11 Álgebra complexa e fasores

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Books CAP~TULO 11 . 
A melhor forma de se analisar a maioria dos circuitos CA é usar álgebra complexa. A 
álgebra complexa é uma extensão da álgebra de números reais - a álgebra comum. Em 
álgebra complexa, entretanto, números complexos são apresentados juntamente com suas 
regras especiais de adição, subtração, multiplicação e divisão. Como é explicado nos 
Capítulos 12 e 13, em análise de circuitos CA, tensões e correntes senoidais são trans- 
formadas em números complexos chamados fasores; resistências, indutâncias e capacitân- 
cias são transformadas em números complexos e chamadas impedâncias; e então a 
álgebra complexa é aplicada da mesma forma que a álgebra ordinária é aplicada na análise 
de circuitos CC. 
Uma calculadora científica irá operar com números complexos tão rapida- 
mente quanto com números reais. Mas ainda assim é importante conhecer o desen- 
volvimento das várias operações 'com números complexos sem o uso de uma 
calculadora. 
Cap. 11 Álgebra complexa e fasores 341 
Os números que são usados comumente são os números reais, mas existem também os 
números imaginários. O nome "imaginário" é impróprio, porque sugere que esses núme- 
ros são apenas uma imaginação, quando na verdade eles são números tais como os 
números ~ea is . Os números imaginários foram inventados quando se tomou necessária a 
existência de números que fossem a raiz quadrada de números negativos (os reais não 
são). Essa invenção de números não foi novidade, porque foi precedida pela invenção de 
números reais não inteiros e de números reais negativos. 
Os números imaginários precisam ser distinguidos dos números reais porque 
existem diferenças entre as regras que devem ser aplicadas nas operações matemáticas 
com cada um deles. Não existe uma convenção internacional para a representação dos 
números imaginários. No campo da eletricidade, entretanto, a norma é o uso da letra j, 
como em j2, j0,Ol e -j5,6. 
As regras para adicionar e subtrair números imaginários são as mesmas usadas 
para adicionar subtrair números reais, exceto que a soma e a diferença são imaginá- 
rias. Como ilustração, 
A regra para multiplicação, entretanto, é diferente. O produto de dois números 
imaginários é um número real que é o negativo do produto que seria encontrado se os 
números fossem reais. Por exemplo, 
Além disso, jl(j1) = - 1, de onde jl = fi. Ig~alrnente, j2 = G, j3 = .\l_g, e assim por 
diante. 
Algumas vezes, potências de j l aparecem nos cálculos. Elas podem ter valores 
de 1, - 1, j l e - j l , como pode ser mostrado com (j1)2 = j1 01) = - 1 e então progressi- 
vamente multiplicando por j l e desenvolvendo. Como exemplo, ~ 1 ) ~ = j 1 ~ 1 ) ~ = jl(-1) = 
= -jl e 0 1 ) ~ = j 1 ~ 1 ) ~ = j l(-j l) = 1. 
O produto de um número real por um número imaginário é um número imagi- 
nário que, exceto por ser imaginário, é o mesmo se caso ambos os números fossem 
reais. Por exemplo, 3( j5) = j15 e - j5,1(4) = - j20,4. 
312 Análise de Circuitos - 2 V d i ç ã o Cap. 11 
Na divisão de dois números imaginários, o quociente é real e é o mesmo, caso 
ambos os números fossem reais. Como uma ilustração, 
Um recurso conveniente para memorizar a regra da divisão é cancelar os j's como se eles 
fossem números e então fazer a divisão como em 
Isto pode ser usado apenas como um recurso de memorização, porque j apenas designa 
um número como sendo imaginário, mas não é um número. Entretanto, a consideração do 
j como um número na divisão, bem como em outras operações matemáticas, é sempre 
feita por conveniência e por levar sempre a resultados corretos. - 
Se um número imaginário é dividido por um número real, o quociente é 
imaginário, mas é o mesmo que para números reais. Por exemplo, 
A única diferença, se o denominador for imaginário e o numerador real, é que 
o quociente é o negativo do anterior. Para ilustrar, ' 
A base para essa regra pode ser demonstrada pela multiplicação do numerador 
e do denominador por j l , como em 
A multiplicação para fazer o número real, como aqui, é chamada de racionali- 
zação. 
Cap. I I Ál,?ehra complexa e fasores 343 
NÚMEROS COMPLEXOS E FORMA RETANGULAR 
Se um número real e um número imasinário são adicionados, como em 3 + j4, ou 
subtraídos, como em 6 - j8, o resultado é considerado como sendo um número complexo 
na forma retangular. Outras formas de números complexos serão introduzidas na próxima 
seção. 
Um número complexo pode ser representado por um ponto no plano complexo 
mostrado na Figura 11.1. O eixo horizontal. chamado de eixo real, e o eixo vertical, 
denominado eixo imaginário, dividem o plano complexo em quatro quadrantes, como 
indicado. Ambos os eixos possuem a mesma escala. Os pontos para os números reais 
estão no eixo real, porque um número real pode ser considerado como um número 
romplexo com a parte imaginária igual a zero. A Figura 11.1 possui quatro desses 
pontos: -5, -1, 2 e 4. Os pontos para números imaginários estão no eixo imaginário, 
porque os números imaginários podem ser considerados números complexos com parte 
real nula. A Figura 11.1 mostra quatro desses ponros: j3, jl, - j2 e - j4. Outros números 
complexos não têm parte real ou imaginária igual a zero, e então correspondem a 
pontos fora dos eixos. A parte real de cada número fornece uma posição à direita ou à 
esquerda do eixo vertical, e a parte imaginária fornece uma posição acima ou abaixo do 
eixo horizontal. A Figura 11.1 possui quatro desses pontos, um em cada quadrante. 
Eixo imaginário I 
2" quadrante 1- quadrante 
3"uadrante 4' quadrante 
A I I I A 
- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 . 0 
- j l 
- j 2 t r 
Figura i i . 1 
I A 1 1 1 
- 
1 3 4 5 Eixo real 
- 
4- j 2 
244 Análise de Circuitos - 2Vdiçúo Cap. 11 
Na Figura 11.1 os números complexos 4 + j2 e 4 - j2 têm a mesma parte real, 
e também a mesma parte imaginária, com exceção do sinal. Dois números complexos 
que têm essa relação são ditos como sendo conjugados: 4 + j2 é o conjugado de 4 - j2 
e vice-versa. Pontos equivalentes a números conjugados têm a mesma posição horizon- 
tal, mas posições verticais opostas, sendo equidistantes, em lados opostos, do eixo real. 
Se forem traçadas linhas desses pontos para a origem, elas terão o mesmo comprimento 
e, com exceção do sinal, o mesmo ângulo em relação ao eixo real positivo. (Ângulos 
são positivos se são medidos na direção anti-horária a partir desse eiko,'e negativos se 
medidos na direção horária.) Essas relações gráficas entre conjugados são importantes 
para a forma polar dos números complexos, apresentada na próxima seção. 
A forma retangular é uma forma prática para adição e subtração. Essas opera- 
ções são aplicadas separadamente às partes reais e imaginárias. Como uma ilustração, 
( 3 + j 4 ) + ( 2 + j 6 ) = 5 + j l O e ( 6 - j 7 ) - ( 4 - j 2 ) = 2 - j 5 . 
Na multiplicação de números complexos na forma retangular, as regras 
básicas de álgebra são usadas juntamente com as regras para números imaginários. Por 
exemplo, 
A partir dessa regra da multiplicação temos que, se um número complexo é 
multiplicado por seu conjugado, o produto é real e é a soma do quadrado da parte 
imaginária com o quadrado da parte real. Como ilustração, 
Na divisão de números complexos na forma retangular, o numerador e o 
denominador são multiplicados pelo conjugado do denominador para fazer o denomi- 
nador real, ou racionalizado, e então a divisão se toma simples. Como um exemplo 
dessa operação, 
Cap. I 1 Álgebra complexa e fasores 345 
FORMA POLAR 
A forma polar de um número complexo é uma redução da forma exponencial. As 
formas exponencial e polar são normalmente as melhores formas para multiplicação e 
divisão, mas não são usadas para adigo e subtração, a não ser graficamente, o que é 
raramente feito. Entretanto, uma calculadora pude somar e subtrair números complexos 
tantona forma retangular quanto na polar. A forma exponencial é ~ e j ~ , onde A é o 
módulo e 8 é o ângulo do número complexo. Além disso, e = 2,718 ... é a base do 
Iogaritmo natural. A forma polar para ~ e f i é A / 6. como em 40fi5' = 4 e - 8 ej60 = 
= - 8 Embora ambas as formas sejam equivalentes, a forma polar é mais popular, 
por ser mais fácil de ser escrita. 
A partir da identidade de Euler. é evidente que um número com 5ei60' é um 
número complexo: ejO = cos 8 + j sen 8. Como uma ilustração, 7ePr = 7 / = 7 cos 30" 
+ j7 sen 30" = 6,06 + j3,5. O uso da identidade de Euler não apenas serve para mostrar 
que um número como Aej0 = A 8 é um número complexo, mas também serve para 
converter um número da forma exponencid para a polar ou para a retangular. 
Outra aplicação da identidade de Euler é no desenvolvimento de fórmulas para 
converter números complexos na forma p!ar em números na forma retangular ou 
exponencial. Suponha que x e y sejam qmkcidos em x + jy, e que A e 8 devem ser 
obtidos de forma que x + jy = Aej0 = A z- .!a identidade de Euler , x + jy = A cos 8 
+ jA sen 8. Sendo que dois números complexos são iguais apenas quando as partes 
reais e imaginárias são iguais, temos que x = A cos 8 e y = A sen 8. Fazendo a relação 
entre essas duas equações eliminamos A: 
,A' sen 8 Y 
= tg 8 = L de onde 8 = t g i 2 A e X X 
(Observe que se x é negativo, 180" devem ser adicionados ou subtraídos de 8.) Assim, 8 
pode ser encontrado a partir do arco tangente da relação entre a parte imaginária e a 
parte real. Com 8 conhecido, A pode ser encontrado pela substituição de 8 tanto 
em x = A cos 8 como em y = A sen 8. 
Outra forma utilizada para encontrar A é a partir da fórmula básica, aplicando 
o quadrado de ambos os termos em A cos 8 = x e A sen 8 = y e somando: 
346 Análise de Circuitos - 2" Ediçáo Cap. 11 
ue, por trigonometria, cos2 8 + sen2 6 = 1, temos que = x2 + y2 e 
Assim, o módulo de um número complexo é igual à raiz quadrada da soma 
dos quadrados das partes reais e imaginárias. A maioria das calculadoras possui recursos 
para fazer a conversão entre as formas retangular e polar. 
Essa conversão também pode ser compreendida a partir de uma consideração 
gráfica. A Figura 11.2a mostra uma linha reta da origem para o ponto do número 
complexo x + jy. Como mostrado na Figura 11.2b. essa linha forma um triângulo 
retânguro com suas projeções verticais e horizontais. A partir da trigonometria elemen- 
tar, x = A cos 8, y = A sen 8 e A = G, em concordância com os resultados obtidos 
pela identidade de Euler. Muitas vezes essa linha, em vez do ponto, é considerada como 
correspondente de um número complexo, porque seu comprimento e ângulo são, res- 
pectivamente, a amplitude e o ângulo do número complexo na forma polar. 
Eixo real 
(a) 
Figura 11.2 
Conforme mencionado, o conjugado de um número complexo na forma retan- 
gular difere apenas no sinal da parte imaginária. Na forma polar essa diferença aparece 
tão somente como uma diferença no sinal do ângulo, como pode ser mostrado pela 
conversão de dois conjugados para a forma polar. Por exemplo, 6 + j5 = 7,81 / 3-80 e 
seu conjugado é 6 - j5 = 7,81 / - 39,8". 
Como determinado, a forma retangular é a melhor forma para se fazer a adição 
e a subtração, e a forma polar é melhor para a multiplicação e a divisão. As fórmulas de 
multiplicação e divisão para os números complexos na forma polar são fáceis de serem 
desenvolvidas a partir dos números exponenciais correspondentes e pelas regras de 
expoentes. O produto dos números complexos e Bd4 é ( ~ d ~ ) ( B e j $ ) = ~ B e j ( ~ + @), 
que tem o módulo AB, que é o produto dos módulos individuais, e o ângulo. 8 + @, que, 
pela regra de expoentes, é a soma dos ângulos individuais. Na forma polar isto é 
Cap. I I Álgebra complexa e fasores 347 
Para a divisão o resultado é 
Assim, o módulo do quociente é o quociente A/B dos módulos, e o ângulo do quociente é, 
pela regra de expoentes, a diferença 6 - c9 do ângulo do numerador menos o ângulo do 
denominador. 
FASORES 
Por definição, um fasor é um número complexo associado com uma onda seno de fase 
deslocada tal que, se o fasor está na fonna polar. seu módulo é o'valor eficaz (rms) da 
tensão ou corrente, e seu ângulo é o ângulo de fase da onda seno de fase deslocada. Por 
exemplo, V = 3 V é o fasor para v = 3 \r wn (377t + 45") V e I = 0,439 / - 27' A 
é o fasor para i = 0,621 sen (754t - 27") A. É claro que 0,621 = w. 
Observe o uso do negrito em V e I para os símbolos dos fasores de tensão e 
corrente. Esta é uma convenção para as letras usadas como símbolos para todos os 
valores complexos. Além disso, um asterisco em expoente é usado para indicar o con- 
jugado. Como uma ilustração, se V = -6 + j10 = 11,7 / 121" V, então V* = - 6 - j10 = 
= 11,7 / - 121' V. O módulo de um fasor variável é indicado sem o negrito, e o 
módulo de um número complexo é indicado pelo uso de linhas paralelas. Por exemplo, 
s e I = 3 + j 4 = 5 /53, l0A,entãoI = 13 +j41 =15/53, loI = 5 A . 
r 
Um erro comum é igualar um fasor e sua senóide correspondente. Isto 
não deve ser feito, porque o fasor é uma constante complexa, mas a senóide é uma 
função real do tempo. Resumindo, está incorreto escrever algo semelhante a 3 / = 
= 3 fi sen (cùt + ,30°). 
Os fasores são normalmente, por conveniência, indicados na forma polar. Mas 
a forma retangular é igualmente correta, porque, sendo um número complexo, o fasor 
pode ser expresso em qualquer das formas de números complexos. Nem todos os 
. - 
números complexos são fasores, apenas correspondem a senóides. 
348 Análise de Circuitos - 2- Edição Cap. 11 
Não existe uma convenção em relação à definição de fasores. A maioria dos 
engenheiros eletricistas usa o valor de pico da senóide em vez do valor eficaz. Além 
disso, eles utilizam o ângulo de deslocamento de fase para uma onda co-seno em vez de 
uma onda seno. 
Uma aplicação de fasores é na soma de senóides de mesma~freqüb&Se 
cada senóide é transformada em um fasor, e então são somadas e reduzidas a um único 
número complexo, esse número é o fasor para a senóide resultante da soma. Como uma 
ilustração, a senóide correspondente a v = 3 sen (2t + 30") + 2 sen (2t - 15") V pode ser 
encontrada pela adição dos fasores correspondentes: 
e então esse fasor é transformado em uma senóide. O resultado é v = 4,64 sen (2t + 12,2") V. 
Esse procedimento está correto para qualquer número de senóides somadas ou subtraídas, 
considerando que todas tenham a mesma frequência. 
Observe que o úso de fi não alterou o resultado final. O foi introduzido 
na obtenção dos fasores e então deletado na'transf~rma~ão da soma dos fasores em uma 
senóide. Quando os dados do problema são senói'des e o resultado é uma senóide, é 
mais fácil ignorar o .\12 e usar os fasores que são baseados em valores de pico em vez 
de valores eficazes. 
Os fasores são algumas vezes indicados no plano complexo em um diagrama 
chamado diagrama fasorial. Os fasores são indicados como setas partindo da origem 
com os comprimentos correspondendo aos módulos~dos fasores e com os ângulos 
correspondendo aos ângulos dos fasores. Tais diagramas são convenientes para indicar 
a relação angular entre tensões e correntes de mesma frequência. Algumas vezes eles 
são também usados na adição e subtração, nos casos onde a precisão não é importante. 
Outro diagrama, chamado diagrama vetorial, é mais conveniente para a adição 
e a subtração gráfica. Nesse tipo de diagrama a adição e a subtração são.feitas como se 
os fasores fossem vetores. Para a adição, as setas dos fasores são colocadas uma atrás 
da outra, e o fasor resultante é encontrado desenhando-se uma seta partindo do início da 
primeira seta para a ponta (final) da última seta. Se um fasor é subtraído, então ele é 
girado de 180" (invertido) e então adicionado. 
Cap. I I Álgebracomplexa e fasores 349 
Problemas Resolvidos 
11.1 Resolva as seguintes operações: 
1 (a) i 2 + j3 - j6 - 18 (b ) ~2( -~3)04) ( - /6 ) (c) p,25 
(a) As regras de adição e subtraqão de números imaginários são as mesmas para 
adição e subtração de números reais, com exceção que o resultado é imaginário. 
Assim, 
(b) Os números podem ser multiplicados dois a dois, com o seguinte resultado: 
Como alternativa, j l pode ser fatorado em cada termo, e então encontrada uma 
potêrrcia de jl vezes um produto de números reais: 
(C) O denominador pode ser transformado para real pela multiplicação do numerador 
e do denominador por j l , e então a divisão pode ser executada como se os núme- 
ro$ fossem reais - exceto que o quociente é imaginário: 
Como alternativa, sendo l / j l = - j l , 
(6) Por conveniência, os j's podem ser considerados como se fossem números e elimi- 
nados: 
11.2 Adicione ou subtraia como indicado, e expresse o resultado na forma retangular. 
(a) (6,21 + j3,24) + (4,13 - j9,47) 
( b ) (7,34 - j1,29) - (5,62 + j8,92) 
( C ) (-24 + j12) - (- 36 - j16 ) - ( I 7 - j24 ) 
5 0 Análise de Circuitos - 2Vdição Cap. 11 
As partes reais e imaginárias são subtraídas ou adicionadas separadamente: 
(a) (6,21 + j3,24) + (4,13 - j9,47) = (6,21 + 4,13) + j(3.24 - 9,47) = 10,34 - j6,23 
(b) (7,34 - j1,29) - (5,62 + j8,92) = (7,34 - 5,62) - j(1.29 + 8,92) = 1,72 - j10,21 
(C) (-24+j12)-(-36-j16)-(17-j24)=(-24+36-17)+j(12+16+24)=-5+j52 
11.3 Encontre os seguintes produtos e expresse-os na forma retangular: 
(a) (4 + j2)(3 + j4) ( h ) (6 + j2)(3 - j5)(2 - j3) 
Na multiplicação de números complesos na forma retangular, as regras básicas da 
álgebra são usadas juntamente com as regras de Íkímeros imaginários: 
(a) (4+ j2 ) (3+ j4 )=4(3 )+4( j4 )+ j2 (3 )+ j20 '4 )=12+;16+~6-8=4+j22 
(b) É melhor fazer a multiplicação de dois números de cada vez: 
Multiplicar três ou mais números complexos na forma retangular nonnalmente 
requer mais trabalho que os converter para a forma polar e então os multiplicar. 
11.4 Resolva 
,' 
O valor dessa determinante 'de segunda ordem é igual ao produto dos elementos da 
diagonal principal menos o produto dos elementos da outra diagonal, da mesma forma que 
para termos reais: 
Cap. I 1 Álgebra complexa e fasores 351 
11.5 Resolva 
A resolução de uma determinante de terceira ordem com elementos complexos é 
feita da mesma forma que em uma determinante com elementos reais: 
= (4 + j6)(6 + j10)(2 + j l ) + (-j4)(-3)(-2) + (-2)(-j4)(-3)-(-2)(6 + jlO)(-2) 
- (-3)(-3)(4 + j6) - (2 + jl)(-j4)(-j4) 
= - 148 + j l 1 6 - j 2 4 - j 2 4 - 2 4 - j 4 0 - 36 - j54+32+j16 =-176-j10 
Embora esse resultado esteja correto, é difícil chegar a ele sem cometer erros. O uso de 
uma calculadora é mais indicado. 
11.6 Encontre os seguintes quocientes na forma retangular: 
Para a divisão na forma retangular, o numerador e o denominador devem ser multi- 
plicados pelo conjugado do denominador para fazer o denominador real. Então a divisão é 
direta. Fazendo isto o resultado é 
11.7 Converta os seguintes números para a forma polar: 
( a ) 6 + j9 (h) -21,4 + j33,3 (c ) -0,521 - j1,42 (d) 4,23 + j4,23 
352 Análise de Circuitos - 2Vdiçáo Cap. 11 
Se uma calculadora que não possui a conversão de retangular para polar for usada, 
então um número com lexo x + jy pode ser convertido para seu equivalente A / com as + fórmulas A = x + y e 0 = tg-I (ylx). Com esse recurso 
(b) -21.4 + j33.3 = d(-21,4)~ + 33.3' / tg-' [33,3/(-21,4)] = 39,6/ 122.7' 
Normalmerite uma calculadora fornecerá tg-I(-33,3/21,4) = -57,3", que difere do 
ângulo correto de 180". Na maioria das calculadoras esse erro sempre ocorre, 
porque na conversão de retangular para polar a parte real do número complexo é 
sempre negativa. A solução, é claro, é acrescentar o ângulo da calculadora de 180" 
positivos ou negativos, o que é mais conveniente. 
(c) - 0,521 - j1,42 = d(-0,521)2 + (-1,42)~ / tg-11- 1,42/(- 0,521)] = 1,51/ - 110' 
Novamente, por ser a parte real negativa, uma calculadora não fornece um ângulo 
de -11O0, mas tg-I (1,42/0,521) = 70'. 
(d) 4.23 + j4,23 = d4,23' + 4,2P / tg1(4,23/4,23) = fi(4,23)/ t g l 1 = 5 . 9 8 E 
Como pode ser generalizado a partir desse resultado, quando os módulos das 
partes real e imaginária são iguais, o valor em polar é .\12 vezes esse valor. Além 
disso, o ângulo é 45' se o número está no primeiro quadrante do plano complexo, 
135" se está no segundo quadrante, -135" se está no terceiro, e - 45" se está no quarto. 
11.8 Converta os seguintes números para a forma retangular 
(a) 10,2 / (b) 6,41 /r - 30" (c) - 142 / - 80,3" 
(d) 142 / - 260,3" ( e ) - 142 / - 440,3" 
Se for usada uma calculadora que não possua a conversão de retangular para polar, 
a identidade de Euler pode ser usada: A / = A AOS 9 + j A sen 8 
(a) 10,2 / = 10,2 cos 20" + j10,2 sen 20" = 9,58 + j3,49 
(b) 6,41 / - 30° = 6,41 cos (- 30") + j6,41 sen (- 30") = 5 3 5 - j3,21 
(C) - 142 / - 80,3" = -j142 cos (- 80,3") - j142 sen (- 80,3") = - 23,9 + j140 
Cap. 11 Álgebra complexa e fasores 353 
(e ) - 142 / - 440,3" = -142 cos (- 440,3") - j142 sen (- 440,3') = - 23,9 + j140 
AS respostas (c) e (d) mostram que uma diferença angular de 180" corresponde a 
uma multiplicação por -1. E as respostas (c) e ( e ) mostram que uma diferença de 
360" não produz alteração. Assim, de uma forma geral, A / f3 k 180' = -A / e 
A /8f 360°= A E. 
11.9 Encontre os seguintes produtos na forma polar: 
(a) (3 / ) ( 4 / - 6O0)(-5 / 120' ) (4 / - 210' ) 
(a) Quando todos os fatores estão na forma polar, o módulo do produto é o produto 
dos módulos individuais acompanhados de seus sinais negativos, se existirem, e o 
ângulo do produto é a soma dos ângulos individuais. Assim, 
(b) Os números na forma retangular devem ser convertidos para a forma polar antes 
de serem multiplicados: 
11.10 Encontre os quocientes na forma polar para (a) (81 / ) / ( 3 E) 
e (b) (-9,l /)/(-4 + j7). . 
(a) Quando o numerador e o denominador estão na forma polar, o módulo do quo- 
ciente é o quociente dos módulos, e o ângulo do quociente é o ângulo do numera- 
dor menos o ângulo do denominador. Assim, 
354 Análise de Circuitos - 2 V d i ç i o Cap. U 
(b) O denominador deve ser convertido para a forma polar como uma primeira etapa: 
11.11 Encontre o seguinte quociente: 
Desde que o expoente de um número indica quantas vezes ele deve ser mulplicado 
por ele mesmo, o efeito de um expoente é elevar o módulo a esse expoente e multiplicar o 
ângulo por esse expoente. Assim, 
~1.12 Encontre os fasores de tensão e corrente correspondentes para o seguinte: 
(a) v = f i ( 5 0 ) sen (377t - 35") V (c ) v = 83,6 cos (400t - 15") V 
(b) i = *(90,4) sen (754t + 48") mA (4 i = 3,46 cos (815t + 30") A 
Um fasor na forma polar possui um módulo que é o valor eficaz da senóide de 
tensão ou corrente correspondente, e um ângulo que é o ângulo de fase da senóide se ela 
está na forma de uma onda seno de fase deslocada. Assim, 
Cap. I I Álgebra complexa e fasores 355 
(a) v = f i (50) sen (3771 - 35") V + V = 501 - 35O V 
(b) i = sen (754t + 487 mA + I = 90,4/ - 48' mA 
(C) V = 83,6 cos (400t - 15') = 83,6 sen (400t - 15" + 90") = 83,6 sen(400t + 75") V 
(4 i = 3,46 cos (813 + 30") = 3,46 sen (815t + 30' + 90") = 3,46 sen (815t + 120') A 
11.13 Encontre as tensões e correntes correspondentes aos seguintes fasores de tensão 
- e corrente (cada senóide possui uma frequência angular de 377 rad/s): 
(a) V = 20/ V (b) I = 10,2/ -41' mA 
(C) ' V = 4 - j 6 V (d) I =- 3 + j l A 
Se um fasor está no forma polar, a tensão ou corrente correspondente é uma onda 
seno de fase deslocada que possui um ângulo de fase que é o ângulo do fasor e um valor 
de pico que é &vezes o módulo do fasor. Assim, 
(a) V = 2 0 p V v = 20 &sen (3771 +35") = 28,3 sen (3771 + 35") V 
(b) I=10 ,2 / -4 lomA+i=f i (~1~ ,2 ) s en (377 t+41o )=14 ,4 sen (377 t+41o )mA 
(c) V = 4 - j6 = 7,211 - 56,3" V 
+ v = *(7,21) sen (377t - 56,3") = 10,2 sen (377t - 56,3") V 
( 4 I = -3 + jl = 3,16/ 161,6" A. 
+ i = fi(3,16) sen (377t + 161,6") = 4,47 sen (37'lt + 161,6") A 
11.14 Encontre uma única senóide que é equivalente a cada uma das seguintes: 
(a) 6,23 sen ot + 9,34 cos ot 
(b) 5 sen C4t - 20") + 6 sen (4t + 45") - 7 cos (4t - 60") + 8 cos (4t + 30") 
(C) 5 sen 377t + 6 cos 754t 
Um método de fasores pode ser utilizado desde que os termos são senóides. O 
procedimento é encontrar o fasor correspondente a cada senóide, somar os fasores para se 
obter um único número complexo e então encontrar a senóide correspondente a esse 
356 Análise de Circuitos - 2 V d i ç á o Cap. I1 
número compiexo. De preferência os fasores devem estar baseados nos valores de pico, 
porque não existe vantagem em se introduzir o termo 6, uma vez que o enunciado dos 
problemas são senóides e as respostas são senóides. Assim, 
(a) 6,23 sen wt + 9,34 cos wt + 6 . 2 3 e + 9,34/ = 1 1 . 2 F 
+ 11,2 sen (ot + 56,3") 
(b) 5 sen (4t - 20') + 6 sen (4t + 45") - 7 cos (4t - 60') + 8 cos (4t + 30") 
+ 5/ - 20" + 6 / - 7 7 / + 8/ 120" = 6,071 100,7" = - 6,07/ - 79,3" 
+ - 6,07 sen (4t - 79,3") 
(c) As senóides não podem ser combinadas, porque têm frequências diferentes 
11.15 Para o circuito mostrado na Figura 11.3, encontre v, se v, = 10,S sen (754t + 30") V, 
v, = 14,9 sen (754t - 10') V e v3 = 16,l cos (754t - 25") V. 
Figura 11.3 
Pela LKT, v, = v l - v 2 + v-, = 10,2 sen (754t + 30") - 14,9 sen (754t - 10") + 
+ 16,l cos (754t - 25") V . A s0m.a das senóides pode ser encontrada pelo uso de fasores: 
+ v, = 22,3 sen (754t + 87,5") V 
Sendo que o enunciado do problema são senóides e o resultado também é uma senóide, 
o resultado poderia ter sido encontrado mais facilmente se fossem usados fasores basea- 
dos, em valores de pico em vez de valores eficazes. 
Cap. 11 Álgebra complexa e fasores 357 
11.16 No circuito mostrado na Figura 11.4, os voltímetros V M I e V M 2 têm as leituras 
de 40 V e 30 V, respectivamente. Encontre a leitura do voltímetro VM3. 
Figura 11.4 
É tentador concluir que, pela. LKT, a leitura do voltímetro VM3 é a soma das leituras 
dos voltímetros V M I e VM2. Mas isto está errado, porque a LKT se aplica a fasores de 
tensão e não a seus valores de tensão rms que são lidos pelos voltímetros. As tensões rms, 
sendo valores positivos constantes e reais, não possuem os ângulos que os fasores de 
tensão possuem. 
Para os fasores necessários para a LKT, ângulos devem ser associados aos valores de 
tensão rms dados. Um ângulo pode ser arbitrariamente escolhido porque apenas o módulo 
da soma é desejado. Se O" é escolhido para o fasor de tensão do resistor, esse fasor é 
40 / V, e então o fasor de tensão do indutor deve ser 30 /90". O fasor de tensão do 
indutor tem um ângulo 90" maior, porque essa tensão está adiantada da corrente de 90e, 
mas a tensão no resistor está em fase com a corrente. Pela LKT, o fasor de tensão para a 
fonte é 40 + 30 / = 40 + j 3 O = 50 / 36,9O, que tem um valor rms de 50 V. Assim, a 
leitura do voltímetro VM3 é 50 V , e não 30 + 40 = 70 V, como havia sido suposto. 
11.17 Encontre vs para o circuito mostrado na Figura 11.5. 
Figura 11.5 
358 Análise de Circuitos - 2Vdição Cap. I 1 
A tensão v, pode ser encontrada a partir de vs = vR + vc + vL após as tensões nesses 
componentes serem encontradas. Pela Lei de Ohm, 
vR = [0,234 sen (3000t - 10")] (270) = 63,2 sen (3000t - 10") V 
A tensão no indutor vL está adiantada de 90" da corrente e tem um valor de pico que 
é wL = 3000(120 x 1 0 - ~ ) = 360 vezes 0 valor de pico da corrente: .9 
vL = 360(0,234) sen (3000t - 10" + 90") = 84,2 sen (3000t + 80") V 
A tensão Vc no capacitor está atrasada da corrente de 90" e tem um valor de pico que é 
llwC = 1/(3000 x 6 x lo4) = 55,6 vezes o valor de pico da corrente: 
vC = 55,6(0,234) sen (3000t - 10" - 90") = 13 sen (3000t - 100") V 
Os fasores, que estão convenientemente baseados nos valores de pico, podem ser usados 
para encontrar a senóide da soma: 
+ v, = 95,2 sen (3000t + 38,4") V 
11.18 Encontre is para o circuito mostrado na Figura 11.6. 
Figura 11.6 
A corrente is pode ser determinada a partir de is = i, + ic + i, após as correntes 
nesses componentes serem encontradas. Pela Lei de Ohm, 
. 150 sen (2500t - 34") 
lR = 10 = 15 sen (2500~ - 34") A 
A corrente no indutor iL está atrasada de 90" da tensão e têm um valor de pico que é 
llwL = ll(2500 x 6 x lW3) = 1/15 vezes o valor de pico da tensão: 
Cap. I 1 Álgebra complexa e fasores 359 
A corrente no capacitor está adiantada da tensão de 90" e tem um valor de pico que 
é oC = 2500(20 x 1 0 - ~ ) = 0,05 vezes o valor de pico da tensão: 
ic = 0,05(150) sen (2500t - 34" + 90") = 7,5 sen (2500t + 56") A 
Os fasores, que estão convenientemente baseados nos valores de pico, podem ser usados 
para encontrar a senóide da soma: 
+ is = 15,2 sen (2500t - 433') A 
11.19 Se duas correntes correspondem aos fasores de 10 / e 7 7 mA, qual o 
ângulo e o valor rms da corrente que é a soma dessas correntes? Resolva usando 
diagrama vetorial e verifique a resposta pelo uso de álgebra complexa. 
A Figura 11.7 mostra o fasor de 7 mA partindo da ponta do fasor de 10 mA, como 
deve ser feito para uma soma vetorial. O fasor resultante, partindo do início do fasor de 10 
mA em direção à ponta do fasor de 7 mA, tem um comprimento aproximado de 16,5 
mA e um ângulo de aproximadamente 13". Em comparação, o resultado a partir de álgebra 
complexa é 
que é, logicamente, mais preciso que o obtido pelo método gráfico. 
Figura 11.7 
11.20 Um motor síncrono solicita uma corrente de 9 A de uma fonte de 240 V, 60 Hz. 
Um motor de indução em paralelo solicita 8 A. Se a corrente do motor síncrono 
está adiantada da tensão aplicada de 20" e a corrente do motor de indução está 
360 ' Análise de Circuitos - 2Vdiçáo Cap. I 1 
atrasada dessa tensão de 30°, qual a corrente total solicitada da fonte? Encontre 
essa corrente algébrica e graficamente. 
A escolha do fasor de referência - que será arranjado horizontalmente em O", - é 
arbitrária. Tanto o fasor de tensão quanto o de corrente podem ser usados. Na verdade, 
nenhum fasor precisa estar em a', mas é conveniente se ter um com esse ângulo. Na 
Figura 11.8 o fasor de corrente do motor síncrono C, arbitrariamente, posicionado hori- 
zontalmente, e o fasor de corrente do motor de indução é posicionado a partir de sua 
ponta com um ângulo de -50°, uma vez que existe um ângulo de 20" - (-30") = 50" de 
diferença de fase entre as duas correntes. O fasor soma está também indicado, com um 
comprimento correspondente a 154 A. Para uma comparação, por álgebra complexa, 
que está de acordo com o resultado gráfico com os três dígitos significativos. Normal- 
mente, apenas se espera que dois dígitos significativos estejam de acordo, devido à falta 
de precisão no método gráfico. 
Fasor de corrente do motor síncrono 
Fasor da corrente total 
Figura 11.8 
Problemas Suplementares 
11.21 Resolva as seguintes operações: 
fl 8 (a) j6 - j7 + j4 - j8 + j9 (b) (j2)2(-j3)~7)(-j8)y0.9) (C) (4 - 
-54 
Resp. (a) j4, (b ) - 6048, (c) -j20, (4 j2 
Cap. 11 Álgebra complexa e fasores ?61 
11.22 Resolva as seguintes operações e expresse os resultados na forma retangular: 
( a ) ( 4 3 9 + j6,28) + (5,2 1 - j4,63) 
( b ) (8,21 + j4,31) - (4,92 - j6,23) - (-5,16 + j7,21) 
(c) 3 + j 4 - 5 + j 6 - 7 + j 8 - 9 + j 1 0 - 1 1 
Resp. ( a ) 9,8 + j1,65 (b ) 8,45 + j3,33 (c) -29 + j28 
11.23 Encontre os seguintes produtos e expresse-os na forma retangular: 
(4 (6 - j7)(4 + j 2 ) 
(b ) ( 5 + j l ) ( - 7 - j 4 ) ( - 6 + j 9 ) 
( C )(-2 + j6)(- 4 - j4)(- 6 + j8)(7 + j3) 
Resp. ( u ) 3 8 - j 1 6 , (b )429- j117 , (c)-1504+j2272 
11.24 Encontre os seguintes produtos e expresse-os na forma retangular: 
( a ) (4 + j3)2(4 - j3)2 (h) (0,6 - j0,3)~(-2 + j4)3 
Resp. ( a ) 625, ( b ) 18 - j36 
11.25 Resolva 
Resp. 44 + j78 
11.26 Resolva I 
Resp. 156 - j762 
362 Análise de Circuitos - 2Ydição Cap. I 1 
11.27 Resolva 
Resp. - 65 -j1400 
11.28 Encontre os seguintes quocientes na forma retangular: 
Resp. ( a ) 0,588 + j2,35 ( b ) -0.976 - j1,22 (c) 1,07 + j0,2 
11.29 Converta os seguintes números para a forma polar: 
( a ) 8,l + j l l ( c ) -33,4 + j14.7 ( e ) 16,2 + j16,2 
(h ) 16,3 - j12,2 (4 -12,7 - j17.3 (B -19,l + j19,l 
Resp. ( a ) 13,7/ 53,6' ' ( h ) 20,4/ - 36.8' ( c ) 36.5/;@ 
(4 2 1 3 1 - 126" ( e ) 2 2 , 9 E (B 271 13- 
11.30 Converta os seguintes números para a forma retangular: 
( a ) . 11,8/51" (c)15,8/215" (e)-16.9& 
(h) 13,7/ 142" (4 27,4/ - 73" (f) -24.11 - 1200" 
Resp. ( a ) 7,43 + j9,17 ( b ) -10,8 + j8.43 ( c ) -1 2,9 - j9.06 
( d ) 8,01 - j26,2 (1.) - 13,7 +P.93 (B 12,l + j20,9 
11.31 Resolva as seguintes operações e expresse os resultados na forma polar: 
( a ) 6,31 - j8,23 + 7,141 23,1° - 8,921 -47.Y 
(h) 45,7/ - 34,6" - 68,9/ - 76,3" - 48,9/ 121" 
( c ) - 56,1/ - 49,8" + 73,1/ - 74,2" - 8 - j6 
Resp. ( a ) 6,951 9,5 1 " ( h ) 46,5/ - 1,14" ( C ) 41,4/ - 126" 
Cap. 11 Álgebra comple.ra e fasores 3 63 
11.32 Encontre os seguintes produtos na forma polar: 
(a ) (5,211 - 36,1Q)(0,141/ 110")(- 6,311 - 116")(1,72/ 2107 
( b ) (5 + j3)(- 6 + j1)(0,23/ - 17,1°) 
Resp. (a )7 ,97 / -12 , l0 ( 6 ) - 8 , 1 6 w 
11.33 Encontre os seguintes quocientes na forma polar: 
Resp. ( a ) 4,451 76,2" (b) - 0,7351 - 61 " ( C) -3,611 - 9,5' 
11.34 Encontre os seguintes quocientes na forma polar: 
Resp. (a) 1,72/ - 48,8' ( 6 ) L 0,665/ - 4,14" 
11.35 Encontre o seguinte quociente na forma polar: 
Resp. 2601 80,6" 
364 Análise de Circuitos - 2Vdição Cap. I I 
11.36 Encontre os fasores de tensão e corrente correspondentes na forma polar: 
(a) v = f i(42,l) sen (400t - 30") V (d) i = -38,l cos (754t - 72") A 
(b) i = fi(36,9) sen (6000t + 72') A (e) i) = - 86,4 cos (6721 + 34") V 
(c ) v = - 64,3 sen (377t - 34") V 
Resp. (a) V = 42,1/ - 30" V , ( b ) I = 36,9/ A, 
( C ) V = - 45,5/ - 34" V, (d) I = - 2 6 , 9 E A, 
(e) V = 61,1/-56" V 
11.37 Encontre as tensões e correntes correspondentes aos seguintes fasores de tensões e 
correntes (cada senóide tem uma frequência angular de 754 radls): 
(a) V = 1 5 , 1 / V ( c ) V = - 14,3/-69,7'V ( e ) V = - 7 - j 8 V 
(b) I = 9 , 6 2 / - 3 l 0 A ( d ) I = 4 - j 6 A (B I = - 8,96 + ~ 7 , 6 1 A 
Resp. (a) v = 21,4 sen (754t + 62") V (6) i = 10,2 sen (7541 - 56,3") A 
(b) i = 13,6 sen (754t - 3 1 O) A (e ) i, = -15 sen (754t + 48,s") V 
(c) v = - 20,2 sen (754t - 69,7") V (B i = -16,6 sen (754t - 40,3") A 
11.38 Encontre uma única senóide correspondente a cada uma das seguintes operações: 
(a) 7,21 sen o t + 11,2 cos o t 
(b) - 8,63 sen 377t - 4,19 cos 377t 
(c) 4,12 sen (64t - 1 0 ' ) - 6,23 sen (64t - 35") + 7,26 cos (64t - 35") - 8,92 cos (64t + 17") 
Resp. (a) 13,3 sen ( o t + 57,2"), (6 ) -9,59 sen (377t + 25,9"), 
(c) 5,73 sen (64t + 2,75") 
11.39 Na Figura 11.9 encontre i, se i2 = 14,6 sen (377t - 15"), i3 = 21,3 sen (377t + 30") mA 
e j4 = 13,7 cos (377t + 15") mA. 
11.40 No circuito mostrado na Figura 11.10, os amperímetros A , e A2 apresentam as leituras 
de 4 e 3 A, respectivamente. Qual a leitura do amperímetro A3? 
Resp. 2,65 A 
', 
Cap. 11 Álgebra complexa e fasores 365 
Figura 11.9 
Figura 11.10 . 
11.41 A corrente i = 0,621 sen (400t + 30") mA circula por um resistor de 3,3 kS1 em série 
com um capacitor de 0,5 pF. Encontre a tensão sobre a combinação série. Como sempre, 
considere referências associadas, por não haver nenhuma especificação contrária. 
Resp. v = 3,72 sen (400t - 26,6") V 
11.42 Uma tensão v = 240 sen (400t + 10") V está sobre um resistor de 680 R em paralelo com 
um indutor de 1 H. Encontre a corrente que circula pela associação paralela. 
Resp. i = 0,696 sen (400t - 49,s") A 
11.43 A corrente i = 0,248 sen (377t + 15") mA circula por uma combinação série de um 
resistor de 91 Q, um indutor de 120 mH e um capacitor de 20 pF. Encontre a tensão 
sobre a combinação série. 
Resp. v = 3 1,3 sen (377t - 3 1,2") V 
11.44 Uma tensão v = 120 sen (1000t + 20") V está sobre uma combinação paralela de um 
resistor de 10 kQ, um indutor de 100 mH e um capacitor de 10 pF. Encontre a corrente 
total iT que circula pela associação paralela. Encontre também a corrente no indutor iL 
e compare os valores de pico de iL e iT. 
Resp. iT = 0,012 sen (1000t + 20") A e iL = 1,2 sen (1000t - 70") A. 
A corrente de pico do indutor é 100 vezes a corrente de pico de entrada.