Transformadores_5

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Máquinas Eléctricas I Transformadores 14-11-2002 
 
 
http://www.fe.up.pt/~leec2005 1-12 
Transformadores 
 
Os transformadores são máquinas eléctricas estáticas que elevam ou abaixam uma 
determinada tensão alternada. 
 
 
1. Princípio de funcionamento 
 
 
O funcionamento do transformador baseia-se nos fenómenos de mútua indução entre 
dois circuitos electricamente isolados, mas magneticamente ligados. 
Um transformador é constituído por dois circuitos enrolados sobre um núcleo comum (daí 
magneticamente ligados) coberto por verniz (daí electricamente isolados). Este núcleo é 
chapeado para diminuir as induções de fuga (perdas) e deve ter alta permeabilidade e 
pequena relutância para melhorar a ligação magnética. 
 
 
Para uma melhor explicação do funcionamento do transformador, vamos considerá-lo 
ideal. 
É aplicada uma tensão V1 ao circuito primário. Esta tensão criará 
uma corrente Iµ (corrente magnetizante) desfasada em atraso 90º da 
tensão, porque o circuito é puramente indutivo, visto termos desprezado 
as resistências ôhmicas. Por sua vez, esta corrente, ao passar pelo 
circuito, cria um fluxo magnético com a mesma fase da corrente que se 
concentra totalmente no núcleo, já que consideramos as dispersões 
magnéticas nulas. Em contrapartida, este fluxo de valor máximo Φ, 
induz em cada espira que o abraça uma força electromotriz (f.e.m.) de 
valor máximo EM. 
Segundo a lei de Lenz, a direcção desta f.e.m. é tal de modo a que 
produza uma corrente que crie um fluxo que contrarie o fluxo Φ. Sendo assim, a f.e.m. 
produzida tem que estar desfasada 180º em relação a V1, ou seja, 90º em atraso com 
respeito ao fluxo Φ. Portanto cria-se no enrolamento primário uma f.e.m. E1 de valor máximo 
11 NEE M ⋅= em que N1 é o número de espiras no enrolamento primário. 
 
Analogamente, o mesmo fluxo induz no enrolamento secundário 
uma f.e.m. E2 de valor máximo 22 NEE M ⋅= . Dividindo as duas 
equações obtemos a chamada razão de transformação ou relação de 
transformação: 
2
1
2
1
2
1
2
1
N
N
E
E
NE
NE
E
E
M
M =⇔⋅
⋅= 
Se o circuito secundário estiver ligado a uma carga, a f.e.m. E2 faz 
percorrer uma corrente I2 pelo circuito, desfasada em relação à f.e.m. 
de um ângulo φ2, dependente da componente não resistiva da carga. 
Esta corrente, pelo mesmo processo acima descrito, altera o fluxo no núcleo, o que por sua 
vez altera as f.e.m.s induzidas. Isto provoca um desequilíbrio entre a tensão V1 e a f.e.m. E1, 
o que faz o primário absorver mais corrente, sendo a corrente total agora I1 = I’1 + Iµ. Esta 
corrente adicional I’1 (corrente primária de reacção) induz uma força magnetomotriz (f.m.m.) 
Transformador ideal:
- resistências eléctricas dos enrolamentos 
nulas 
- perdas no ferro nulas 
- dispersões magnéticas nulas 
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de modo a equilibrar a f.m.m. induzida pela corrente I2 para restabelecer o equilíbrio entre a 
tensão V1 e a f.e.m. correspondente. 
 
Observando o seguinte diagrama fasorial, 
verifica-se que a resultante das f.m.m.s é N1 Iµ, o que 
origina o fluxo inicial. Verifica-se também que o 
desfasamento entre a tensão e a corrente primária 
depende do desfasamento entre a tensão e a 
corrente secundária. 
Quando o secundário trabalha com uma carga 
reduzida, ou seja, com uma corrente secundária 
reduzida, a corrente de reacção também é reduzida e 
a corrente total do primário tende para a corrente 
magnetizante com um desfasamento de 90º. Quando 
o transformador trabalha em plena carga, ou seja, 
quando a corrente secundária é elevada, a corrente 
de reacção também o é e pode-se praticamente 
desprezar a corrente magnetizante e relacionar I1 e I2 
por: 
1
2
2
1
1122
'
1122 N
N
I
IININININ =⇔=⇔= Fig.2. Diagrama fasorial 
 
 
 
 
 
 
2. Modelo matemático 
 
 
O modelo de um transformador ideal é representado pelo seguinte esquema: 







=====
===
Za
I
Ua
IIU
UIU
U
UI
I
UI
I
UZ
a
I
I
N
N
U
U
2
2
22
212
221
1
22
1
22
1
1
21
1
2
2
1
2
1
 
 
 
 
Os cálculos laterais indicam como se pode transferir uma impedância de um lado para o 
outro sem alterar o esquema equivalente. Mais tarde se verá que dá muito jeito transferir 
todas as impedâncias para um só lado. 
 
Mas para ser mais fiel ao transformador verdadeiro, o modelo tem que simular as 
imperfeições de maior importância do transformador. Estas são: 
 
¾ Os dois enrolamentos apresentam resistência. Existem perdas por efeito de 
Joule (Pj) 
¾ Existem perdas no núcleo do transformador devido a correntes de Foucault (Pf) 
¾ Existem perdas por histerese (Ph) 
¾ Existem fluxos de fuga nos dois enrolamentos (Pb) 
 
 
 
Para pormenores sobre electromagnetismo ver Apêndice A: Electromagnetismo 
U1 U2
N2 N1 Z 
Impedância Z referida ao primário 
ou vista pelo primário 
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U1 U2 
N2 N1 Z R0 jX0 
jX1 R1 jX21=a2jX2 R21=a2R2 
I1 
I2 
I21=I2/a
U21=aU2 
Z1 
Z0 
Z21 
U1 U2 N2 N1 Z R0 a2 
jX0 
 a2 
jX12=jX1/a2 R12=R1/a2 jX2 R2 
I12=aI1 
I2 
I2 
U12=U1/a Z02 
Z2 
Z12 
 
As perdas de Joule dos enrolamentos do transformador são representadas por 
resistências em série com o circuito em cada lado. 
 
As correntes de Foucault e de histerese são provocados no núcleo e por isso, são 
representadas pela resistência R0 
 
Os fluxos de fuga provocam uma f.e.m. desfasada 90º em relação à corrente percorrida e 
por isso são representados por uma bobine em série com o circuito em cada lado. 
 
A reactância X0 está no modelo devido à corrente magnetizante Iµ. O ramo que contem 
esta bobine é percorrido por esta corrente que, como vimos, era necessária para a criação 
do fluxo e em nada conta para a alimentação da carga. 
 
 
Vamos aplicar a regra de referir um dos lados ao outro: 
• Referir as impedâncias ao primário (Fig.1): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Referir as impedâncias ao secundário (Fig.2): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este esquema é de difícil análise devido ao nó criado pela impedância Z0 ou Z02. De notar 
que a corrente que passa por esse ramo é muito menor que a corrente total, já que, por 
norma, a impedância Z0 ou Z02 é muito maior do que as outras impedâncias Z1 e Z21, ou Z12 e 
Z2, respectivamente. Deste modo, é possível simplificar o esquema, sem elevar muito o erro, 
mudando o ramo que contem a impedância Z0 ou Z02 para antes da impedância Z1 ou Z12: 
U1 U2 
N2 N1 Z R0 jX0 
jX1 R1 jX2 R2 
I1 I2 
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U1N U20 R02 jX02 
jX2t R2t I12=aI10 I10 
U2=U1N 
 a U20 
I2=0 
U1 U2 N2 N1 Z 
R0 
a2 
jX0 
 a2 
jX12=jX1/a2 R12=R1/a2 jX2 R2 I12=aI1 I1 
I2 Z2t 
U1 U2 
N2 N1 Z R0 jX0 
jX1 R1 jX21=a2jX2 R21=a2R2 I1 I2 
I21=I2/a
U21=aU2 
Z1t 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig.3. Circuito equivalente simplificado “em L” do transformador referido ao primário 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 4. Circuito equivalente simplificado “em L” do transformador referido ao secundário 
 
Está claro que se pode unir as impedâncias Z1 e Z21 ou Z12 e Z2 numa única impedância: 
ttt jXRZZZ 112111 +=+= ttt jXRZZZ 222122 +=+= 
 
Para determinar estas impedâncias, basta apenas fazer dois ensaios: em vazio (circuito 
aberto) e em curto-circuito. 
 
 
• Ensaio em vazio: 
 
O valor lido pelo wattímetro é P10. 
 
Visto que foi aplicada uma tensão 
nominal no primário, U20 terá o 
valor nominal de U2 (U2N).Fig. 5. Montagem para o ensaio em vazio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 6. Circuito equivalente do transformador para o ensaio em vazio 
W A 
V U20 U1N 
I10
V
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W A 
V 
I2C 
U1C 
I1C 
A
U1C R02 
jX02 
jX2t R2t I1C2=aI1C I1C 
U1C2=U1C 
 a 
I2C 
Com este ensaio podemos calcular: 
 
¾ A razão de transformação: 
20
1
U
U
a N= 
¾ Perdas no ferro: 
 
Para este modelo simplificado, no ensaio em vazio, a corrente percorrida nas 
impedâncias exteriores ao núcleo (Z2t) é nula, logo todas as perdas serão resultantes 
de perdas do núcleo, ou perdas no ferro ( 10PPFE = ). 
¾ Factor de potência: 
absorvidaaparentepotência
absorvidaactivapotência)cos(
101
10
10 ←
←==
IU
P
N
ϕ 
¾ R0 e X0: 
 
{ {
{ {
mmmm
aaaa
ma
ma
ma
I
UX
I
aU
X
aI
U
a
X
I
U
a
X
X
I
UR
I
aUR
aI
U
a
R
I
U
a
RR
jaIaIjIIaaII
jIIIjII
jIIIjII
1
0
20
0
20
2
0
2
20
2
0
02
1
0
20
0
20
2
0
2
20
2
0
02
10101010012
10121012
jXporpassakcorrente
2
Rporpassakcorrente
212
10101010
jXporpassakcorrenteRporpassakcorrente
0
))sin()cos((
)sin()cos(
)sin()cos(
0202
00
=⇔=⇔=⇔==
=⇔=⇔=⇔==
+=+==
+=+=
+=+=
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
 
 
 
 
• Ensaio em curto-circuito 
 
 
O Wattímetro lê o valor P1C. 
 
A tensão U1C é tal que motive a 
corrente nominal em ambos os 
enrolamentos. 
 
 
 
 
Fig.7. Montagem para o ensaio em curto-circuito 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig.8. Circuito equivalente do transformador para o ensaio em curto-circuito 
 
 
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Com este ensaio podemos calcular: 
 
¾ Tensão de curto-circuito nominal: 
N
C
CC U
U
u
1
1= 
Tensão de curto-circuito nominal é, portanto, a razão entre a tensão necessária para 
percorreram as correntes nominais no circuito em curto-circuito, e a tensão nominal. 
Também pode ser determinado de outras formas, como por exemplo: 
XR
N
Nt
N
j
N
NtNt
NN
NNtt
NN
NNtt
N
Ntt
B
t
N
Nt
N
Nt
N
C
N
C
CC
jee
S
IXj
S
P
S
IjXIR
IU
IIjXR
IU
IIjXR
U
IjXR
Z
Z
U
IZ
U
IZ
U
U
U
Uu
+=+=+=+=
=+=+======
2
2
22
22
2
22
2
22
22
2222
22
2222
2
222
2
2
2
22
2
22
2
21
1
1
 
Estes dois últimos termos têm como nome: queda óhmica nominal ( eR ) e queda 
indutiva nominal ( eX ). 
 
¾ R1t, X1t e perdas nominais no cobre: 
 
Em geral, a impedância Z02 é muito maior que Z2t o que faz percorrer pelo ramo de 
Z02 uma corrente muito pequena. Se a desprezarmos, temos PFE.C = 0 e I2C = I1C2 o 
que resulta: 
cobrenonominaisperdas.1
2
2
2
22
2
21
2
2
21
1
2
2
212
2
221
←=−=
+=
=
=⇔==
JNCFEJNC
ttt
C
C
t
C
C
tCtCtC
PPPP
XZX
I
UZ
I
PRIRIRP
 
 
Para referir as impedâncias para o primário, basta multiplicar por a2. A impedância 
tttt jXRZaZ 112
2
1 +== é chamada impedância combinada de fugas. 
 
 
Diagrama Fasorial 
 
 
Um diagrama fasorial representa as grandezas de um circuito de uma forma fasorial, 
mostrando facilmente a relação entre as fases, e se for feito à escala, a relação entre os 
módulos. 
Vamos ver como é um diagrama fasorial para um ensaio em vazio de um transformador: 
Fig.9. Circuito equivalente do transformador para o ensaio em vazio 
U1 U2 
N2 N1 R0 jX0 
jX1 R1 jX2 R2 
I1 I2=0 
E1 E2 
Im Ia 
I0 
I21 = 0 
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φω
φω
rr
rr
rr
rrr
rr
rr
rrr
22
11
22
11111
01
2
0
)(
0
NjE
NjE
UE
IjXREU
II
I
III ma
−=
=−
=
++−=
=
=
+=
 
 
Fig.10. Diagrama fasorial para um ensaio em vazio e respectivas equações 
 
Os vectores (fasores) não estão à escala, mas a ideia mantém-se. A corrente I0 é 
composta pelas duas correntes Ia e Im. Essa corrente que também é igual a I1 passa pela 
impedância Z1 = R1 + jX1 o que provoca uma queda de tensão. A f.e.m. E1 será igual, em 
módulo, a U1 menos essa queda de tensão, mas com fase oposta. Como não há corrente no 
secundário, a tensão U2 é igual a f.e.m. induzida E2. 
 
Vamos fazer agora uma análise mais complexa, colocando uma carga no secundário. 
Fig.11. Circuito equivalente do transformador para o ensaio com uma determinada carga 
 
φω
φω
rr
rr
rrr
rr
rrr
rrr
22
11
22222
212
11111
0211
)(
)(
NjE
NjE
IjXREU
IaI
IjXREU
III
−=
=−
+−=
−=
++−=
+=
 
 
Agora temos um circuito com carga. Já existe uma 
corrente no secundário cuja fase depende do factor de 
potência de Z. A corrente I1 é agora a soma da corrente 
I0 com a corrente que vai para o secundário I21. Existem 
perdas no secundário o que provoca uma queda de 
tensão igual a E2 – U2. De notar que: 
1
2
2
1
21
2
2
1
2
1
I
I
U
U
I
I
E
E
N
Na ≠≠=== 
Compara este diagrama com o da fig.2. 
 
Fig.12. Diagrama fasorial para um ensaio com carga e respectivas equações 
I0=I1 
Ia 
Im 
-E1 
R1I1 
jX1I1 
U1 
E2=U2 
φ 
U1 U2 
N2 N1 R0 jX0 
jX1 R1 jX2 R2 
I1 I2 
E1 E2
Im Ia 
I0 
Z
I21 
I0 
-E1 
R1I1 
jX1I1 
U1 
E2 
φ 
I1 
I21 
U2 
I2 
R2I2 
jX2I2 
1ϕ 
2ϕ 
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Fig.13. Excerto do diagrama fasorial da fig.12 
 
Este excerto da parte inferior do diagrama da fig.12. é importante pelo facto de deduzir uma 
aproximação. Se considerarmos que o vector 2E
r
 é praticamente igual à sua componente 
horizontal na fig. 13, podemos aproximá-lo por: 
ϕϕ sincos 222222 IXIRUE ++≈ 
Todas as variáveis desta equação são escalares, e não vectores. 
 
 
Perdas 
 
 
Qualquer que seja a máquina eléctrica, ela tem perdas. Quanto maiores as perdas, pior o 
aproveitamento da máquina. A grandeza que mede o seu aproveitamento é o rendimento. 
O rendimento é calculado pela expressão: 
pu
u
abs
u
PP
P
P
P
+==η 
em que Pu é igual à potência útil, Pabs é igual à potência absorvida e Pp é igual às 
perdas. No caso do transformador, as perdas são as perdas no cobre ( PJ ) e as perdas no 
ferro ( PFE ). 
Seguindo as grandezas da fig.11, a potência útil é igual a potência activa fornecida à 
carga, logo: 
)cos( 222 ϕIUPu = 
A potência absorvida é a potência fornecida ao transformador, logo: 
)cos( 111 ϕIUPabs = 
As perdas no cobre são as potências dissipadas nas resistências R1 e R2, logo: 
2
22
2
11 IRIRPJ += 
As perdas no ferro são a potência dissipada na resistência R0. logo: 
2
0 aFE IRP = 
Portanto, a equação do rendimento pode ser reescrita da seguinte forma: 
2
0
2
22
2
11222
222
111
222
)cos(
)cos(
)cos(
)cos(
apu
u
abs
u
IRIRIRIU
IU
PP
P
IU
IU
P
P
+++=+=== ϕ
ϕ
ϕ
ϕη 
Para o caso dos circuitos equivalentes simplificados, a fórmula é naturalmente mais 
simples, por isso, fica para vocês fazerem. 
 
A fig. 13 representa a curva característica 
do rendimento, dependendo de I2. Nela se 
repara que o rendimento é máximo quando as 
perdas no cobre são iguais às perdas no ferro e 
que o valor da corrente para esse rendimento é 
menor que o valor da corrente nominal. 
É obvio que em circuito aberto (em vazio) e 
em curto-circuito o rendimento é nulo, visto queem circuito aberto não há potência útil porque 
não há corrente, e em curto-circuito não há 
potência útil porque não há carga. 
 
Fig.14. Curva de característica do rendimento 
I2 
η 
η max 
I2N PJ = PFE vazio c.c.
22 IR
r
22 IjX
r
ϕsin22 IXϕcos22 IR
2U
r
2E
r
2I
r
ϕ ϕ
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Exemplo 
 
Como exemplo veremos um transformador trifásico e faremos a comparação entre o 
monofásico e o trifásico. As suas características são as seguintes: 
 
Dyn5, 1000 kVA, 50 Hz, 15000±5% / 400V 
 
 
 
Ensaia-se o transformador em vazio pelo lado BT (baixa tensão), visto ser mais fácil aplicar 
uma tensão de 400 V do que 15000 V. Os resultados foram os seguintes: 
 
 Ensaio em vazio 
A1 15.5 A 
A2 14.0 A 
A3 15.3 A 
W1 850 W 
W2 680 W 
W3 410 W 
V 400 V (tensão composta) 
 
De notar que um transformador em vazio não é um sistema equilibrado porque os circuitos 
magnéticos não conseguem ser iguais para as fases montadas em cada coluna do núcleo. 
 
A potência em vazio, ou seja, as perdas no ferro, é a soma das potências de cada fase: 
WPPFE 19404106808500 =++== 
 
Passemos agora para o ensaio em curto-circuito. Sabemos (e se não sabemos, passamos a 
saber) que a tensão de curto-circuito é aproximadamente 5% da tensão nominal, o que pode 
variar de transformador para transformador. Relembremos também que, para um ensaio em 
curto-circuito, é preciso aplicar no primário uma tensão que provoque a circulação de 
correntes nominais nos enrolamentos. Ou seja, no lado primário percorrerá uma corrente de 
valor nominal ao ser aplicada uma tensão de valor igual a 5% do valor de tensão nominal. 
Deste modo, vejamos de que lado é mais vantajoso aplicar essa tensão: 
 
Nota: Para transformadores monofásicos, só haveria tensão simples, uma potência e uma 
corrente. As perdas no ferro seriam iguais à única potência. 
 
 
V 
A1 
A2 
A3 
W1 
W2 
W3 
r 
s 
t 
n 
R
S
T
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Lado Tensão (U1N) 
Corrente : 
N
N
N U
SI
1
1 3 ⋅=
1 Tensão de c.c : NCC Uu 1%5 ⋅= 
AT 15000 AI N 5.38150003
1000000
1 =×= VuCC 7501500005.0 =×= 
BT 400 AI N 4.14434003
1000000
1 =×= VuCC 2040005.0 =×= 
 
Está claro que é muito mais fácil arranjar uma fonte de alimentação de 750 V que possa 
debitar 38.5 A do que uma de 20 V que possa debitar 1443.4 A. Assim sendo, a alimentação 
é feita pelo lado AT. 
 
As leituras foram as seguintes: 
 
 Ensaio em curto-circuito 
A1 34.5 A 
A2 34.0 A 
A3 34.6 A 
W1 4250 W 
W2 4020 W 
W3 4160 W 
V 660 V (tensão composta U) 
 
As perdas no cobre serão a soma das potências lidas: 
WPJ 12430416040204250 =++= 
A corrente que passa por fase é, em média: 
AI 4.346.340.345.341 =++= 
Mas afinal I1 não é a corrente nominal!! Sendo assim, nem U é a tensão de curto-circuito, 
nem as perdas no cobre nominais são PJ. Por uma regra simples, pode-se converter todos os 
valores para valores nominais. 
 
 
1 SN é a potência nominal das três fases. Para analisar só uma fase divide-se SN por 3. U1N é a tensão 
composta, ou seja, entre 2 fases. Para analisar a tensão simples divide-se U1N por 3 . A corrente I1N já 
é de só uma fase. Reduz-se todas as grandezas a uma só fase: 
31
113
1
3 NU
NS
NINI
NUNS =⇔= . 
V 
A1 
A2 
A3 
W1 
W2 
W3 
R 
S 
T 
n 
s 
r 
t 
Máquinas Eléctricas I Transformadores 14-11-2002 
 
 
http://www.fe.up.pt/~leec2005 11-12 
A relação entre a corrente nominal e a corrente obtida é: 
119.1
4.34
5.38
1
1 ==
I
I N 
Para obter a tensão de curto-circuito basta multiplicar por esta razão: 
5.738119.1660
1
1 =×=⋅=
I
I
Uu NCC V 
Como a potência segue uma relação quadrática com a corrente ( P = RI2 ), multiplica-se a 
potência obtida pelo quadrado da razão para obter as perdas no cobre nominais: 
5.15569119.112430 2
2
1
1 =×=


=
I
IPP NJJN W 
Sabe-se que a potência total é igual às resistências totais vezes o quadrado da corrente que 
passa por essas resistências. Se considerarmos as resistências de cada fase iguais, assim 
como as correntes que passam por elas, é fácil calcular essas resistências: 
Ω=×==⇔=
Ω=×==⇔=
501.3
4.343
12430
3
3
501.3
5.383
5.15569
3
3
22
1
1
2
11
22
1
1
2
11
I
P
RIRP
I
P
RIRP
J
J
N
JN
NJN
 
Como era de esperar, os valores são iguais das duas maneiras. De notar que este valor é a 
resistência dos enrolamentos referida ao primário (R1t do esquema da fig.3). 
 
A impedância Z1t do esquema da fig.3 que aqui designaremos por Z1 é calculada através da 
simples lei de Ohm. É igual à razão entre a tensão (simples) aplicada numa das fases do 
primário e a corrente que a percorre: 
Ω=== 08.11
4.34
3660
1
1 I
UZ s 
Já agora, X1 será: 
Ω=+= 51.1021211 RZX 
Qual a tensão no secundário quando o transformador estiver a ¾ de plena carga com 
0.8cos 2 =ϕ indutivo? 
¾ Usamos a fórmula derivada da fig. 13: 22222222 sincos ϕϕ IXIRUE ++≈ . 
¾ ¾ de plena carga equivale a dizer que passa uma corrente no secundário de valor 
igual a ¾ da corrente nominal no secundário. 
¾ A razão de transformação é 5.37400/15000 ==a 
¾ Ω== 0022.0/ 212 aRR 
¾ Ω== 0075.0/ 212 aXX 
¾ A fórmula pode ser reescrita da seguinte forma: 
222222220 sin4
3cos4
3 ϕϕ NNS IXIRUU ++= 
¾ Substituindo os valores: 
VU
U
S
S
2.224
6.04.14434
30075.08.04.14434
30022.0
3
400
2
2
=
×××+×××+=
 
¾ Finalmente, o resultado deve ser dado em tensão composta: 
VU 38832.2242 =×= 
Nota: Se o factor de potência fosse capacitivo, a fórmula seria 
ϕϕ sincos 222222 IXIRUE −+≈ e a tensão U2 poderia ser maior do que U20 porque 
uma carga capacitiva fornece energia reactiva ao transformador. 
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Qual o rendimento a 7/8 de plena carga com 0.9cos 2 =ϕ capacitivo? 
JFE PPIU
IU
++= )cos(3
)cos(3
222
222
ϕ
ϕη 
Em regime nominal o rendimento é: 
JNFEN
N
JNFENN
NN
PPS
S
PPIU
IU
++=++= )cos(
)cos(
)cos(3
)cos(3
2
2
222
222
ϕ
ϕ
ϕ
ϕη 
A 7/8 de plena carga o rendimento é: 
{
%3.98983.0
8
71556919409.0
8
71000000
9.0
8
71000000
8
7)cos(
8
7
)cos(
8
7
22
cargadadependenão
2
2
==


⋅++⋅⋅
⋅⋅
=


⋅++⋅⋅
⋅⋅
=
JNFEN
N
PPS
S
ϕ
ϕ
η
 
Qual o rendimento máximo para 1000 A? 
Nestas condições, o rendimento é máximo quando 1cos 2 =ϕ . 
 
%7.98987.0
4.1443
100015569194011000
3
4003
11000
3
4003
)cos(3
)cos(3
2
222
222
==


⋅++⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
=++= JFE PPIU
IU
ϕ
ϕη
 
 
 
 
 
 
Qual o rendimento máximo dos máximos? 
O rendimento é máximo quando as perdas no cobre são iguais às perdas no ferro e quando 
1cos 2 =ϕ . Quando a primeira condição se verifica, verifica-se também a seguinte relação: 
JN
FE
N
FEJ P
P
I
IPP =⇒=
2
2 
JN
FE
N
N
N
N
NNN
P
PSS
I
ISS
IUS
IUS ⋅= →⋅=⇒


=
= casoneste
2
2
22
22
3
3
 
 
{
%9.98989.0
194019401
5.15569
19401000000
1
5.15569
19401000000
)cos(
)cos(
2
2
==
++⋅⋅
⋅⋅
=++⋅
⋅=
= FEP
JFE PPS
S
ϕ
ϕη 
2
2
2



=⇒
=
=
N
JNJ
NJN
J
I
IPP
RIP
RIP