Introdução ao Cálculo Numérico

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CÁLCULO NUMÉRICO
Aula 1 – Introdução ao Programa de 
Computação Numérica 
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AULA 1: INTRODUÇÃO AO PROGRAMA DE COMPUTAÇÃO NUMÉRICA
CÁLCULO NUMÉRICO
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA
Identificar e executar as operações aritméticas:
Escalares;
Vetores;
Matrizes;
Identificar os tipos de funções e seus respectivos gráficos;
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VETORES – REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
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OPERAÇÕES COM VETORES.
 MULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR: Seja o vetor v (a,b,c) e o escalar real a. O vetor a.v é dado por (a.a, a.b, a.c)
Ex.Se o vetor v é (1,2), o vetor 5.v será (5,10)
 
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OPERAÇÕES COM VETORES.
 ADIÇÃO: Sejam os vetores v (a,b,c) e u (d,e,f). O vetor soma u + v = v + u = (a+d, b+e, c+f).
Graficamente, temos que:
 
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OPERAÇÕES COM MATRIZES.
Considere uma tabela com m linhas e n colunas em que cada elemento que ocupa a “i-ésima” linha e a “j-ésima” coluna é denominado aij 
Matriz com 3 linhas e 3 colunas. Matriz quadrada de ordem 3.
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OPERAÇÕES COM MATRIZES.
Multiplicação de uma matriz A por um escalar real a. Seja a matriz Am x n. O produto de a por A, isto é, a.A é igual à multiplicação de cada elemento aij por a. 
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OPERAÇÕES COM MATRIZES.
Adição de matrizes – para que esteja definida entre duas matrizes Am x n e Bp x q é necessário que m = p e n = q. Para encontrar a matriz C = A + B, basta adicionar os elementos respectivos, isto é, cij = aij + bij
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OPERAÇÕES COM MATRIZES.
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OPERAÇÕES COM MATRIZES.
Produto de matrizes – Uma vez que esta operação esteja definida, cada elemento cij será formado pela multiplicação dos elementos da linha i da matriz A pelos correspondentes elementos da coluna j da matriz B.
Exemplo.
c32 = a31.b12 + a32.b22+a33.b32 
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OPERAÇÕES COM MATRIZES.
PROPRIEDADES:
 Em regra, Se A.B = B.A diz-se que A e B comutam;
 A.I = A, I – matriz identidade
 A.(B+C) = A.B + A.C - distributiva à esquerda
 (B+C).A = B.A + C.A - distributiva à direita
 A.(B.C) = (A.B).C – associativa
 A.0 = 0, sendo 0, a matriz nula.
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APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 1
(PETROBRÁS - engenheiro) Sejam os vetores u = (1,2), v = (-2,5) e w = (x,y) do R2. Para que w = 3u – v, devemos ter x + y igual a:
(PETROBRÁS - Engenheiro)
Sejam os vetores u = (1,2), v = (-2,5) e w = (x,y) do R2. Para que w = 3u – v, devemos ter x + y igual a?
SOLUÇÃO:
 Multiplicação de um escalar por um vetor:
 3u = 3.(1,2) = (3,6)
 Adição/subtração de vetores:
 3u – v = (3,6) – (-2,5) = (5,1) = w = (x,y)
 Por comparação, x = 5 e y = 1. Logo, x + y = 6
 
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APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 2
Considere as seguintes matrizes:
M = (mij)2x3, N = (nij)axb, P = (pij)cx4, Q = (qij)dxe.
Para que seja possível determinar M+N, NxP e P-Q, quais os valores de a, b, c, d, e ?
SOLUÇÃO:
 ADIÇÃO: M2x3 + Naxb  a = 2 e b = 3
 MULTIPLICAÇÃO: M2x3.Pcx4  c = 3
 SUBTRAÇÃO: Pcx4 – Qdxe  e = 4 e c =d = 3
 
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FUNCÕES ELEMENTARES
Suponha dois conjuntos A e B. Diz-se que f: A  B é uma função se para todo elemento x  A existe um único elemento y  B. Observe.
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FUNCÕES ELEMENTARES
Graficamente, podemos identificar se uma curva é uma função traçando retas verticais. Se as retas cortarem em apenas um único ponto a curva, é uma função. 
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FUNCÕES ELEMENTARES - FUNÇÕES POLINOMIAIS
 f(x) = an.xn + an-1.xn-1 + an-2.xn-2 + ...+ a2.x2 + a1.x + a0
 As raízes reais são os valores de x para os quais y é nulo, ou seja, a interseção do gráfico com o eixo x.
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TEOREMA DE BOLZANO
Considere um intervalo (a,b) do domínio da função f(x). 
 Se f(a).f(b) > 0, existe um número par de raízes reais no intervalo (a,b);
 Se f(a).f(b) < 0, existe um número ímpar de raízes reais no intervalo (a,b).
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APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 3
Seja a função polinomial f(x) = 2x3 - 12x2 -3x + 8. Mostre que existe ao menos uma raiz real no intervalo (0, 1) da equação f(x) = 0.
SOLUÇÃO:
 f(0) = 2.(0)3 – 12.(0)2 -3.(0) + 8 = 8
 f(1) = 2.(1)3 – 12.(1)2 -3.(1) + 8 = -5
Pelo Teorema de Bolzano, como f(0).f(1) < 0, podemos inferir que existe um número ímpar de raízes reais no intervalo (0,1).
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FUNÇÕES CRESCENTE E DECRESCENTE
Se x2 > x1  f(x2) > f(x1) diz-se que a função é estritamente crescente;
Se x2 > x1  f(x2) < f(x1) diz-se que a função é estritamente decrescente.
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FUNÇÕES ELEMENTARES.
 Função afim / linear: y = a.x + b
 Função quadrática: y = a.x2 + b.x + c
 Função exponencial: y = ax
 Função Logarítmica: y = Logb(x)
 Função seno: y = sen(x)
 Função co-seno: y = cos(x)
 Função tangente: y = tg(x)
						
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GRÁFICOS – FUNÇÃO AFIM
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GRÁFICOS – FUNÇÃO DO 20 GRAU
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GRÁFICOS – FUNÇÃO EXPONENCIAL
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GRÁFICOS – FUNÇÃO SENO
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GRÁFICOS – FUNÇÃO CO-SENO
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GRÁFICOS – FUNÇÃO TANGENTE
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RESUMINDO
Nesta aula vocês estudaram: 
As operações aritméticas:
Escalares;
Vetores;
Matrizes;
Os tipos de funções e seus respectivos gráficos.
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