Determinantes de Matrizes

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Determinantes
Definic¸a˜o
Definic¸a˜o. Se A = [a11] e´ uma matriz 1× 1, enta˜o
detA = a11.
Se
A =
[
a11 a12
a21 a22
]
e´ uma matriz 2× 2, enta˜o
detA = a11a22 − a12a21.
Exemplo 1.
det
[
1 2
3 4
]
= −2; det
[
1 0
0 1
]
= 1; det
[
6 8
3 4
]
= 0.
Para definir o determinante de matrizes quadradas n× n para n ≥ 3, introduzimos o conceito de menor
e cofator.
Definic¸a˜o. Dada uma matriz A = (aij)n×n o menor do elemento aij , denotado A˜ij , e´ a submatriz (n −
1)× (n− 1) obtida de A eliminando-se a i-e´sima linha e a j-e´sima coluna de A.
Exemplo 2.
Se A =
 1 2 34 5 6
7 8 9
 , enta˜o A˜23 = [ 1 27 8
]
.
Definic¸a˜o. Dada uma matriz A = (aij)n×n o cofator do elemento aij , denotado Aij , e´ o nu´mero
Aij = (−1)i+j det A˜ij .
Exemplo 3.
Se A =
 1 2 34 5 6
7 8 9
 , enta˜o A23 = (−1)2+3 det [ 1 27 8
]
= (−1)[1 · 8− 2 · 7] = 6.
Definic¸a˜o. Seja A = (aij)n×n. O determinante de A, denotado detA, e´ o nu´mero definido por
detA =
n∑
j=1
aijAij
=
n∑
j=1
(−1)i+jaij det A˜ij
onde i e´ qualquer inteiro fixado entre 1 e n.
1
Desta definic¸a˜o, esta´ impl´ıcito o fato que o determinante pode ser calculado fazendo-se o desenvolvimento
em cofatores segundo qualquer linha (ou seja, obtemos o mesmo resultado qualquer que seja a linha que
escolhamos para calcular o determinante). Para uma demonstrac¸a˜o deste fato na˜o trivial, veja o livro texto.
Este fato e´ muito u´til no ca´lculo de determinantes de matrizes: na pra´tica, procura-se desenvolver em
cofatores escolhendo a linha que torne os ca´lculos mais fa´ceis.
Exemplo 4.
det
 1 2 31 2 4
1 3 7
 = −det [ 2 33 7
]
+ 2det
[
1 3
1 7
]
− 4 det
[
1 2
1 3
]
= −5 + 8− 4 = −1
det

1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
 = 1det
 6 7 810 11 12
14 15 16
− 2 det
 5 7 89 11 12
13 15 16

+3det
 5 6 89 10 12
13 14 16
− 4 det
 5 6 79 10 11
13 14 15

= 0.
det

1 2 3 4
√
2
5 6 7 8 pi
9 10 11 12 10100
0 0 0 0 1
13 14 15 16 317
 = −det

1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
 = 0.
Observe que se formos usar a definic¸a˜o para calcular o determinante, precisaremos de mais de n! operac¸o˜es.
Para ver isso, note que o primeiro passo se reduz a calcular n produtos por determinantes de matrizes
(n − 1) × (n − 1). Para calcular o determinante de cada uma destas matrizes, precisamos calcular n − 1
produtos por determinantes de matrizes (n − 2) × (n − 2). Logo, temos que calcular n(n − 1) produtos
por determinantes de matrizes (n − 2) × (n − 2). E assim por diante, o k-e´simo passo se reduz a calcular
n(n− 1)...(n− k) produtos por determinantes de matrizes (n− k− 1)× (n− k− 1), ate´ o u´ltimo passo, que
se reduz ao ca´lculo de n(n − 1)...(n − (n − 2)) = n(n − 1)...2 = n! produtos de determinantes de matrizes
(n− (n− 2)− 1)× (n− (n− 2)− 1) = 1× 1, isto e´, n! produtos de n nu´meros.
Se um PC possui um processador de 1GHz, ele processa aproximadamente um bilha˜o (109) de operac¸o˜es
por segundo. Para calcular o determinante de uma matriz 20× 20 diretamente da definic¸a˜o ele levaria mais
que
20!
109
∼ 10
18
109
= 109 segundos ∼ 100 anos. Felizmente, como veremos logo mais, existe um me´todo
mais eficiente, o me´todo de escalonamento, que requer apenas n3 operac¸o˜es. No caso de uma matriz 20×20,
usando este me´todo o computador levaria pouco mais de
203
109
=
8000
109
= 8×10−6 segundos, ou 8 milione´simos
de segundo.
2
Propriedades
1) Multilinearidade.
det

A1
...
αAi
...
An
 = α det

A1
...
Ai
...
An
 ,
det

A1
...
Ai +Bi
...
An
 = det

A1
...
Ai
...
An
+ det

A1
...
Bi
...
An
 .
Veja a justificativa desse fato no livro texto.
Como consequ¨eˆncia da func¸a˜o determinante ser multilinear temos va´rias propriedades u´teis que sim-
plificam o ca´lculo do determinante:
a) det (αA) = αn detA.
Exemplo 5.
det
 2 4 65 10 20
7 21 49
 = 2 · 5 · 7 det
 1 2 31 2 4
1 3 7
 = 70det
 1 2 31 2 4
1 3 7
− 70.
det

2 0 0 0
0 2 0 0
0 0 2 0
0 0 0 2
 = 24 det I = 16.
b) Se A possui uma linha nula, enta˜o detA = 0.
Pois detA = α detA para todo α ∈ R, em particular para qualquer α 6= 0, logo necessariamente
detA = 0.
Exemplo 6.
det

2
√
2 1
√
7 epi
0 0 0 0
117
23 −56 11
√
2−√3
−1 pi2 3 101000
 = 0
c) Se A possui duas linhas iguais, enta˜o detA = 0.
Este fato e´ claramente verdadeiro para matrizes 2× 2. Mas se ele e´ verdadeiro para matrizes (n− 1)×
(n − 1), enta˜o ele tambe´m e´ verdadeiro para matrizes n × n: se as linhas k e l de A sa˜o iguais, basta
desenvolver o determinante por cofatores a partir de uma outra linha i diferente de k e l; teremos enta˜o
uma soma de n mu´ltiplos de determinantes de matrizes (n − 1) × (n − 1) cada uma delas com duas
linhas iguais e portanto com determinante igual a 0.
Exemplo 7.
det
 17 2√19 −3pi24 5 6
4 5 6
 = 0.
3
d) Quando trocamos duas linhas de uma matriz, o determinante muda de sinal.
det

A1
...
Ak
...
Al
...
An

= −det

A1
...
Al
...
Ak
...
An

.
Este fato segue do anterior:
0 = det

A1
...
Ak +Al
...
Al +Ak
...
An

= det

A1
...
Ak
...
Al
...
An

+ det

A1
...
Ak
...
Ak
...
An

+ det

A1
...
Al
...
Al
...
An

+ det

A1
...
Al
...
Ak
...
An

= det

A1
...
Ak
...
Al
...
An

+ det

A1
...
Al
...
Ak
...
An

.
Exemplo 8.
det
 2 4 67 21 49
5 10 20
 = −det
 2 4 65 10 20
7 21 49
 = −(−1) = 1.
2) Determinante da Transposta.
det(At) = detA.
Para uma justificativa deste fato veja o livro texto.
Consequ¨eˆncia: Podemos calcular o determinante desenvolvendo em cofatores a partir de qualquer coluna
da matriz.
Exemplo 9.
det

√
7
√
7− 8√15 0 epi
−e pi10 0 √5
11 −56 0 25
5.3× 107 315 0 785
 = 0.
3) Determinante do Produto.
det(AB) = detAdetB.
Para uma demonstrac¸a˜o deste fato, veja o livro texto.
4
Consequ¨eˆncia: Se A e´ invert´ıvel, enta˜o detA 6= 0 e
det(A−1) =
1
detA
.
De fato,
det(AA−1) = det I ⇒ detAdet(A−1) = 1.
Ca´lculo do Determinante atrave´s de Escalonamento
Escalonamos a matriz ate´ chegar em uma matriz triangular, pois o determinante de uma matriz triangular
e´ facilmente calculado: ele e´ simplesmente o produto dos elementos na diagonal principal:
Proposic¸a˜o. Se A = (aij)n×n e´ uma matriz triangular, enta˜o
detA = a11...ann.
Prova: Fac¸a, sucessivamente, o desenvolvimento em cofatores a partir da linha em que se situa um ve´rtice
do triaˆngulo de elementos na˜o-nulos da matriz.
Ao escalonar a matriz, usamos as propriedades de determinantes dadas acima para tomar nota de como
o determinante e´ modificado cada vez que realizamos uma operac¸a˜o elementar:
1) Ao trocarmos duas linhas, o sinal do determinante se modifica.
2) Quando dividimos uma linha por um nu´mero, o determinante da matriz anterior e´ igual ao determinante
da matriz resultante multiplicado por este nu´mero.
3) O determinante na˜o se altera quando somamos a uma linha a mesma somada de um mu´ltiplo escalar de
outra linha.
Exemplo 10.
det
 0 2 53 −6 9
2 6 1

L1↔L2= −det
 3 −6 90 2 5
2 6 1

1
3L1= −3 det
 1 −2 30 2 5
2 6 1

L3−2L1= −3 det
 1 −2 30 2 5
0 10 −5

L3−5L2= −3 det 1 −2 30 2 5
0 0 −30

= −3 · 1 · 2 · (−30) = 180
5