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Cálculo Numérico - Aula 04

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CÁLCULO NUMÉRICO
Aula 4 – Solução de equações transcendentes e polinomiais (continuação)
SSSSS
AULA 4: SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 	
CÁLCULO NUMÉRICO
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA
Métodos numéricos para resolução de equações:
Método do ponto fixo (MPF);
Método de Newton Raphson.
SSSSS
AULA 4: SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 	
CÁLCULO NUMÉRICO
MÉTODO DO PONTO FIXO OU MÉTODO ITERATIVO LINEAR
 Deseja-se resolver a equação f(x) = 0 que apresenta dificuldades para a procura das raízes;
 Reescrevemos a função f(x) como sendo x = F(x);
 Se garantirmos que a solução da equação x = F (x) também é solução de f(x) = 0, podemos resolver esta em lugar da primeira;
 O valor x é chamado um ponto fixo da segunda equação.
SSSSS
AULA 4: SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 	
CÁLCULO NUMÉRICO
MÉTODO DO PONTO FIXO – ANÁLISE GRÁFICA
SSSSS
AULA 4: SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 	
CÁLCULO NUMÉRICO
DETERMINAÇÃO DA FUNÇÃO F (x) 
Exemplo 1 - Seja a função f(x) = x2 + x - 6. Determinar possíveis funções para F (x).
SOLUÇÃO:
Devemos ter que x = F (x);
x2 + x - 6 = 0  x = 6 - x2
x2 + x - 6 = 0  x2 = 6 – x  x = 6/x2 – 1/x
x2 + x - 6 = 0  x2 +x = 6  x.(x+1) = 6  x = 6/(x+1)
 
SSSSS
AULA 4: SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 	
CÁLCULO NUMÉRICO
DETERMINAÇÃO DA FUNÇÃO F (x) 
Exemplo 2 - Seja a função f(x) = x3 - x - 1. Determinar possíveis funções para F (x).
SOLUÇÃO:
Devemos ter que x = F (x);
x3 - x - 1 = 0  x = x3 – 1
x3 - x - 1 = 0  x3 = x + 1  x = (x+1)/ x2 
x3 - x - 1 = 0  x3 = x + 1  x = (x+1)1/3 
x3 - x - 1 = 0  x3 - x = 1  x.(x2 - 1) = 1  x = 1/(x2 - 1)
 
SSSSS
AULA 4: SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 	
CÁLCULO NUMÉRICO
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX.1
Determine uma raiz real da equação x3 - x – 1 = 0
SOLUÇÃO:
(x) : x = (x+1)1/3 e xinicial = 2
 
SSSSS
AULA 4: SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 	
CÁLCULO NUMÉRICO
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON (DAS TANGENTES)
 A estimativa do zero da função y=f(x) é feita a partir da reta tangente à função;
 A partir de uma valor inicial estimado de “x”, determina-se a equação da reta tangente neste ponto;
 Determina-se o “x” correspondente da interseção desta reta tangente com o eixo das abscissas;
 Este novo valor de “x” é utilizado para repetir o processo iterativo.
SSSSS
AULA 4: SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 	
CÁLCULO NUMÉRICO
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON – ANÁLISE GRÁFICA
SSSSS
AULA 4: SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 	
CÁLCULO NUMÉRICO
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON – FÓRMULA DE RECORRÊNCIA 
 Determinação do coeficiente angular m da reta tangente:
m = f´(x0)
 Equação da reta tangente:
y – y0 = m.(x – x0)  y – f(x0)= f´(x0).(x – x0)
 Determinação do “x” da interseção da reta tangente com o eixo das abscissas:
0 – f(x0)= f´(x0).(x – x0)
SSSSS
AULA 4: SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 	
CÁLCULO NUMÉRICO
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX. 2
Seja a função f(x) = ex – 3x. Determinar a raiz positiva com tolerância de 0,01.
SOLUÇÃO:
Função derivada: f´(x) = ex – 3
Valor inicial x = 0,5
x1 = 0,5 – (e0,5 – 3.(0,5))/(e0,5 – 3) = 0,61006 
x2 = 0,61006 – (e0,61006 – 3.(0,61006))/(e0,61006 – 3) = 0,619 
x3 = 0,619 – (e0,619 – 3.(0,619))/(e0,619 – 3) = 0,619 
SSSSS
AULA 4: SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 	
CÁLCULO NUMÉRICO
 
Início (ALGORITMO NEWTON RAPHSON)
 x x0
 
 Enquanto f(xe) <  faça
 i i +1
 
 
 
 Fim enquanto
Fim
SSSSS
AULA 4: SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS 	
CÁLCULO NUMÉRICO
RESUMINDO
Nesta aula vocês estudaram: 
Mais dois métodos numéricos para resolução de equações:
Método do ponto fixo;
Método de Newton Raphson.
Algoritmo dos método de Newton Raphson.
SSSSS
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