Aeroelasticidade Elementar

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5 Aeroelasticidade Elementar 
 
As estruturas dos aviões sendo extremamente flexíveis, estão sujeitas a distorções 
devido aos grandes carregamentos aplicados. Quando estes são provocados por forças 
aerodinâmicas que dependem da geometria da estrutura e da orientação dos vários 
componentes estruturais em relação ao escoamento exterior então as ditas distorções 
estruturais provocaram alterações nas cargas aerodinâmicas dando estas origem a mais 
distorções e por aí em diante. Esta interacção entre forças elásticas e forças 
aerodinâmicas denota-se por aeroelasticidade. 
Dois tipos diferentes de problemas de aeroelasticidade podem ocorrer. Um envolve a 
interacção atrás aludida. Estas podem apresentar tendências de divergência numa 
estrutura muito flexível provocando falhas ou podem inversamente, numa estrutura 
adequadamente rígida, convergirem para uma condição de equilíbrio. Neste tipo de 
problemas sistemas estáticos ou dinâmicos de forças aerodinâmicas e elásticas 
produzem esses problemas aeroelásticos conotados com os nomes de divergência ou 
inversão de controlo (control reversal). O segundo tipo de problemas, envolve tanto a 
inércia da estrutura como as forças já faladas. Sistemas dinâmicos de cargas, onde as 
rajadas têm um papel importante, induzem oscilações de componentes estruturais. No 
caso da frequência natural ou de ressonância do componente encontrar-se na região da 
frequência das cargas aplicadas, então as amplitudes das vibrações podem divergir de 
tal maneira que provocam falhas estruturais. Têm-se assim fenómenos que estão 
intimamente ligados com a fadiga dos materiais, tais como o buffeting, flutter e o 
dynamic response. 
Pode-se assim sumarizar os vários fenómenos aeroelásticos em árvore, 
 
Figura 5-1 
 
5.1 Distribuição de cargas e divergência 
 
A redistribuição de cargas aerodinâmicas e a divergência estão intimamente ligadas por 
fenómenos aeroelásticos. É essencial assim conhecer-se as distribuições de cargas 
aerodinâmicas a que os componentes estão sujeitos numa fase de desenho destes. Por 
exemplo, a distorção de uma asa pode provocar alterações significativas na distribuição 
de sustentação, em relação às calculadas considerando que as asas são rígidas, 
principalmente em situações de grandes cargas como por exemplo em regimes de 
rajadas e de manobras. Assim, observe-se que como os Engenheiros Aerodinâmicos 
necessitam de conhecer a incidência da asa em todas as secções desta ao longo da 
envergadura, a torção da asa devido a fenómenos aeroelásticos terá que ser estudada 
igualmente. 
 
 
 
 
Figura 5-2 
Considere-se o caso de uma asa simples com o centro de torção atrás do centro 
aerodinâmico (Figura 5-2). 
O momento provocado pela sustentação em relação ao centro de torção faz aumentar o 
ângulo de ataque o que produz um aumento na sustentação e por aí em diante. Para uma 
velocidade, denominada velocidade de divergência, abaixo de um valor crítico os 
aumentos de sustentação convergem para uma situação de equilíbrio estável onde o 
momento torsional provocado pelas forças aerodinâmicas em relação ao c.t.1 é 
equilibrado pela rigidez torsional da asa. O processo de cálculo da distribuição de 
sustentação necessita assim da distribuição da sustentação ao longo da asa. Para uma asa 
direita (sem ângulo de flecha), a redistribuição da sustentação causa usualmente um 
movimento outward spanwise do centro de pressões resultando em aumentos dos 
momentos de flexão em relação à raiz. Para o caso de uma asa com ângulo de flecha 
uma redução na incidência das secções dos bordos devido a deflexões de flexão causa o 
movimento do centro de pressões para a raiz da asa. Todas as superfícies aerodinâmicas 
de uma aeronave sofrem então esta redistribuição de sustentação devido à distorção 
elástica. 
5.1.1 Divergência torsional da asa (caso bidimensional) 
Figura 5-3 
O problema mais comum em termos de divergência é a divergência torsional de uma 
asa. É prático considerar o caso de uma asa de área S sem ailerons e inserido num 
escoamento 2D conforme o ilustrado na Figura 5-3. A rigidez torsional da asa, que irá 
ser representada por uma mola torsional de rigidez K, opõe-se ao momento do vector da 
sustentação, L, e ao momento de picada M0 actuando no centro aerodinâmico da secção 
da asa. Para se verificar o equilíbrio de momentos da secção em relação ao c.a.2, tem-se 
 
1
 c.t. “ centro de torção 
2
 c.a. “ centro aerodinâmico 
 
 
qKLecM =+0 
Equação 5.1 
onde ec é a distância do c.a. em relação ao ponto em que se considera a mola aplicada, 
expressa em termos da corda, c, e q é a torção elástica da asa. Da aerodinâmica e 
substituindo na expressão anterior, tem-se : 
 
)(C )(
2
1
2
1
 
2
1
L0
2
2
0,
2
0
qaaqr
rr
+›
›=¾=+
=¾=
L
LM,
LM
C
KecC cCSV
SCVLScCVM
 
ou então tendo em conta que a é o ângulo inicial de incidência, ou seja a incidência de 
uma asa para umas certas condições de voo, se a asa fosse considerada rígida, então, 
 ))((
2
1
0
2 qqaar K
C
ec cCSV LM, =+›
›+
 
 
Arranjando a expressão obtém-se: 
ÜÝ
ÛÌÍ
Ë
›
›+=ÜÝ
ÛÌÍ
Ë
›
›- aararq LML
C
eCScVCSecVK 0,
22
2
1
2
1
 
ÜÝ
ÛÌÍ
Ë
›
›-
ÜÝ
ÛÌÍ
Ë
›
›+
=
ar
aarq
L
L
M
CSecVK
C
eCScV
2
0,
2
2
1
2
1
 
Equação 5.2 
A equação anterior mostra que a divergência ocorre, isto é q“Š quando, 
ar ›
›= LCSecVK 2
2
1
 
Assim a velocidade de divergência é : 
 
ÜÝ
ÛÌÍ
Ë
›
›=
ar
L
D CSec
KV 2
 
Equação 5.3 
 
Observa-se da equação anterior que VD pode ser aumentada se considerarmos uma asa 
com uma maior rigidez ou se diminuirmos ec . A primeira hipótese implica um maior 
custo e peso do avião de tal maneira que os projectistas preferem desenhar uma 
estrutura com um centro de flexibilidade o mais para a frente possível. No caso deste 
coincidir com o c.a. ou estiver à frente, então a asa é estável para todas as velocidades. 
 
 
5.1.2 Divergência torsional da asa (asa finita) 
Figura 5-4 
Considere-se o caso mais simples de uma asa sem flecha tendo um eixo de flexibilidade 
quase perpendicular ao plano de simetria do avião (Figura 5-4). Assume-se igualmente 
que as secções transversais da asa permanecem sem distorção perante cargas aplicadas. 
Aplicando-se a teoria das faixas na sua maneira usual; ou seja observe-se um elemento 
infinitesimal de corda c e de envergadura dz actuando independentemente do resto da 
asa e considere-se o seu equilíbrio. 
Assim da Figura 5-4 e desprezando o peso da asa, tem-se, 
00 =D+D+-ÜÝ
ÛÌÍ
Ë + MLecTz
dz
dTT d 
Equação 5.4 
onde T é o binário aplicado em qualquer secção da envergadura z, e DL e DM0 são a 
sustentação e momento de picada no elemento actuando no seu centro aerodinâmico. 
Quando dz se aproxima de zero tem-se: 
00 =++
dz
dM
dz
dL
ec
dz
dT
 
Equação 5.5 
Sabendo-se da aerodinâmica que 
)(
2
1
 
2
1 2
0,
22
0 qaadrdr +›
›=D¾=D Lm CccVLzCcVM 
 
onde Cm,0 é o coeficiente de momento local em relação ao centro aerodinâmico. Além 
disso, da teoria de torção T=GJdq/dz. Substituindo-se as expressões anteriores na 
Equação 5.5 obtém-se: 
GJ
CcV
GJ
C
ecV
GJ
C
ecV
dz
d m
ll
0,
222222
2
2
2
1
2
1
2
1 raarqarq -
ÜÝ
ÛÌÍ
Ë
›
›-
=
ÜÝ
ÛÌÍ
Ë
›
›
+ 
Equação 5.6 
Obtém-se assim uma equação diferencial de segunda ordem em relação a q que 
apresenta uma solução do tipo: 
 
GJ
C
ecV
C
e
C
zBzA
l
l
m
ÜÝ
ÛÌÍ
Ë
›
›
=¾
ßß
ßß
à
Þ
ÏÏ
ÏÏ
Ð
Î
+
›
›-+=
arla
a
llq
22
20, 2
1
cossin 
Equação 5.7 
 
sendo A e B constantes a determinar pelas condições de fronteira que são q=0 para z=0 
(raiz da asa) e dq/dz=0 para z=s já que o binário é nulo para a ponta da asa. Assim 
obtém-se, 
 tan 0,0, la
a
a
a ß
ßß
ß
à
Þ
ÏÏ
ÏÏ
Ð
Î
+
ÜÝ
ÛÌÍ
Ë
›
›=¾ßß
ßß
à
Þ
ÏÏ
ÏÏ
Ð
Î
+
ÜÝ
ÛÌÍ
Ë
›
›= l
m
l
m
C
e
C
A
C
e
C
B 
Assim tem-se, 
( )
 1-z)cos(z)s)sin(tan(0, llla
a
q +
ßß
ßß
à
Þ
ÏÏ
ÏÏ
Ð
Î
+
ÜÝ
ÛÌÍ
Ë
›
›= l
m
C
e
C
 
Equação 5.8 
 
ßà
ÞÏÐ
Î --
ßß
ßß
à
Þ
ÏÏ
ÏÏ
Ð
Î
+
ÜÝ
ÛÌÍ
Ë
›
›= 1cos
)(cos0,
s
zs
C
e
C
l
m
l
la
a
q 
Equação 5.9 
 
Assim para uma situação de divergência onde q tende para infinito cosls=0 e assim: 
( ) Š=+= 0,1,2,...,n para 
2
12 pl ns
 
Equação 5.10 
O valor mais pequeno obtém-se então para n=0 correspondendo assim uma velocidade 
de divergência VD: 
ÜÝ
ÛÌÍ
Ë
›
›=Ã=Ã=
ap
pplpl
l
D C
sec
GJV
s
s
22
2
2
2
2
2
 
42
 
Equação 5.11 
Soluções matemáticas análogas à expressão (Equação 5.10) são raramente aplicadas 
com a exactidão necessária para asas ou superfícies de cauda. No entanto, elas indicam 
da ordem de grandeza da velocidade de divergência. De facto quando o declive a›
› lC
 
bidimensional é usado, os resultados estimados são conservativos no que toca VD . 
Mostra-se que quando se usa o valor a›
› LC
 tridimensional, os valores obtidos para a 
velocidade de divergência são bastantes próximos dos calculados com métodos mais 
sofisticados. 
A distribuição de sustentação numa asa direita, tendo em conta a torção elástica, é 
achada introduzindo uma relação entre o ângulo de incidência e a sustentação, de tal 
forma que: 
( )qaa +››= ll CC 
onde q é o ângulo de torção elástico. 
5.1.3 Divergência em asas com flecha (swept wing divergence ) 
 
No cálculo de velocidades de divergência de asas direitas, os eixos de flexibilidade 
forma considerados como sendo aproximadamente perpendiculares ao plano de simetria 
do avião. A flexão dessas asas não apresenta nenhuma influência na divergência, sendo 
esta apenas dependente da torção. Contudo isto não é o caso de uma asa com flecha 
onde os eixos da envergadura estão inclinados em relação ao plano de simetria do avião. 
Considere-se a figura seguinte (Figura 5-5). 
Figura 5-5 
A distribuição da sustentação faz com que na asa apareça um momento flector dirigido 
para a frente do avião fazendo com que a ponta da asa tenda a subir. Os pontos A e B 
situados numa linha perpendicular ao eixo de referência apresentado irão deflectir 
aproximadamente a mesma quantidade, mas esta será maior que a deflexão do ponto A´ 
o que significa que a flexão irá reduzir a incidência do escoamento a montante da asa. O 
respectivo incremento negativo de sustentação opõe-se à torção elástica reduzindo assim 
a possibilidade de ocorrer a divergência da asa. De facto a velocidade de divergência de 
asas com flecha é tão elevada que não a divergência não apresenta perigo para o 
projecto para este tipo de asas. Em 1948 Diederich e Budiansky mostraram que as asas 
que apresentassem ângulos de flecha moderados ou altos nunca divergiam. O oposto é 
então verdade para asas com flecha negativa onde as deflexões devido à flexão têm um 
efeito destabilizador e onde as velocidades de divergência são bastante baixas. 
5.2 Eficiência de controlo e inversão 
 
A flexibilidade da maior parte das superfícies aerodinâmicas, asas e caudas horizontais 
e verticais, afecta adversamente o seu controlo das superfícies de controlo nestas 
existentes, ailerons, rudder e elevators. Por exemplo, a deflexão para baixo de um 
aileron causa uma torção da asa no sentido de baixar o bordo de ataque que por sua vez 
 
faz diminuir a incidência do aileron. Assim esta torção tende a reduzir o aumento de 
sustentação provocado pela deflexão do aileron diminuindo o valor do ângulo de 
rolamento em relação ao que se teria se para o caso de uma asa rígida. O momento 
torçor aerodinâmico da asa devido à deflexão dos ailerons aumenta com o quadrado da 
velocidade mas o momento elástico de recuperação é constante já que depende apenas 
da flexibilidade torsional da estrutura da asa. Assim, os ailerons ficam menos eficientes 
à medida que a velocidade aumenta até uma velocidade crítica denotada por aileron 
reversal speed, onde as deflexões dos ailerons não provocam nenhum rolamento. Para 
velocidades acima desta os movimentos dos ailerons têm de ser os inversos para se 
obter os efeitos desejados, por exemplo um incremento da sustentação implica uma 
deflexão para cima dos ailerons. 
De um modo semelhante, mas menos crítico, tem-se a situação de perda de controlo e 
até menos de inversão deste, para o caso do rudder e elevator. Estes problemas são mais 
complicados visto existirem também deformações dos pontos de ligação entre as 
fuselagens e as caudas o que poderá ser tão importante como as deformações das caudas 
em si. 
 
5.2.1 Eficiência de controlo dos ailerons e reversão (caso 
bidimensional) 
Ilustrar-se-á este problema investigando o caso de uma asa com um aileron inserido 
num escoamento 2D. Na Figura 5-6 uma deflexão x produz variações DL e DM0 na 
sustentação e momento de picada da asa; estes por sua vez provocam uma torção 
elástica q, da asa. Assim, 
 SVCCL LL 2
2
1 rxxqa ÜÜÝ
ÛÌÌÍ
Ë
›
›+›
›=D 
Equação 5.12 
onde x›
› LC é a taxa de variação do coeficiente de sustentação com o ângulo de aileron. 
Assim, 
ScV
C
M M 20,0 2
1 rxx›
›=D 
Equação 5.13 
 
Figura 5-6 
 
Onde x›
› 0,MC
 é a taxa de variação do coeficiente de momento de picada com a variação 
dos ailerons. O momento produzido por estes incrementos da sustentação e de momento 
de picada é equilibrado por um incremento do binário DT em relação ao eixo de flexão. 
Assim, 
ßà
ÞÏÐ
Î
›
›+ÜÜÝ
ÛÌÌÍ
Ë
›
›+›
›==D xxxxqarq
0,2
2
1 MLL CeCCScVkT
 
Equação 5.14 
Isolando q desta equação tem-se: 
ÜÝ
ÛÌÍ
Ë
›
›-
ßà
ÞÏÐ
Î
›
›+ÜÜÝ
ÛÌÌÍ
Ë
›
›+›
›
=
ar
xxxxqarq
L
MLL
CSceVK
C
e
CCScV
2
0,2
2
1
2
1
 
Equação 5.15 
Substituindo na Equação 5.12 obtém-se: 
x
ar
xaxrr
ßß
ßß
ß
à
Þ
ÏÏ
ÏÏ
Ï
Ð
Î
ÜÝ
ÛÌÍ
Ë
›
›-
ÜÜÝ
ÛÌÌÍ
Ë
›
›+ÜÝ
ÛÌÍ
Ë
›
›ÜÜÝ
ÛÌÌÍ
Ë
›
›
=D
L
LLM
CSceVK
C
K
CCScV
SVL
2
0,2
2
2
1
2
1
2
1
 
Equação 5.16 
O aumento da sustentação é assim uma função linear da deflexão do aileron e torna-se 
nulo, ou seja ocorre a inversão de controlo, quando a velocidade de inversão, Vr, é, 
0
2
1 0,2 =ÜÜÝ
ÛÌÌÍ
Ë
›
›+ÜÝ
ÛÌÍ
Ë
›
›ÜÜÝ
ÛÌÌÍ
Ë
›
›
xaxr
LLM CKC
C
ScV 
Equação 5.17 
 
ÜÝ
ÛÌÍ
Ë
›
›ÜÜÝ
ÛÌÌÍ
Ë
›
›
ÜÜÝ
ÛÌÌÍ
Ë
›
›-
=
axr
x
LM
L
r CCScV
CK
V
0,2
2
1
 
Equação 5.18 
Pode-se definir a eficiência dos ailerons para velocidades abaixo de Vr em termos de DLR produzido por uma deflexão de um aileron numa asa rígida. Assim, 
RL
L
ons dos ailereficiência D
D= 
Equação 5.19 
SVCL LR
2
2
1
 rxx›
›=D 
Equação 5.20 
Substituindo a Equação 5.20 e a Equação 5.16 na Equação 5.19 obtém-se : 
xar
xaxr
›
›ßà
ÞÏÐ
Î ÜÝ
ÛÌÍ
Ë
›
›-
ÜÜÝ
ÛÌÌÍ
Ë
›
›+ÜÝ
ÛÌÍ
Ë
›
›ÜÜÝ
ÛÌÌÍ
Ë
›
›
=
LL
LLM
CCSceVK
CKC
C
ScV
aileronsdoseficiência
2
0,2
2
1
2
1
 
Equação 5.21 
Pode-se expressar a equação anterior em termos da velocidade de divergência Vd e a 
velocidade de inversão de controlo Vr usando a Equação 5.3 e a Equação 5.18; assim 
tem-se: 
2
2
2
2
1
1
d
r
V
V
V
V
aileronsdoseficiência
-
-
= 
Equação 5.22 
Observe-se assim que quando Vd=Vr, que ocorre para e
CC ML ÜÜÝ
ÛÌÌÍ
Ë
›
›-=›
›
xx
0,
, o aileron é 
de controlo totalmente efectivo para todas as velocidades. Essa situação ocorre pois a 
torção nose-down causada pela deflexão dos ailerons é cancelada pela torção nose-up 
produzida pelo incremento da sustentação. 
Apesar desta análise ser baseada em fenómenos 2D esta poderá ser utilizada para dar 
respostas aproximadas para asas finitas. O método é aplicar estas relações para um perfil 
representativo da asa e usar as propriedades locais da asa (3D) nas fórmulas. 
 
5.2.2 Eficiência de controlo e inversão (asa finita) 
 
Observe-se a Figura 5-7 e atente-se que a deflexão do aileron de um ângulo x produz 
uma velocidade de rolamento p rad/sec tendo o sentido mostrado. O ângulo de 
incidência da asa produz em qualquer secção z é assim reduzido devido a p de uma 
quantidade pz/V. A deflexão do aileron para baixo representada na figura, coincide com 
uma deflexão para cima na outra asa reforçando assim a velocidade de rolamento. A 
incidência da asa oposta é assim aumentada devido ao sentido da velocidade de 
rolamento p. Para efeito de estudo dos ailerons considerar-se-á a sustentação anti 
simétrica e o momento de picada produzido pelas deflexões dos ailerons. Assim na 
Figura 5-7(b) as forças e os momentos são variações em relação às condições de voo 
niveladas. 
 
A sustentação DL na faixa considerada na Figura 5-7(b) é dada por, 
 
 
 
Figura 5-7 
 
ßà
ÞÏÐ
Î
›
›+ÜÝ
ÛÌÍ
Ë -›
›=D xx
rqadr )(2
1 112 zfc
V
zc
zcVL a 
Equação 5.23 
onde x›
› 1c é a taxa de variação local de coeficiente de sustentação com o ângulo dos 
ailerons. A função fa(z) representa as forças dos ailerons e momentos ao longo da 
envergadura; para 0ˆzˆs1 , fa(z)=0 e para s1 ˆ z ˆ s, fa(z)=1. O momento de picada DM0 
no elemento é dado por, 
xxdr )(2
1 ,22
0 zf
c
zcVM a
om
›
›=D
 
Equação 5.24 
onde x›
› 0,mc
 é a taxa de variação do coeficiente de momento de picada local com o 
ângulo dos ailerons. 
Considerando o equilíbrio dos momentos da Figura 5-7(b) obtém-se, desprezando o 
peso da asa, 
 
00 =D+D+ MLeczdz
dTd
 
Equação 5.25 
ou substituindo DL e DM0 na expressão anterior, tem-se: 
 
0)(
2
1)(
2
1 0,22112 =›
›+ßà
ÞÏÐ
Î
›
›+ÜÝ
ÛÌÍ
Ë -›
›+ xxrxx
rqar zf
c
cVzfc
V
zc
ceV
dz
dT
a
m
a 
Equação 5.26 
 
Substituindo T pela expressão da teoria de torção elástica ( T=GJ dq/dz ) obtém-se: 
 
 
ßà
ÞÏÐ
Î
›
›-›
›-›
›=›
›
+ xxxx
r
a
r
qa
rq )()(2
1
2
1
0,11
2222
2
2
zfczfce
V
zc
e
GJ
cV
GJ
c
ceV
dz
d
a
m
a
l
 
Equação 5.27 
 
Denotando , 
2
22
2
1
la
r
=›
›
GJ
c
ceV l
 
obtém-se: 
xxx
a
lrlqlq )(1 0,1
1
2
22
2
2
zfc
e
c
cV
z
dz
d
a
m ßà
ÞÏÐ
Î
›
›+›
›
›
›-=+ 
Equação 5.28 
Pode ser demonstrado que a solução da Equação 5.28 satisfazendo as condições de 
fronteira q=0 para z=0 e dq/dz=0 para z=s é a seguinte: 
{ } xllllxx
a
ll
lq ßà
ÞÏÐ
Î ----™ÜÜÝ
ÛÌÌÍ
Ë
›
›+›
›
›
›-ÜÝ
ÛÌÍ
Ë -= z
s
ss
szzfc
e
c
cs
z
z
V
p
a
ml
l
sin
cos
)(sin)(cos1)(11
cos
sin 1
1
0,
 
Equação 5.29 
 
onde cosl(z-s1)=0 quando z<s1 . A variação ao longo da envergadura do coeficiente de 
sustentação total local é dado por, 
xxqaa )(zf
c
V
pzc
c a
ll
l ›
›+ÜÝ
ÛÌÍ
Ë -+›
›= 
Equação 5.30 
onde q é dado pela Equação 5.29 e a é o ângulo de incidência (vulgo ângulo de ataque 
da asa) para condições de voo estacionárias. 
A eficiência dos ailerons é medida em termos do ângulo da ponta da asa por unidade de 
deslocamento do aileron durante um rolamento estacionário. Nesta condição, os 
momentos de rolamento devido à deflexão dos ailerons, x, a torção da asa e o 
amortecimento provocado pelas forças aerodinâmicas encontram-se em equilíbrio de tal 
forma que através de Figura 5-7(a), da Equação 5.23 e notando que os ailerons em asas 
opostas ambos contribuem para o rolamento, tem-se, 
 
0)(0)(
2
12
0
2 =›
›+ÜÝ
ÛÌÍ
Ë -›
›Ã=ßà
ÞÏÐ
Î
›
›+ÜÝ
ÛÌÍ
Ë -›
›× xxqaxxqar zfcVpzczdzzfcVpzccV alls all 
Equação 5.31 
Substituindo q da Equação 5.29 nesta última equação obtém-se: 
{ } ×× ››-=ÔÔã
ÔÔâ
á
ÔÔÓ
ÔÔÒ
Ñ
ßà
ÞÏÐ
Î ----™ÜÜÝ
ÛÌÌÍ
Ë
›
›+›
›
›
›-›
› s
a
l
a
ml
l
s l zdzzfczdzz
s
ss
szzfc
e
c
css
z
V
psc
0
1
1
0,
0
)(sin
cos
)(sin)(cos1)(11
cos
sin
xxxll
llxx
a
ll
l
a
Assim: 
{ } ×× ››=ãâ
á
ÓÒ
Ñ
›
›-ßà
ÞÏÐ
Î ----™ÜÜÝ
ÛÌÌÍ
Ë
›
›+›
› s ls
a
l
a
ml zdz
ss
zc
V
ps
zdzzfcz
s
ss
szzfc
e
c
00
1
1
0,
cos
sin)(sin
cos
)(sin)(cos1)(1 ll
l
axll
llxxx
 
E querendo-se a eficiência dos ailerons, (ps/V)/x, esta é dada por: 
 
{ }
ÜÝ
ÛÌÍ
Ë -
›
›
›
›ÜÜÝ
ÛÌÌÍ
Ë ---+›
›
›
›ÜÝ
ÛÌÍ
Ë -
=
ÜÝ
ÛÌÍ
Ë
À
›
› ã
âáÓÒ
Ñ
›
›-ßà
ÞÏÐ
Î ----™ÜÜÝ
ÛÌÌÍ
Ë
›
›+›
›
=
ÜÝ
ÛÌÍ
Ë
×
×
1tan
2
1
cos
cos1
cos
cos
cos
sin
)(sin
cos
)(sin)(cos1)(1
0,
2
1
2
211
0
0
1
1
0,
s
s
c
ce
ss
s
sc
cs
s
V
ps
zdz
ss
zc
zdzzfcz
s
ss
szzfc
e
c
V
ps
m
l
l
l
s l
s
a
l
a
ml
l
l
x
all
l
x
a
l
l
x
ll
l
a
xll
llxx
x
 
Equação 5.32 
Sabe-se que a velocidade de inversão de controlo dos ailerons ocorre quando a 
eficiência destes é nula. Assim, da equação anterior tem-se, que para se obter Vr o 
numerador precisa de se anular, obtendo-se então uma equação transcendental: 
( ) 0cos1
2
coscos
1 0,21
2
2
1
0, =ÜÜÝ
ÛÌÌÍ
Ë
›
›-+-ÜÜÝ
ÛÌÌÍ
Ë
›
›+›
›
s
c
e
ss
ss
c
e
c mml lxlllxx 
Equação 5.33 
Existem outros métodos para a obtenção das velocidades de divergência e de inversão 
de controlo baseados em procedimentos matriciais e energéticos. 
5.3 Introdução ao ‘flutter’ 
 
Foi definido anteriormente flutter como a instabilidade dinâmica de um corpo elástico 
num escoamento. É encontrado mais frequentemente em estruturas de aviões sujeitas a 
elevadas cargas aerodinâmicas, tais como as asas, as caudas e superfícies de controlo. O 
flutter ocorre à velocidade crítica de flutter Vf , que é definida como a velocidade mais 
baixa à qual uma dada estrutura irá oscilar com movimento harmónico permanente. 
Velocidades abaixo e acima da velocidade crítica representam respectivamente, 
condições de estabilidade e instabilidade (divergente), no que toca a oscilações 
estruturais. 
Geralmente um sistema elástico possuindo só um grau de liberdade não pode ser 
instável a menos que existam algumas características mecânicas peculiares como forças 
das molas ou amortecedores negativas. Contudo, é possível sistemas com dois ou mais 
graus de liberdade serem instáveis sem possuírem características impróprias. As forças 
associadas com cada grau de liberdade individual podem interagir provocando 
oscilações divergentes para certas diferenças de fase. O flutter de uma asa na qual os 
modos de torsão e flexão são acoplados é um exemplo importante deste tipo de 
instabilidade. Alguma indicação da natureza física do flutter torsão – flexão pode ser 
dada pela exanimação das forças de inércia e sustentação durante a oscilação combinada 
de torsão e flexão na qual os movimentos individuais têm são desfasados de 90 graus. 
Numa flexão pura ou oscilação torsional pura as forças aerodinâmicas produzidas pela 
incidência efectiva
da asa opõe-se ao movimento; a incidência geométrica na flexão 
pura permanece constante e assim não afecta a força de amortecimento aerodinâmico 
enquanto que na torção pura, a incidência geométrica produz forças aerodinâmicas que 
se opõem ao movimento durante meio ciclo, mas favorece durante o outro meio ciclo de 
tal modo que o seu efeito é nulo. Assim as oscilações de flexão pura ou torsão pura são 
rapidamente amortecidas. Este não é o caso na oscilação combinada quando a torsão 
máxima ocorre a flexão nula e vice-versa, isto é 90 graus de diferença de fase. 
Considere a asa ilustrada na Figura 5-8 em vários estágios de oscilação flexão- torsão. 
Na posição de flexão nula a torção da asa causa uma incidência geométrica positiva e 
assim as forças aerodinâmicas actuam na mesma direcção do movimento da asa. Uma 
situação semelhante mas contrária existe quando a asa se move para baixo; uma 
incidência geométrica negativa devido à torsão da asa provoca uma força aerodinâmica 
para baixo. Segue-se que em todos os estágios as forças associadas ao ângulo de 
incidência têm um efeito destabilizador. A uma certa velocidade Vf, esta acção 
destabilizadora torna-se maior que as forças estabilizadoras e a oscilação diverge. Em 
casos práticos as oscilações de flexão e torsionais não serão desfasadas mais do que 90 
graus de fase, contudo aplicam-se os mesmos princípios básicos. 
 
Figura 5-8 
O tipo de flutter descrita acima no qual dois tipos de movimento oscilatório interagem 
de tal modo que o movimento resultante é divergente e conhecido por flutter clássico. 
Outros tipos de flutter, flutter não-clássico, podem envolver um único tipo de 
movimento. Por exemplo o stalling flutter de uma asa ocorre a altas incidências onde, 
para posições particulares do eixo torção, ao longo da envergadura, ocorrem oscilações 
de torsão auto-excitadas, as quais acima de uma dada velocidade divergem. 
Outra forma de flutter não- clássica, aileron buzz, ocorre velocidades subsónicas 
elevadas e está associada a ondas de choque na asa à frente do aileron. Se o aileron 
oscila para baixo, o escoamento que passa na superfície superior da asa acelera, 
intensificando o choque resultando numa redução da pressão na camada limite antes do 
choque. O aileron, assim, tende a ser puxado para a sua posição neutral. A baixas 
frequências estas variações de pressão são desfasadas de 180 graus contrariando assim a 
oscilação. A frequências mais elevadas a componente da pressão aparece em fase com a 
velocidade do aileron, excitando-o. Se forem maiores que todas as outras forças 
amortecedoras ocorre uma oscilação a altas frequências com só um tipo de movimento, 
rotação do aileron em torno da dobradiça, i.e. aileron buzz. Pode ser evitado com a 
 
utilização de control jacks, ou reforçando estruturalmente o aileron para garantir que a 
sua frequência natural seja elevada. 
Buffeting é produzido normalmente em aviões com cauda por turbilhões causados por 
escoamentos pobres vindos da esteira da asa, atacando a cauda a uma frequência igual à 
sua frequência natural; uma oscilação razoável com um grau de liberdade pode então 
ocorrer. O problema pode ser aliviado colocando correctamente a cauda e limpando a 
aerodinâmica do avião. 
 
5.3.1 Acoplamento 
 
Foi visto que o flutter clássico da asa de um avião envolve a interacção de movimentos 
torsionais e de flexão. Separados, nenhum dos movimentos causará instabilidade, mas 
juntos, e a amplitudes e fases críticas um movimento excitará o outro; diz-se assim que 
os dois movimentos estão acoplados. Podem ocorrer várias formas de acoplamento : 
inercial, aerodinâmico e elástico. 
A secção transversal de uma asa de comprimento pequeno é mostrada na Figura 5-9. O 
centro de gravidade encontra-se a uma distância cg do centro de flexão, onde c é a corda 
da asa e m é a massa da mesma. Se todo o comprimento da corda for sujeito a uma 
aceleração vertical para cima de y&& , então esta sofre um força de inércia em sentido 
contrário de m y&& , actuando no centro de gravidade, produzindo um momento torçor 
anti-horário de m y&& gc torcendo a asa. O movimento vertical induz então um movimento 
de torsão devido às forças de inércia, i.e. acoplamento inercial. Uma aceleração angular 
a&& em torno do centro de flexão provoca uma aceleração linear de gca&& o que 
corresponde a uma força de inércia de mgca&& no centro de gravidade. Assim acelerações 
angulares geram forças que produzem translação, novamente acoplamento inercial. È de 
notar que o momento torçor de inércia devido à aceleração linear unitária (mgc) é igual 
à força de inércia devido à aceleração unitária (mgc); o acoplamento inercial possui 
assim simetria. 
Figura 5-9 
Acoplamento aerodinâmico está associado com as alterações da sustentação produzidas 
pela rotação e translação da asa. Uma mudança na incidência da asa, isto é rotação da 
asa, induz uma mudança da sustentação que causa translação enquanto que a velocidade 
de translação y& , resulta numa mudança efectiva na incidência da asa, o que causa 
rotação da asa. Estas forças aerodinâmicas, que oscilarão em condição de flutter, actuam 
num ponto análogo ao centro aerodinâmico de uma asa em movimento estacionário; 
este é conhecido por centro de independência. 
 
Considere agora que a secção da asa mostrada na Figura 5-10, e suponha que a rigidez 
da asa é representada por um mola de rigidez k posicionada no centro de flexão. 
Suponha ainda que o deslocamento da asa é definido pela deflecção vertical y de um 
ponto arbitrário O (Figura 5-10(a)) e a rotação a em torno de O (Figura 5-10(b)). Na 
Figura 5-10(a) o deslocamento vertical produz uma força na mola que causa um 
momento torçor horário (kyd) na secção da asa em torno de = resultando num aumento 
da incidência a. Na Figura 5-10(b) a rotação horária a em torno de O resulta numa 
força na mola kda actuando para cima na secção da asa produzindo assim translações na 
direcção positiva de y. Assim a translação e rotação estão acopladas pela rigidez elástica 
da asa, a chamando-se então acoplamento elástico. È de reparar que, como no caso do 
acoplamento inercial, o acoplamento elástico possui simetria uma vez que o momento 
devido a uma translação unitária (kd) é igual à força produzida por uma rotação unitária 
(kd). Assim , se o ponto arbitrário escolhido O coincidir com o eixo de flexão, d = 0 e o 
acoplamento desaparece. 
Do afirmado anteriormente pode se r visto que o flutter será evitado por tentativa de 
desacoplar os dois tipos de movimento. Assim o acoplamento inercial é evitado se o 
centro de gravidade coincidir com o eixo de flexão enquanto que o acoplamento 
aerodinâmico é evitado se o centro independência coincidir com o centro de flexão. 
Assim, eliminar-se-ia também o acoplamento elástico uma vez que o ponto O na Figura 
5-10 iria ser geralmente o centro de independência. Infelizmente, em casos práticos, o 
centro de independência encontra-se à frente do eixo de flexão enquanto que o centro de 
gravidade se encontra por trás, o que favorece o flutter. 
Figura 5-10 
5.3.2 Determinação da velocidade crítica de flutter 
 
Considere uma secção de asa com corda c oscilando harmonicamente num escoamento 
de velocidade V e densidade re tendo deslocamentos, velocidades e acelerações 
instantâneas de , rotação , aaa &&& ,, , e translação , yyy &&&,, . A oscilação provoca uma 
redução na sustentação estacionária pelo que, a sustentação da oscilação actua para 
baixo. A sustentação para baixo provocada por aaa &&& ,, é respectivamente 
aar
aar
aar
��
��
��
&&&&
&&
����
��
LVcl
LVcl
LcVl
=
=
=
23
22
2
 
Em que ��� ��� lll ,, , são coeficientes adimensionais análogos ao declive da curva de 
sustentação em movimento estacionário. De forma similar forças verticais para baixo 
devido à translação são 
 
yL
c
y
clyL
c
yVclyL
c
y
cVl yyyyyy &&
&&
&
&
������ =¾=¾= 322 rrr 
Assim a força aerodinâmica total na secção da as devido ao movimento oscilatório é 
dado por 
aaa ��� &&&&&& ������ LLLyLyLyLL yyy +++++= 
Equação 5.34 
Foi visto anteriormente que deslocamentos de translação e rotação produzem 
momentos em torno de qualquer ponto. Assim o momento (nose up) total da secção da 
asa é 
aaa ��� &&&&&& ������ MMMyMyMyMM yyy +++++= 
Equação 5.35 
onde se tem, 
c
cmM
c
VcmM
c
VcmM
c
y
clyM
c
yVclyM
c
yVclyM yyyyyy
araaraara
rrr
						
&&
&&
&
&
&&
&&
&
&
4322
4322
 
 
=¾=¾=
=¾=¾=
 
No qual se tem m � , etc. são análogos aos coeficientes de momento de movimento de 
picada estacionário. 
Considere agora a secção da asa mostrada na Figura 5-11. A secção da asa oscila em 
torno de uma posição intermédia e a rigidez torsional e à flexão são representadas por 
molas de rigidez k e k � respectivamente. Suponha que o deslocamento instantâneo 
relativamente ao ponto intermédio é y que é tomado positivo para baixo. Em adição às 
forças aerodinâmicas da Equação 5.34 e da Equação 5.35 a secção da asa experimenta 
forças e momentos inerciais e elásticos. Assim se a massa da secção for m e IO for o 
momento de inércia em torno do ponto O , as equações instantâneas de equilíbrio de 
forças e momentos podem ser escritas da seguinte forma 
Figura 5-11 
0=-+- kymgcymL a&&&& 
 Equação 5.36 
0=-+- aa 
kymgcIM o &&&& 
Equação 5.37 
 
Substituindo par L e M da Equação 5.34 e da Equação 5.35 obtém-se 
 
( ) ( ) ( ) 0=--+--+-- aaa ��� LLLmgcyLkyLyLm yyy &&&&&& ������ 
Equação 5.38 ( ) ( ) ( ) 0=-+--+---- aaa �� MKMMIyMyMyMmgc aaoyyy &&&&&& ������ 
Equação 5.39 
 
Os termos envolvendo y na equação da força e a na equação do momento são 
conhecidos como termos directos enquanto que os que contêm a na equação das forças 
e y na equação do momento são conhecidos por termos de acoplamento. 
A velocidade crítica de flutter está contida na Equação 5.38 e na Equação 5.39 dentro 
dos termos ���� ��� MMMMLLLL yyyy ,,,,,,, . . O seu valor corresponde à condição de 
que estas equações representam movimento harmónico simples. Acima desta velocidade 
crítica as equações representam movimento oscilatório divergente enquanto que a 
velocidades inferiores representam movimento oscilatório amortecido. Para movimento 
harmónico simples 
iwtiwt eeyy 00 aa =¾= 
Substituindo esta expressão nas relações anteriores e rescrevendo-as em termos 
matriciais obtém-se ( )
0)()(
)(
0
0
22
22
=ãâ
á
ÓÒ
Ñ
ßßà
Þ
ÏÏÐ
Î
-+-----+
--+-+---
aqwwww
wwww
���
��� y
MkMiMIMMiMmgc
LLiLmgcLkLiLm
oyyy
yyy
������
������
 
Equação 5.40
 
A solução da Equação 5.40 é obtida facilmente por um computador havendo vários 
métodos disponíveis. Um método representa o movimento do sistema a uma velocidade 
V por � � � �
tiwtiw eeyy �� =¾= �� aa 00 
em que d+iw é uma das raízes complexas do determinante da Equação 5.40. Para 
qualquer velocidade V a parte imagináriaw dá a frequência da oscilação do sistema 
enquanto drepresenta a taxa de crescimento exponencial. A baixas velocidades a 
oscilação decai (d é negativo) e a altas velocidade diverge (d é positivo). Taxa de 
crescimento nulo corresponde à velocidade crítica de flutter Vf que pode ser calculado 
obtendo d para uma gama de velocidades e determinando Vf para d = 0. 
 
5.3.3 Prevenção do flutter 
 
Foi visto anteriormente que o flutter pode ser evitado eliminando acoplamento 
inercial, aerodinâmico e elástico fazendo coincidir o centro de gravidade com o centro 
de independência e centro de flexão. Pode ser achado através dos termos de 
acoplamento na Equação 5.38 e na Equação 5.39. 
Na Equação 5.39 o acoplamento inercial é yMmgc ffff+ no qual yM fifi é usualmente muito 
mais pequeno do que mgc. Assim o acoplamento inercial pode ser virtualmente 
eliminado por ajuste da posição do centro de gravidade da secção da asa através de 
balanço de massa de modo a coincidir com o eixo de flexão, i.e. gc = 0. O termo do 
acoplamento aerodinâmico yM y &fl desaparece, como foi visto , quando o centro de 
independência coincide com o eixo de flexão. Os termos Myy e affi &�L são muito 
pequenos e podem ser desprezados de modo a que a Equação 5.38 e a Equação 5.39 
ficam reduzidas a ( ) ( ) 0=--+-- a LyLkyLyLm yyy &&& !!! 
Equação 5.41 
( ) ( ) 0=-+-- aaa "# MKMMI aao &&& $$$ 
Equação 5.42 
O termo restante, L % a, não pode ser eliminado uma vez que a força vertical requerida 
para manter o voo é produzida pela incidência da asa. 
A Equação 5.42 governa o movimento torsional da secção da asa e não contém termos 
de acoplamento pelo que, uma vez que todos os coeficientes são positivos a velocidades 
abaixo da velocidade de divergência da secção da asa, qualquer oscilação produzida, 
diga-se por ex. uma rajada, irá decair. Também , pela Equação 5.41, irá aparecer uma 
oscilação vertical que será mantida pelo termo L % a.. Contudo, oscilações rotacionais, 
como foi visto pela Equação 5.41, decaem de modo a que a força de sustentação L % a 
seja uma força (amortecida) (decaying) e não consegue manter a oscilação vertical. 
Na prática não é sempre possível evitar o flutter eliminando os termos de acoplamento. 
Contudo, aumentar a rigidez estrutural, mesmo que haja penalização devido ao aumento 
de peso, aumenta a velocidade crítica de flutter. Outra forma é colocar o centro de 
gravidade da secção da asa o mais perto possível do centro de flexão. Assim nas asas 
com motores, estes são colocados em pods bem à frente do eixo de flexão da asa. 
 
5.3.4 Determinação experimental da velocidade de flutter 
 
A análise anterior cingiu-se ao modelo de flutter com dois graus de liberdade. Na 
prática a estrutura de um avião pode oscilar em muitas direcções. Por exemplo uma asa 
tem modos de oscilação fundamentais de torsão e flexão aos quais são sobrepostos os 
modos secundários. É possível ainda que as oscilações de flexão da fuselagem 
produzam mudanças na curvatura da asa afectando assim a sustentação da asa e as 
superfícies de controlo oscilarem em torno das dobradiças produzindo forças 
aerodinâmicas nas superfícies principais. 
As equações do movimento para um avião actual são muito complexas com um número 
N, de equações de movimento diferentes ( N pode ser tão alto como 12). Sendo assim, N 
equações de movimento acopladas. A uma dada velocidade, a solução das N equações 
corresponde a N valores diferentes de d+iw correspondendo a N modos de oscilação. 
Outra vez, como no caso de dois graus de liberdade, a velocidade crítica de flutter para 
cada modo pode ser encontrada calculando d para uma gama de velocidades e 
determinando o valor da velocidade para a qual se tem d = 0. 
Uma abordagem semelhante é usada experimentalmente num avião actual. O avião é 
posto a voar a uma velocidade estável e posto a oscilar ou por explodir um pequeno 
detonador na asa ou por superfícies de controlo ou por control jerk súbito. As oscilações 
resultantes são registadas e analisadas para determinar a taxa de decaimento. O 
procedimento é repetido para valores de velocidade maiores com pequenos incrementos. 
Os decaimentos medidos são representados em função da velocidade , resultando numa 
curva que é ilustrada na Figura 5-12. Esta curva é então extrapolada para o ponto de 
decaimento nulo correspondendo à velocidade crítica de flutter Vf. Esta abordagem 
requer uma estimação preliminar o mais apurada possível da velocidade de flutter uma 
vez que as oscilações induzidas acima da velocidade de flutter divergem conduzindo 
provavelmente a resultados catastróficos. 
Outro trabalho experimental
envolve testes em túneis de vento em modelos de flutter, 
em que os resultados servem para verificar a validade dos resultados teóricos. 
 
Figura 5-12 
5.3.5 Flutter nas superfícies de controlo 
 
Se uma superfície de controlo oscila em torno das dobradiças, são induzidas forças 
oscilantes na superfície central. Por exemplo, se uma asa oscila em flexão ao mesmo 
tempo que o aileron oscila em torno da dobradiça, pode ocorrer flutter originado na 
diferença de fase entre os dois movimentos. De forma semelhante pode ocorrer o flutter 
do elevador e rudder quando a fuselagem oscila devido à flexão. Outras formas de 
flutter em superfícies de controlo envolvem mais de dois tipos de movimento. Incluído 
nesta categoria estão a flexão da asa/rotação do aileron/tab e rotação do elevador/flexão 
da fuselagem/picada de corpo rígido e translação do avião completo. 
Pode ser mostrado que o flutter de superfícies de controlo pode ser evitado eliminando o 
acoplamento inercial entre a superfície de controlo e o movimento da superfície 
principal. Isto pode ser conseguido por equilíbrio de massas na superfície de controlo 
onde se colocam pesos na superfície de controlo à frente da linha de hinge. 
Todos os aviões recentemente construídos são sujeitos na vida de protótipo a um teste 
de ressonância terrestre para determinar os modos actuais e as frequências naturais. Os 
objectivos principais destes testes são a verificação da precisão dos modos calculados 
normalmente em que as previsões de flutter são baseadas e mostrar algumas 
particularidades não previstas no comportamento vibratório do avião. Normalmente o 
avião encontra-se num sistema de vibração de baixa frequência ou mesmo em cima dos 
seus esvaziados. Excitadores electrodinâmicos são montados aos pares nas asas e na 
cauda com acelerómetros como aparelhos de medição. O procedimento teste serve 
normalmente para descobrir as frequências de ressonância registando amplitudes e 
diferenças de fase de um certo número de acelerómetros numa dada gama de 
frequências. Tendo-se obtido as frequências de ressonância o avião é então excitado a 
cada uma dessas frequências individualmente sendo registados todos os valores dos 
acelerómetros simultaneamente.