticas 
No intervalo de deformação elástica a lei de Hooke diz-nos que existe uma relação linear entre a tensão e a 
deformação, sendo que o quociente entre estas duas grandezas define uma constante elástica. Como por sua vez 
as deformações já são dadas por quocientes entre comprimentos (por isso são adimensionais) as constantes 
elásticas têm as mesmas dimensões que a tensão (Nm-2). Os módulos elásticos (outro nome dado às constantes 
elásticas), definidos para diferentes tipos de deformações, são o módulo de Young, o módulo de rigidez, o módulo 
de volume (ou incompressibilidade) (“bulk modulus”) e a Razão de Poisson. 
 O módulo de Young (E) define-se a partir da deformação extensional. Cada deformação longitudinal é proporcional 
à componente da tensão correspondente, ou seja 
 
, ,xx xx yy yy zz zzE E E       
 (2.11) 
O módulo de rigidez (

) define-se a partir da deformação de corte. Tal como na deformação longitudinal cada 
tensão de corte é proporcional à componente da tensão de corte correspondente, ou seja 
 
, ,xy xy yz yz zx zx       
 (2.12) 
O módulo de volume, ou incompressibilidade, (K) define-se a partir da dilatação sofrida por um corpo quando sob o 
efeito de uma pressão hidrostática. Em condições hidrostáticas as componentes da tensão de corte são nulas 
(
0xy yz zx    
) e a pressão é igual em todas as direcções (
xx yy zz p     
). Isto acontece 
porque, em condições hisdrostáticas, a pressão p resulta apenas do peso por unidade de área da coluna de fluido 
que encontra acima de um determinado nível. O módulo de volume é dado pela razão entre a pressão hidrostática 
e a dilatação, isto é 
 
p K 
 (2.13) 
Ao inverso do módulo de volume chama-se compressibilidade. 
2.1.4.1 As constantes de Lamé 
Para se tratar convenientemente com a teoria da elasticidade é conveniente utilizar a notação tensorial. Nesta 
notação, as componentes da tensão e da deformação são escritas na forma 
ij
 e 
ij
, onde os índices i e j podem 
tomar os valores de x, y ou z. Podemos então escrever a lei de Hooke para um sólido elástico e isotrópico na forma 
 
2ij ij ij   
 (2.14) 
Nesta expressão  continua a representar a dilatação e ij é chamado de símbolo de Krönecker. Este símbolo vale 
zero se i for diferente de j e vale 1 caso i seja igual a j, ou seja, 
0 se ij i j  
 e 
1 se ij i j  
. As 
constantes  e , são denominadas de constantes de Lamé e estão relacionadas com as constantes elásticas 
definidas anteriormente.  é equivalente ao módulo de rigidez e K e E podem-se exprimir em termos de  e . 
2.1.4.2 Relação entre os vários parâmetros elásticos 
Dos 5 parâmetros elásticos estudados, apenas 2 são independentes, podendo-se todos os outros deduzir a partir 
deles. Apresenta-se aqui a dedução das relações entre o módulo de Young, a razão de Poisson e as constantes de 
Lamé, deixando-se as outras deduções para realizar como exercício. Na tabela 2.I apresenta-se uma síntese das 
relações que existem entre os diversos parâmetros elásticos. 
Como se viu atrás, o módulo de volume (K) descreve-nos a variação volumétrica de um corpo quando sujeito à 
acção das tensões normais 
,xx yy 
 e 
zz
. Expandindo a equação tensorial da lei de Hooke para estas 
componentes da tensão obtém-se 
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Pag 26 
 
2
2
2
xx xx
yy yy
zz zz
  
  
  
 
 
 
 (2.15) 
que adicionadas e assumindo condições hidrostáticas (
xx yy zz p     
) dá 
 
 3 2
3 3 2
xx yy zz xx yy zz
p
       
 
     
  
 
e usando a definição de 
K p  
, vem 
 
2
3
K   
 (2.16) 
Tabela 2.I - Relações existentes entre os diversos parâmetros elásticos 
 K  E  
2
)(3 K
 
3
2
 
 
3
2
K
 


K
K
3
9
 
)(2 


 



2
21
 
)21(3
)1(2





 


21
2

 
)1(2  
 


K3
 


22
21
3


K
 



3
1
 


1
3K
 




 23
 
)3(2
23




K
K
 
)1(2 
E
 
)21(3 
E
 
)21)(1( 


E
 
)21(3 K
 
K
EK
6
3 
 
 
Como vimos antes, o sólido de Poisson ideal corresponde a se ter 
0.25 
. Em termos dos parâmetros de 
Lamé, esta situação é equivalente a considerar-se que se tem 
 
. A tabela 2.II mostra os valores dos 
parâmetros elásticos para alguns materiais comuns e componentes da crosta e manto. 
Tabela 2.II - Valores de constantes elásticas (e densidades) para alguns materiais comuns 
Material  (GPa) K (GPa)  (GPa)  ρ (kg/m
3
) 
Água 0 2.1 2.1 0.5 1000 
Areia 6 17 13 0.34 1900 
Olivina 83 129 74 0.24 3200 
Perovskite 153 266 164 0.26 4100 
2.1.4.3 Anisotropia 
A discussão precedente apresentou-nos os parâmetros elásticos como sendo constantes, o que corresponde a 
considerar os materiais homogéneos. Contudo, na natureza isto não é estritamente verdadeiro, pois eles 
dependem de condições tais como a pressão e a temperatura e só poderão ser considerados constantes em 
circunstâncias específicas. Dada esta dependência com a pressão e a temperatura os parâmetros elásticos têm 
que variar com a profundidade. O Globo terrestre deve ser considerado como um meio geralmente heterogéneo. 
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Pag 27 
Para além disso, na exposição apresentada admitiu-se também que a relação entre a tensão e a deformação era 
igual para todas as direcções, uma propriedade que se chama de isotropia. O contrário disto, a anisotropia, 
significa que se bem que a relação entre a tensão e a deformação continue a ser linear, as constantes de 
proporcionalidade variam consoante a direcção em que estamos a “olhar”. Na verdade, é isto que acontece em 
muitos minerais, especialmente se eles tiverem simetria uniaxial. 
Considerando o caso mais real de uma substância anisotrópica, as relações entre as componentes das tensões e 
deformações são bastante mais complexas e são neste caso necessários 21 parâmetros para descrever o 
comportamento elástico anisotrópico (contrariamente aos dois,  e , que bastam para o caso isotrópico). Como 
iremos ver nos parágrafos seguintes, a velocidade das ondas sísmicas depende apenas dos parâmetros elásticos 
(e da densidade) pelo que num meio anisotrópico a velocidade das ondas vai depender da sua direcção de 
propagação (fig 2.7). 
 
Figura 2.7 - Ilustração dos conceitos de heterogeneidade e anisotropia. a) meio homogéneo e isotrópico; b) meio 
heterogéneo e isotrópico; c) meio anisotrópico homogéneo; d) meio anisotrópico e heterogéneo. 
 
2.2 AS ONDAS SÍSMICAS 
A descrição da propagação de ondas sísmicas através de meios heterogéneos é extremamente complexa por isso, 
para se obterem equações que descrevam essa propagação adequadamente, é necessário admitir condições 
simplificadoras. Uma delas consiste em assumir que o meio heterogéneo pode ser convenientementemodelado 
por uma sucessão de camadas paralelas, no interior das quais se podem assumir condições de homogeneidade. 
Uma escolha conveniente da espessura, densidade e propriedades elásticas de cada camada permite fazer uma 
aproximação realista das condições naturais. Contudo, a mais importante consiste em admitir que a perturbação 
sísmica se propaga atavés de um deslocamento elástico do meio. Apesar de isto não ser verdadeiro nas 
imediações da fonte sísmica (onde as partículas são deslocadas permanentemente em relação à posição das sua 
vizinhas – senão não haveria ruptura), para além de uma certa distância desta é muito razoável admitir que a 
amplitude da perturbação diminui a um nível para o qual o meio apenas se deforma elasticamente, permitindo a 
passagem a onda sísmica. 
Vejamos agora o que sucede quando a energia sísmica é libertada a partir de um ponto P pertencente a um meio 
homogéneo, mas localizado perto da sua superfície (fig 2.8). Nestas circunstâncias, parte da energia propaga-se 
através do meio sob a forma de ondas que se designam por ondas volúmicas, e a parte restante da energia 
desloca-se ao longo da superfície sob a forma de ondas que se designam por ondas superficiais. Uma analogia 
apropriada para descrever este último tipo de ondas é o das ondículas que se geram e propagam na superfície livre 
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Pag 28 
da água em repouso quando a ela se atira, por exemplo, uma pedra. 
 
Figura 2.8 - Propagação de ondas sísmicas a partir de uma fonte pontual num meio homogéneo. Neste exemplo a 
energia propaga-se como ondas volúmicas. 
 
2.2.1 Ondas volúmicas 
Para ondas sísmicas de volume que se propagam num espaço a três dimensões, a energia espalha-se por uma 
superfície progressivamente maior (ver fig. 3.8), sendo a área proporcional ao quadrado da distância à fonte ( r2). 
Recordando que a energia da onda é proporcional ao quadrado da sua amplitude, tem-se que nas ondas de 
volume, divido à dispersão geométrica, se deve ter que a amplitude é inversamente proporcional à distância à 
fonte, i.e. A1/r. 
À semelhança do que ocorre na óptica, designa-se por frente de onda a superfície definida por todos os pontos 
que se encontram no mesmo estado de vibração (i.e. têm a mesma fase). A direcção perpendicular à frente de 
onda designa-se por raio sísmico. 
A frente de onda tem uma forma esférica para pequenas distâncias à fonte e é em geral uma superfície curva. No 
entanto, se consideramos uma região limitada da frente de onda ela pode-se ser aproximada pelo plano tangente. 
Esta aproximação será tanto mais exacta quanto mais nos afastarmos da fonte. Nestas condições a frente de onda 
pode ser aproximada por uma onda plana. A aproximação da onda plana permite a utilização de um sistema de 
coordenadas Cartesiano e ortogonal para descrever o movimento harmónico no plano da frente de onda, o que 
constitui uma simplificação bastante conveniente. No entanto, mesmo com esta aproximação, a descrição 
matemática dos movimentos tridimensionais do meio elástico é bastante complexa. Não iremos fazer aqui esse 
tratamento completo, mas apenas uma descrição mais simples e menos rigorosa, que permite ainda assim 
compreender os fundamentos da propagação das ondas volúmicas. 
2.2.1.1. Ondas longitudinais ou compressivas 
Tratemos primeiro o caso de uma onda compressiva unidimensional (fig 2.9). Para isso, vamos considerar um 
sistema de eixos cartesianos em que o eixo x aponta na direcção de propagação da onda e os eixos y e z 
assentam no plano da frente de onda (fig 2.10). Na direcção x o movimento das partículas é o que se poderá 
chamar de “para a frente e para trás”, resultando daqui que o meio é sucessivamente comprimido e distendido (figs. 
2.9 e 2.10a). É a propagação deste movimento vibratório, ao longo de uma dada direcção (no nosso caso, a do 
eixo dos xx), que constitui a onda longitudinal. Uma onda a propagar-se ao longo de uma mola constitui uma 
excelente analogia para este tipo de ondas sísmicas. Também o som se propaga no ar por meio de compressões e 
rarefacções, isto é, através de ondas longitudinais. 
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Pag 29 
 
Figura 2.9 - Movimento das partículas provocado pela passagem de uma onda longitudinal. 
 
Na figura 2.10b 
xA
representa a área da frente de onda perpendicular à direcção de propagação. Numa posição 
qualquer x (fig 2.10c), a passagem da onda produz um deslocamento u e uma força 
xF
na direcção x. Na posição 
x dx
o deslocamento é 
u du
e a força 
x xF dF
. Aqui, dx representa o comprimento infinitesimal de um 
pequeno elemento de volume cuja massa é 
xdxA
. A força resultante que actua neste elemento de volume é 
dada por 
 
  xx x x x
F
F dF F dF dx
x

   

 (2.17) 
Esta força 
xF
é causada pela componente da tensão 
xx
 que actua na área 
xA
 e que é igual a 
xx xA
. 
Podemos agora escrever a equação do movimento unidimensional, usando para isso a 2ª lei de Newton 
 
 
2
2
xx
x x
u
dxA dxA
xt
  

 (2.18) 
A definição do módulo de Young, E, e da deformação normal, 
xx
, permitem escrever 
 
xx xx
u
E E
x
   

 (2.19) 
Substituindo na equação anterior obtemos a equação da onda unidimensional 
 
2
2
2
2
2
x
u
V
t
u




 (2.20) 
onde V representa a velocidade da onda, dada por 
 
E
V


 (2.21) 
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Pag 30 
Figura 2.9 – O movimento de uma partícula numa onda P unidimensional 
é transmitido como uma série de rarefracções (R) e de contracções (C) 
paralelas ao eixo dos xx.
 
Figura 2.10 - O movimento de uma partícula devido à passagem de uma onda P unidimensional é transmitido 
como uma série de rarefacções (R) e contracções (C) paralelas ao eixo dos xx. 
Este caso agora apresentado, da onda unidimensional, é na verdade bastante restritivo, pois não considerou o que 
se passa nas direcções y e z. Recorde-se que num sólido elástico, as defor-mações numa direcção qualquer estão 
sempre acopladas às deformações transversais através da razão de Poisson do meio. Quer isto dizer, por exemplo 
neste caso, que a área 
xA
não poderia ter sido considerada constan-te. Para se ser rigoroso, o que se deve fazer é 
olhar para o que acontece simultaneamente ao longo de cada uma das três direcções do espaço. Isto pode ser 
feito se se analizarem as variações de volume de um elemento do meio quando este é “atravessado” pela onda. 
Fazendo isso, a equação da onda compressiva na direcção x é 
 2 2
2
2 2t x
 

 

 
 (2.22) 
onde  representa a velocidade de propagação da onda que, usando a equação (2.22) 
2 3K   
, é dada 
por 
 
2 4 3K  
 
 
 
 (2.23) 
As ondas longitudinais são as mais rápidas de todas as ondas sísmicas e, como tal, quando ocorre um sismo estas 
são as primeiras a chegar a um dado local, sendo por isso chamadas de ondas primárias, ou ondas P. A equação 
(2.23) mostra também que as ondas P se deslocam tanto através de sólidos, como de líquidos e gases (neste 
último caso, constituem as nossas conhecidas ondas sonoras), pois todos eles são compressíveis (
0K 
). No 
entanto, os líquidos e os gases não suportam tensões de cortee por isso 
0 
 (equivalente a dizer que eles não 
têm rigidez). Logo, a velocidade destas ondas nos fluidos é dada apenas por 
 
K



 (2.24) 
2.2.1.2 Ondas transversais, ou de corte 
Nas ondas transversais o movimento de vibração dá-se no plano definido pela frente de onda e, como tal, 
perpendicularmente à direcção de propagação (figs 2.11 e 2.12). Vamos começar por estudar apenas o que se 
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Pag 31 
passa no plano vertical definido pelos eixos x e z. 
 
Figura 2.11 - Movimento das partículas provocado pela passagem de uma onda transversal. 
 
 
Figura 2.12 - a) Deformação de corte provocada pela passagem de uma onda transversal; b) deslocamento e forças 
segundo a direcção z nas posições x e x+dx. 
Também como boa analogia a este tipo de ondas se pode citar o exemplo da corda da roupa bem esticada, que é 
posta a vibrar com uma perturbação exercida na vertical. A passagem da onda transversal obriga a que os planos 
verticais do meio se movam “para cima e para baixo” e que por isso os elementos adjacentes do meio sofram 
variações de forma, alternando esta entre a de um rectângulo e um losango (figs 2.11 e 2.12a). 
Centremo-nos apenas sobre o que sucede a um elemento de volume (fig 2.12b) cujos planos verticais estão 
separados de 
dx
. A passagem da onda ao longo da direcção x produz um deslocamento w e uma força 
zF
 na 
direcção do eixo dos zz. Na posição 
x dx
 o deslocamento é de 
w dw
 e a força 
z zF dF
. A massa do 
pequeno elemento de volume ladeado por planos de área 
xA
 é 
xdxA
 e a força resultante que nele actua, 
segundo a direcção z 
 
  zz z z z
F
F dF F dF dx
x

   

 (2.25) 
A força 
zF
 resulta da aplicação da tensão de corte 
xz
 na área 
xA
 e é igual a 
xz xA
. A equação do 
movimento vem então dada por 
 
 
2
2
xz
x x
w
dxA dxA
xt
  

 
xt
w xz







22
2 (2.26) 
Dado que neste caso a área dos paralelogramos entre os dois planos verticais adjacentes é igual, não existe 
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Pag 32 
variação de volume. Assim sendo, a dilatação  é zero e a lei de Hooke (eq. 2.14) para a componente 
xz
 dá 
 
2xz xz 
 (2.27) 
Da definição das deformações em função dos deslocamentos (eq. 2.10) temos 
 
1
2
xz
w u
x z

  
  
  
 
Para uma onda transversal unidimensional não há variação da distância horizontal dx entre os planos verticais; du 
e 
u z 
são zero e 
xz
 é igual a 
( / ) / 2w x 
. Substituindo em (2.27) vem 
 
xz
w
x
 



 (2.28) 
E, substituindo em (2.26) e rearranjando, vem 
 2 2
2
2 2
w w
t x

 

 
 (2.37) 
onde  é a velocidade da onda transversal, dada por 
 




 (2.30) 
Por esta expressão vê-se que a única propriedade elástica que condiciona a velocidade das ondas transversais é a 
rigidez, . Como nos líquidos e gases  é zero, neste tipo de meios não é possível propagarem-se ondas 
transversais. Se agora compararmos a velocidade das ondas longitudinais e transversais nos sólidos (eqs. (2.23) e 
(2.30)) vemos que 
 


K
 22
3
4
 (2.31) 
o que significa que  é sempre maior que , ou seja, as ondas transversais deslocam-se mais lentamente que as 
ondas P e são por isso registadas nos sismogramas como ondas mais tardias. Por esta razão as ondas 
transversais são conhecidas por ondas secundárias, ou ondas S. 
A razão entre a velocidade das ondas P e das ondas S, /, apenas depende da razão de Poisson do meio , 
 




21
)1(2
2
2



 (2.32) 
Para um sólido ideal de Poisson tem-se que =0.25 e então a razão / vale 
3
. Este é um valor indicativo para 
muitas das rochas que constituem a crosta e manto terrestres. 
A descrição das ondas S que foi feita nos parágrafos anteriores referia-se ao caso unidimensional de uma onda que 
se desloca ao longo da direcção x, e para a qual o movimento das partículas se processa ao longo da direcção z. 
Por esta razão se costuma chamar a este tipo de ondas S, ondas polarizadas no plano vertical, de ondas SV. 
Uma equação em tudo semelhante descreve a onda transversal que se desloque também na direcção x, mas com 
movimento das partículas segundo a direcção y. Estas são ondas que estão polarizadas no plano horizontal e por 
isso se designam por ondas SH. 
Porém, tal como no caso das ondas P, este tratamento da transmissão das ondas S foi simplificado. A passagem 
de uma onda transversal envolve uma rotação dos elementos de volume no plano da frente de onda, sem contudo 
alterar o volume desses elementos. Por esta razão, as ondas transversais são algumas vezes designadas por 
ondas rotacionais. A rotação é dada por um vector  cujas componentes são 
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Pag 33 
; ;x y z
w v u w v u
y z z x x y
     
        
     
 (2.33) 
O conjunto mais completo de equações para ondas transversais que se deslocam na direcção x é 
2 2
2
2 2t x

   

 
 (2.34) 
onde  continua a representar a velocidade das ondas S tal como esta é dada pela eq. (2.30). 
A tabela 2.III apresenta valores típicos para a velocidade de propagação das ondas P e S em materiais comuns e 
rochas constituintes da crosta. 
 
Tabela 2.III - Velocidades das ondas sísmicas para alguns materiais da crosta. 
Material Velocidade P (m/s) Velocidade S (m/s) 
Zona superficial aterada 300 – 700 100 – 300 
Água 1450 – 1500 0 
Gelo 3400 – 3800 1700 – 1900 
Areia seca 400 – 1200 100 – 500 
Areia saturada c/ água 1500 – 4000 400 – 1200 
Marga 2000 - 3000 750 – 1500 
Grés 3000 – 4500 1200 – 2800 
Calcário - dolomite 3500 – 6500 2000 – 3300 
Sal 4500 – 5500 2500 – 3100 
Granito 4500 – 6000 2500 – 3500 
Basalto 5000 - 6000 2800 - 3800 
 
2.2.2 Ondas superficiais 
Uma perturbação exercida na superfície livre de um meio propaga-se, a partir da fonte, sob a forma de ondas 
sísmicas superficiais. O facto da Terra apresentar uma superfície livre e superfícies de descontinuidade no seu 
interior, torna possível a geração e propagação deste tipo de ondas, que resultam do acoplamento entre as ondas 
P e S. As frentes de onda destas ondas superficiais propagam-se perpendicularmente à superfície e, em geral, a 
sua amplitude diminui com a profundidade. Existem no entanto certos modos de ondas superficiais que causam 
movimento mesmo no núcleo interno, sendo por isso elementos essenciais para a compreensão do Interior da 
Terra, da crosta ao núcleo. Existem dois tipos principais de ondas superficiais: as ondas de Rayleigh e as ondas de 
Love (fig 2.13). 
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Pag 34 
 
Figura 2.13 - Movimento das partículas do solo devido à passagem de ondas superficiais de Rayleigh (em cima) e 
de Love (em baixo). 
 
2.2.2.1 Ondas de Rayleigh na superfície livre de um semi-espaçoAs ondas de Rayleigh ocorrem devido ao efeito da superfície livre na propagação de ondas elásticas. A existência destas 
ondas foi proposta por Lord Rayleigh, em 1885, ao considerar a propagação de ondas num semi-espaço homogéneo 
limitado por uma superfície plana. Na superfície livre o deslocamento das partículas do solo pode ser arbitrário mas as 
tensões têm de se anular (condições fronteira). A primeira observação sistemática deste tipo de ondas foi feita por R. D. 
Oldham em 1900. 
O movimento das partículas na frente de onda de uma onda de Rayleigh está polarizado no plano vertical e pode 
ser visualizado como uma combinação de vibrações do tipo P e SV. Se o sentido de propagação se der para a 
direita do observador (fig 2.13), o movimento das partículas individuais descreve uma elipse retrógada alinhada no 
plano vertical. O eixo maior desta elipse está alinhado segundo a vertical e o eixo menor na direcção de 
propagação da onda. Se a relação de Poisson se aplicar (i.e. 
0.25 
), a teoria das ondas de Rayleigh prevê 
uma velocidade (VLR) para estas ondas igual a 0.92 da velocidadde () das ondas-S. É isto que se verifica 
aproximadamente na Terra. 
Tal como nas ondas do mar, o deslocamento das partículas não está confinado apenas à superfície livre do meio. 
Abaixo deste, as partículas são também afectadas pela passagem da onda. Num semi-espaço homogéneo, a 
amplitude do movimento das partículas decresce exponencialmente com o aumento da profundidade (fig 2.14). 
Para a profundidade de penetração deste tipo de ondas é usual tomar o valor para o qual a amplitude é atenuada 
para um valor de e-1 do seu valor à superfície. Ondas com comprimento de onda  têm uma profundidade de 
penetração característica de 0.4 . 
 
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Pag 35 
 
Figura 2.14 - Geração de ondas de Rayleigh por interacção de ondas P e SV com a superfície livre: movimento das 
partículas do meio 
 
2.2.2.2 Ondas de Love 
Desde a obtenção dos primeiros registos sísmicos foi possível observar a presença de ondas com um movimento 
horizontal transversal que precediam de pouco as ondas superficiais de Rayleigh mas que não podiam ser explicadas pelos 
mesmos princípios. As condições fronteira que governam as componentes da tensão na superfície livre de um 
espaço elástico semi-infinito não permitem a propagação de ondas SH ao longo dessa superfície. Contudo, A. Love 
demonstrou (em 1911) que se existir uma camada horizontal entre a superfície livre e o semi-espaço semi-infinito, 
então as ondas SH que são reflectidas pelo topo e base dessa camada com um ângulo superior ao ângulo crítico 
(veremos mais tarde o que isto significa) podem interferir constructivamente para produzir uma onda superficial 
com movimento de partículas na horizontal (figs 2.13 e 2.15). A velocidade (1) das ondas S na camada junto à 
superfície tem que ser menor que a do semi-espaço subjacente (2), e a velocidade das ondas de Love (VLQ) está 
compreendida entre os dois valores extremos: 
1 2LQV  
 
 
 
Figura 2.15 - Geração de ondas de Love por interferência construtiva de ondas SH numa camada guia de ondas de 
baixa velocidade. 
 
Esta camada guia de ondas poderá ser a crosta terrestre sendo, neste caso, o manto subjacente a camada inferior. As 
ondas de Love, que são mais rápidas que as ondas de Rayleigh, têm uma velocidade de propagação (VLQ) próxima de 
0.96 a velocidade das ondas-S (VLQ ≈ 0.96 ). São ondas são evanescentes, isto é, a sua amplitude diminui com a 
profundidade (propriedade das ondas superficiais). 
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Pag 36 
2.3 PROPAGAÇÃO DE ONDAS SÍSMICAS 
Na interface entre duas camadas rochosas existe normalmente uma variação da velocidade de propagação das 
ondas sísmicas resultante da diferença das propriedades físicas do material que compõem essas duas camadas. 
Nessa interface a energia da onda sísmica incidente é dividida numa fracção transmitida e noutra reflectida. As 
amplitudes relativas das partes reflectida e transmitida são descritas pela equação de Zoeppritz (Telford, 1976), em 
termos das velocidades e densidades das duas camadas. 
 
2.3.1 Lei de Snell-Descartes 
Quando uma onda plana encontra uma superfície de descontinuidade, isto é, uma superfície que separa dois meios 
elásticos com propriedades diferentes, ela vai dar origem a ondas reflectidas e transmitidas que podem ser de dois tipos 
(fig 2.16). Nesta situação aplica-se a lei de Snell-Descartes (ou apenas lei de Snell) que diz o seguinte: 
i) os raios incidente, reflectidos e transmitidos estão todos no mesmo plano; 
ii) os ângulos de incidência e de reflexão para o mesmo tipo de ondas são idênticos; 
iii) para os ângulos de transmissão e ondas convertidas tem-se: 
 
p
jjii

2
2
1
1
2
2
1
1 sinsinsinsin
 (2.35) 
Nesta expressão o símbolo i é usado para os ângulos das ondas P enquanto que o símbolo j é usado para os ângulos das 
ondas S. O símbolo p representa o parâmetro sísmico (ou parâmetro do raio). Se a onda atravessar apenas camadas 
horizontais, então a propagação é feita mantendo-se sempre o parâmetro sísmico constante. 
 
2.3.2 Incidência crítica 
Quando a onda passa de um meio com menor velocidade para um meio de maior velocidade (como no exemplo da figura 
2.16) existe um ângulo de incidência para o qual o ângulo de transmissão vale exactamente 90º. Nestas condições diz-se 
que a incidência é crítica. Para ângulos de incidência maiores deixa de haver raios transmitidos. A este ângulo limite 
chama-se ângulo crítico. No caso de uma incidência tipo P temos um ângulo crítico para a onda refractada P dado por 
2
1sin


ci
 (2.36a) 
 
Figura 2.16 - Definição dos ângulos de incidência, reflexão e refracção para aplicação da lei de Snell-Descartes. A 
velocidade das ondas P e S no meio (2) é superior à velocidade no meio (1). Os raios transmitidos (do mesmo tipo) 
afastam-se da normal. 
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Pag 37 
No caso de uma incidência de tipo S teremos dois ângulos críticos, um para a onda refractada P e outro para a onda 
refractada S 
2
1
2
1 sinsin 



 cPc jej
 (2.36b) 
Quando se tem a incidência crítica a onda refractada viaja com a velocidade do segundo meio, ao longo da 
superfície de descontinuidade. No entanto a fronteira entre os dois meios fica sujeita, em cada ponto, a uma tensão 
oscilatória que envia ondas secundárias de tal modo que a energia emerge na camada superior ao longo de raios 
com um ângulo idêntico ao da incidência crítica, de acordo com a lei de Snell. São as chamadas ondas cónicas, 
"head waves" ou simplesmente ondas refractadas criticamente (fig 2.17). 
 
Figura 2.17 - Geração e propagação de ondas refractadas criticamente. 
 
2.3.3 Curvas tempo-distância numa camada plana assente num substrato rígido 
Por simplicidade iremos discutir os princípios da propagação de ondas numa terra plana considerando apenas um 
único tipo de ondas (sem conversão) que se propaga no interior de uma camada homogénea caracterizada por 
uma velocidade V1 sobre um semi-espaço de velocidade V2. Neste modelo iremos considerar 3 tipos principais de 
ondas: a onda directa, a onda reflectida e a onda refractada criticamente. A propagação efectua-se sempre na 
direcção positiva do eixo dos XX, sendo a distância entre a fonte e o receptor identificada pelo símbolo X. A curva 
tempo-distância será então descrita por umafunção T(X) que iremos deduzir para cada caso. 
 
2.3.3.1 A onda directa 
O tempo de percurso para a onda directa deduz-se facilmente a partir da figura 2.18 
 
Figura 2.18 - A onda directa. Para um foco superficial (azul) e para um foco profundo (a vermelho). 
No caso de se ter um foco superficial (F na fig. 2.18) então o tempo de percurso vem dado por 
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Pag 38 
1
)(
V
X
XT 
 (2.37) 
Esta equação representa uma recta que passa pela origem e cujo declive vale o inverso da velocidade da camada 
(ver figura 2.21). 
No caso do foco ser profundo (F' na fig. 2.18) então a distância total entre a fonte e o receptor obtém-se pelo 
teorema de Pitágoras e o tempo de percurso vem dado por 
1
22
)(
V
Xh
XT


 (2.38) 
Esta equação representa uma hipérbole, com uma intersecção na origem que vale To=h/V1 e cuja assímptota é 
precisamente a equação (2.37) com declive 1/V1 . 
 
2.3.3.2 A onda reflectida 
O tempo de percurso para a onda reflectida deduz-se facilmente a partir da figura 2.19 para o caso de um foco 
superficial. Considerando o trajecto do raio reflectido que une os pontos FDE teremos então que a distância total 
percorrida pelo raio vale 
  2222 4
2
2 XHXHEDDF 
 
 
Figura 2.19 - Reflexão sub-crítica, super-crítica, raio refractado criticamente 
O tempo de percurso da onda reflectida vem então dado pela expressão 
22
1
4
1
)( XH
V
XT 
 (2.39a) 
Esta equação representa uma hipérbole, com uma intersecção na origem que vale To=2H/V1 e cuja assímptota é a 
equação (2.37), uma recta que passa na origem com declive 1/V1. A equação da hipérbole fica melhor expressa na 
forma 
2
1
2
2
1
2
2 4)(
V
X
V
H
XT 
 (2.39b) 
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Pag 39 
A representação gráfica desta função encontra-se na figura 2.21. 
 
2.3.3.3 A onda refractada criticamente 
Como vimos anteriormente, quando um raio passa de um meio com velocidade menor para outro com velocidade 
maior, a lei de Snell mostra que existe uma incidência crítica para a qual o raio refractado viaja ao longo da 
superfície de descontinuidade com a velocidade do meio inferior. Esta energia regressa à superfície dando origem 
às ondas refractadas criticamente. O ângulo de incidência crítico foi apresentado nas equações (2.36). 
Tomando em atenção o raio refractado criticamente mostrado na figura 2.20 com o trajecto FABE, podemos 
escrever para os sub-trajectos as expressões 
C
C
iHXBAe
i
H
AF tan2
cos

 
Observando que 
EBAF 
obtem-se, para o tempo de percurso do raio refractado criticamente, a seguinte 
expressão 
21
tan2
cos
2
)(
V
iHX
iV
H
XT C
C


 
 
Figura 2.20 -Trajecto dos raios refractados criticamente. 
 
Esta expressão pode-se escrever de uma forma mais simples como 
12
cos2
)(
V
iH
V
X
XT C
 (2.40a) 
Ou ainda, usando a expressão (4.2) para o seno do ângulo crítico 
21
2
1
2
2
2
2
)(
VV
VVH
V
X
XT


 (2.40b) 
Esta expressão representa a equação de uma recta com declive igual ao inverso da velocidade da camada inferior, 
1/V2 , e com ordenada na origem dada por 
21
2
1
2
22
VV
VVH
tI


 (2.41) 
A representação gráfica desta função encontra-se na figura 2.21. 
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Pag 40 
Devemos salientar ainda as seguintes propriedades da onda refractada criticamente. Esta onda apenas pode ser 
observada para além da distância crítica, dada por 
2
1
2
2
12tan2
VV
V
HiHX CC


 (2.42) 
Neste ponto os tempos de chegada da onda reflectida e da onda refractada coincidem (fig. 2.21). As reflexões que 
são observadas antes da distância crítica designam-se por reflexões pré-críticas, ou sub-críticas, enquanto que as 
ondas reflectidas para além da distância crítica se designam por reflexões pós-críticas ou super-críticas (fig. 4.4). 
Finalmente devemos constatar que para a incidência crítica a curva tempo-distância da onda cónica é 
precisamente tangente à curva tempo-distância da onda reflectida. 
2.3.3.4 Interpretação das odócronas 
Devemos salientar nesta ocasião que o estudo efectuado para a propagação de ondas numa camada plana não 
considerou outros tipos de ondas que se podem observar nesta situação. É o caso das ondas convertidas, P em S 
ou S em P, e dos múltiplos que se podem gerar por reflexões sucessivas (com ou sem conversão) no topo e base 
da camada. 
Considerando apenas os 3 tipos de ondas estudadas anteriormente, a figura 2.21 apresenta uma síntese das 
respectivas curvas tempo-distância que também se costuma designar por odócronas. 
 
 
Figura 2.21 - Odócronas das principais ondas que se podem propagar no interior de uma camada sobre um semi-
espaço com velocidade superior. 
Vamos agora ver como é que a interpretação das odócronas nos pode ajudar a inferir as propriedades das 
camadas nas quais se propagam estas ondas. 
Quando se observa um sismograma, as ondas mais fáceis de identificar são em geral as primeiras chegadas. No 
modelo de uma camada, a primeira chegada será a onda directa até uma certa distância, a distância de "cross-
over" ou intersecção, e depois será a onda refractada criticamente. Os declives das respectivas odócronas 
permitem-nos determinar a velocidade de propagação na camada e no semi-espaço, V1 e V2. Sabendo as 
velocidades, pela expressão (2.36a) podemos determinar o ângulo de incidência crítica. A distância de "cross-over", 
ou de intersecção, obtém-se igualando as equações para a onda directa e a onda refractada criticamente, 
12
122
VV
VV
HXCR



 (2.43) 
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Pag 41 
Esta expressão pode ser usada directamente para determinar a espessura da camada, conhecidas as duas 
velocidades de propagação: 
12
12
2 VV
VVX
H CR



 (2.44) 
Se prolongarmos a odócrona da onda refractada criticamente até ao eixo dos tempos, obtemos um tempo de atraso 
cujo valor também pode ser usado para determinar a espessura da camada, conhecidas as duas velocidades de 
propagação: 
 
2
1
2
2
121
2 VV
VVVt
H I



 (2.45) 
As ondas reflectidas, sendo ondas secundárias, nem sempre são fáceis de identificar. No entanto em prospecção 
sísmica de reflexão são usadas técnicas sofisticadas de processamento que permitem realçar as ondas reflectidas 
em detrimento de todas as outras. Quando for possível observar de forma clara uma onda reflectida então é 
possível usar a sua odócrona para determinar as propriedades da camada onde se propaga. Se recordarmos a 
equação (2.39b) que exprime a odócrona de uma onda reflectida, salientando a sua forma como uma hipérbole2
1
2
2
1
2
2 4)(
V
X
V
H
XT 
 (2.46) 
podemos ver que numa representação gráfica de T2 em função de X2 obtemos a equação de uma recta cujo declive 
vale 
2
1
1
V
 e cuja ordenada na origem vale 
2
1
24
V
H
. Estas expressões permitem calcular a velocidade de 
propagação no interior da camada e a sua espessura. 
As expressões usadas neste parágrafo apenas se aplicam a situações em que o foco sísmico se encontra à superfície. 
Para um foco à profundidade h as odócronas das ondas reflectida e refractada criticamente são dadas, respectivamente, 
pelas expressões 
 
1
222
)(
V
XhH
XTR


 (2.47) 
 
21
2
1
2
2
2
2
)(
VV
VVhH
V
X
XTRC


 (2.48) 
 
2.3.4 Meio verticalmente heterogéneo 
No caso de se ter uma sucessão de camadas planas horizontais é possível obter uma expressão algébrica para a 
odócrona da onda refractada criticamente no topo da camada n de velocidade Vn 





1
1
222
)(
n
i in
ini
n
n
VV
VVH
V
X
XT
 (2.49) 
Estas equações iriam permitir, em princípio, determinar as propriedades das sucessivas camadas, velocidade e espessura. 
No entanto devemos estar alerta para as diversas situações em que as primeiras chegadas não permitem "ver" uma 
camada que tenha uma velocidade inferior à da camada que está acima; é o problema da camada escondida. 
2.3.5 Partição de energia numa descontinuidade 
De acordo com a lei de Snell, sabemos que qualquer onda (P ou S) incidente numa superfície de separação de 2 meios, 
pode dar origem a ondas reflectidas e transmitidas (ou refractadas) P e S. O modo como é feita a partição de energia, isto 
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Pag 42 
é, como se distribui a energia da onda incidente pela diferentes ondas reflectidas e transmitidas, vai depender do ângulo de 
incidência e das propriedades físicas dos dois meios, e é expresso em função de coeficientes de reflexão e de transmissão. 
Estes coeficientes podem ser simplesmente definidos como a razão entre a amplitude da onda considerada (reflectida ou 
transmitida) e a amplitude da onda incidente. Contudo, para os deduzir, teremos de considerar a propagação de ondas 
planas, cuja formulação matemática está fora do âmbito deste curso. 
Vamos apenas considerar o caso simples de uma incidência vertical (i = 0o). Neste caso, o coeficiente de reflexão, RC, 
definido como a razão entre a amplitude do raio reflectido e a amplitude do raio incidente, vem dado por: 
 
V + V 
V - V 
 = 
A
A
 = R
1122
1122
i
r
C 
 (2.50) 
onde i é a densidade do meio i. Isto indica que o coeficiente de reflexão depende do contraste de impedância acústica 
(

produto iVi). Se 
V > V 2211 
, vem RC < 0, o que quer dizer que a onda reflectida apresenta uma variação de 
fase de 180o, ou seja, uma fase compressiva é reflectida como uma fase dilatacional e vice-versa. De um modo geral, 
V > V 1122 
, pelo que a maior parte das reflexões é positiva e não produz variação de fase. 
Contudo, quando a incidência não é vertical, a partição de energia varia também com o ângulo de incidência. Na figura 
2.22 apresentam-se alguns exemplos de partição de energia e de coeficientes de reflexão, para diferentes casos com 
propriedades físicas distintas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.22 - (a) Partição da energia no 
caso de uma onda P incidente numa 
interface de separação de dois meios: 
RPP reflexão P, TPP transmissão P, RPS 
reflexão S e TPS transmitida S. As 
propriedades elásticas estão indicadas no 
esquema. (b) Coeficientes de reflexão e 
transmissão para as amplitudes, na 
mesma situação de (a) 
É possível simular vários casos nesta 
página: 
http://www.crewes.org/ResearchLinks/Ex
plorerPrograms/ZE/ZEcrewes2_2.html 
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Pag 43 
2.4 ONDAS SÍSMICAS E A ESTRUTURA DO INTERIOR DA TERRA 
2.4.1 Variação das propriedades elásticas e descontinuidades principais 
No Globo são registados, por ano, cerca de 18 sismos fortes (de magnitude superior a 7) e várias centenas de 
sismos médios (de magnitude superior a 5). Acrescentando a estes sismos as milhares de perturbações que 
ocorrem associadas a ajustamentos menores em todos os níveis obtêm-se, na totalidade, mais de um milhão de 
sismos suficientemente fortes para serem registados na rede de estações sismográficas espalhadas pela Terra. É o 
estudo dos diferentes tipos de onda que se propagam no seu interior que conduz ao conhecimento da estrutura da 
Terra. 
No princípio do século XX, os primeiros sismologistas debruçaram-se sobre as diferentes fases sísmicas presentes nos 
diversos sismogramas. O facto do tempo de percurso, entre o foco de um sismo e uma estação, depender apenas da 
distância hipocentro-estação, e não da posição geográfica dos dois pontos, mostra que a Terra apresenta simetria esférica 
nas suas propriedades elásticas. A medida do tempo de percurso em função da distância permite deduzir a velocidade em 
função da profundidade. A análise de diversos sismogramas, resultantes de diferentes pares sismo-estação, permitiu a 
identificação de várias descontinuidades no interior da Terra, separando zonas com características diferenciadas. 
Em 1906 Oldham propôs a existência de um núcleo no interior da Terra, devido ao estudo das velocidades de propagação 
das ondas P e S. Em 1909 Mohorovicic propôs a existência de uma descontinuidade, a cerca de 50 km de profundidade, 
onde as propriedades físicas da Terra sofriam uma variação brusca que se reflectia num aumento das velocidades de 
propagação das ondas sísmicas (corresponde à passagem da crosta para o manto). Em 1936, Inge Lehmann, descobriu a 
existência do núcleo interno da Terra. Pela observação contínua, ao longo de muitos anos, das fases que atravessavam o 
núcleo, Lehmann classificou-as em três tipos: P'1(3), P'2(2a) e P'3(5). Explicou as duas primeiras fases como raios 
deflectidos, na fronteira manto - núcleo, e focados para os antípodas. Para a interpretação de P'3 ela rejeitou, depois de 
muito reflectir, a hipótese de difracção e interpretou esta fase como uma reflexão a partir de uma outra descontinuidade no 
interior do núcleo. Estas ondas, reflectidas pelo núcleo interno, emergem a distâncias compreendidas entre os 105o e 142o. 
Após a descoberta do núcleo interno, o modelo simplificado do interior da Terra ficou bem definido e, desde 1970, que se 
assume uma estrutura composta por três grandes zonas bem diferenciadas (fig. 2.23): 
 A Crosta (ou crusta). É a camada exterior da Terra, heterogénea, constituída por rochas com 
diferentes propriedades e cuja espessura varia entre 25 a 60 km sob os continentes (a média é de 40 
km) e 5 a 10 km sob os oceanos (a média é de 7 km). A velocidade de propagação da onda P no 
interior da crusta é bastante variável (dependente da constituição geológica das formações 
atravessadas), mas pode dizer-se que vai desde 4,0 km/s (junto à superfície) até 6,5-7,0 km/s (na sua 
base). 
 O Manto. Está separado da crosta pela descontinuidade de Mohorovicic (muitas vezes designada 
apenas por Moho) e vai até uma profundidade de 2900 km. A velocidade das ondas P aumenta 
desde 8,1 km/s, imediatamente abaixo da Moho, até cerca de 13,6 km/s na proximidade da fronteira 
com o núcleo. 
 O Núcleo. Está separado do manto pela descontinuidade de Gutenberg e tem um raio 
correspondentea cerca de 55% do raio da Terra. É constituído por ferro e níquel e divide-se em 
núcleo externo e núcleo interno. O núcleo externo vai desde 2900 km até 5140 km de profundidade 
e encontra-se no estado líquido não sendo por isso possível a propagação de ondas transversais. A 
velocidade da onda P varia desde 8,1 km/s até cerca de 10,0 km/s. O núcleo externo está separado 
do núcleo interno pela descontinuidade de Lehmann. O núcleo interno é sólido e a velocidade da 
onda P atinge 11,5 km/s junto do centro da Terra. 
A variação das velocidades de propagação das ondas sísmicas no interior da Terra, assim como de outras variáveis físicas 
(densidade, aceleração da gravidade, pressão e propriedades elásticas), em função da profundidade, estão representadas 
esquematicamente na figura 2.24 para o modelo PREM (Preliminary Reference Earth Model). 
Para além desta diferenciação do interior da Terra segundo a sua composição química e estado físico, a figura 2.23 mostra 
ainda uma outra divisão para as camadas mais externas da Terra baseada nas suas propriedades reológicas: litosfera e 
astenosfera. 
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Pag 44 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.23 - Representação esquemática das principais camadas e fronteiras constituintes do interior da Terra. 
 
Figura 2.24 - Variação da velocidade de propagação das ondas sísmicas, da densidade, aceleração da gravidade, 
pressão e algumas propriedades elásticas no interior da Terra de acordo com o modelo PREM. 
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Pag 45 
2.4.2 Classificação das ondas de acordo com o seu percurso no interior da Terra 
2.4.2.1 Ondas no manto, núcleo externo e núcleo interno 
Uma onda sísmica ao propagar-se no interior da Terra pode encontrar diversas superfícies de descontinuidade 
correspondentes às superfícies de separação das diferentes zonas constituintes da Terra apresentadas anteriormente. Ao 
encontrar uma superfície de descontinuidade as ondas sísmicas vão-se reflectir e refractar segundo a lei de Snell-
Descartes, podendo também alterar o seu tipo, convertendo-se de P para S ou de S para P. 
Consoante o percurso efectuado, as ondas designam-se por diferentes símbolos, de modo a se poderem identificar. 
Deixando as fases que se propagam no interior da crosta para o parágrafo seguinte, vamos ver como se designam as 
ondas que atravessam o manto e o núcleo. 
Na figura 2.25 estão exemplificadas algumas das fases que se propagam no interior do manto e núcleo a partir de um foco 
superficial. Temos, em primeiro lugar, as ondas directas no manto, P e S. Estas ondas podem sofrer reflexões à superfície 
da Terra e continuar a viajar dentro do manto, mantendo o mesmo tipo, ou convertendo-se noutro tipo de onda. Assim uma 
onda P pode dar origem, por reflexão, a uma onda PP ou PS. Do mesmo modo, para uma onda que parta do foco com 
características S, pode dar origem a uma onda SP ou SS após reflexão na superfície da Terra. Se as ondas sofrerem 
reflexões múltiplas, acrescentam-se tantos P ou S conforme o número de percursos (e a sua natureza) que compõem o 
seu trajecto. Assim poderemos obter, por exemplo, as fases seguintes: PPP - onda com características longitudinais, que 
sofreu 2 reflexões na superfície da Terra; SPS - onda S que sofreu uma primeira reflexão na superfície da Terra, 
convertendo-se numa onda longitudinal e, ao sofrer uma segunda reflexão na superfície da Terra, voltou a converter-se 
numa onda transversal. 
Para o núcleo devemos considerar quer as fases que se propagam no seu interior quer aquelas que são reflectidas nas 
suas fronteiras, tendo em conta que se tem um núcleo externo e um núcleo interno. A nomenclatura utilizada é a seguinte: 
c - reflexão na superfície do núcleo externo. 
K - propagação no interior do núcleo externo (recorde-se que no interior do núcleo externo não há propagação de ondas 
tipo S, pelo que esta propagação terá de ser sempre tipo P 
i - reflexão na superfície do núcleo interno. 
I - propagação de uma onda longitudinal no interior do núcleo interno. 
J - propagação de uma onda transversal no interior do núcleo interno. 
Assim, podem observar-se, por exemplo, as fases seguintes: 
PcP - onda P que se reflectiu na superfície do núcleo externo e continuou a sua propagação com características tipo P. 
PKS - onda P que penetrou no interior do núcleo externo e, ao sair, converteu as suas características de propagação 
(passou de P para S) 
ScS - onda S que se reflectiu na superfície do núcleo externo e continuou a sua propagação com características tipo S. 
SKKS - onda S que incidiu na superfície que separa o manto do núcleo, propagou-se no núcleo externo (com 
características tipo P), sofreu uma reflexão na sua superfície e, emergiu com características tipo S. 
PKIKP - onda P que atravessou o núcleo externo, entrou no núcleo interno com características tipo P e, após sair do núcleo 
externo, continuou a sua propagação com as mesmas características. 
SKiKP - onda S que ao incidir na superfície de separação manto-núcleo converteu as suas características, propagou-se no 
interior do núcleo externo (com características tipo P), sofreu uma reflexão na superfície do núcleo interno e, emerge com 
características tipo P. 
 
Podem ocorrer percursos ainda mais complicados como, por exemplo, a fase PKPScP; contudo, a nomenclatura utilizada 
é sempre idêntica, acrescentando-se “letras” de acordo com o percurso efectuado pela onda sísmica. 
 
 
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Pag 46 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.25 - Exemplos da notação usada para identificar as várias fases que atravessam o manto e núcleo. 
 
No caso de se ter um foco profundo, a primeira reflexão das ondas sísmicas na superfície da Terra pode ser feita no ponto 
imediatamente à superfície, isto é, por cima do foco (junto ao epicentro). Isto corresponde a uma incidência praticamente 
vertical e vai dar origem a fases impulsivas, que se observam bem num sismograma, e que se designam por pP, pS, sS 
ou sP, de acordo com as características de propagação (ver figura 2.26). Se estas ondas sofrerem uma segunda reflexão 
vai obter-se uma nova fase que se designará, por exemplo, por pPS, sPS, etc. Estas fases são as fases características 
de sismos profundos e, o seu aparecimento num sismograma é um indicador precioso na determinação da profundidade 
do foco. A partir da diferença entre os tempos de percurso da onda P e da onda pP, por exemplo, é possível estimar a 
profundidade do foco. 
 
Figura 2.26 - Exemplo de fases que ocorrem para sismos de foco profundo. 
 
Vê-se assim que pode existir uma grande variedade de fases sísmicas propagando-se no interior do Globo. No Anexo A 
(ou na figura do problema proposto nº 7) apresentam-se as curvas tempo-distância para as principais fases possíveis de 
serem registadas a partir de um sismo de foco superficial. Isto não quer dizer, contudo, que todas estas fases possam ser 
simultaneamente observáveis no mesmo sismograma (além da distância epicentral, são também condicionantes das fases 
observáveis, as características de propagação do meio entre a fonte e a estação sísmica de registo). 
 
2.4.2.2 Ondas na crosta e manto superior 
Quando se estudam sismos afastados, as grandes divisões da Terra em crosta, manto, núcleo externo e núcleo interno, 
são suficientes para se interpretarem as diferentes fases sísmicas observadas numa estação sísmica. Contudo, para os 
sismos próximos, torna-se necessário conhecer em pormenor a estrutura da crostaterrestre. 
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Pag 47 
A investigação da propagação das ondas sísmicas mostrou que em domínio continental esta é formada em geral por duas 
camadas separadas por uma descontinuidade, a descontinuidade de Conrad. Estas duas camadas foram designadas 
originalmente por "granítica" (a mais superficial) e "basáltica" (a mais profunda) embora se saiba hoje que esta designação 
não tem correspondência com a verdadeira composição petrológica das camadas. As fases que se podem observar numa 
estação próxima do epicentro são consequência do percurso efectuado pelas diferentes ondas, sendo atribuída uma 
nomenclatura própria a cada tipo de onda de acordo com as camadas atravessadas. Na figura 4.18 apresenta-se um 
esquema de modelo de crosta continental, indicando a nomenclatura associada aos diferentes tipos de onda. Supondo o 
foco superficial localizado na camada "granítica" (crosta superior), as ondas directas, que se propagam através dessa 
camada designam-se por Pg e Sg. As ondas que se refractam criticamente na base da crosta superior, viajando com a 
velocidade da crosta inferior ("basáltica") ao longo da superfície de separação das duas camadas, designam-se por P* e S*. 
As ondas que se refractam criticamente na base da crosta inferior e viajam por isso no manto superior junto à superfície de 
descontinuidade de Mohorovicic, designam-se por Pn e Sn. 
Em termos médios pode referir-se que a onda P apresenta uma velocidade próxima de 4,0 km/s à superfície, variando 
entre 6,0 km/s e 6,5 km/s na crosta superior e entre 6,5 km/s e 7,0 km/s na crosta inferior. 
A crosta oceânica é bastante menos espessa que a crosta continental, com cerca de 5 a 10 km de espessura e uma média 
de 7 km. Os estudos sísmicos têm mostrado que, ao contrário da crosta continental, a crosta oceânica é bastante mais 
homogénea reconhecendo-se de uma forma geral 3 camadas: a camada 1 coincide com a camada sedimentar, de 
espessura e velocidade variável consoante a zona em estudo; a camada 2 possui uma espessura típica entre 1,5 e 2,0 km 
e uma velocidade das ondas P, entre 4,5 e 5,6 km/s; e a camada 3 tem uma espessura entre 4,5 e 5,0 km e VP variando 
entre 6,5 e 7,0 km/s. A base da camada 3 define a posição da Moho abaixo da qual se situa o manto superior, com 
velocidades iguais ou superiores a 8,0 km/s. Aceita-se que a camada 2 é composta por rochas com características de 
vulcanismo extrusivo e/ou intrusivo (basaltos), enquanto a camada 3 é considerada a camada “oceânica” de composição 
plutónica (gabros). 
 
 
Figura 2.27 - Trajectos e notação das fases que se propagam na crosta continental. 
 
2.5 O SISMÓMETRO 
Pode-se dizer que a ciência da sismologia nasce com a invenção do aparelho que permite converter os 
movimentos de vibração do solo, mesmo aqueles que são demasiado fracos para os sentirmos, para um registo 
visível. Esse instrumento, chamado sismógrafo, consiste num sensor que detecta e amplifica os movimentos do 
solo que, por sua vez, se chama sismómetro, e num registador que produz um registo visivel do movimento, 
chamado sismograma. 
 
2.5.1 Princípio de funcionamento do sismómetro 
Os sismómetros são desenhados para reagir ao movimento do solo numa dada direcção. Dependendo do desenho 
assim eles podem responder a movimentos verticais ou horizontais. A maioria das concepções assenta em 
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Pag 48 
variações da aplicação de pêndulos simples. 
2.5.1.1 Sismómetro de movimento vertical 
O esquema típico utilizado nos sismómetros mecânicos de movimento vertical está representado na figura 2.28a. 
Os sismómetros electromagnéticos (fig 2.28b) respondem ao movimento relativo entre um íman, que está solidário 
com o solo, e uma bobine de fio conductor enrolada em torno de uma massa inercial suspensa por uma pequena 
mola. Qualquer movimento da bobine no interior do campo magnético induz uma voltagem na bobine proporcional 
à taxa de variação do fluxo magnético. Durante a passagem da onda sísmica, a vibração do solo relativamente à 
bobine é transformada num sinal eléctrico que posteriormente é amplificado e registado. 
 
bobine
mola massa
inercial
iman
fixo à
base
solo
(b)
(a)
tambor
rotativo
mola
pivô
tambor de
movimento
vertical
massa
pesada
movimento
vertical da base
não se
move
 
Figura 2.28 - Diagramas esquemáticos que mostram o princípio do funcionamento do sismómetro vertical: (a) modelo mecânico; 
(b) modelo electromagnético. 
2.5.1.2 Sismómetro de movimento horizontal 
 
 
Figura 2.29 Diagrama esquemático do sismómetro mecânico horizontal. 
O princípio de funcionamento do sismómetro mecânico de movimento horizontal é idêntico ao do movimento 
vertical. Tal como nesse caso, a massa inercial é montada numa barra horizontal, mas o seu fulcro está quase na 
vertical, de tal modo que a massa está confinada a mover-se apenas num plano quase horizontal (fig 2.29). O 
comportamento deste sistema é semelhante ao de uma porta cujas dobradiças estejam ligeiramente desalinhadas 
da vertical, a “inclinar-se para a frente”. A posição de equilíbrio para uma porta nestas condições encontra-se onde 
o centro de massa estiver, no ponto mais baixo. Para qualquer movimento da porta, a força gravitacional tenta 
fazê-la voltar à posição de equilíbrio. O mesmo sucede com a massa inercial destes sismómetros. 
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Pag 49 
2.5.2 O sismograma 
O sismograma representa a conversão do sinal do sismómetro para um registo temporal do evento sísmico. Nos 
primeiros tempos da sismologia moderna, o modo mais comum de obter directamente um registo visível usava um 
tambor que rodava a velocidade constante de modo a providenciar uma escala temporal no registo (ver figuras dos 
sismómetros mecânicos). A invenção dos simómetros electromagnéticos permitiu a conversão do sinal sísmico em 
sinal eléctrico que era então registado. Durante muitos anos usaram-se galvanómetros para converter o sinal 
eléctrico de volta a uma forma mecânica que era posteriormente visualizada. Os sismómetros modernos porém, 
convertem o sinal eléctrico para uma forma digital, através de circuitos electrónicos de conversão analógico-digital, 
que são depois registados em suporte magnético. Para além dos registos digitais terem maior fidelidade que os 
analógicos, eles apresentam como principal vantagem o facto de já estarem “prontos” para o processamento 
numérico por computador. 
2.5.2.1 Fases num sismograma 
O sismograma de um sismo distante contém chegadas de numerosas ondas sísmicas que viajaram por vários 
percursos diferentes através da Terra desde a fonte até ao receptor. Devido a este facto o aspecto do sismograma 
costuma ser bastante complexo e a sua interpretação requer uma considerável experiência. A análise das ondas 
que sofreram refexões e refracções múltiplas será tratada mais adiante. Cada onda, cuja chegada é registada no 
sismograma, designa-se por “fase”. 
Como já vimos, as ondas P são aquelas que se 
deslocam mais rapidamente e por isso são as 
primeiras a chegar. Assim, a primeira fase de um 
sismograma corresponde à chegada deste tipo 
de ondas. Em seguida chegam as ondas S, que 
habitualmente têm uma amplitude superior à das 
ondas P. De seguida chegam as perturbações 
associadas com as ondas superficiais (ondas 
com comprimento de onda muito superior que, 
por este motivo, se conhecem também por 
“ondas longas”), e que se caracterizam por 
possuírem uma amplitude e um período mais 
elevados que os das ondas volúmicas. De entre 
as ondas superficiais, as ondas de Love